江西省彭泽县某中学2024年中考四模数学试题（含解析）

江西省彭泽县湖西中学2024年中考四模数学试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1.若0VmV2,则关于x的一元二次方程-(x+m)(x+3m)=3mx+37根的情况是()

A.无实数根

B.有两个正根

C.有两个根，且都大于-3m

D.有两个根，其中一根大于-m

2.从一个边长为3cm的大立方体挖去一个边长为的小立方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图正

4.如图，等边△ABC的边长为4,点D,E分别是BC,AC的中点，动点M从点A向点B匀速运动，同时动点N

沿B-D-E匀速运动，点M,N同时出发且运动速度相同，点M到点B时两点同时停止运动，设点M走过的路程

为x,ZkAMN的面积为y,能大致刻画y与x的函数关系的图象是（）

5.已知a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简|a+cHa-2bHe+2b|的结果是（）

A.4b+2cB.0C.2cD.2a+2c

6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC±BD,垂足为O,点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点.若

AC=10,BD=6,则四边形EFGH的面积为（）

A.20B.15C.30D.60

7.由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示在该位置上的小正方体的个

数，那么，这个几何体的左视图是（）

A.7.49X107B.74.9X106C.7.49xl06D.0.749xl07

9.若△ABCSAA'B，。，ZA=40°,ZC=110°,则NB，等于（）

A.30°B.50°C.40°D.70°

10.如图，在矩形A3CZ＞中，AB=5,AD=3,动点P满足SAPAB=-S矩形A3C£＞，则I点尸至UA、B两点距离之和PA+PB

A.729B.V34C.5^/2D.V41

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.在一次摸球实验中，摸球箱内放有白色、黄色乒乓球共50个，这两种乒乓球的大小、材质都相同.小明发现，摸

到白色乒乓球的频率稳定在60%左右，则箱内黄色乒乓球的个数很可能是.

12.如图，在口ABCD中，E、F分另！J是AB、DC边上的点，AF与DE相交于点P,BF与CE相交于点Q,若SAAPD

13.同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100。，则弧AB所对的圆周角是.

14.一个圆锥的侧面展开图是半径为6,圆心角为120。的扇形，那么这个圆锥的底面圆的半径为一一.

15.如图，设△ABC的两边AC与BC之和为a,M是AB的中点，MC=MA=5,则a的取值范围是

16.因式分解：3/—12=1

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）如图，在AABC中，AB=AC,ZABC=72°.

（1）用直尺和圆规作NABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）中作出NABC的平分线BD后，求NBDC的度数.

18.（8分）如图所示，平面直角坐标系中，。为坐标原点，二次函数丁=/-法+°3>0）的图象与》轴交于4-1,0）、

3两点，与y轴交于点C；

（1）求c与》的函数关系式；

（2）点。为抛物线顶点，作抛物线对称轴OE交x轴于点E,连接3c交。E于F,若AE=。尸，求此二次函数解析

式；

（3）在（2）的条件下，点尸为第四象限抛物线上一点，过尸作OE的垂线交抛物线于点M,交DE于H,点。为第

三象限抛物线上一点，作于N,连接MN,且NQMN+NQ河尸=180。，当QN:£发=15:16时，连接

19.（8分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把

所得数据整理后绘制成如下的统计图：

0.5小时1小时15小时纾时时间，小时

（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？

（2）求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图;

（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间.

20.（8分）如图，一次函数yi=kx+b的图象与反比例函数y2=一的图象交于A（2,3）,B（6,n）两点.分别求出一

x

次函数与反比例函数的解析式；求AOAB的面积.

21.（8分）某公司销售A,B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示

AB

进价（万元/套）1.51.2

售价（万元/套）1.81.4

该公司计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润12万元.

（1）该公司计划购进A,B两种品牌的教学设备各多少套？

（2）通过市场调研，该公司决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B

种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍.若用于购进这两种教学设备的总资金不超过68万元，问A种设

备购进数量至多减少多少套？

22.（10分）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售.市场调查

反映：每降价1元，每星期可多卖30件.已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售

量为y件.

