人教A版2019必修第一册专题1.3集合的基本运算【八大题型】(原卷版+解析)

专题1.3集合的基本运算【八大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1并集的运算】 2【题型2根据并集结果求集合或参数】 2【题型3交集的运算】 2【题型4根据交集结果求集合或参数】 3【题型5补集的运算】 4【题型6交、并、补集的混合运算】 4【题型7集合混合运算中的求参问题】 5【题型8Venn图表达集合的关系和运算】 6【知识点1并集与交集】1．并集的概念及表示自然语言符号语言图形语言由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)A∪B={x|x∈A,或x∈B}2.交集的概念及表示自然语言符号语言图形语言由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作"A交B")A∩B={x|x∈A,且x∈B}【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合．(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．【题型1并集的运算】【例1】（2023·高一单元测试）已知集合A=[3,7),B=(4,8]，则A∪B=（

）A．[3,8] B．[4,7] C．(3,8) D．(4,7)【变式1-1】（2023春·河北邯郸·高二统考期末）已知集合A=−1,0,1,B=x∣x2A．1 B．1,2 C．−1,0,1 D．−1,0,1,2【变式1-2】（2023·辽宁大连·统考三模）已知集合M,N，满足M=M∪N，则（

）A．M⊆N B．N⊆M C．N∈M D．M∈N【变式1-3】（2023·四川绵阳·模拟预测）已知集合A=1,3,5,7，B=x−1<x<2,x∈NA．3 B．4 C．5 D．6【题型2根据并集结果求集合或参数】【例2】（2023·湖北荆门·校考模拟预测）已知集合A=a,5−a,4，B=3,2a+1，A∪B=2,3,4,5，则a=A．1 B．2 C．3 D．4【变式2-1】（2023·江苏·高一假期作业）设集合A=x1<x<3，B=x2≤x≤a，若A∪B=xA．1 B．2 C．3 D．4【变式2-2】（2023·北京·校考模拟预测）已知集合A=−1,0,1，若A∪B=−1,0,1,2,3，则集合B可以是（A．∅ B．−1,0,1 C．2,3,4 D．1,2,3【变式2-3】（2023春·江西景德镇·高二校考期中）设集合M=x−3<x<7，N=x2−t<x<2t+1,t∈R，若M∪N=MA．t≤13 B．13<t<3 C．【题型3交集的运算】【例3】（2023春·广东深圳·高二统考期末）已知集合A=−1,0,1,2,B={x|0<x<3}，则A∩B=（A．−1,1 B．1,2 C．−1,0,1 D．0,1,2【变式3-1】（2023春·陕西西安·高二统考期末）已知集合M={x∣x+2≥0},N={x∣x−1<0}，则A．{x∣−2≤x<1} C．{x∣x≥−2} 【变式3-2】（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）已知集合A=0,1,2,4，B=xx<2，则A∩BA．1 B．2 C．4 D．8【变式3-3】（2023·山东济宁·统考三模）若集合A=(x,y)|x+y=4,x∈N,y∈N，B=(x,y)|y>xA．0 B．1 C．2 D．3【题型4根据交集结果求集合或参数】【例4】（2023·云南·校联考模拟预测）已知集合A=−1,0,1，B=a,a2−3a+2，若A∩B=A．0或1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2【变式4-1】（2023春·陕西宝鸡·高二统考期末）已知集合A=3,4,2a−4，B=a，若A∩B≠∅，则a=（A．3 B．4 C．5 D．6【变式4-2】（2023·广东·高三专题练习）已知集合A=1,2,3，B=xx2−2x+m=0，若A∩B=A．3,1 B．3,4 C．2,3 D．3,−1【变式4-3】（2023春·山西·高三校联考阶段练习）已知集合A=xx−1≤2,x∈Z,B=xA．5,+∞ B．−∞,5 C．0,+【知识点2补集与全集】1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)符号表示：全集通常记作U.2．补集定义文字

语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合

A的所有元素组成的集合称为集合A相

对全集U的补集，简称为集合A的补集，

记作∁UA符号

语言∁UA={x|x∈U,且x∉A}图形

语言性质(1)

