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文档简介
新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市达标名校2021-2022学年中考四模数学试题请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1.下列事件是确定事件的是()A.阴天一定会下雨B.黑暗中从5把不同的钥匙中随意摸出一把,用它打开了门C.打开电视机,任选一个频道,屏幕上正在播放新闻联播D.在五个抽屉中任意放入6本书,则至少有一个抽屉里有两本书2.已知a+b=4,c﹣d=﹣3,则(b+c)﹣(d﹣a)的值为()A.7 B.﹣7 C.1 D.﹣13.2017年我国大学生毕业人数将达到7490000人,这个数据用科学记数法表示为()A.7.49×107 B.74.9×106 C.7.49×106 D.0.749×1074.要使分式有意义,则x的取值应满足()A.x=﹣2 B.x≠2 C.x>﹣2 D.x≠﹣25.的相反数是()A. B.2 C. D.6.如图,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则周长的最小值为A.6 B.8 C.10 D.127.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(-1,0),其部分图象如图所示,下列结论:①4ac<b2;②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1,x2=3;③3a+c>0;④当y>0时,x的取值范围是-1≤x<3;⑤当x<0时,y随x增大而增大.其中结论正确的个数是()A.4个 B.3个 C.2个 D.1个8.如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上,下面比例式中,不能判定ED//BC的是()A. B.C. D.9.在同一平面直角坐标系中,一次函数y=kx﹣2k和二次函数y=﹣kx2+2x﹣4(k是常数且k≠0)的图象可能是()A. B.C. D.10.函数中,x的取值范围是()A.x≠0 B.x>﹣2 C.x<﹣2 D.x≠﹣2二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11.的系数是_____,次数是_____.12.如图,点G是的重心,AG的延长线交BC于点D,过点G作交AC于点E,如果,那么线段GE的长为______.13.下面是“利用直角三角形作矩形”尺规作图的过程.已知:如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°.求作:矩形ABCD.小明的作法如下:如图2,(1)分别以点A、C为圆心,大于AC同样长为半径作弧,两弧交于点E、F;(2)作直线EF,直线EF交AC于点O;(3)作射线BO,在BO上截取OD,使得OD=OB;(4)连接AD,CD.∴四边形ABCD就是所求作的矩形.老师说,“小明的作法正确.”请回答,小明作图的依据是:__________________________________________________.14.如图,四边形ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=6,对角线AC与BD相交于点O,点E在AC上,若OE=2,则CE的长为_______15.方程=1的解是___.16.如图,是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案,则第n个图案中阴影小三角形的个数是.17.某种商品每件进价为10元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(10≤x≤20且x为整数)出售,可卖出(20﹣x)件,若使利润最大,则每件商品的售价应为_____元.三、解答题(共7小题,满分69分)18.(10分)已知:如图,在△ABC中,AB=13,AC=8,cos∠BAC=,BD⊥AC,垂足为点D,E是BD的中点,联结AE并延长,交边BC于点F.(1)求∠EAD的余切值;(2)求的值.19.(5分)如图,AB为⊙O直径,C为⊙O上一点,点D是的中点,DE⊥AC于E,DF⊥AB于F.(1)判断DE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;(2)若OF=4,求AC的长度.20.(8分)如图,AB是⊙O的直径,弦DE交AB于点F,⊙O的切线BC与AD的延长线交于点C,连接AE.(1)试判断∠AED与∠C的数量关系,并说明理由;(2)若AD=3,∠C=60°,点E是半圆AB的中点,则线段AE的长为.21.(10分)如图,在三个小桶中装有数量相同的小球(每个小桶中至少有三个小球),第一次变化:从左边小桶中拿出两个小球放入中间小桶中;第二次变化:从右边小桶中拿出一个小球放入中间小桶中;第三次变化:从中间小桶中拿出一些小球放入右边小桶中,使右边小桶中小球个数是最初的两倍.(1)若每个小桶中原有3个小球,则第一次变化后,中间小桶中小球个数是左边小桶中小球个数的____倍;(2)若每个小桶中原有a个小球,则第二次变化后中间小桶中有_____个小球(用a表示);(3)求第三次变化后中间小桶中有多少个小球?22.(10分)如图,是5×5正方形网格,每个小正方形的边长为1,请按要求画出下列图形,所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上.(1)在图(1)中画出一个等腰△ABE,使其面积为3.5;(2)在图(2)中画出一个直角△CDF,使其面积为5,并直接写出DF的长.23.(12分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作半圆⊙O,交BC于点D,连接AD.过点D作DE⊥AC,垂足为点E.求证:DE是⊙O的切线;当⊙O半径为3,CE=2时,求BD长.24.(14分)某经销商经销的冰箱二月份的售价比一月份每台降价500元,已知卖出相同数量的冰箱一月份的销售额为9万元,二月份的销售额只有8万元.(1)二月份冰箱每台售价为多少元?(2)为了提高利润,该经销商计划三月份再购进洗衣机进行销售,已知洗衣机每台进价为4000元,冰箱每台进价为3500元,预计用不多于7.6万元的资金购进这两种家电共20台,设冰箱为y台(y≤12),请问有几种进货方案?(3)三月份为了促销,该经销商决定在二月份售价的基础上,每售出一台冰箱再返还顾客现金a元,而洗衣机按每台4400元销售,这种情况下,若(2)中各方案获得的利润相同,则a应取何值?
