2023-2024学年山西省晋中市昔阳县中考数学模拟试题(一模)含答案

2023-2024学年山西省晋中市昔阳县中考数学模拟试题

（一模）

注意事项：

1.本试卷共6页，满分120分。考试时间120分钟。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷相应的位置上。

3.答卷全部在答题卡上完成，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷选择题（共30分）

一、选择题（在每小题的四个选项中，只有一项最符合题意，请选出并在答题卡上将该项涂

黑。本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.已知关于x的一元二次方程（加-1）x2+2x+l=0有两个不相等的实数根，则加的取值

范围是（）

A.m<-2B.m>2

C.加<2且冽wlD.加〉一2且加wl

2.从正面、左面、上面观察某个立体图形，得到如图所示的平面图形，那么这个立体图形是

（）

从

久

正

三

而

而

行

右

A.(6,-1)B.(-6,-1)

C.（2,3）

4.平移抛物线y=（x+3>—4使其经过原点，则下列操作不正确的是（）

A.向右平移1个单位长度B.向右平移5个单位长度

C.向下平移5个单位长度D.向上平移4个单位长度

5.如图，把△4BC绕。点顺时针旋转35。，得到交于点£>,若

NHDC=90。，则N4的度数（）

A.35°B.75°C.55°D.65°

6.如图，点。是△48C内切圆的圆心，已知乙45C=50。，ZACB=80°,则。的

度数是（）

A.100°B.115°C.125°D.130°

7.如图，△NBC和是以点。为位似中心的位似图形，点4在线段。4上，若

1111

OA-.AA=1:2,则△48C和△Z5C的周长之比为（）

1111

小

A.1:2B.2:1C.1:3D.3:1

8.如图，一艘轮船航行至点时，测得某灯以位于它的北偏第0。方向，且它与灯塔

4相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点8处时，测得灯塔”恰好在它的正北方向,

则的距离可表示为（）

1313

A.13cos40°海里B.13sin40°海里C..”门海里D.---T启海里

sm50cos570

9.电影《热辣滚烫》于春节档上映，首周累计票房约.5亿元，第三周累计票房约6.8亿

元.若每周累计票房的增长率相同，设增长率次，根据题意可列方程为（3

A.3.5x2=6.8B,3.5（l+x）=6.8

C.3.5（l+x）=6.8D,3.5（l-x>=6.8

10.黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫

黄金构图法，其原理是：如图，将正方形45CD的底边取中点E,以E为圆心，线段

£>£为半径作圆，其与底边5C的延长线交于点尸，这样就把正方形4BCD延伸为矩形

ABFG,称其为黄金矩形.若C/=4。，则48的长为（）

第n卷非选择题（共90分）

二、填空题。（共5个小题，每题3分，共15分）

11.请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式.

12.一段公路路面的坡度为，=1：2.4,如果某人沿着这段公路向上行走了260米，那么此人

升高了_____

13.如图，扇形。48的半径。4=2cm,ZAOB=120°,则以N8为直径的半圆与弧

48围成的区域（图中阴影部分）的面积是cm2.

14.如图，平面直角坐标系中，点8在第一象限，点Z在x轴的正半轴上,

ZAOB=ZB=30°,OA=2,将△ZO5绕点。逆时针旋转90。，点3的对应点8'的坐

标是.

15.如图，点，在x轴的负半轴上，点。在反比例函数""＞。）的图象上，，。交

3

》轴于点5.若8是4C的中点，△NO5的面积为歹，则上的值为

三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16.（12分）

（1）用适当的方法解下列方程：

①x（x-5）=3%-15②2产一9〉+5=0

（2）计算：3tan30°-2（cos245°）-2sin60°

17.（6分）如图，已知△ABC,ZB=40°.

BC

（1）在图中用尺规作出△4BC的内切圆。，并标出。。与边48,BC,/C的切点0,

E,F（保留痕迹，不必写作法）；

（2）连接五万，DF,求/EFD的度数.

18.（7分）实验中学有7位学生的生日是1月1日，其中男生分别记为Z,

1

4,A,A,女生分别记为5,B,B,学校准备召开元旦联欢会，计划从这7位学生

234123

中抽取学生参与联欢会的访谈活动.

（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是.

（2）若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，请用“列表”或“画树状图”

的方法求抽得的2位学生中至少有1位是4或R的概率.

19.（6分）48是。。的直径，40与。。交于点4,点£是半径上一点（点E不与

点。，/重合）.连接QE交。。于点C,连接C/,CB.若C4=CD,

ZABC=ZD.求证：40是。。的切线.

20.（9分）某小区门口安装了汽车出入道闸.道闸关闭时，如图1,四边形/BCD为矩形,

48长3米，40长1米，点。与点N重合.道闸打开的过程中，边40固定，连杆48,

8分别绕点力,0转动，且边5C始终与边40平行.

B

(1)如图2,当道闸打开至N4DC=45°时，边CD上一点尸到地面的距离？石为1米，求

点?到的距离？尸的长.

(2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米，当道闸打开至N/£>C=36°时，轿车

能否驶入小区？请说明理由.(参考数据：

sin36°»0.59,cos36°»0.81,tan36°»0.73)

21.(10分)阅读下列材料，并完成相应的任务.

托勒密定理

托勒密(Ptolemy)(公元90年〜公元168),希腊著名的天文学家，他的著作《天文学

大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出

并加以完善，得到了著名的托勒密(Ptolemy)定理。

托勒密定理：

圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和.

已知：如图1,四边形4BCD内接于.

求证：ABCD+BCAD=ACBD.

下面是该结论的证明过程:

证明：如图2,作交BC于点,E.

A妹ABBE

ZABE=ZACD,ACD,:-----=一，

ACCD

ABCD=AC-BE.

