人教A版（2019）必修第二册期末考测试(基础)(原卷版+解析)

期末考测试（基础）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2023·全国·高一专题练习）已知向量，若满足，则等于（）A． B．C． D．2．（2023·山西）已知复数（其中是虛数单位）.则（

）A． B． C． D．3．（2023辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末）要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000、001、002、…、499，利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续，则第三袋牛奶的标号是（

）（下面摘取了某随机数表的第8行至第9行）84421

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2176335025

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56719A．572 B．455 C．169 D．2064．（2023上海）军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图（成绩的十位数为“茎”，个位数为“叶”），并给出下列三个结论：①甲的成绩的极差是29；②乙的成绩的中位数是18；③乙的成绩的众数是22．则三个结论中，正确结论个数为（

）．A．3 B．2 C．1 D．05．（2023·江苏）从甲､乙､丙､丁4名同学中任选3名同学参加环保宣传志愿服务，则甲被选中的概率为（

）A． B． C． D．6．（2023天津和平）如图是某灯具厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，圆锥的高是0.4m，底面直径和球的直径都是0.6m，现对这个台灯表面涂胶，如果每平方米需要涂200克，则共需涂胶（

）克（精确到个位数）A．176 B．207 C．239 D．2707．（2023四川）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则的面积为（

）．A． B． C． D．8．（2023·高一单元测试）在中，，，点与点分别在直线的两侧，且，，则的长度的最大值是（

）A． B． C．3 D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2022秋·云南玉溪）如图，在中，若点，，分别是，，的中点，设，，交于一点，则下列结论中成立的是（

）A． B．C． D．10．（2023河北邯郸）已知复数，则下列结论中正确的是（

）A．z对应的点位于第二象限 B．的虚部为2C． D．11．（2023·云南）如图，在正方体中，，分别是的中点，则（

）A．四点，，，共面B．C．平面D．若，则正方体外接球的表面积为12．（2023·山东淄博）某学校为普及安全知识，对本校1500名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动(满分为100分).现从中随机抽取100名学生的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，则根据该直方图，下列结论正确的是（

）A．图中的值为0.016B．估计该校高一大约有77%的学生竞赛得分介于60至90之间C．该校高一学生竞赛得分不小于90的人数估计为195人D．该校高一学生竞赛得分的第75百分位数估计大于80三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2023·高一课时练习）在由1，2，3，4，5，6组成无重复数字的两位数中任取一个，取到两个数位上数字都是偶数的概率是______．14．（2022上海黄浦）在平行四边形中，已知，则__．15．（2023·广东）长方体的底面是边长为1的正方形，若在侧棱上至少存在一点，使得，则侧棱的长的最小值为__________.16．（2023河南）如图，在中，，，分别是，上的点，满足，．若，则的长为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2022浙江杭州）（10分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以分组的频率分布直方图如下图：(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的中位数；(3)在月平均用电量为的四组居民中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则在月平均用电量为的居民中应抽取多少户？18．（2023湖南长沙）（12分）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识,某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两位同学中恰有一人答对的概率为.(1)求的值及每题甲、乙两位同学同时答对的概率；(2)试求两人答对的题数之和为3的概率.19．（2022秋·云南楚雄）（12分）已知角所对的边分别为,的周长为,且.(1)求边的长;(2)若的面积为,求角的度数.20．（2023·云南昆明）（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.(1)求B的大小；(2)若△ABC为钝角三角形，且，求△ABC的周长的取值范围.21．（2023·北京）（12分）如图，在四棱柱中，平面平面，底面为等腰梯形，，且M为中点．(1)证明：平面．(2)若，求与平面所成线面角的正弦值．．22．（2023·重庆沙坪坝）（12分）如图四棱锥在以为直径的圆上，平面为的中点，(1)若，证明：⊥；(2)当二面角的正切值为时，求点到平面距离的最大值.期末考测试（基础）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2023·全国·高一专题练习）已知向量，若满足，则等于（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以，将代入有:.故选：A2．（2023·山西）已知复数（其中是虛数单位）.则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以.故选：D3．（2023辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末）要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000、001、002、…、499，利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续，则第三袋牛奶的标号是（

）（下面摘取了某随机数表的第8行至第9行）84421

75331

57245

50688

77047

44767

2176335025

83921

20676

63016

47859

16955

56719A．572 B．455 C．169 D．206【答案】B【解析】由题所给随机数表：从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，则牛奶抽到标号分别为：175,331,455，068,...故第三袋牛奶的标号是：445，故选：B4．（2023上海）军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图（成绩的十位数为“茎”，个位数为“叶”），并给出下列三个结论：①甲的成绩的极差是29；②乙的成绩的中位数是18；③乙的成绩的众数是22．则三个结论中，正确结论个数为（

）．A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】由茎叶图可知甲的成绩的极差是，故①正确；乙的成绩按从小到大的顺序为，所以乙的成绩的中位数是，众数是，故②错误，③正确.所以正确的个数为2个.故选：B.5．（2023·江苏）从甲､乙､丙､丁4名同学中任选3名同学参加环保宣传志愿服务，则甲被选中的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】从甲､乙､丙､丁4名同学中任选3名同学共有：（甲乙丙），（甲丙丁），（甲乙丁），（乙丙丁），4种情况，甲被选中共有3种情况，故对应的概率为故选：D6．（2023天津和平）如图是某灯具厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，圆锥的高是0.4m，底面直径和球的直径都是0.6m，现对这个台灯表面涂胶，如果每平方米需要涂200克，则共需涂胶（

