人教版初中八年级数学上册同步讲义-轴对称（解析版）

第01讲轴对称

学习目标

课程标准学习目标

1.认识轴对称与轴对称图形的概念，并能够熟练判断。

①轴对称与轴对称图形的概念2.掌握轴对称与轴对称图形的性质，并能够熟练应用其

②轴对称与轴对称图形的性质解决相关题目。

③线段的垂直平分线3.掌握垂直平分线的定义，性质，判定，并能够熟练应

用垂直平分线的性质与判定。

思维导图

知识清单

知识点01轴对称图形的概念

1.轴对称图形的概念：

若一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是一个轴对称图形。

这条直线叫做轴对称图形的对称轴。可以有多条对称轴。

题型考点：①轴对称图形的判断。②对称轴的判断。

【即学即练1】

i.下列交通安全图标不是轴对称图形的是（）（图中的三角形是等边三角形）

【解答】解：选项A、3、。均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互

相重合，所以是轴对称图形，

选项C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴

对称图形，

故选：C.

【即学即练2】

2.圆是轴对称图形，它的对称轴有（）

A.1条B.2条C.4条D.无数条

【解答】解：圆是轴对称图形，它的对称轴是经过圆心的直线，有无数条.

故选：D.

知识点02轴对称

1.轴对称的概念:

一个图形沿着某一条直线对折与另一个图形能够完全重合，则这两个图形的位置关系成轴对称。

这条直线是轴对称的对称轴。只有一条对称轴。

重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。重合的点叫做对应点。

注意：轴对称图形是一个图形的形状特点，轴对称是两个图形的形状特点加上位置特点构成。

题型考点：①判断轴对称。

【即学即练1】

3.下列选项中左右两图成轴对称的为（）

A.B.

c.D.

【解答】解：根据轴对称的概念.只有C成轴对称.

故选：C.

知识点03轴对称与轴对称图形的性质

1.轴对称与轴对称图形的性质:

①轴对称图形对称轴两旁的部分全等，成轴对称的两个图形全等。

②对应边相等，对应角相等。对应边若不与对称轴平行，则延长线的交点一定交于对称

轴上。

③对称轴经过任何一组对应点连线的中点且与线段垂直。

⑷对应点的连线之间相互平行。

题型考点：①对性质的理解。②利用性质计算。

【即学即练1】

4.如图，△ABC和AA'B'C关于直线对称，下列结论中:

①△ABC也B'C；

@ZBAC=ZB'AC；

③/垂直平分CC'；

④直线BC和8'C的交点不一定在/上，

正确的有（）

A.4个B.3个C.2个

【解答】解：•.•△A2C和B'C关于直线/对称，

：.@/\ABC^/\A'B'C,正确；

②NBAC=NB，AC,

：.ZBAC+ZCAC'=ZB'AC+ZCAC',

即/B4C'=ZB'AC,正确；

③/垂直平分CC',正确；

④应为：直线BC和B'C的交点一定在/上，故本小题错误.

综上所述，结论正确的是①②③共3个.

故选：B.

【即学即练2】

5.如图，ZiABC与△>!'B'C关于直线/对称，ZA=50°,/C'=30°,则的度数为（）

A

A.90°B.100°C.70°D.80°

【解答】解：:△ABC和B'C关于直线/对称，ZA=50°,NC=30°,

AB'C,

・・・NC=NC'=30°,

.\ZB=180o-ZA-ZC=180°-50°-30°=100°.

故选：B.

【即学即练3】

6.如图，△ABC中，直线。E是AB边的对称轴，交AC于。，交于如果BC=6,△3C。的周长为

17,那么AC边的长是11.

【解答】解：・.・。石垂直平分A8,

:・DA=DB,

的周长为17,

CD+BD+BC=17,

CD+AD+BC=17,即AC+BC=17,

U：BC=6,

:.AC=\\,

故答案为：11.

知识点04垂直平分线

1.垂直平分线的定义:

过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。如图,

若C点事AB的中点，则MN是线段AB的垂直平分线。

2.垂直平分线的性质：

①垂直平分线垂直且平分线段。则/PCA=NPCB=90°,AC=BCo

②垂直平分线上仟意一点到线段两端点的距离相等。即PA=PB.所以△以8是等腰三角形。

在RtAPAC与Rt^PBC中

PB=PB

'PC=PC（公共边）

：.Rt/\PAC^Rt/\PBC

：.ZA=ZB；ZAPC=ZBPCo

3.垂直平分线的判定

到线段两端点距离相等的点一定在这条线断的垂直平分线上。

题型考点：①利用垂直平分线的性质求值。②垂直平分线的判定。

【即学即练1】

7.如图：Rt^ABC中，NC=90°,OE是A8的垂直平分线，NCA。：/ZM8=2：1,则的度数为（）

【解答】解：在RtZVIBC中

DE是AB的垂直平分线

：.ZB=ZBAD

"：ZCAD：ZDAB=2：1

/.4ZB=90°

：.ZB=22.5°

故选：B.