参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1、D【解析】试题分析:找到一定发生或一定不发生的事件即可.A、阴天一定会下雨,是随机事件;B、黑暗中从5把不同的钥匙中随意摸出一把,用它打开了门,是随机事件;C、打开电视机,任选一个频道,屏幕上正在播放新闻联播,是随机事件;D、在学校操场上向上抛出的篮球一定会下落,是必然事件.故选D.考点:随机事件.2、C【解析】试题分析:原式去括号可得b-c+d+a=(a+b)-(c-d)=4-(-3)=1.故选A.考点:代数式的求值;整体思想.3、C【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【详解】7490000=7.49×106.故选C.【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.4、D【解析】试题分析:∵分式有意义,∴x+1≠0,∴x≠﹣1,即x的取值应满足:x≠﹣1.故选D.考点:分式有意义的条件.5、B【解析】
根据相反数的性质可得结果.【详解】因为-2+2=0,所以﹣2的相反数是2,故选B.【点睛】本题考查求相反数,熟记相反数的性质是解题的关键.6、C【解析】
连接AD,由于△ABC是等腰三角形,点D是BC边的中点,故AD⊥BC,再根据三角形的面积公式求出AD的长,再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知,点C关于直线EF的对称点为点A,故AD的长为CM+MD的最小值,由此即可得出结论.【详解】连接AD,∵△ABC是等腰三角形,点D是BC边的中点,∴AD⊥BC,∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=16,解得AD=8,∵EF是线段AC的垂直平分线,∴点C关于直线EF的对称点为点A,∴AD的长为CM+MD的最小值,∴△CDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+BC=8+×4=8+2=1.故选C.【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题,熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.7、B【解析】
解:∵抛物线与x轴有2个交点,∴b2﹣4ac>0,所以①正确;∵抛物线的对称轴为直线x=1,而点(﹣1,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(3,0),∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3,所以②正确;∵x=﹣=1,即b=﹣2a,而x=﹣1时,y=0,即a﹣b+c=0,∴a+2a+c=0,所以③错误;∵抛物线与x轴的两点坐标为(﹣1,0),(3,0),∴当﹣1<x<3时,y>0,所以④错误;∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴当x<1时,y随x增大而增大,所以⑤正确.故选:B.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点位置:抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定:△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.8、C【解析】
根据平行线分线段成比例定理推理的逆定理,对各选项进行逐一判断即可.【详解】A.当时,能判断;B.
当时,能判断;C.
当时,不能判断;D.
