复数（七大题型）（讲义）-2024年高考数学复习（新教材新高考）（解析版）

第03讲复数

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考点要求考题统计考情分析

(1)通过方程的解，认识复高考对集合的考查相对稳定，每年必考

数.题型，考查内容、频率、题型、难度均

(2)理解复数的代数表示及变化不大.复数的运算、概念、复数的

2022年/卷〃卷第2题，5分

其几何意义，理解两个复数相模、复数的几何意义是常考点，难度较

2021年〃卷第1题，5分

等的含义.低，预测高考在此处仍以简单题为主.

2021年/卷第2题，5分

(3)掌握复数的四则运算，

了解复数加、减运算的几何意

义.

形如a+bi(a,b£R)的数叫复轨，记作a+biwC

两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共聊复数

两个复数a+阮,c+di(a,b,c,dER)相等0a=c,b=d

复数的概念

复数的模：|Z|=|Q+M=

(a+忖土(c+di)=(a±c)+(b土d)i

(a+bi)•(c4-di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

复数运算

(a+&i)•(c—di)(ac+bd)+(be—ad)i

(c2+d2/0)

(c+di)■(c—di)c2+d2

复数2=0+万((1冷£夫)对应平面内的点2(。,6)

复数

复数N=a+尻(a,beR)对应平面向量温

复数的几何意义

复数2=。+尻3,6€砌的模团表示复平面内的点23，与到原点的距离

复数的三角表示式：r(cos6+isin6)

辐角的主值

三角形式下的两个复数相等：两个非零复数相等

当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等

复数三角形式的乘范运算：

复数的三角形式

ri(cos&+zsin0i)•Q(cos02+ismd2)=[cos(0i+02)+isin(a+&)]

复数三角形式的除法运算：

ri(cos0i+isin0i)nA\.根AM

--~.a、=­cos(0i-02)+2sm(%-02)]

「2(cos%+2S11102)72

础知识他理

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知识点一、复数的概念

（1）i叫虚数单位,满足产=一1,当keZ时，产=1,产•，产+2=一1,严+3=T.

（2）形如a+砥a,beR）的数叫复数,记作a+沅eC.

①复数z=a+砥a,6eR）与复平面上的点Z（a,6）一—对应，。叫z的实部，6叫z的虚部；b=0<=>z&R,

Z点组成实轴；bwO,z叫虚数；bwO且a=0,z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）.两个

实部相等，虚部互为相反数的复数互为共辗复数.

②两个复数a+bi,c+力（a,b,c,deR）相等。,（两复数对应同一点）

\b=d

③复数的模：复数。+山(a,R)的模，也就是向量OZ的模，即有向线段OZ的长度，其计算公式为

|z|=|a+bi|=y/a2+b2,显然，|z|=|a-bi|="Ja2+b2,z-z=a2+b2.

知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则

1、复数运算

(1)(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b+d)i

(2)(a+bi)-(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i

(a+bi)■(a-bi)=z-z=a2+Z?2=|z|2

，(注意Z2=|Z「)

z+z=2a

其中|z\=Ja，+下,叫z的模；z=a-瓦是z=a+沅的共轨复数（a,6eR）.

a+bi_(a+bi)■(c-di)_(ac+bd)+(be-ad)i

(3)(c2+屋w0).

c+di(c+di)■(c-di)c1+d2

实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数募运算法则）都适用于复数.

注意：复数加、减法的几何意义

以复数az?分别对应的向量OZpOZz为邻边作平行四边形OZiZZ2,对角线OZ表示的向量OZ就是复

数Z1+Z2所对应的向量.Z[-Z2对应的向量是Z2Z].

2、复数的几何意义

（1）复数z=a+6i（4,Z?eR）对应平面内的点z（a,6）；

（2）复数z=a+砥对应平面向量OZ；

（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.

（4）复数z=a+bi（a,bcR）的模|z|表示复平面内的点z（a,6）到原点的距离.