AB=AB,ZACB=ZADE（依据1）.

•••NBAE=ZCAD,」.ZBAE+ZEAC=ZCAD+ZEAC,

即ABAC=ZEAD.

AKBCAC

△必巡AED（依据2）,：----=——，

取如'EDAD

ADBC=ACED.:.ABCD+ADBC=AC（BE+ED）.

ABCD+ADBC=AC-BD.

(1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？

(2)当圆内接四边形ABC。是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：

.(请写出)

(3)如图3,四边形48C。内接于。。，48=3,AD=5,NB4D=60。，点、C为

图3

22.(12分)综合与实践

下面是李老师在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答.

如图，已知在矩形A8CD中，48=4,6。=6,点E为边48上一点(不与点4、点

8重合)，先将矩形48CD沿CE折叠，使点8落在点尸处，CF交4D于点、H.

观察发现

(1)写出图1中一个与△4EG相似的三角形；

迁移探究

(2)当C尸与40的交点〃恰好是40的中点时，如图2.

①设NCHD=a,N8C£=P,请判断P与a的数量关系，并说明理由;

②求阴影部分的面积.

拓展应用

(3)当点8的对应点尸落在矩形A8CD的对称轴上时，直接写出的长.

23.(13分)综合与探究

抛物线y=ax2+6x—4(a/0)与x轴交于点/(一2,0)和3(4,0),与歹轴交于点C,连接

5C.点？是线段5C下方抛物线上的一个动点(不与,能，。重合)，过点尸作歹轴的平

行线交5C于M,交X轴于N,设点？的横坐标为.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)用关于的代数式表示线段求的最大值及此时点M的坐标；

(9、

(3)若尸1,一5连接。尸，在歹轴上是否存在点Q,使得△CP0为直角三角形，若存在,

直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

九年级数学答案

一、1.C2.C3.A4.D5.C6.B7.C8.A9.C10.D

二、11.y=-X2（答案不唯一）12.10013..6

9+J419-J411

三、16.(1)解：©X=5,x=3；

2

17.解：（1）如图1,O。即为所示.

(2)如图2,连接OD,OE,ODLAB,OELBC.

ZODB=ZOEB=90°.­.•ZB=40°,ZDOE=140ZEFD=70°.

3

18.解：（1）7；

开始

AiA?A1A4

Zl\/K/N/N

（2）B.B：B；B.B.B；B.B；B；B.B：B；

共有12种等可能的结果，其中抽得的位学生中至少有1位是4或q的结果有6种，•.•概

61

率为豆=于

19.解：:/B是。。的直径，ZACB=90°,ABAC+ZABC=90°.

又；C4=CD,ND=ACAD,又；ZABC=ZD,ACAD+ABAC=90°,即

OA1AD,

,40是O。的切线.

20.解：（1）ZADC=45°,ZPDE=45°,:.DE=PE=1米,

:.PF=EN=DN-DE=3-\=2（米），答：点？到MN的距离？厂的长为2米；

（2）轿车能驶入小区，理由如下：

ZADC=36°,PE//AD,ZDPE=ZADC=36°,当EN=1.8米时，

DE=DN-EN=3-1.8=12（米），在中，

]2

tanZ£>P^=_,0.73,解得：PE«1.64,•.T.64>1.6,•••轿车能驶入小

区.

21.解：（1）“依据1”是同弧所对的圆周角相等.“依据2”是两角分别相等的两个三角形

相似.

（2）勾股定理

（3）如图，连接AD,作于点后..••四边形A8CD是圆内接四边形，

ABAD+/BCD=180°,vABAD=60°,；.ZBCD=120°.

•：DC=BC,:.CD=CB.:.ZCDB=3Q°.

在RtZ^CQE中，cos30°=_,:.DE=*CD.

由托勒密定理：ACBD=AD-BC+CD-AB,:.AC-^CD=5CD+3CD.

22.解：(1)&FHG或4DHC(写出一个即可);

(2)(1)。=2P，理由如下：VAD//BC,:.ZCHD=ZBCH=a,

・••ACEF由4CEB沿翻折得到，ZBCE=/FCE=0,

•••ZBCH=ABCE+AFCE,：.a=2^>；

(2)•.•点、H是4D的中点、，：.4H=HD=3,:.CHZCD2+DH2=5,

:.FH=CF-CH=1,­.■ZCDH=ZGFH,ZCHD=ZGHF,：.HFG

HF_FG1FG4142

即『.’.•打、'△西G=寸,1=歹'阴影部分的面积是

llb~~DC

2

3；

(3)①设48的中点为K,CD的中点为T,直线KT为矩形4BCD的对称轴，当尸在

KT上时，如图：尸=5C=6,CT=；CD=2,ZFTC=90°,

FT=yjCFi-CTi=.762-22=4>/2,KF=KT-FT=6-4^/2,

设BE=x,则KE=BK-BE=2-x,-/ZEFC=ZB=90°,

ZKFE=90°-ATFC=NTCF,ZEKF=ZFTC=90°,

KEKF2-x6-4J2l

：.£\EKEFTJF=b即5=^-'解得>18-12回

:.BE=18—120;

②设4D的中点为N,8C的中点为"，直线"N为矩形48CD的对称轴，当尸在直线

MN上时，如图：

,/ZFMC=90°,CM=LBC=3CF=BC=6,CM=J_CF

22

叱=3。。，."FCM=6V,"BCE"="CM=3V,

BE/3BE

・•・tan/8C£=前，.l=可，解得8E=23综上所述，当初的对应点尸落在

矩形/5CD的对称轴上时，8E的长为18-12或2，土

23.解：（1）:抛物线y=以2+以