⑴求y与X之间的函数关系式；

⑵当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？

(3)若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？

23.(12分)我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫

做这个三角形的“等底”.

(1)概念理解：

如图1,在AABC中，AC=6,BC=3,ZACB=30°,试判断△ABC是否是“等高底”三角形，请说明理由.

(1)问题探究：

如图1,AABC是“等高底”三角形，5c是“等底”，作△A5c关于3c所在直线的对称图形得到AAZC,连结A4交

Ar

直线3c于点O.若点5是AAAP的重心，求一匕的值.

BC

(3)应用拓展：

如图3,已知&与6之间的距离为1.“等高底”AABC的“等底”5C在直线6上，点A在直线/i上，有一边的

长是3c的0倍.将AABC绕点C按顺时针方向旋转45。得到A⑷沙C,所在直线交人于点D求CZ＞的值.

24.如图，已知D是AC上一点，AB=DA,DE//AB,ZB=ZDAE.求证：BC=AE.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、A

【解析】

先整理为一般形式，用含m的式子表示出根的判别式△,再结合已知条件判断△的取值范围即可.

【详解】

方程整理为X2+7mx+3m2+37-0，

△=49m2-4(3m2+37)=37(m2-4),

,•,0<m<2,

m2-4<0>

...方程没有实数根，

故选A.

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，当4>0,方程有两个不相等的实数根；当^=0,方程有两个相等的实数根；当

△<0,方程没有实数根.

2^C

【解析】

左视图就是从物体的左边往右边看.小正方形应该在右上角，故B错误，看不到的线要用虚线，故A错误，大立方体

的边长为3cm,挖去的小立方体边长为1cm,所以小正方形的边长应该是大正方形!，故D错误，所以C正确.

3

故此题选C.

3、B

【解析】

试题分析：结合三个视图发现，应该是由一个正方体在一个角上挖去一个小正方体，且小正方体的位置应该在右上角，

故选B.

考点：由三视图判断几何体.

4、A

【解析】

根据题意，将运动过程分成两段.分段讨论求出解析式即可.

【详解】

VBD=2,ZB=60°,

•*.点D到AB距离为出，

当0<x<2时,

1也62

y=—xx•——x=——x；

224

当2WxW4时，y=—x*sj3=—x.

22

根据函数解析式，A符合条件.

故选A.

【点睛】

本题为动点问题的函数图象，解答关键是找到动点到达临界点前后的一般图形，分类讨论，求出函数关系式.

5、A

【解析】

由数轴上点的位置得：b<a<O<c,ja|b|>|c|>|a|,

a+c>0,a-2b>0,c+2b<0,

则原式=a+c-a+2b+c+2b=4b+2c.

故选：B.

点睛：本题考查了整式的加减以及数轴，涉及的知识有：去括号法则以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解本

题的关键.

6、B

【解析】

有一个角是直角的平行四边形是矩形.利用中位线定理可得出四边形EFGH是矩形，根据矩形的面积公式解答即可.

【详解】

•.•点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点，

AEF/7BD,KEF=-BD=1.

2

同理求得EH〃AC〃GF,且EH=GF=-AC=5,

2

又；AC_LBD,

；.EF〃GH,FG〃HE且EF_LFG.

四边形EFGH是矩形.

四边形EFGH的面积=EF・EH=1X5=2,即四边形EFGH的面积是2.

故选B.

【点睛】

本题考查的是中点四边形.解题时，利用了矩形的判定以及矩形的定理，矩形的判定定理有：

(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；

(2)有三个角是直角的四边形是矩形；

(1)对角线互相平分且相等的四边形是矩形.

7、A

【解析】

从左面看，得到左边2个正方形，中间3个正方形，右边1个正方形.故选A.

8、C

【解析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lW|a|V10,n为整数.确定〃的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，"是正数；当原数的绝对值＜1时，"是负

数.