3、复数的三角形式

（1）复数的三角表示式

一般地，任何一个复数z=a+庆都可以表示成/'（cose+isin。）形式，其中7•是复数z的模；。是以x轴

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的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数2=4+次的辐角.r(cos6+，sin。)

叫做复数2=々+次的三角表示式，简称三角形式.

(2)辐角的主值

任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差27的整数倍.规定在04，＜2万范围内的

辐角。的值为辐角的主值.通常记作argz,即0Wargz＜2万.复数的代数形式可以转化为三角形式，三角

形式也可以转化为代数形式.

(3)三角形式下的两个复数相等

两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.

(4)复数三角形式的乘法运算

①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即

4(cos9X+isin(cos02+ising)=42[cos(^+02)+isin(q+g)]

②复数乘法运算的三角表示的几何意义

复数Z「Z2对应的向量为OZpOZ2,把向量。4绕点。按逆时针方向旋转角(如果a＜。，就要把。4

绕点。按顺时针方向旋转角陶|)，再把它的模变为原来的4倍，得到向量OZ,OZ表示的复数就是积z生.

(5)复数三角形式的除法运算

两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数

的辐角所得的差，即小cosG+isin.)=ZL[cos(a_&)+isin(a_e,)].

L

^(cos^+zsin^)r2

.提升•必考题型归纳

题型一：复数的概念

例1.(2023•河南安阳•统考三模)已知(l+2i)(a+i)的实部与虚部互为相反数，则实数。=()

A.—B.—C.gD.—

3322

【答案】A

【解析】由于(l+2i)(q+i)=a—2+(l+2a)i,

(l+2i)(a+i)的实部与虚部互为相反数，故a-2+(l+2a)=0,;.a=g,

故选：A

例2.(2023•浙江绍兴・统考二模)已知复数z满足z(百-i)=2i,其中i为虚数单位，则z的虚部为()

A.BB.—iC.--D.一立

2222

【答案】A

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W(用i)=-2+26」+乌

【解析】因为Z（石-i）=2i,所以z=*

(V3-i)(73+i)-4---2+TX

所以z的虚部为也.

2

故选：A.

例3.（2023•海南海口•校联考一模）若复数z=4—4+（a-2）i为纯虚数，则实数。的值为（）

A.2B.2或-2C.-2D.-4

【答案】C

,/、fa2—4=0

【解析】因为复数z="2-4+（a-2）i为纯虚数，则有\八，解得a=-2,

[〃-2W0

所以实数。的值为-2.

故选：C

3-5i

例4.（多选题）（2023•河南安阳•安阳一中校考模拟预测）若复数2=丁一，则（）

1-1

A.目=而B.z的实部与虚部之差为3

C.z=4+iD.z在复平面内对应的点位于第四象限

【答案】ACD

1锢桁】•.13-5i-(3-5i)(l+i)

［斛析］•z-73r-(1)(1+0-j

；.z的实部与虚部分别为4,-1,

22

|z|=^4+(-1)=V17,A正确;

z的实部与虚部之差为5,B错误；

z=4+i,C正确；

z在复平面内对应的点为（4-1）,位于第四象限，D正确.

故选：ACD.

7

例5.（2023.辽宁.校联考一模）若z是纯虚数，目=1,则『的实部为______,

1—Z

【答案】1

【解析】Z是纯虚数，且回=1,贝IJ有Z=±i,故;一=l±i,实部为1.

1—Z

故答案为：1.

【解题方法总结】

无论是复数模、共辗复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复

数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚.

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题型二：复数的运算

例6.(2023•黑龙江哈尔滨•哈师大附中统考三模)已知复数2=罟，则忖-彳=()

1-1

A.1+iB.1C.1-iD.i

【答案】A

【解析】依题意，z==g=i,则|z|=l,W=-i,

V(l-i)(?l+i)2

所以|z|-z=l+i.