(2)【注】∁UA的三层含义：(1)∁UA表示一个集合；(2)A是U的子集，即A⊆U；(3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．【题型5补集的运算】【例5】（2023春·天津河北·高二统考期末）已知集合U=xx>1，A=xx>2，则集合A．x1<x≤2 B．C．xx>2 D．【变式5-1】（2023·贵州·校联考模拟预测）已知集合U=x|2−x>0，A=x|x+3<0，则∁UA．−3,2 B．−3,2 C．−∞,−2 【变式5-2】（2023秋·广东广州·高一校考期末）已知全集U=1,3,5,且∁UA=3,则集合A．2 B．3 C．4 D．5【变式5-3】（2023·全国·校联考三模）已知全集U=1,2,3,4,5,∁A．1∈A,1∉B B．2∈A,2∈BC．3∈A,3∉B D．5∉A,5∈B【题型6交、并、补集的混合运算】【例6】（2023春·天津南开·高二校考期末）集合A={x∣−1≤x<2}，B={x∣x>1}，则A∩∁RBA．{x∣−1≤x<1} B．{x∣−1≤x≤1}C．{x∣−1≤x<2} D．{x∣x<2}【变式6-1】（2023春·天津南开·高二统考期末）若U=x|x<9,x∈N∗，A=1,2,3，B=5,6,7A．4,8 B．2,4,6,8C．1,3,5,7 D．1,2,3,5,6,7【变式6-2】（2023春·江苏南通·高一统考期末）设全集U=Z，集合A=−2,−1,0,1,2,B=−1,0,1,2,3，则−2A．A∩B B．A∪B C．A∩∁UB【变式6-3】（2023·高一课时练习）已知全集U={a,b,c,d,e}，∁UM∩P=a，∁UP∩M={b}，∁UM∩A．P={a} B．M={a,c} C．P∩M={c,d,e} D．P∪M={a,b,d,e}【题型7集合混合运算中的求参问题】【例7】（2022秋·广西钦州·高一校考期中）设全集U=R，集合A={x∣x2+ax−12=0},B={x∣x2+bx+A．4 B．2 C．2或4 D．1或2【变式7-1】（2023·江苏无锡·江苏省校考模拟预测）已知集合A={x∈Z|−1<x<3}，B={x|3x−a<0}，且A∩∁RBA．0,4 B．0,4 C．0,3 D．0,3【变式7-2】（2022秋·河南濮阳·高三校联考阶段练习）已知集合A=x2<x<3，B=xx>m，且∁RA．m≥2 B．m<2 C．m≤2 D．m>2【变式7-3】（2022·云南·校考模拟预测）设集合U={x,y|x∈R,y∈R}，A={x,y|2x−y+m≥0}，A．−6 B．1 C．4 D．5【知识点3Venn图表达集合的关系和运算】如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示.【题型8Venn图表达集合的关系和运算】【例8】（2023·广东·校联考模拟预测）已知全集U=R，集合A={xx≥4或x≤0}，B={xx>4

A．−2,0 B．−2,0C．−2,0∪4 【变式8-1】（2023·湖南邵阳·邵阳市校考模拟预测）如图，集合A,B均为U的子集，∁UB∩A

A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ【变式8-2】（2023·全国·高三专题练习）如图，I是全集，A，B，C是I的三个子集，则图中阴影部分表示（

）

A．A∩B∩C B．A∩C∩C．A∩B∩∁IC【变式8-3】（2023·四川成都·校考模拟预测）已知集合M=1,2,3,4,5，N={1,3,5,7,9}，且M，N都是全集U的子集，则下图韦恩图中阴影部分表示的集合为（

