2025高考数学一轮复习：椭圆及其性质 专项训练

2025高考数学一轮复习-8.5.1-椭圆及其性质-专项训练

[A组在基础中考查学科功底]

一、单项选择题

1.已知椭圆C：伍>6>0）的焦距为2,离心率e=（,则椭圆C的标准

方程为（）

r2r2

A.-+y2=lB.1+俨=1

22

2

2.设椭圆Ci：*+V=l（a>l）,C2：Y+J=1的离心率分别为ei,e2,若e2=V^ei,

则。=（）

A百

A.2§Bn.vw2

C.V3D.V6

2222

3.曲线,+卷=1与曲线E+4=1（左<9且左。0）的（）

2599—k25—kT

A.长轴长相等B.短轴长相等

C.焦距相等D.离心率相等

4.已知E,入是椭圆C：捻+*=1的两个焦点，点跖N在C上，若|g|十

|NB|=6,则幽E||2VFi|的最大值为（）

A.9B.20

C.25D.30

22

5.已知椭圆C：»+左=1（46>0）的左顶点为4点跖N是椭圆C上关于y

轴对称的两点.若直线4W,NN的斜率之积为1则。的离心率为（）

A.包B.涯

22

C.1D.包

23

6.加斯帕尔•蒙日是法国著名的几何学家.如图，他在研究圆锥曲线时发现：

椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，

这个圆被称为“蒙日圆”.若长方形G的四边均与椭圆/：]+胃=1相切，则

下列说法错误的是（）

A.椭圆M的离心率为三

B.椭圆/的蒙日圆方程为》2+产=]0

C.若G为正方形，则G的边长为2胡

D.长方形G的面积的最大值为18

7.已知椭圆C：■+:=1伍*0)的离心率为gAi,血分别为C的左、右顶点，

8为C的上顶点.若西•砒=—1,则C的方程为()

2222

A.土+匕=1B.2+匕=1

181698

r2v2r2

C.v3+v2=lD-v2+/z=l

22

8.已知椭圆/+*=l(a>b>0)的左、右焦点分别为凡，半焦距为c.在椭圆

上存在点尸使得一^=—丁，则椭圆离心率的取值范围是()

sinzPFi^sinzP^Fi

A.[V2-1,1)B.(V2-1,1)

C.(0,V2-1)D.(0,V2-1]

二、多项选择题

22

9.已知方程。+匕=1表示椭圆，下列说法正确的是()

12—mm-4

A.机的取值范围为(4,12)

B.若该椭圆的焦点在y轴上，则机©(8,12)

C.若机=6,则该椭圆的焦距为4

D.若机=10,则该椭圆经过点(1,V2)

10.已知椭圆C：(+9=1，Fl,尸2分别为它的左、右焦点，A,5分别为它的

左、右顶点，点尸是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有()

A.存在尸使得/尸1尸尸2=5

B.COS/尸1尸尸2的最小值为一套

C.PFJPF2,则△HP尸2的面积为9

D.直线E4与直线尸8斜率乘积为定值微

三、填空题

22

11.已知E,凡为椭圆C：±+-=1的两个焦点，P,0为C上关于坐标原点

164

对称的两点，且|P0|=|E凡则四边形尸后。用的面积为.

12.已知点尸在圆/+产—6y+8=0上，点。在椭圆a+廿=1(°>1)上，且|PQ|

的最大值等于5,则椭圆的离心率的最大值为.

四,解答题

13.已知圆M：1)2=8,点N(0,-1),尸是圆〃上的一个动点，若线段

PN的垂直平分线与PM交于点Q.

(1)求点。的轨迹方程C；

(2)若点Z是曲线C上的动点，求方•前的最大值(其中。为坐标原点).

14.如图所示，已知椭圆，+:=1(心6>0),Fi,尸2分别为椭圆的左、右焦点，A

为椭圆的上顶点，直线Z凡交椭圆于另一点A

(1)若N£48=90。，求椭圆的离心率；

(2)若椭圆的焦距为2,且科=2项，求椭圆的方程.

