2025届高考数学一轮复习核心素养测评第11章11.7.1离散型随机变量的均值与方差含解析新人教B版

PAGE10-核心素养测评六十八离散型随机变量的均值与方差(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E(X)= ()A.QUOTE B.2 C.QUOTE D.3【解析】选A.E(X)=1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=QUOTE=QUOTE.2.若离散型随机变量X的分布列为X01P则X的数学期望E(X)等于 ()A.2 B.2或QUOTE C.QUOTE D.1【解析】选C.由题意,QUOTE+QUOTE=1,a>0,所以a=1,所以E(X)=0×QUOTE+1×QUOTE=QUOTE.3.已知X是离散型随机变量,P(X=1)=QUOTE,P(X=a)=QUOTE,E(X)=QUOTE,则D(2X-1)=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.因为X是离散型随机变量,P(X=1)=QUOTE,P(X=a)=QUOTE,E(X)=QUOTE,所以由已知得1×QUOTE+a×QUOTE=QUOTE,解得a=2,所以D(X)=1-QUOTE2×QUOTE+2-QUOTE2×QUOTE=QUOTE,所以D(2X-1)=22D(X)=4×QUOTE=QUOTE.4.节日期间,某种鲜花进货价是每束2.5元,销售价为每束5元;节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理.依据前五年销售状况预料,节日期间这种鲜花的需求量X听从如表所示的分布:X200300400500P0.200.350.300.15若购进这种鲜花500束,则利润的均值为 ()A.706元 B.690元 C.754元 D.720元【解析】选A.由分布列可以得到E(X)=200×0.2+300×0.35+400×0.3+500×0.15=340,所以利润是(340×5+160×1.6)-500×2.5=706(元).5.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为X,则X的均值为EQUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.X的分布列为X0123P所以E(X)=0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=QUOTE.6.已知随机变量X的分布列如表所示,若EQUOTE=2,则DQUOTE的值可能是 ()X123PabcA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.2【解析】选B.由题意可得,EQUOTE=2=a+2b+3c,a+b+c=1,所以a=c,则DQUOTE=a(1-2)2+b(2-2)2+c(3-2)2=a+c,由概率的性质可知a+c≤1,因此DQUOTE的值可能是QUOTE.7.若随机变量X的分布列如表,且E(X)=2,则D(2X-3)= ()X02aPpA.2 B.3 C.4 D.5【解析】选C.由概率的性质知p=1-QUOTE-QUOTE=QUOTE,则EQUOTE=0×QUOTE+2×QUOTE+a×QUOTE=2⇒a=3,所以DQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=1,则DQUOTE=22DQUOTE=4.二、填空题(每小题5分,共15分)8.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中有放回地任取3件,若X表示取到次品的次数,则D(X)=________.

【解析】因为X～BQUOTE,所以D(X)=3×QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE9.一射击测试,每人射击三次,每击中目标一次记10分,没有击中记0分.某人每次击中目标的概率为QUOTE,则此人得分的均值为________,方差为________.

【解析】记此人三次射击击中目标X次,得分为Y分,则X～BQUOTE,Y=10X,所以E(Y)=10E(X)=10×3×QUOTE=20,D(Y)=100D(X)=100×3×QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:20QUOTE10.据统计,一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005,保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险,交保险费100元,若一年内万元以上财产被窃,保险公司赔偿a元(a>1000),为确保保险公司有可能获益,则a的取值范围是________. 世纪金榜导学号

【解题指南】转化为求保险公司在参保人身上的收益的期望问题,由此列不等式求解.【解析】X表示保险公司在参与保险者身上的收益,其概率分布列为:X100100-aP0.9950.005E(X)=0.995×100+(100-a)×0.005=100-QUOTE.若保险公司获益,则期望大于0,解得a<20000,所以a∈(1000,20000).答案:(1000,20000)(15分钟35分)1.(5分)设10≤x1<x2<x3<x4≤104,x5=105.随机变量ξ1取值x1,x2,x3,x4,x5的概率均为0.2,随机变量ξ2取值QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE的概率也为0.2.若记D(ξ1)、D(ξ2)分别为ξ1、ξ2的方差,则 ()A.D(ξ1)>D(ξ2).B.D(ξ1)=D(ξ2).C.D(ξ1)<D(ξ2).D.D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系与x1,x2,x3,x4的取值有关.【解析】选A.令E(ξ1)=0.2(x1+x2+x3+x4+x5)=t,则E(ξ2)=0.2(QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE)=t,D(ξ1)=0.2[QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE]=0.2[(QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE)-2(x1+x2+x3+x4+x5)t+5t2];记QUOTE=x′1,QUOTE=x′2,…,QUOTE=x′5,同理得D(ξ2)=0.2[(xQUOTE+xQUOTE+xQUOTE+xQUOTE+xQUOTE)-2(x′1+x′2+x′3+x′4+x′5)t+5t2],只需比较xQUOTE+xQUOTE+xQUOTE+xQUOTE+xQUOTE与QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE的大小,xQUOTE+xQUOTE+xQUOTE+xQUOTE+xQUOTE=QUOTE[QUOTE+QUOTE+…+QUOTE]=QUOTE[2(QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE)+(2x1x2+2x2x3+2x3x4+2x4x5+2x5x1)]<QUOTE[2(QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE)+(QUOTE+QUOTE)+(QUOTE+QUOTE)+(QUOTE+QUOTE)+(QUOTE+QUOTE)+(QUOTE+QUOTE)]=QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE,所以D(ξ2)<D(ξ1).【秒杀绝技】发觉E(ξ1)和E(ξ2)相等,其中的智者,更会发觉其次组数据是第一组数据的两两平均值,故比第一组更“集中”、更“稳定”,依据方差的含义,立得D(ξ1)>D(ξ2),而快速攻下此题.2.(5分)为了提高学生学习数学的爱好,某校确定在每周的同一时间开设《数学史》《生活中的数学》《数学与哲学》《数学建模》四门校本选修课程,甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习,假设三人选择课程时互不影响,且每人选择每一门课程都是等可能的.设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数,则X的数学期望E(X)为____________.