【即学即练2】

8.如图所示，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点E,若AE=W^，则BE两点间的距离是（）

A.1^3B.V3C.273D.473

【解答】解：连接BE,

垂直平分线43

：.BE=AE=2y/3-

故选：C.

【即学即练3】

9.如图，是△ABC的边BC的垂直平分线，若AC=8,AB=6,BC=4,则的周长为（）

C.12D.10

【解答】解：是△ABC的边BC的垂直平分线,

：.CD=BD,

'：AC^AD+CD,

：.AC=AD+BD^S,

：.△AQB的周长=AO+D8+AB=4C+BC=8+6=14,

故选：A.

【即学即练4】

10.已知：如图，在△ABC中，ZBAC=90°,8。平分/ABC,DE1,BC于E.证明：8。垂直平分AE.

【解答】证明：'：ZBAC=90°,2。平分/ABC,DE±BC,

：.NABD=NEBD,NBAD=/BED=90°,

在ABAD和△BED中

，ZBAD=ZBED

-ZABD=ZEBD

BD=BD

.'.△BAD%ABED(AAS),

：.AB=BE,

：平分/ABE,

...2。垂直平分AE(三线合一),

题型精讲

题型01轴对称与轴对称图形的判断

【典例1】

下列图形中，不是轴对称图形的是（）

【解答】解：A.是轴对称图形，故此选项不合题意;

B.是轴对称图形，故此选项不合题意;

C.不是轴对称图形，故此选项符合题意;

D.是轴对称图形，故此选项不合题意.

故选：C.

【典例2】

下列四个图形中，是轴对称图形的是（）

【解答】解：A、不是轴对称图形，故A选项错误，不符合题意;

8、不是轴对称图形，故8选项错误，不符合题意；

C、不是轴对称图形，故C选项错误，不符合题意；

。、是轴对称图形，故。选项正确，符合题意；

故选：D.

【典例3】

将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“8”，再把它铺平，你可见到（）

10

A.B|B|B.B"|c.B]S口.I「

【解答】解：观察选项可得：只有C是轴对称图形.

故选：C.

【典例4】

观察下图中各组图形，其中成轴对称的为（只写序号1,2等）.

个十箜立

①②③⑷

【解答】解：3中的伞把不对称，故填①②④

故填①②④

题型02镜面对称的规律题

【典例1】

如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个球袋，如果一个球从A

（-2,0）按照图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），第一次碰到桌面8的坐标是（0,2）,

则该球第二次碰到台球桌面的坐标是（2,0）,该球最后落入的球袋是2号袋.

因为一个球从A（-2,0）按照图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），第一次碰到桌面2的坐

标是（0,2）,

所以该球第二次碰到台球桌面的坐标是（2,0）,该球最后落入的球袋是2号袋.

故答案为：（2,0）,2.

【典例2】

如图，弹性小球从点尸（0,1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形0ABe的边时反弹，反弹时

反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为Pi（-2,0）,第2次碰到正方形的边时的

点为P2,…，第九次碰到正方形的边时的点为Pa,则点尸2020的坐标是（）

A.(0,1)B.(-2,4)C.(-2,0)D.(0,3)

根据反射角等于入射角画图，可知光线从P2反射后到P3（0,3）,再反射到P4（-2,4）,再反射到P5

（-4,3）,再反射到P点（0,1）之后，再循环反射，每6次一循环，2020+6=336……4,即点P2020

的坐标是（-2,4）,

故选：B.

【典例3】

在桌球运动中，正面击球时球碰到球桌边缘会发生反弹，如图建立平面直角坐标系，动点P从（0,2）出

发，沿如图所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当点P第2022次碰

到长方形的边时，点P2022的坐标为（0,2）.

y

【解答】解：依照题意画出图形，如图所示.

VP(0,2),Pi(2,0),P2(6,4),

：.P3(8,2),P4(6,0),P5(2,4),P6(0,2),P7(2,0),…,

:.Pn的坐标以6为循环单位循环.