[B组在综合中考查关键能力]

设。为坐标原点，Fi,尸为椭圆：的两个焦点，点尸在上，

15.2C96C

3

cosZF1PF2=1，则IOR=()>-----------

,13„V30

A.—B.—

52

「14„V35

c-TD--

22

16.已知aB,C是椭圆a+a=l(a>6>0)上的三个点，。为坐标原点，A,B

两点关于原点对称，ZC经过右焦点若|CM|=Q目且|4F|=2|CF|,则该椭圆的

离心率是

参考答案

[A组在基础中考查学科功底]

1.C[由于2c=2,所以c=l,

因为e=£=:故。=2,加=屋—〃=3.

a2

22

所以椭圆的标准方程为—F—=1.

43

故选C.]

2.A[由已知得ei='、T,e2=与^=噂，因为e2=bei,所以•近三,

a222a

解得.故选A.]

3.C[曲线卷+?=1表示焦点在x轴上，长轴长为10,短轴长为6,离心率为

焦距为8的椭圆.

22

曲线B+急=1（左＜9且左W0）表示焦点在y轴上，长轴长为2,25—左,短轴长

为2对力,焦距为27（25-左）—（9—3）=8,离心率为正餐的椭圆.故选C.]

4.C[根据椭圆定义可得：

\MFi\+\MF2\=2a=8,|A7^I|+|A^F2|=8,

因为|〃F2|+|NF2|=6,所以8一|MFi|+8一|NFi|=6,

\MF]|+|A7^i|=102JlMFil•\NF±\,当且仅当|MFi|=|NFi|=5时等号成立，

所以PWF”•|2VFi|W25,贝力A?Fi||iVF」的最大值为25.

故选C.]

5.D[由题意，椭圆C的左顶点为小一见0）,

因为点N是椭圆C上关于y轴对称的两点，可设M（xo,/），则N（-xo,词,

所以k4M=^~,kN=^-,可得

%o+aAa-xo

kAMkAN=-^~*-22-=^Ly=|.

%o+aa—XQa—%；3

又因噂+21,即升一，

代入可得标=*所以离心率e'=11-^=J—|=啜.故选D.]

6.D[由椭圆方程知口=圾6=2,则c=76-4=也离心率为e=^=f,

A正确;

当长方形G的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为2巡和4,其对角线长

为、24+16=2内,因此蒙日圆的半径为WQ圆的方程为》2+产=10,B正确；

设长方形的边长分别为机，n,因此机2+九2=40三27〃〃，即机〃W20,当且仅当机

=〃时取等号，所以长方形G的面积的最大值是20,此时该长方形G为正方形，

边长为2代，C正确，D错误.故选D.]

7.B[由离心率e=£=J1—解得"=，2,Zi,也分别为C的左、

右顶点，则出(一小0),幺2(凡0),5为上顶点，所以8(0,b).

所以B2；=(—a,—b),BA；=(a,~b),因为BA；•B莅=—1,所以一届十炉二

o2..2

-1,将炉=#代入,解得次=9,-=8,故椭圆v°的方程为久+苗=1.

故选B.]

8C.TB'4r[由L.----a---=----C---,

LsinzPFi^sin/PFzFl

得c_sin"&Fi—|P%|—伊乙|

,

寸asinzPFiF2\PF2\2a-|PF1|

又|尸尸i]£(a—c,Q+C),则Q—CV^^VQ+C,

/.a2—c2<2ac<(^+c)2,即e2+2e—1>0,

又eG(0,1),(鱼一1,1).故选B.]

22

9.BC[因为方程/^+2=1表示椭圆，

12—mm—4

fl2-m>0,

所以｛m—4>0,解得4V加V12,且加N8,A错误;

(12—m#=m-4,

22

因为椭圆已十七=1的焦点在y轴上，

所以机一4>12一机>0,解得8〈机V12,故B正确；

22

若加=6,则椭圆方程为—F—=1,

62

所以02=层一加=6—2=4,从而2c=4,C正确；

若加=10,则椭圆方程为—F—=1

269

点(1,鱼)的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点(1,V2),D错误.故选BC.]