当时,,能判断.故选:C.【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理推理的逆定理,根据定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.能根据定理判断线段是否为对应线段是解决此题的关键.9、C【解析】
根据一次函数与二次函数的图象的性质,求出k的取值范围,再逐项判断即可.【详解】解:A、由一次函数图象可知,k>0,∴﹣k<0,∴二次函数的图象开口应该向下,故A选项不合题意;B、由一次函数图象可知,k>0,∴﹣k<0,-=>0,∴二次函数的图象开口向下,且对称轴在x轴的正半轴,故B选项不合题意;C、由一次函数图象可知,k<0,∴﹣k>0,-=<0,,∴二次函数的图象开口向上,且对称轴在x轴的负半轴,一次函数必经过点(2,0),当x=2时,二次函数值y=﹣4k>0,故C选项符合题意;D、由一次函数图象可知,k<0,∴﹣k>0,-=<0,,∴二次函数的图象开口向上,且对称轴在x轴的负半轴,一次函数必经过点(2,0),当x=2时,二次函数值y=﹣4k>0,故D选项不合题意;故选:C.【点睛】本题考查一次函数与二次函数的图象和性质,解决此题的关键是熟记图象的性质,此外,还要主要二次函数的对称轴、两图象的交点的位置等.10、B【解析】要使有意义,所以x+1≥0且x+1≠0,
解得x>-1.
故选B.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11、1【解析】
根据单项式系数及次数的定义进行解答即可.【详解】根据单项式系数和次数的定义可知,﹣的系数是,次数是1.【点睛】本题考查了单项式,熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数,一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解题的关键.12、2【解析】分析:由点G是△ABC重心,BC=6,易得CD=3,AG:AD=2:3,又由GE∥BC,可证得△AEG∽△ACD,然后由相似三角形的对应边成比例,即可求得线段GE的长.详解:∵点G是△ABC重心,BC=6,∴CD=BC=3,AG:AD=2:3,∵GE∥BC,∴△AEG∽△ADC,∴GE:CD=AG:AD=2:3,∴GE=2.故答案为2.点睛:本题考查了三角形重心的定义和性质、相似三角形的判定和性质.利用三角形重心的性质得出AG:AD=2:3是解题的关键.13、到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上;对角线互相平分的四边形为平行四边形;有一个角为90°的平行四边形为矩形【解析】
先利用作法判定OA=OC,OD=OB,则根据平行四边形的判定方法判断四边形ABCD为平行四边形,然后根据矩形的判定方法判断四边形ABCD为矩形.【详解】解:由作法得EF垂直平分AC,则OA=OC,而OD=OB,所以四边形ABCD为平行四边形,而∠ABC=90°,所以四边形ABCD为矩形.故答案为到线段两段点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上;对角线互相平分的四边形为平行四边形;有一个内角为90°的平行四边形为矩形.【点睛】本题考查了作图-复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.14、5或【解析】分析:由菱形的性质证出△ABD是等边三角形,得出BD=AB=6,由勾股定理得出,即可得出答案.详解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD=6,AC⊥BD,OB=OD,OA=OC,∵∴△ABD是等边三角形,∴BD=AB=6,∴∴∴∵点E在AC上,∴当E在点O左边时当点E在点O右边时∴或;故答案为或.点睛:考查菱形的性质,注意分类讨论思想在数学中的应用,不要漏解.15、x=﹣4【解析】
分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.【详解】去分母得:3+2x=x﹣1,解得:x=﹣4,经检验x=﹣4是分式方程的解.【点睛】此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验.16、4n﹣1.【解析】由图可知:第一个图案有阴影小三角形1个,第二图案有阴影小三角形1+4=6个,第三个图案有阴影小三角形1+8=11个,···那么第n个就有阴影小三角形1+4(n﹣1)=4n﹣1个.17、1【解析】
本题是营销问题,基本等量关系:利润=每件利润×销售量,每件利润=每件售价﹣每件进价.再根据所列二次函数求最大值.【详解】解:设利润为w元,则w=(20﹣x)(x﹣10)=﹣(x﹣1)2+25,∵10≤x≤20,∴当x=1时,二次函数有最大值25,故答案是:1.【点睛】本题考查了二次函数的应用,此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.三、解答题(共7小题,满分69分)18、(1)∠EAD的余切值为;(2)=.【解析】