：2022+6=337,

...点尸2022的坐标是(0,2),

【典例4】

如图，弹性小球从点尸（0,1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形0A2C的边时反弹，反弹的

反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第1次碰到正方形的边时的点为尸1（2,0）,

第2次碰到正方形的边时的点为P2,…，第〃次碰到正方形的边时的点为外，则点P2021的坐标为（第

【解答】解：如图:

根据反射角等于入射角画图，可知小球从P2反射后到P3（0,3）,再反射到「4（2,4）,再反射到P5（4,

3）,再反射到P点（0,1）之后，再循环反射，每6次一循环，2021+6=336…5,即点P2021的坐标是

（4,3）.

故答案为：（4,3）.

【典例5】

如图所示，弹性小球从点P（0,3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹

时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为尸1,第2次碰到矩形的边时的点为尸2,…，

第n次碰到矩形的边时的点为Pn,则点尸2021的坐标是（1,4）.

根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0,3）,

V20214-6=336-5,

当点P第2021次碰到矩形的边时为第337个循环组的第5次反弹，点尸的坐标为（1,4）,

故答案为：（1,4）.

题型03轴对称的性质理解

【典例1】

如图，△ABC与△ABC关于直线MN对称，BB'交MN于点、O,下列结论:

®AB=A'B'；

®OB=OB'；

③中，

【解答】解：•.•△ABC与△/!'B'C关于直线对称，

：.OB=OB',△ABC会△&'B'C,AA'//BB',故②③正确，

：.AB^A'B',故①正确，

所以正确的一共有3个，

故选：A.

【典例2】

如图，zMSC与AA'B'C关于直线/对称，连接A4'交对称轴/于点若NA=50°,ZC=30°

则下列说法不正确的是（）

A.三角形ABC与三角形A'B'C的周长相等

B.AM=A'M5.AA'_!_/

C.ZB=100°

D.连接38',CC',则AA',BB',CC'三条线段不仅平行而且相等

【解答】解：:△ABC与B1C关于直线/对称，ZA=50°,ZCz=30°,

三角形ABC与三角形A'B'C的周长相等，AM=A'M且A4'±1,

NC=NC'=30°,AA'//BB'//CC',

.,.ZB=180°-ZA-ZC=100°,

B,C不符合题意；。符合题意.

故选：D.

【典例3】

如图，△ABC和△A3C关于直线/对称，下列结论：(1)AABC^AA'B'C；(2)ZBAC^ZB'A'C；(3)

直线/垂直平分CC；(4)直线/平分NCAC.正确的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：♦•.△ABC和△AB'C关于直线/对称，

(1)AABC^AA'B'C；

(2)ZBAC=ZB'A'C；

(3)直线/垂直平分CC；

(4)直线/平分NCAC.

综上所述，正确的结论有4个，

故选：D.

题型04利用轴对称的性质计算

【典例1】

如图，△ABC与△ABC关于直线/对称，则AC=()

C.BCD.A'C

【解答】解：：△ABC和B'C关于直线/对称,

AABC^AA7B'C,

：.AC=A'C

故选：D.

【典例2】

如图，△ABC与△AB'C关于直线/对称，ZA=54°,ZC=26°,则等于（）

【解答】解：•.,△ABC与B'C关于直线/对称，

/.ZC=ZC,=26°,

在△ABC中，ZB=180°-ZA-ZC=180°-54°-26°=100°.

故选：D.

【典例3】

如图，在△ABC中，NA=30°,NB=50°,将点A与点B分别沿MN和EE折叠，使点A、B与点C重

合，则/NC尸的度数为（）

【解答】解：：/4=30°,ZB=50°,

AZACB=100°,

:将点A与点B分别沿MN和E尸折叠，使点A、B与点C重合，

...NACN=NA=30°,NFCE=NB=50°,

：,ZNCF=1QQ°-30°-50°=20°,

故选：C.

【典例4】

在折纸游戏中，小颖将一张长方形纸片ABC。按如图所示方式折叠，AE、A尸为折痕，点8、。折叠后的对

应点分别为8'、D',若NB'AD'=12°,则NEAF的度数为39°

：.ZEAF=39°.

故答案为：39°.