【详解】

7490000=7.49x10®.

故选C.

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中1WIMV10,〃为整数，表示时关键要

正确确定”的值以及"的值.

9、A

【解析】

利用三角形内角和求NB,然后根据相似三角形的性质求解.

【详解】

解：根据三角形内角和定理可得：ZB=30°,

根据相似三角形的性质可得：NB，=NB=30。.

故选：A.

【点睛】

本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是本题的解题关键.

10、D

【解析】

1112

解：设AABP中A5边上的高是加TSAPAB—-S矩形ABCD，：.-AB»h=-AB»AD,：.h=-AD=2,，动点P在与A3

3233

平行且与A3的距离是2的直线/上，如图，作A关于直线/的对称点E,连接AE,连接BE,则BE就是所求的最短

距离.

在RtAABE中，：A3=5,AE=2+2=4,：.BE=YJAB2+AE2=752+42=屈，即PA+PB的最小值为例.故选D.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、20

【解析】

先设出白球的个数，根据白球的频率求出白球的个数，再用总的个数减去白球的个数即可.

【详解】

设黄球的个数为x个，

•.•共有黄色、白色的乒乓球50个，黄球的频率稳定在60%,

.,.—=60%,

50

解得x=30,

...布袋中白色球的个数很可能是50—30=20（个）.

故答案为：20.

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.

12、41

【解析】

试题分析：如图，连接EF

,/AADF与4DEF同底等高，

••SAADF=SADEF,

即SAADF-SADPF=SADEF-SADPF,

即SAAPD=SAEPF=16cm1,

同理可得SABQC=SAEFQ=15CHI1,、

・•・阴影部分的面积为SAEPF+SAEFQ=16+15=41cm1.

考点：1、三角形面积，1、平行四边形

13、50°

【解析】【分析】直接利用圆周角定理进行求解即可.

【详解】•••弧AB所对的圆心角是100。，

...弧AB所对的圆周角为50°,

故答案为：50。.

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一

半.

14、2

【解析】

试题分析：设此圆锥的底面半径为r,根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，

120万x6

2nr=--------，解得r=2cm.

180

考点：圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系.

15、10<a<10V2.

【解析】

根据题设知三角形ABC是直角三角形，由勾股定理求得AB的长度及由三角形的三边关系求得a的取值范围；然后根

据题意列出二元二次方程组，通过方程组求得xy的值，再把该值依据根与系数的关系置于一元二次方程

2fr10

z-az+~°=0中，最后由根的判别式求得a的取值范围.

2

【详解】

；M是AB的中点，MC=MA=5,

.、△ABC为直角三角形，AB=10；

.,.a=AC+BC>AB=10；

令AC=x、BC=y.

x+

'*[x2+y2=100，

...X、y是一元二次方程z2-az+'1T0°=0的两个实根，

2

••.△=a2-4x£l-i22>0,即彩10&.综上所述，a的取值范围是10<2勺0后.

故答案为10<a<10V2.

【点睛】

本题综合考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线及根的判别式.此题的综合性比较强，解题时，还利用了一元二

次方程的根与系数的关系、根的判别式的知识点.

16、3(x-2)(x+2)

【解析】

先提取公因式3,再根据平方差公式进行分解即可求得答案.注意分解要彻底.

【详解】

原式=3(x2-4)=3(x-2)(x+2).

故答案为3(x-2)(x+2).

【点睛】

本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)作图见解析(2)ZBDC=72°

【解析】

解：(1)作图如下：

(2)•在ZkABC中，AB=AC,ZABC=72°,

/.ZA=180°-2ZABC=180°-144°=36°.

VAD是/ABC的平分线，.*.ZABD=-ZABC=-x72°=36°.

22

■:ZBDC是AABD的外角，:.NBDC=NA+NABD=360+36°=72°.

(I)根据角平分线的作法利用直尺和圆规作出NABC的平分线：

①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点E、F；

②分别以点E、F为圆心，大于‘EF为半径画圆，两圆相较于点G,连接BG交AC于点D.

