双休作业三 作平行线构造相似三角形的四种常用技巧

方法技巧训练1作平行线构造相似三角形的四种常用技巧第二十七章相似12345巧连线段的中点构造相似三角形1．如图，在△ABC中，E，F是边BC的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q.求BP∶PQ∶QD.

1技巧解：连接DF.∵E，F是边BC的两个三等分点，∴BE＝EF＝FC.∵D是AC的中点，∴AD＝CD，DF是△ACE的中位线．∴DF∥AE，且DF＝

AE.∴DF∥PE.∴∠BEP＝∠BFD，∠BPE＝∠BDF.∴△BEP∽△BFD.∴

.∵BE＝EF，∴BF＝2BE.∴BD＝2BP，DF＝2PE.∴BP＝PD.∵DF∥AE，∴∠APQ＝∠FDQ，∠PAQ＝∠DFQ.∴△APQ∽△FDQ.∴

.设PE＝a，则DF＝2a，AP＝3a.∴PQ∶QD＝AP∶DF＝3∶2.∴BP∶PQ∶QD＝5∶3∶2.返回2．如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上一点，BF∶AF＝3∶2，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E.求

的值．2技巧过顶点作平行线构造相似三角形解：过点C作CG∥AB交AE的延长线于点G.∵CG∥AB，∴∠DAF＝∠G.∵D为CF的中点，∴CD＝DF.在△ADF和△GDC中，∴△ADF≌△GDC(AAS)．∴AF＝CG.∵BF∶AF＝3∶2，∴AB∶AF＝5∶2.∵AB∥CG，∴∠B＝∠ECG，∠BAE＝∠G.∴△ABE∽△GCE.∴

.返回3．如图，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F，E.求证AE∶ED＝2AF∶FB.证明：过点B作BN∥CF交AD的延长线于点N，则

，∠FCD＝∠NBD.∵∠CDE＝∠BDN，∴△EDC∽△NDB.∴

.∵BD＝CD，∴ED＝DN＝

EN.∴

.∴AE∶ED＝2AF∶FB.返回4．如图，在△ABC中，AB＞AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证

.3技巧过一边上的点作平行线构造相似三角形证明：过点C作CF∥AB交DP于点F，则∠PFC＝∠PDB，∠PCF＝∠B.∴△PCF∽△PBD.∴

.∵AD∥CF，∴∠ADE＝∠EFC.∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.∵∠AED＝∠CEP，∴∠EFC＝∠CEP.∴EC＝CF.∴

.返回5．如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE＝

AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证BC＝2CD.4技巧过一点作平行线构造相似三角形(1)作辅助线的方法一：证明：(1)过点C作CF∥AB，交DE于点F，则∠FCD＝∠B.∵∠D为公共角，∴△CDF∽△BDE.∴

.∵点M为AC边的中点，∴AM＝CM.∵CF∥AB，∴∠BAC＝∠FCM.又∵∠AME＝∠CMF，∴△AME≌△CMF.∴AE＝CF.∵AE＝

AB，BE＝AB－AE，∴BE＝3AE，∴

.∴

，即BD＝3CD.又∵BD＝BC＋CD，∴BC＝2CD.(2)作辅助线的方法二：(2)过点C作CF∥DE，交AB于点F，则

.∵点M为AC边的中点，∴AC＝2AM.∴2AE＝AF.∴AE＝EF.∵AE＝

AB，∴

＝2.∵CF∥DE，∴

＝2.∴BC＝2CD.(3)作辅助线的方法三：(3)过点E作EF∥BC，交AC于点F，则∠AEF＝∠B.∵∠A为公共角，∴△AEF∽△ABC.由AE＝

AB，知

，∴EF＝

BC，AF＝

AC.∵EF∥CD，∴∠MEF＝∠D，∠EFM＝∠MCD.∴△EFM∽△DCM，∴

.又∵AM＝MC，∴MF＝

MC.∴EF＝

CD.∴BC＝2CD.(4)作辅助线的方法四：(4)过点A作AF∥BD，交DE的延长线于点F，则∠F＝∠D，∠FAE＝∠B.∴△AEF∽△BED.∴