数学悖论课件

生活中有趣的悖论问题悖论有点像魔术中的变戏法，它使人们在看完之后，几乎没有—个不惊讶得马上就想知道：“这套戏法是怎么搞成的？”当把技巧告诉他时，他就会不知不觉地被引进深奥而有趣的数学世界之中。

正是因为悖论的存在，数学才能越来越严密，可以说，

悖论是缺憾的美悖论(paradox)来希腊自语“para+dokein”，意思是“多想一想”。

悖论是自相矛盾的命题。即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。一般地说，由于悖论是一种形式矛盾，即是某些特殊的思想规定的产物，它们就不可能是事物辩证性质的直接反映；进而，我们也就不能把它们说成是“特殊的客观真理”，而只能说它们是“歪曲了的真理”。悖论的种类悖论主要有逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论时间悖论等逻辑悖论之“鸡生蛋，蛋生鸡”传统的“先有鸡，还是先有蛋？”的循环式悖论问题这个互为因果的循环推理本身无法自我解脱，需要实际的考证，如考古学和生物学的研究成果等，才能打破这一循环。

它里面也隐含着一个不相容的前提假设：“鸡是由蛋孵化出来的，蛋又是由鸡生出来的。”单独来看都符合日常观察，但合在一起却是一对不自洽的假设。逻辑悖论之沙堆悖论有一堆1，000,000颗沙粒组成的沙堆。如果我们拿走一颗沙粒，那么还是有一堆；如果我们再拿走一颗沙粒，那么还是一堆。如果我们就这样一次拿走一颗沙粒，那么当我们们取得只剩下一颗沙粒，那么它还是一堆吗？回答：设定一个固定的边界。如果我们说10,000颗沙粒是一堆沙，那么少于10，000颗沙粒组成的就不能称之为一堆沙。显然这样区分9999颗沙和10001颗沙就有点不合理。那么就有一个解决方案了——设定一个可变的边界，但是这个边界是多少，并不需要知道。逻辑悖论之理发师悖论一个男理发师的招牌上写着：

告示：城里所有不自己剃头的男人都由我给他们剃头，我也只给这些人剃头。谁给这位理发师剃头呢？如果他自己剃头，那他就属于自己剃头的那类人。但是，他的招牌说明他不给这类人剃头，因此他不能自己来剃头。如果另外一个人来给他剃头，那他就是不自己剃头的人。但是，他的招牌说他要给所有这类人剃头。因此其他任何人也不能给他剃头。看来，没有任何人能给这位理发师剃头了！

这是伯特纳德·罗素提出的这个悖论，为的是把他发现的关于集合的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。理发师悖论的数学表达式：已知：集合Z={x|x≠x},问：x是否属于集合Z?或者：已知：P={A∣A∈A}Q={A∣A￠A}

问：Q∈P还是Q∈Q？罗素悖论的影响罗素悖论使整个数学大厦动摇了。当弗雷格已经完成他的关于算术基础的两册巨著《算术的基本法则》的最后一册时，罗素通信告诉了他这个悖论。弗雷格在其论著的末尾以悲哀的话语写道：“一位科学家不会碰到比这更痛苦的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了。当本书等待复印的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地”。于是，弗雷格终结了这不止12年的辛勤劳动。狄德金原来打算把《连续性及无理数》第3版复印，这时也把稿件抽了回来。发现拓扑学中“不动点原理”的布劳威也认为自己过去作的工作都是“废话”，声称要放弃不动点原理。罗素悖论引发了第三次数学危机！！！！罗素悖论的“破坏力”还不仅局限在数学领域，只要把罗素悖论的陈述略加修改，即用逻辑的术语来代替集合论中的术语，罗素悖论就可以推广到逻辑领域。这样，罗素悖论就不仅触及到数学的基础理论本身，它涉及到了一向被认为极为严谨的两门科学----数学和逻辑学。几何悖论几何悖论所构造的图案是仅存在于2维平面世界里的图形，是一种通过素描，线描等立体绘画手法表现出3维立体世界中不可能存在的图像。

“不可能台阶”是由英国遗传学家列昂尼尔·S·彭罗斯和他的儿子，数学家罗杰尔·彭罗斯发明的，后者于1958年把它公布于众，人们常称这台阶为“彭罗斯台阶”。在这个台阶里，永远找不到最高阶和最低阶，“不可能台阶”永远没有尽头。。。。。。

红衣女子是真实的还是在拼图里的？两列火车会相撞吗？美国魔术·安德鲁斯创造了这个精彩的幻觉作品球和影幻觉：两幅幻觉图中，球相对于背景的位置一样吗？折叠的棋盘：你从上面还是从下面看到棋盘呢?曲折的悖论：这是一个奇妙的不可能成立的曲折体，由匈牙利艺术家托马斯·伐克期创作瑞典艺术家奥斯卡·卢特斯瓦尔德，给了我们不可能的三角形中又一种变化。此图属于“不可能三角形”的一种变体。超级橱窗

美国魔术师杰瑞·安德鲁斯发明了一个“疯狂的板条箱”。他怎么能把那么多竖直的支撑杆似那么不可能的方式连起来呢

拿着放光球的手是静的还是动的诺布的不可能的架子

中间到底是凹进去的，还是凸出来的？

桥渐变成了船。

此图属于“背景错觉”。在这幅图中，你看见了什么？你看见的是男人的腿，还是女人的腿？在这幅图像中，一个大个子正在追赶一个小个子，对吗？其实，这两个人完全是一模一样的！（不信？用尺子量量看！）