【典例5】

如图，所在直线是AABC的对称轴，点E,尸是AD上的两点，若BD=3,AD=6,则图中阴影部分的

【解答】解：：△ABC关于直线4。对称，

:.B、C关于直线AD对称，

...△。£尸和48后尸关于直线4。对称，BC=2BD=2X3=6,ADLBC,

:.S&BEF=S&CEF,

；△ABC的面积是：yXBCXAD=yX6X6=18-

•••图中阴影部分的面积是.SAARC

故答案为：9.

题型05利用垂直平分线的性质计算

【典例1】

如图，△ABC中，BC的垂直平分线/与AC相交于点D,若△ABD的周长为12cm,则AB+AC^12cm.

【解答】解：・・・/是的垂直平分线，

：.DB=DC,

AABD的周长为12cm,

..AB+AD+BD=12cm,

'.AB+AD+DC—12cm,

.*.AB+AC=12cm,

故答案为：12.

【典例2】

如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交A3、BC于点D、E,连接AE,若AE=4,EC=2,则3C的

长是（）

【解答】解：••.DE是A3的垂直平分线，

.,.2E=AE=4,

：.BC=BE+EC=4+2=6,

故选：B.

【典例3】

如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB,BC于点、D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,

G,且aAEG的周长是20,则线段BC的长为（）

A.40B.20C.15D.10

【解答】解：:。石是48的垂直平分线，GP是AC的垂直平分线，

:.EB=EA,GA=GC,

zXAEG的周长是20,

：.AE+EG+AG^2.Q,

：.BE+EG+GC=20,

：.BC=20.

故选：B.

【典例4】

如图，在△ABC中，AB=AC,ZA=42°,AB的垂直平分线MN交AC于。点，连接BD,则/DBC的度

数是（）

A

BC

A.22°B.27°C.32''D.40°

【解答】解：•；AB=AC,NA=42°,

AZABC=A(180°-ZA)=A(180°-42°)=69°,

22

垂直平分线AB,

：.AD=BD,

：.ZABD=ZA^42°,

/.ZDBC=ZABC-ZABD=69°-42°=27°.

故选：B.

【典例5】

如图，在△ABC中，ZABC=52°,P为△ABC内一点,过点尸的直线MN分别交A3、BC于点M,N,若

M在E4的垂直平分线上，N在尸C的垂直平分线上,，则NAPC的度数为（）

BNC

A.115°B.116°C.11：7°D.118°

【解答】解：・・,NA5C=52°,

AZBMN+ZBNM^128°.

TM在B4的中垂线上，N在尸。的中垂线上，

：.AM=PM,PN=CN.

：.ZMAP=ZMPAfZCPN=ZPCN.

•?/BMN=ZMAP+ZMPA,ZBNM=ZCPN+ZPCN,

ZMPA=^ZBMN,NCPN=LNBNM.

22

：.ZMPA+ZCPN^—(/BMN+/BNM)=Axi28°=64°.

22

/.ZAPC=180°-64°=116°.

故选：B.

【典例6】

如图，在△ABC中，OE垂直平分BC,分别交8C、AB于。、E,连接CE,BF平分/ABC,交CE于F,

若BE=AC,ZACE=20°，则NEEB的度数为()

A

BDC

A.56°B.58°C.60°D.63°

【解答】解：垂直平分BC,

：.EB=EC,

NEBC=ZECB,

,:BE=AC,

：.CE^AC,

VZACE=20°,

/.ZA=ZAEC=^-(180°-ZACE)=80°,

2

VZAEC=ZEBC+ZECB=80°,

：.ZEBC=ZECB=40°,

：8/平分/ABC,

/.ZFBC=^ZEBC=2Qa,

2

ZEFB=NFBC+NECB=6Q°,

故选：C.

【典例7】

如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为()厘

米.

E,

B，---------------

A.16B.18C.26D.28

【解答】解：:DE是△ABC中AC边的垂直平分线，

：.AE=CE,

：./\EBC的周长=BC+8E+CE=BC+2E+CE=2C+A2=10+8=18（厘米），

故选：B.

【典例8】

如图，在△ABC中，4B的垂直平分线分别交BC,A2于。，E两点，若A£=3on,△AOC的周长为9cm,

则△ABC的周长是（）

【解答】解：•••£）£垂直平分AB,

:.DB=DA,BE=AE=3cm,

,?ZiAOC的周长为9cm,

CD+DA+AC=9cm,

CD+BD+AC—9cmt

BC+AC=9cm,

.,.△ABC的周长=BC+AC+AB=BC+AC+2AE=9+2X3=15（cm）,

故选：C.