22

10.ABC[设椭圆C的上、下顶点分别为。，E,由题知椭圆C:言+卷=1中,

<2=5,b=3,c=4,

所以为(一4,0),%(4,0),A(~5,0),5(5,0),D(0,3),E(0,—3).

由于西=(一4,-3),丽=(4,-3),

西•西=-16+9=—7V0,所以/尸1尸尼的最大角为钝角，故存在尸使得

ZFiPF2=pA正确；

i^\PF\\=m,\PF2\=n,则机+〃=10,

由余弦定理，得

222

/clm+n—64(m+n)—2mn—6436—2mn18181=一羡，当且仅

COS/FIPF2=-^^=-~=^r=-雨

当|尸"=|尸/囹时取“=”，B正确；

由于尸尸」尸尸2,故[rn+71—1°，+—(/+〃2)]=18,

Im2+n2=642

所以C正确；

22

设尸(x,y)(x#±5),因为z(—5,0),8(5,0),裴+卷=1,则弧=会，eB=三,

于是如•站=木・£=段=胃=—/，D错误.故选ABC.]

11.8[根据椭圆的对称性及|尸0|=斗/2],可以得到四边形尸为0尼为对角线相

等的平行四边形，所以四边形尸为矩形.设尸机，则甲/2|=2a一|0人|

=8-m,则\PF\|2+\PF^=m2+(8-m)2=2m2+64-16m=\F\FT^=4c24(a2—b2)

=48,得机(8一%)=8,所以四边形尸EQB的面积为|0£|•|巴囹=机(8一相)=8.]

12.y[N+/—6y+8=0化简为N+。一3尸1,圆心4(0,3).|PQ|的最大值

为5等价于|4Q|的最大值为4,设。(x,y),即N+g—3/W16,又宏+俨=1(a>1),

化简得到(1—。2»2-6、+。2—7W0(—1WyWl).

当了=—1时，验证等号成立；

wa

对称轴为了=三声满足-即aW2,故l<aW2.

故离心率的最大值为年,]

13.解：(1)圆M：X2+Q—I)2=8的圆心M(0,1),半径为厂=2鱼，由题意可知

|。如=|00又点尸是圆上的点，则|尸盟=2鱼，^\PM\=\PQ\+\QM\,

则IQ如+|QM=2迎>2,

由椭圆的定义可知，点0的轨迹是以M,N为焦点的椭圆，其中(7=迎，c=1,

b=l,

则点Q的轨迹方程C：^-+x2=l.

(2)设N(x,y),则d2=(x,y),A/V=(­x,—1—j),

所以04.AN=—x2+y(-1-y)=~x2-y2-y,

又%+/=1,所以N=i—32,所以04•AN=—32—y—1=—i(y+I)2—i,

由椭圆的有界性可知一鱼・卜・声，

所以当y=-1时，取最大值一

所以方•前的最大值为G

14.解：(1)因为///8=90。，则△ZOB为等腰直角三角形，所以有|。4|=|。尸2|,

即b=c.

所以口=鱼0,e=-=^.

(2)由题意知Z(0,b),F2(l,0),设B(x,y),

由质;二2用，得?(久—1)=1，解得j=-1.

一(2y=—b,22

9@

代入会+%=1,得/+/=1.

即;？+:=1，解得层=3,所以/=°2—C2=2,所以椭圆的方程为W+==l.

4a'432

[B组在综合中考查关键能力]

15.B[法一：依题意a=3,Z?=V6,c=7a？-匕2=店.如图,不妨令尸《一旧,

2I2IQo

m=

0),F2(V3,0).设|尸£尸机，I尸尸2尸〃，在△HPE中，cosZFiPF2=?

①

由椭圆的定义可得机+〃=2a=6,②

由①②，解得mn=—.

设。尸尸x.在△后。尸和△尸2。尸中，/FQP+/F20P=71,

*2222

由余弦定理得x+3—mx+3—n

2岳2岳'

222

得小=m+n—6_(m+n)—2mn—615

2~22

所以I。尸尸手.

法二：依题意0=3,Z?=V6,C=A/Q2—力2=8.如图（图同法一）,设点尸的坐标

为(xo,yo),/FiPF?=a,则cosNFIPF2=COSa=q,

.aar4a

,