故选：A

例7.(2023•河北衡水•模拟预测)若(i-l)(z-2i)=2+i,则5=()

31.

cD.------i

-泊22

【答案】B

【解析】由已知得上=_空+方__(2+1(1+1)+方=_巴且+公=_3+1,

1-i2222

if~11.

故选：B.

例8.(2023•陕西榆林・高三绥德中学校考阶段练习)已知复数z满足(z-2i)i=3+i,则2=

A.1-iB.3-iC.l-5iD.-l+3i

【答案】A

【解析】因为(z—2i)i=3+i,

所以z=2±i+2「『+2i

=l-3i+2i=l-i.

ii(-i)

故选：A.

例9.(2023•全国•模拟预测)已知复数z满足3z+i=l—4iz,贝||z|=()

A.2B.拽^C.—D.-

2555

【答案】C

1-i-l-7i、/7

【解析】解法一：由3z+i=l—4iz得z=\=」/,所以|z|=Y4,故选C.

3+41255

解法二:由3z+i=l—4iz得(3+4i)z=l-i,所以5|z|=&,即平|=巫,

故选：C.

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【解题方法总结】

设Z[=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,dwR),则

(1)zl±z2=a±c+(b±d)i

(2)-z2=ac—bd+(ad+bc)i

五=ac+bdbe—ad

(3)22+22卡

c+dc+dz(z20)

z?

题型三：复数的几何意义

3-i

例10.（2023•河南郑州•三模）复平面内，复数对应的点位于（）

1+i2023

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

3-i_3-i_3-i_(3-i)(l+i)

【解析】由题得=2+i,即复平面内对应的点为（2,1）,在第一象限.

1+i20231+i31-i(l-i)(l+i)

故选：A.

例11.（2。23・全国•高三专题练习）已知复数i在复平面内对应的点关于实轴对称，则代=（）

A.1+iB.1-iC.-1+i

【答案】B

【解析】因为复数4与z=3+i在复平面内对应的点关于实轴对称，所以z】=3-i,

((

Z]3-i3-i)2-i)5-5i

所以ITl_2+i_(2+i)(2_i)=l-i

5

故选：B.

例12.（2023・湖北•校联考三模）如图，正方形。43。中，点A对应的复数是3+5i,则顶点B对应的复数是

2-8iC.-l+7iD.-2+7i

【答案】A

【解析】由题意得：。4=（3,5）,不妨设。点对应的复数为a+历（。＜0,与0）,则OC=（a,b）,

a2+b2=32+520Q=-5

由04,℃,|例二|0。|,得

3a+5b=0=b=3

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即C点对应的复数为-5+3i,

由02=04+OC得：B点对应复数为(3+5i)+(-5+3i)=-2+8i.

故选：A.

例13.(2023・全国•校联考模拟预测)在复平面内，设复数，422对应的点分别为Z40,2),Z2(l,-1),则生=

Z2

()

A.2B.&C.&D.1

【答案】C

【解析】由题意，知Z=2i,z2=l-i,所以五=三=-1+1,所以至=夜.

Z21TZ2

故选：C.

【解题方法总结】

复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是

研究复数几何意义的最重要的出发点.

题型四：复数的相等与共物复数

例14.(2023・湖北•黄冈中学校联考模拟预测)已知2-i(i是虚数单位)是关于x的方程x2+bx+c=0(6,cwR)

的一个根，则b+c=()

A.9B.1C.-7D.2i-5

【答案】B

【解析】已知2-i(i是虚数单位)是关于x的方程V+6x+c=0S,ceR)的一个根，

,13+2b+c=0

则(2-ip+仇2-i)+c=0,即4-4i—l+2b—bi+c=0,即Y—G—O，

\b=-4

解得(c，故"+c=l.

[c=5

故选：B.