【解析】X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=QUOTE=QUOTE,P(X=1)=QUOTE=QUOTE,P(X=2)=QUOTE=QUOTE,P(X=3)=QUOTE=QUOTE.所以X的分布列为X0123P所以X的数学期望E(X)=0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【秒杀绝技】甲、乙、丙三人从四门校本课程中任选一门,可以看成三次独立重复试验,X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数,则X～BQUOTE,所以X的数学期望E(X)=3×QUOTE=QUOTE.3.(5分)设20是等差数列x1,x2,x3,…,x19的公差,随机变量ξ等可能地取值x1,x2,x3,…,x19,则标准差QUOTE=________.

【解析】因为随机变量ξ等可能地取值x1,x2,x3,…,x19,所以PQUOTE=QUOTE,i=1,2,3,…,19,所以E(ξ)=QUOTE=x10,D(ξ)=QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE[QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE]=QUOTE[QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE]=QUOTE=QUOTE=30d2,所以QUOTE=QUOTEd=20QUOTE.答案:20QUOTE4.(10分)某学校在学校内招募了12名男志愿者和18名女志愿者.将这30名志愿者的身高编成如图茎叶图(单位:cm),若身高在175cm以上(包括175cm)定义为“高个子”,身高在175cm以下(不包括175cm)定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才能担当“礼仪小姐”.(1)假如用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人,再从这5人中选2人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?(2)若从全部“高个子”中选3名志愿者,用X表示所选志愿者中能担当“礼仪小姐”的人数,试写出X的分布列,并求X的数学期望. 世纪金榜导学号【解析】(1)依据茎叶图,有高个子12人,非高个子18人,所以利用分层抽样的方法抽取的高个子的人数为QUOTE×5=2人,抽取的非高个子人数为QUOTE×5=3人,设至少有一人是高个子为事务A,则P(A)=QUOTE=QUOTE,即至少有一人是高个子的概率为QUOTE.(2)依题意知,“女高个子”的人数为X,随机变量X的全部可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=QUOTE=QUOTE,P(X=1)=QUOTE=QUOTE,P(X=2)=QUOTE=QUOTE,P(X=3)=QUOTE=QUOTE.随机变量X的分布列是:X0123P数学期望E(X)=0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=1.5.(10分)贫困户杨老汉是扶贫政策受益人之一.据了解,为了帮助杨老汉早日脱贫,负责杨老汉家的扶贫队长、扶贫副队长和帮扶责任人常常到他家走访,其中扶贫队长每天到杨老汉家走访的概率为QUOTE,扶贫副队长每天到杨老汉家走访的概率为QUOTE,帮扶责任人每天到杨老汉家走访的概率为QUOTE. 世纪金榜导学号(1)求帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率.(2)设扶贫队长、副队长、帮扶责任人三人某天到杨老汉家走访的人数为X,求X的分布列.(3)杨老汉对三位帮扶人员特别满足,他对别人说:“他家平均每天至少有1人走访.”请问:他说的是真的吗?【解析】(1)设帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的事务为A.P(A)=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率为QUOTE.(2)随机变量X的全部可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=1)=QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=2)=QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE;P(X=3)=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,随机变量X的分布列为X0123P(3)E(X)=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE,所以E(X)>1,所以杨老汉说的是真的.1.已知随机变量ξ的分布列如表:ξ-101Pabc其中a,b,c成等差数列,则P(QUOTE=1)的值与公差d的取值范围分别是 ()A.QUOTE,QUOTE B.QUOTE,QUOTEC.QUOTE,QUOTE D.