【典例9】

如图，NAOB内一点尸，Pi,P2分别是尸关于。4、02的对称点，P1P2交。4于点交0B于点、N.若

△PMN的周长是5cm,则P1P2的长为（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【解答】解：•..尸点关于。4、。8的对称点尸1、尸2,

：.PM=PiM,PN=P2N,

：.4PMN的周长=PM+MN+PN=PIM+MN+P2N=P1P2,

的周长是5所，

:・P\P2=5cm.

故选：C.

强化训练

1.下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）

C.

【解答】解：4,B,。选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的

部分能够互相重合，所以不是轴对称图形.

C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以

是轴对称图形.

故选：C.

2.如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最

后落入的球袋是（）

1号袋2号袋

A.1号袋B.2号袋C.3号袋D.4号袋

【解答】解：如图所示,

球最后落入的球袋是2号袋,

故选：B.

3.如图，△ABC与B'C关于直线对称，P为MN上任意一点下列说法不正确的是（）

鼠

V

A.AP=A'P

B.A/N垂直平分4A'，CC'

C.这两个三角形的面积相等

D.直线AB,A'B'的交点不一定在MN上

【解答】解：A、P到点A、点A'的距离相等正确，不符合题意；

8、点C、点C'到直线的距离相等正确，点A、点A'到直线的距离相等正确，不符合题意；

C、:△ABC与△&'B'C关于直线WN对称，.••这两个三角形的面积相等，不符合题意；

D、直线AB,A'B'的交点一定在上，此选项错误，符合题意.

故选：D.

4.如图，直线/，机相交于点。，尸为这两直线外一点，且。尸=3,若点尸关于直线/,根的对称点分别是

点尸1,尸2,则P1,尸2之间的距离可能是（）

【解答】解：连接。Pl,0P2,P1P2,

丁点尸关于直线/,根的对称点分别是点P,P2,

：.OPi=OP=3,OP=OP2=3,

OP\+OP2>P1P2,

O<P1P2<6,

故选：B.

5.如图，在△ABC中，ADLBC,垂足为。，AADB与AADB，关于直线AZ）对称，点5的对称点次落

在边上.若NC=2/B'AC,AB1平分NZMC,则N3的度数为（）

【解答】解：设AC=x,则NC=2x,

\'AB'平分ND4C,

：.ZDAC=2ZBrAC=2x,

*：AD±BC,

：.ZADC=90°,

：.ZC+ZDAC=90°,

：.2x+2x=90°,

Ax=22.5°.

ZAB'D=ZC+ZB'AC=3x=67.5°,

AADB与△A08关于直线AD对称，

:,/B=/AB‘。=67.5°.

故选：A.

6.如图所示,将ZA沿着BC折叠到ZA所在平面内，点A的对应点是A,若NA=54°,则N1+N2=（）

B.108°C.72°D.54°

【解答】解：由折叠的定义知：ZABC=ZA'BC,ZACB=ZA'CB,

；NA=54°,

AZABC+ZACB=180°-ZA=180°-54°=126°

AZABA'+ZACAr=2X126°=252°,

.,.Zl+Z2=2X180°-QZABA'+ZACA')=360°-252°=108

故选：B.

7.如图，四边形ABC。为一矩形纸带，点E、尸分别在边A3、CD上，将纸带沿成折叠，点A、。的对

A.2aB.90°-aC.gQ°aD.99°a

32

【解答】解：由折叠可得：/AEF=/AEF,

•'-ZAEF=y(180°-N2)=90°-yCL-

.四边形ABC。为矩形，

J.AB//CD,

•'-Zl=ZAEF=90°-1a，

故选：D.

8.如图，在△ABC中，ZBAC=120°,分别作AC,AB两边的垂直平分线PM、PN,垂足分别是点M、N,

以下说法：①/尸=60°；②NEAF=NB+NC；③PE=PF；④点尸到点8和点C的距离相等，其中正

确的是()

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【解答】解：'JPMLAC,PNLAB,

：.ZPMA=ZPNA=90Q,

VZBAC+ZPMA+ZPNA+ZP=36O°,ZBAC=120°,

AZP=60°,

故①符合题意；

：AC的垂直平分线是

：.EC=EA,

NEAC=/C,

同理：ZEAB=ZB,

：.ZEAC+ZEAB^ZB+ZC,

VZBAC=120°,

ZEAC+ZEAB=ZB+ZC=60°,

AZEAF=ABAC-(NEAC+NEAB)=60°,

：.ZEAF=ZB+ZC,

故②符合题意；

'：ZPEF=ZCEM=90°-ZC,ZPFE=ZBEN=90°-ZB,N3不一定等于/C,

ZPEF不一定等于NPFE,

...PE不一定等于PR

故③不符合题意；

'：PM,PN分别平分AC,AB,

是△ABC的外心，

；•点P到点B和点C的距离相等，

故④符合题意.