）克（精确到个位数）A．176 B．207 C．239 D．270【答案】B【解析】由已知得圆锥的母线长，所以台灯表面积为，需要涂胶的重量为（克），故选：B.7．（2023四川）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则的面积为（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】.故选：B8．（2023·高一单元测试）在中，，，点与点分别在直线的两侧，且，，则的长度的最大值是（

）A． B． C．3 D．【答案】B【解析】由可知，是，的直角三角形，如图所示：设，，，则由余弦定理得，即由正弦定理得，所以.连接，在中，由余弦定理，得当时，的长度取得最大值，为故选:B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2022秋·云南玉溪）如图，在中，若点，，分别是，，的中点，设，，交于一点，则下列结论中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】根据向量减法可得，故A正确；因为是的中点，所以，故B正确；由题意知是的重心，则，故C错误；，故D错误.故选：AB.10．（2023河北邯郸）已知复数，则下列结论中正确的是（

）A．z对应的点位于第二象限 B．的虚部为2C． D．【答案】CD【解析】，所以，z对应的点位于第一象限，A错误；的虚部为,B错误；，C正确；，D正确，故选:CD.11．（2023·云南）如图，在正方体中，，分别是的中点，则（

）A．四点，，，共面B．C．平面D．若，则正方体外接球的表面积为【答案】BD【解析】对于选项，连接和，由此可知点，，在平面中，点平面，则四点，，，不共面，即选项不正确；对于选项，由正方体的性质结合条件可知，分别是的中点，所以,又因为,所以，即选项正确；对于选项，点,,都在平面,所以与平面相交，即选项不正确；对于选项，因为为△的中位线，且，所以正方体的棱长为，设正方体外接球的半径为,则,即，则外接球的表面积为,即选项正确；故选：.12．（2023·山东淄博）某学校为普及安全知识，对本校1500名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动(满分为100分).现从中随机抽取100名学生的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，则根据该直方图，下列结论正确的是（

）A．图中的值为0.016B．估计该校高一大约有77%的学生竞赛得分介于60至90之间C．该校高一学生竞赛得分不小于90的人数估计为195人D．该校高一学生竞赛得分的第75百分位数估计大于80【答案】BCD【解析】由频率分布直方图性质可得：，解得，故A错误；得分介于60至90之间的频率为，故B正确；得分不小于90的人数估计为，故C正确；得分介于50至80之间的频率为，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2023·高一课时练习）在由1，2，3，4，5，6组成无重复数字的两位数中任取一个，取到两个数位上数字都是偶数的概率是______．【答案】【解析】所有无重复数字的两位数有：12、13、14、15、16、21、23、24、25、26、31、32、34、35、36、41、42、43、45、46、51、52、53、54、56、61、62、63、64、65，共30个，其中两个数位上数字都是偶数的两位数有：24、26、42、46、62、64，共6个，所以取到两个数位上数字都是偶数的概率是．故答案为：．14．（2022上海黄浦）在平行四边形中，已知，则__．【答案】【解析】．故答案为：.15．（2023·广东）长方体的底面是边长为1的正方形，若在侧棱上至少存在一点，使得，则侧棱的长的最小值为__________.【答案】2【解析】设又因为，所以即化简得，即关于的方程有解，当时，不符合题意，当时，所以，当且仅当，即时取得等号，所以侧棱的长的最小值为2，故答案为:2.16．（2023河南）如图，在中，，，分别是，上的点，满足，．若，则的长为______．【答案】【解析】设，则，又由已知可得，在中，由正弦定理可得①；在中，由正弦定理可得②．①÷②得，又，，所以，，所以，，，所以．故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2022浙江杭州）（10分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以分组的频率分布直方图如下图：(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的中位数；(3)在月平均用电量为的四组居民中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则在月平均用电量为的居民中应抽取多少户？【答案】(1)(2)224(3)5【解析】（1）因直方图中，各组数据频率之和即所有矩形面积之和为1，则，得.（2）因前3个矩形面积之和为.前4个矩形面积之和为.则中位数在内，设为，则，得.即中位数为224.（3）月平均用电量为的居民对应的频率为：.又由（2）分析可知，月平均用电量为的四组居民对应频率之和为：.则应抽取居民的户数为：.18．（2023湖南长沙）（12分）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识,某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两位同学中恰有一人答对的概率为.(1)求的值及每题甲、乙两位同学同时答对的概率；(2)试求两人答对的题数之和为3的概率.【答案】(1)，甲、乙同时答对的概率为(2)【解析】（1）设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，则，.设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，则，.由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与相互独立，与相互互斥，所以，.由题意可得，则，，所以，每题甲、乙同时答对的概率为；（2）设{甲同学答对了道题}，{乙同学答对了道题}，，1，2.由题意得，，，，.设{甲乙二人共答对3道题}，则.由于和相互独立，与相互互斥，所以.所以，甲乙二人共答对3道题的概率为.19．（2022秋·云南楚雄）（12分）已知角所对的边分别为,的周长为,且.(1)求边的长;(2)若的面积为,求角的度数.【答案】(1)2；(2).【解析】（1）由题意得:，在中,将正弦定理代入可得，又,即，所以；（2）由(1)知,,所以，因为，所以,又有，所以，因为，所以.20．（2023·云南昆明）（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.(1)求B的大小；(2)若△ABC为钝角三角形，且，求△ABC的周长的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）根据余弦定理可知，，所以，即，则,，所以；（2）设，根据正弦定理可知，所以,，所以周长,因为,，所以，所以，所以的周长为.21．（2023·北京）（12分）如图，在四棱柱中，平面平面，底面为等腰梯形，，且M为中点．(1)证明：平面．(2)若，求与平面所成线面角的