A．{2,4} B．{1,3,5}C．{7,9} D．{1,2,3,4,5,7,9}

专题1.3集合的基本运算【八大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1并集的运算】 2【题型2根据并集结果求集合或参数】 3【题型3交集的运算】 4【题型4根据交集结果求集合或参数】 5【题型5补集的运算】 7【题型6交、并、补集的混合运算】 8【题型7集合混合运算中的求参问题】 9【题型8Venn图表达集合的关系和运算】 11【知识点1并集与交集】1．并集的概念及表示自然语言符号语言图形语言由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)A∪B={x|x∈A,或x∈B}2.交集的概念及表示自然语言符号语言图形语言由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作"A交B")A∩B={x|x∈A,且x∈B}【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合．(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．【题型1并集的运算】【例1】（2023·高一单元测试）已知集合A=[3,7),B=(4,8]，则A∪B=（

）A．[3,8] B．[4,7] C．(3,8) D．(4,7)【解题思路】直接利用并集的定义求解.【解答过程】因为集合A=[3,7),B=(4,8]，所以A∪B=[3,8].故选：A.【变式1-1】（2023春·河北邯郸·高二统考期末）已知集合A=−1,0,1,B=x∣x2A．1 B．1,2 C．−1,0,1 D．−1,0,1,2【解题思路】先求出集合B，再由并集的定义求出A∪B.【解答过程】由B=x∣x2可知A∪B=−1,0,1,2故选：D.【变式1-2】（2023·辽宁大连·统考三模）已知集合M,N，满足M=M∪N，则（