例15.(2023•贵州贵阳•统考模拟预测)已知4=a+2i,z2=2+bi,^(Z1+z1)+(z2z2)i=4+13i,

则()

A.a=2,〃=3B.a=—2,Z?=—3

C.a=2,Z7=±3D.a=-2,b=±3

【答案】C

222

【解析】由已知可得，Zi+Z]=〃+2i+a-2i=2〃，z2z2=2+Z?=b+4,

2

所以(Z[+z1)+(z2z2)i=2«+(Z?+4)i=4+13i,

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所以有3[2+〃=44=3解得b\a-32或[%a7=2

故选：C.

例16.（2023・四川宜宾・统考三模）已知复数z=3+4i,且z+£=9-4i，其中〃是实数，则（）

A.a=—2B.。=2C.a=lD.a=3

【答案】B

【解析】因为z=3+4i,所以彳=3-4i,

所以3+4i+3a—4oi=3+3a+（4—4a）i=9—4i,

所以3+3a=9,4—4a=—4,解得a=2.

故选:B.

例17.（2023・湖北•模拟预测）已知复数z满足z+|z|=2+4i,则z的共轨复数的虚部为（）

A.2B.-4C.4D.-2

【答案】B

【解析】设z=a+bi,（a,beR）,则忖=VZ两,

则z+可=2+4i,即4+，储+/+历=2+4i，

2

所以仁da+/=2a=-3

，解得

4b=4

所以z=—3+4i,N=-3—4i,

所以z的共辄复数的虚部为-4.

故选：B.

例18.（2023・四川宜宾・统考三模）已知复数z=3+4i,且z+质+药=9，其中mb是实数，则（）

A.a=-2,b=3B.a=29b=4

C.Q=1,b=2D.a=2,b=—4

【答案】B

【解析】因为z=3+4i,所以z=3-4i，贝I由Z+QZ+历=9得：

3+4i+a(3-4i)+历=9,艮(3+3a)+(4+b—4a)i=9,

4+6-4〃=0a=2

故3+39，解得:

b=4

故选：B.

【解题方法总结】

复数相等：a+bi=c+di=a=c且"=d(a,b,c,dER)

共朝复数：a+bi=c+dia=。且b=—d(a,b,c,dGR).

题型五：复数的模

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例19.(2023・河南・统考二模)若(i+l)(z-l)=2,贝!J|彳+1|=.

【答案】710

【解析]由(i+l)(z_l)=2可得z=3+l=^^+l=2_i,

1+12

故三=2+i，则|2+1|=|3+1卜序衣=弧，

故答案为：M

例20.(2023•上海浦东新•统考三模)已知复数z满足|z-2|=|z|=2,则z3=.

【答案】-8

【解析】设2=。+历，则z-2=a-2+历，

a2+b2=4

所以2?，解得4=1,。=±石，

(〃-2)+〃=4

当0=1/=6时，z=l+B，故Z。=(1+后『=1+2育+3?=-2+2/，

Z3=(-2+2后)(1+后)=一2+6i2=-8；

当“=1涉=_石时，z=\-®,^z2=(1-V3i)2=l-2V3i+3i2=-2-2^i,

z3=(-2-273i)(l-V3i)=-2+6i2=-8

故答案为：-8

例21.(2023•辽宁铁岭校联考模拟预测)设复数Z],z?满足㈤=|即=2,z+z2=g+i,则匕-z/=

【答案】273

【解析】方法一：设4=。+方,(。£氏/£氏)，Z2=c+di,(ceR,dwR),

.'.z1+z2=a+c+(b+d)i=6+i,

]，又区|=归2|=2,所以/+/?2=4，。2+/=4,

[b+d=1

(6Z+c)2+(b+d)2=〃+c?+g_|_d2_|_2(QC+bd)—4

:.ac-\-bd=—2

•.IZi-z2|=|(Q-c)+S-d)i\_Q(a—4+(Z?-d)2=《8-2(ac+bd)

=J8+4=2y/3.

故答案为：2石.