(1)在Rt△ADB中,根据AB=13,cos∠BAC=,求出AD的长,由勾股定理求出BD的长,进而可求出DE的长,然后根据余切的定义求∠EAD的余切即可;(2)过D作DG∥AF交BC于G,由平行线分线段成比例定理可得CD:AD=CG:FG=3:5,从而可设CD=3x,AD=5x,再由EF∥DG,BE=ED,可知BF=FG=5x,然后可求BF:CF的值.【详解】(1)∵BD⊥AC,∴∠ADE=90°,Rt△ADB中,AB=13,cos∠BAC=,∴AD=5,由勾股定理得:BD=12,∵E是BD的中点,∴ED=6,∴∠EAD的余切==;(2)过D作DG∥AF交BC于G,∵AC=8,AD=5,∴CD=3,∵DG∥AF,∴=,设CD=3x,AD=5x,∵EF∥DG,BE=ED,∴BF=FG=5x,∴==.【点睛】本题考查了勾股定理,锐角三角函数的定义,平行线分线段成比例定理.解(1)的关键是熟练掌握锐角三角函数的概念,解(2)的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理.19、(1)DE与⊙O相切,证明见解析;(2)AC=8.【解析】(1)解:(1)DE与⊙O相切.证明:连接OD、AD,∵点D是的中点,∴=,∴∠DAO=∠DAC,∵OA=OD,∴∠DAO=∠ODA,∴∠DAC=∠ODA,∴OD∥AE,∵DE⊥AC,∴DE⊥OD,∴DE与⊙O相切.(2)连接BC,根据△ODF与△ABC相似,求得AC的长.AC=820、(1)∠AED=∠C,理由见解析;(2)【解析】
(1)根据切线的性质和圆周角定理解答即可;(2)根据勾股定理和三角函数进行解答即可.【详解】(1)∠AED=∠C,证明如下:连接BD,可得∠ADB=90°,∴∠C+∠DBC=90°,∵CB是⊙O的切线,∴∠CBA=90°,∴∠ABD+∠DBC=90°,∴∠ABD=∠C,∵∠AEB=∠ABD,∴∠AED=∠C,(2)连接BE,∴∠AEB=90°,∵∠C=60°,∴∠CAB=30°,在Rt△DAB中,AD=3,∠ADB=90°,∴cos∠DAB=,解得:AB=2,∵E是半圆AB的中点,∴AE=BE,∵∠AEB=90°,∴∠BAE=45°,在Rt△AEB中,AB=2,∠ADB=90°,∴cos∠EAB=,解得:AE=.故答案为【点睛】此题考查了切线的性质、直角三角形的性质以及圆周角定理.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用,注意掌握辅助线的作法.21、(1)5;(2)(a+3);(3)第三次变化后中间小桶中有2个小球.【解析】
(1)(2)根据材料中的变化方法解答;(3)设原来每个捅中各有a个小球,根据第三次变化方法列出方程并解答.【详解】解:(1)依题意得:(3+2)÷(3﹣2)=5故答案是:5;(2)依题意得:a+2+1=a+3;故答案是:(a+3)(3)设原来每个捅中各有a个小球,第三次从中间桶拿出x个球,依题意得:a﹣1+x=2ax=a+1所以a+3﹣x=a+3﹣(a+1)=2答:第三次变化后中间小桶中有2个小球.【点睛】考查了一元一次方程的应用和列代数式,解题的关键是找到描述语,列出等量关系,得到方程并解答.22、(1)见解析;(2)DF=【解析】
(1)直接利用等腰三角形的定义结合勾股定理得出答案;(2)利用直角三角的定义结合勾股定理得出符合题意的答案.【详解】(1)如图(1)所示:△ABE,即为所求;(2)如图(2)所示:△CDF即为所求,DF=.【点睛】此题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形面积求法,正确应用网格分析是解题关键.23、(1)证明见解析;(2)BD=2.【解析】
(1)连接OD,AB为⊙0的直径得∠ADB=90°,由AB=AC,根据等腰三角形性质得AD平分BC,即DB=DC,则OD为△ABC的中位线,所以OD∥AC,而DE⊥AC,则OD⊥DE,然后根据切线的判定方法即可得到结论;
(2)由∠B=∠C,∠CED=∠BDA=90°,得出△DEC∽△ADB,得出,从而求得BD•CD=AB•CE,由BD=CD,即可求得BD2=AB•CE,然后代入数据即可得到结果.【详解】(1)证明:连接OD,如图,∵AB为⊙0的直径,∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC,∵AB=AC,∴AD平分BC,即DB=DC,∵OA=OB,∴OD为△ABC的中位线,∴OD∥AC,∵DE⊥AC,∴OD⊥DE,∴DE是⊙0的切线;(
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