）A．M⊆N B．N⊆M C．N∈M D．M∈N【解题思路】由集合的包含关系判定即可.【解答过程】集合与集合的关系不能用元素与集合的关系来表示，故C、D错误，而M=M∪N说明N中元素都在集合M中，故N⊆M.故选：B.【变式1-3】（2023·四川绵阳·模拟预测）已知集合A=1,3,5,7，B=x−1<x<2,x∈NA．3 B．4 C．5 D．6【解题思路】应用并运算求A∪B，即可得元素个数.【解答过程】由题设B={1}，所以A∪B={1,3,5,7}，故其中元素共有4个.故选：B.【题型2根据并集结果求集合或参数】【例2】（2023·湖北荆门·校考模拟预测）已知集合A=a,5−a,4，B=3,2a+1，A∪B=2,3,4,5，则a=A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据并集的结果，分类讨论当2a+1=2、2a+1=5时集合A、B的情况，即可求解.【解答过程】A={a,5−a,4},B={3,2a+1},A∪B={2,3,4,5}，当2a+1=2即a=12时，当2a+1=5即a=2时，A={2,3,4},B={3,5}，此时A∪B={2,3,4,5}.所以a=2.故选：B.【变式2-1】（2023·江苏·高一假期作业）设集合A=x1<x<3，B=x2≤x≤a，若A∪B=xA．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】利用集合的并集运算求解.【解答过程】因为集合A=x1<x<3，B=x所以a=4.故选：D.【变式2-2】（2023·北京·校考模拟预测）已知集合A=−1,0,1，若A∪B=−1,0,1,2,3，则集合B可以是（A．∅ B．−1,0,1 C．2,3,4 D．1,2,3【解题思路】根据并集定义计算，选出正确答案.【解答过程】−1,0,1∪∅=−1,0,1∪−1,0,1∪−1,0,1∪故选：D.【变式2-3】（2023春·江西景德镇·高二校考期中）设集合M=x−3<x<7，N=x2−t<x<2t+1,t∈R，若M∪N=MA．t≤13 B．13<t<3 C．【解题思路】根据M∪N=M，可得N⊆M，再分N=∅和N≠∅两种情况讨论即可.【解答过程】因为M∪N=M，所以N⊆M，当2−t≥2t+1，即t≤13时，当N≠∅时，则2t+1≤72−t≥−32t+1>2−t，解得综上所述实数t的取值范围为t≤3.故选：C.【题型3交集的运算】【例3】（2023春·广东深圳·高二统考期末）已知集合A=−1,0,1,2,B={x|0<x<3}，则A∩B=（A．−1,1 B．1,2 C．−1,0,1 D．0,1,2【解题思路】根据集合交集的概念与运算，准确运算，即可求解.【解答过程】由集合A=−1,0,1,2根据集合交集的概念与运算，可得A∩B=1,2故选：B.【变式3-1】（2023春·陕西西安·高二统考期末）已知集合M={x∣x+2≥0},N={x∣x−1<0}，则A．{x∣−2≤x<1} C．{x∣x≥−2} 【解题思路】先化简集合M,N，然后根据交集的定义计算.【解答过程】由题意，M={x∣x+2≥0}={x|x≥−2}，根据交集的运算可知，M∩N={x|−2≤x<1}.故选：A.【变式3-2】（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）已知集合A=0,1,2,4，B=xx<2，则A∩BA．1 B．2 C．4 D．8【解题思路】根据交集的运算可得.【解答过程】由集合A=0,1,2,4，B=xx<2得A∩B=故选：C.【变式3-3】（2023·山东济宁·统考三模）若集合A=(x,y)|x+y=4,x∈N,y∈N，B=(x,y)|y>xA．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】用列举法表示集合A，再根据交集的定义求出A∩B，即可判断.【解答过程】因为A=(x,y)|x+y=4,x∈又B=(x,y)|y>x所以A∩B=0,4,1,3，即集合A∩B故选：C.【题型4根据交集结果求集合或参数】【例4】（2023·云南·校联考模拟预测）已知集合A=−1,0,1，B=a,a2−3a+2，若A∩B=A．0或1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2【解题思路】根据集合的并集的结果分类讨论求参数.【解答过程】由于A∩B=0，则0∈B若a=0，则a2−3a+2=2，此时若a2−3a+2=0，则a=1时，B=0,1，此时A∩B=a=2时，B=0,2因此a=0或2，故选:C.【变式4-1】（2023春·陕西宝鸡·高二统考期末）已知集合A=3,4,2a−4，B=a，若A∩B≠∅，则a=（A．3 B．4 C．5 D．6【解题思路】根据交集结果得到a=3，a=4或a=2a−4，检验后得到答案.【解答过程】因为A∩B≠∅，所以a=3，a=4或a=2a−4，当a=3时，2a−4=2，满足集合元素的互异性，满足要求；当a=4时，2a−4=4，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当a=2a−4时，a=4，2a−4=4，与集合元素的互异性矛盾，舍去.故选：A.【变式4-2】（2023·广东·高三专题练习）已知集合A=1,2,3，B=xx2−2x+m=0，若A∩B=A．3,1 B．3,4 C．2,3 D．3,−1【解题思路】由A∩B=3求得m=−3，即可求B【解答过程】由题意可知，3∈B，即32−2×3+m=0，所以所以B=x|故选：D.【变式4-3】（2023春·山西·高三校联考阶段练习）已知集合A=xx−1≤2,x∈Z,B=xA．5,+∞ B．−∞,5 C．0,+【解题思路】化简集合A，由条件可得A⊆B，根据集合关系列不等式求a的取值范围.【解答过程】因为x−1≤2,x∈所以x∈1,2,3,4,5，即A=因为A∩B=A，所以A⊆B，又B=x所以a≥5，故实数a的取值范围是5,+∞故选：A.【知识点2补集与全集】1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)符号表示：全集通常记作U.2．补集定义文字

语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合

A的所有元素组成的集合称为集合A相

对全集U的补集，简称为集合A的补集，

记作∁UA符号

语言∁UA={x|x∈U,且x∉A}图形

语言性质(1)