方法二：如图所示，设复数4*2所对应的点为Z「Z2,o尸=OZ1+OZ2,

由已知=J币=2=|ozj=I0Z2I,

平行四边形OZ/Z?为菱形，且3OPZ„_OPZ2都是正三角形，/ZQZ]=120°,

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222

IZ]Z2I=1OZlI+1OZ21-21OZ]IIOZ21cos120。=2?+22-2•2•2.=12

|zx—z2|=jZjZjl=26.

【解题方法总结】

\z\=yja2+b2

题型六：复数的三角形式

例22.(2023・四川成都•成统考模拟预测)1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的

关系，并写出以下公式葭=cosx+isinx(XGR,i为虚数单位)，这个公式在复变论中占有非常重要的地位,

被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，下面四个结果中不成立的是()

/I-\2022

A.泌+1=0B.-+—i=1

(22J

C.卜"+e半2D.-2<ett-e^<2

【答案】D

【解析】对于A,当X=71时，因为/=cos7T+isin7i=-l,所以e'"+l=0,故选项A正确；

2022

QY°22(\2022(n.\

对于B,—H-----i=cos—+isin—=e'=e674ra=cos674K+isin674K=1,

3；J

故选项B正确；

对于C,由e"=cosx+isinx,e-w=cos(-x)+isin(-x)=cosx-isinx,

所以e*+e±=2cosx,得出|eW]=|2cosx|42,故选项C正确；

对于D,由C的分析得e"-e』=2isinx,推不出-2We"-e毋V2,故选项D错误.

故选：D.

例23.(2023・全国•高三专题练习)任何一个复数z=a+历(a,b£R)都可以表示成

z="cose+isine)(〃20,e£R)的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：

[r(cos+isin0)]n=rn(cosnd4-isinn0\neZ),我们称这个结论为棣莫弗定理.贝！J(1一石=()

A.1B.22022D.i

【答案】B

【解析】1一后=2141=2

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2022

(1-后严22=22022CQS(一等j+isin(-等乃J=2;

故选：B.

例24.(2023•河南・统考模拟预测)欧拉公式­=cose+isin。把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数

联系在一起，充分体现了数学的和谐美.若复数z满足(ei"+i).z=l,贝1的虚部为()

A.-"B.—C.1D.—1

22

【答案】B

【解析】由欧拉公式知：

e,7t=cos兀+isin兀=-1,(em+i)-z=(-1+i)-z=i,

ii(-l-i)1-i11.

•z-.........=-----------------=-----=-------i

--1+i(-l+i)(-l-i)222'

Z的虚部为-不.

故选：B

例25.(2023・全国•高三专题练习)棣莫弗公式(cosa+isinx)"=cosn%+isinn%(其中i为虚数单位)是由法国

(\2023

数学家棣莫弗(1667-1754年)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数「os.+isi吟在复平面内所对应的

点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】由棣莫弗公式知，(cos'+isin工］=cos^^+isin=COsf337K+—'l+isinf337TT+—

(66)66I6Jv6)

,兀、..，兀、石1.

=COS(7l+—)+isin(7l+—)=--------------1,

6622

/\2023(巧］、

复数cos^+isin?在复平面内所对应的点的坐标为-一，-彳，位于第三象限.

V06>I2

故选：C.

【解题方法总结】

一般地，任何一个复数z=a+次都可以表示成厂(cosd+lsin。)形式，其中厂是复数z的模；。是以x轴

的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线QZ)为终边的角，叫做复数z=a+4的辐角.r(cos6+isine)

叫做复数z=a+bz•的三角表示式，简称三角形式.

题型七：与复数有关的最值问题

例26.(2023•上海闵行・上海学校考模拟预测)若|z+l-i|=l,则目的最大值与最小值的和为

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【答案】2近

【解析】由几何意义可得：复数z表示以为圆心的半径为1的圆，

贝悯e［点一1,应+1］制九+|九=2①

故答案为：20

例27.（2023•陕西西安