正确的是①②④.

故选：B.

9.己知。为三边垂直平分线交点，/BAC=70°,则/BOC=140°.

【解答】解：•.•已知点。为三边垂直平分线交点,

.•.点。为△ABC的外心，

ZBOC=2ZBAC,

•.•/8AC=70°,

：.ZBOC=14Q°,

故答案为：140°.

10.如图，在△ABC中，ZBAO90°,A8的垂直平分线交8c于点E,AC的垂直平分线交BC于点F,

连接AE,AF,若△AEF的周长为7,则BC的长是（

A.7B.8C.9D.无法确定

【解答】解：「AB的垂直平分线交BC于点E,

:.EA=EB,

'：AC的垂直平分线交BC于点F.

J.FA^FC,

BC=BE+EF+FC=AE+EF+AF=AA£F的周长=7.

故选：A.

11.如图，在△ABC中，边的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O,这两条垂直平分线

分别交8C于点。、E.已知△AOE的周长为11c机,分别连接。4、OB、OC,若△O8C的周长为23cm,

则OA的长为6cm.

【解答】解：:OM、ON分别为AB、AC的垂直平分线,

：.DA=DB,OA^OB,EA=EC,OA=OC,

：△ADE的周长为11cm,

AD+DE+EA=llcm,

：.BD+DE+EC^llcm,BPBC^llcm,

'.,△OBC的周长为23on,

/.OB+BC+OC=23cm,

：.OB+OC=23-11=12(cm),

••OA——6cm,

故答案为：6cm.

12.如图，AE是NC4M的角平分线，点3在射线AM上，OE是线段BC的中垂线交AE于E,过点£作

AM的垂线交AM于点若NAC8=26°,ZEBD=25°,则39

【解答】解：连接CE,过E作ERJ_AC于R,CD交ER于Q,AE交BC于0,

：.ZEDC=90°,CE=BE,

：./ECB=ZEBDf

•：/EBD=25°,

：.ZECB=25°,

；・/DEB=/CED=90°-25°=65°,

VE7?±AC,ED上BC,

：.ZQRC=ZQDE=90°,

AZACB+ZCQR=90°,ZEQD+ZQED=90°,

•；NCQR=/EQD,

：.ZACB=ZQED,

VZACB=26°,

：.ZQED=26°,

〈AE平分NCAM,ER_LAC,EFLAM,

：・ER=EF,

在RtAE7?C和RtAEFB中，

[CE=BE,

lER=EF，

ARtAE7?C^RtAEFB(HL),

：.ZEBF=ZACE=ZACB+ZECD=26°+25°=51°,

•：/EFB=9U°,

AZBEF=90°-NEBF=90°-51°=39°,

；・NREF=NRED+NBED+NBEF=26°+65°+39°=130°,

VZARE=ZAFE=90°,

A360°-90°-90°-130°=50°,

'：AE平分/CAM,

AZCAE=-^/CAM=25°，

2

AZDOE^ZCAE+ZACB^25°+26°=51°,

,:ED上BC,

:.NEDB=90°,

AZAED^90°-ZDOE=90°-51°=39°,

故答案为：39.

13.如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE,8。垂在平分AE,垂足为R交AC于点D连

接DE.

(1)若△ABC的周长为19,△QEC的周长为7,求A8的长.

(2)若/ABC=30°,ZC=15°,求/Q9E的度数.

【解答】解：(1):瓦)是线段AE的垂直平分线，

：.AB=BE,AD=DE,

「△ABC的周长为19,△DEC的周长为7,

AB+BE+EC+CD+AD=19,CD+EC+DE^CD+CE+AD^l,

：.AB+BE^19-7=12,

：.AB=6,

(2)VZABC=30°,ZC=15°,

.*.ZBAC=180°-30°-15°=135°,

在△54。和△BEC中，

'BA=BE

<BD=BD>

DA=DE

:.ABAD2ABED(SSS),

：.ZBED=ZBAC=135°,

：.ZCDE=ZBED-ZC=105°-15°=90°.

14.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、8c于点。、E,AC的垂直平分线分别交AC、BC于

点R