(2)【注】∁UA的三层含义：(1)∁UA表示一个集合；(2)A是U的子集，即A⊆U；(3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．【题型5补集的运算】【例5】（2023春·天津河北·高二统考期末）已知集合U=xx>1，A=xx>2，则集合A．x1<x≤2 B．C．xx>2 D．【解题思路】根据补集的定义求解即可.【解答过程】因为U=xx>1，所以∁U故选：A.【变式5-1】（2023·贵州·校联考模拟预测）已知集合U=x|2−x>0，A=x|x+3<0，则∁UA．−3,2 B．−3,2 C．−∞,−2 【解题思路】首先求出集合U、A，再根据补集的定义计算可得.【解答过程】因为U=x|2−x>0=x|x<2所以∁U故选：B.【变式5-2】（2023秋·广东广州·高一校考期末）已知全集U=1,3,5,且∁UA=3,则集合A．2 B．3 C．4 D．5【解题思路】求出集合A后,写出集合A的真子集,数出个数即可.【解答过程】解:由题知U=1,3,5,∁所以A=1,5所以集合A的真子集有:∅,1共3个.故选:B.【变式5-3】（2023·全国·校联考三模）已知全集U=1,2,3,4,5,∁A．1∈A,1∉B B．2∈A,2∈BC．3∈A,3∉B D．5∉A,5∈B【解题思路】根据补集的概念结合元素与集合的关系即可得答案.【解答过程】因为U=1,2,3,4,5,∁又∁UB=3,4所以3∈A,3∉B，故ABD错误，C正确.故选：C.【题型6交、并、补集的混合运算】【例6】（2023春·天津南开·高二校考期末）集合A={x∣−1≤x<2}，B={x∣x>1}，则A∩∁RBA．{x∣−1≤x<1} B．{x∣−1≤x≤1}C．{x∣−1≤x<2} D．{x∣x<2}【解题思路】由交集与补集的定义求解即可.【解答过程】因为集合B={x∣x>1}，所以∁RB={x∣x≤1}，所以故选：B.【变式6-1】（2023春·天津南开·高二统考期末）若U=x|x<9,x∈N∗，A=1,2,3，B=5,6,7A．4,8 B．2,4,6,8C．1,3,5,7 D．1,2,3,5,6,7【解题思路】用列举法表示全集U，再利用补集、交集的定义求解作答.【解答过程】依题意，U={1,2,3,4,5,6,7,8}，而A=1,2,3，B=则∁U所以∁ 故选：A.【变式6-2】（2023春·江苏南通·高一统考期末）设全集U=Z，集合A=−2,−1,0,1,2,B=−1,0,1,2,3，则−2A．A∩B B．A∪B C．A∩∁UB【解题思路】根据集合的交并补运算即可求解.【解答过程】A∩B=−1,0,1,2,A∪B=−2,−1,0,1,2,3,A∩∁故选:C.【变式6-3】（2023·高一课时练习）已知全集U={a,b,c,d,e}，∁UM∩P=a，∁UP∩M={b}，∁UM∩A．P={a} B．M={a,c} C．P∩M={c,d,e} D．P∪M={a,b,d,e}【解题思路】由题意画出Venn图，即可得出答案.【解答过程】由题意画出Venn图如下，

可得：P={a,d,e}，M={b,d,e}，P∩M={d,e}，P∪M={a,b,d,e}.故选：D.【题型7集合混合运算中的求参问题】【例7】（2022秋·广西钦州·高一校考期中）设全集U=R，集合A={x∣x2+ax−12=0},B={x∣x2+bx+A．4 B．2 C．2或4 D．1或2【解题思路】由A∩(∁UB)={2}可知2∈A，由此即可解出a=4，则可求出A={−6,2}，再由A∩(∁U【解答过程】因为A∩(所以2∈A所以22+2a−12=0解得：x2+4x−12=(x−2)(x+6)=0⇒x=2所以A={−6,2}，所以−6∈B，2∉B所以(−6)2−6b+b2−28=0⇒且22+2b+b所以b=2.故选：B.【变式7-1】（2023·江苏无锡·江苏省校考模拟预测）已知集合A={x∈Z|−1<x<3}，B={x|3x−a<0}，且A∩∁RBA．0,4 B．0,4 C．0,3 D．0,3【解题思路】先求得A={0,1,2},B={x|x<a3}，得到∁【解答过程】由集合A={x∈Z|−1<x<3}={0,1,2}，可得∁R因为A∩∁RB=1,2，所以0<a3故选：C.【变式7-2】（2022秋·河南濮阳·高三校联考阶段练习）已知集合A=x2<x<3，B=xx>m，且∁RA．m≥2 B．m<2 C．m≤2 D．m>2【解题思路】求出集合A的补集，再由∁RA∪B=R【解答过程】∵A=x2<x<3，∴∵∁RA∪