此图属于“大小恒常错觉”。

你看到了螺旋，还是同心圆？乍一看，图中是一个螺旋，实际上它是同心圆。

此图属于“Fraser螺旋错觉”。统计悖论之选举悖论假定有三个人—阿贝尔、伯恩斯和克拉克竞选总统。民意测验表明，选举人中有2/3愿意选A不愿选B，有2/3愿选B不愿选C。是否愿选A不愿选C的最多？

统计悖论之选举悖论不一定！如果选举人下表那样排候选人，就会引起一个惊人的逆论。三分之一的人，对选举人的喜好是：A，B，C；另外三分之一的人，对选举人的喜好是：B，C，A；最后三分之一的人，对选举人的喜好是：C，A，B。所以，有2/3宁愿选A而不愿选B；同样，有2/3宁愿选B而不愿选C；有2/3宁愿选C而不愿选A！这条悖论有时称为阿洛悖论，肯尼思·阿洛曾根据这条悖论和其他逻辑理由证明了，一个十全十美的民主选举系统在原则上是不可能实现的，他因此而分享了1972年诺贝尔经济学奖金。概率悖论之贝特朗悖论有一个半径为r的圆，在此圆内作内接正三角形，设其边长为Y。取圆任意一条弦，设其长为X；同时。请问，X>Y的概率是多少？

可以算出：Y=√3r解答一：此题等价于“从圆心到弦的距离<r/2”的概率（这个很容易证明，因为内接正三角形的高是3r/2）。我们取平行于任意一个方向的所有弦，容易看出其中有一半的弦到圆心的距离<r/2，概率为1/2

因此，X>Y的概率为1/2

解答二：在圆周上取任意一点A作为弦的一个端点，另一端点沿圆周运动构成一系列弦。显然，其中所有与过A点的圆切线构成大于60度角且小于120度角的一部分弦是满足题目要求的，从角度关系容易得知，此部分弦占所有弦的1/3

因此，X>Y的概率为1/3

解答三：考虑弦的中点，根据解答一中的“等价于”容易得知，若弦中点位于半径为r/2的同心小圆内，则弦长满足题意要求。很明显，小圆面积为大圆的1/4

因此，X>Y的概率为1/4

概率悖论之生日悖论问题提出：如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%.看起来是不是不太可能？任意n（n<365）个人，他们的生日各不相同的概率为.n个人中至少有两人生日相同的概率为P=1-

经计算可得下述结果：由表可看出，在仅有64人的班级里，“至少有两人生日相同”这一事件的概率与1相差无几.n202330405064100p0.4110.5070.7060.8910.9700.9970.999概率悖论之四只猫的性别问题提出：新房子里的四只猫，它们的性别是什么？一般认为四只都是雄的不太可能，都是雌的也不可能（4-0）.也许只有一只雌的，也许只有一只雄的（3-1）.而每只猫是雄的或雌的概率都是，所以最有可能的是两只雌猫两只雄猫（2-2）.这种想法正确吗？若我们把所有情况都列出来，就很明显了.用B表示雄猫，G表示雌猫，则共有16种，分别是:BBBBBBBGBBGBBGBBGBBBBBGGBGBGBGGBGBBGGBBGGGBBBGGGGBGGGGBGGGGBGGGG概率悖论之四只猫的性别共有16种，分别是:BBBBBBBGBBGBBGBBGBBBBBGGBGBGBGGBGBBGGBBGGGBBBGGGGBGGGGBGGGGBGGGG因此，都为雄猫或雌猫有两种，概率为2/16=1/8仅有一只雄猫或一只雌猫有八种，概率为8/16=1/2两只雄猫两只雌猫有六种，概率为6/16=3/8所以，最有可能的是第二种情况，只有一只雄猫或只有一只雌猫.概率悖论之三张卡片的骗局问题提出：三张卡片，分别为第一张A两面都是红色，第二张B，一面是红色，一面是黑色，第三张C两面都是黑色.庄家把卡片放在帽子里摇晃，取出一张放在桌子上，打赌下面和上面的颜色相同.庄家会这样说，这个赌博是公平的.假定取出的卡片上面是红色，那么不可能是卡片C，所以要么是A，要么是B，也就是要么相同，要么不同，这样的话输赢的概率都是1/2.概率悖论之三张卡片的骗局显然，庄家的话是骗人的，但好像有些道理，这样很多的赌徒就上当了.因为实际情况是有三种等可能情况，而非两种.红色朝上有可能是，则下面与上面相同的有两种情况，所以庄家赢的概率为2/3

这个卡片游戏是著名数学家沃德·威弗设计的.他曾在1950年10月《科学美国人》关于“概率”一文中介绍过这个内容.卡片游戏是称为伯特纳德箱的悖论的翻版.在伯特纳德以后，一位德国数学家将它写进一本书中，于1889年发表.概率悖论之贝壳之谜问题提出：游戏规则是这样，三个贝壳猜猜哪个贝壳下有绿豆，如果猜对了可以获得多一倍的赌金.在玩了一阵后，马克先生断定，他赢的概率最多为.于是庄家破例让马克玩这个游戏，先允许马克先生随便选一个贝壳，庄家再翻开一个空贝壳，这样，绿豆一定在另两个贝壳的一个里，马克先生赢的概率就增大了.但是，马克先生还是输完了所有的钱.这是怎么回事？概率悖论之贝壳之谜因为马克先生没有意识到，在他选完贝壳后，再翻开一个空贝壳根本不影响他赢的概率.在马克选贝壳的时候，仍然是在三个中选，而庄家是游戏操纵者，自然知道空贝壳是哪一个，翻开的贝壳一定是空的，所以马克赢的概率没有改变.但是当改变一下游戏规则，庄家先翻开一个贝壳，马克再选，那么概率就上升到了.