2

(2)先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出NA的度数，再由角平分线的性质得出

ZABD的度数，再根据三角形外角的性质得出NBDC的度数即可.

1

18、(1)c=—1—/?；(2)y—x~9—2x—3；(3)—

-2

【解析】

(1)把A(-1,0)代入y=x2-bx+c,即可得到结论；

(2)由(1)得，y=x2-bx-l-b,求得EO=2,AE=—+1=BE,于是得至！|OB=EO+BE=2+B+i=b+l,当x=0时，得

2222

到丫=m-1,根据等腰直角三角形的性质得到D(。，-b-2),将D■，-b-2)代入y=x2-bx-Lb解方程即可得到结论;

(3)连接QM,DM,根据平行线的判定得到QN〃MH,根据平行线的性质得到NNMH=NQNM,根据已知条件得

到NQMN=NMQN,设QN=MN=t,求得Q(1-t,t2-4),得到DNM-4-(-4)=t2,同理，设MH=s,求得NHM",

根据勾股定理得到NH=1,根据三角函数的定义得到NNMH=NMDH推出NNMD=90。；根据三角函数的定义列方程

535

得到t2=匚(舍去)，求得MN=7,根据三角函数的定义即可得到结论.

353

【详解】

(1)把A(-1,0)代入y=x?-bx+c,

；・1+b+c=0,

：•c=-1—b；

(2)由⑴得，y=x2-bx-l-b,

•・•点D为抛物线顶点，

AEO=-,AE=-+1=BE,

22

OB=EO+BE=-+-+l=b+l,

22

当x=0时，y=-b-1,

/.CO=b+l=BO,

.../OBC=45°,

/."FB=90°-45°=45°="BF,

，EF=BE=AE=DF,

ADE=AB=b+2,

...D、,-b—2)

将口］»,一1)一2］代入y=x?—bx—1—b得,_t)_2=(q)—-b—1>

解得：b1=2,b?=-2(舍去)，

二次函数解析式为：y=x2—2x—3；

VQN±ED,MP_LED,

.•./QNH=^MHD=90°,AQN//MH,

NNMH=NQNM,

•/NQMN+NQMP=180°,

NQMN+1QMN+/NMH=180°,

•；NQMN+NMQN+NNMH=180°,

NQMN=NMQN,设QN=MN=t,则Q(l—t,t?—4),

/.DN=t2-4-(^)=t2,同理，

设MN=s,则HD=s2,二NH=t2—s?,

在RtAMNH中，NH2=MN2-MH\

•••优-1-s,

・・・NH=1,

/…NH1

・・tan/NMHTT=------=—,

tan/MDH=^

DH

••.^NMH=^TVIDH,

V^NMH+^MNH=90°,

:.^MDH+^MNH=90°,

/.^NMD=90°；

；QN:DH=15:16,

ADH=—t,DN=—1+1,

1515

Vsin^NMH=sinNMDN,

53

解得：t]=§,t2=——（舍去）,

MN=-,

,:NH2=MN2-MH2,

4

AMH=-=PH,

3

47

PK=PH+KH=—+1=—,

33

.".CK=3--=-,

99

7

tan/KPC=2=L

73

3

•••4KC=4OC=90°,

:.^KGC=ZOBC=45°，

77r-7714

KG=CK=-,CG=-V2,PG=-----=一,

99399

过P作PTLBC于T,

B7

PT=GT=—PG=-V2=CG,

29

ACT=2PT,

PTPT1

tan/PCF=——=——

CT2PT2

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行线的性质，三角函数的定义，勾股定理，正确的作出辅助线构造直

角三角形是解题的关键.

19、(4)500；(4)440,作图见试题解析；(4)4.4.

【解析】

(4)利用0.5小时的人数除以其所占比例，即可求出样本容量；

(4)利用样本容量乘以4.5小时的百分数，即可求出4.5小时的人数，画图即可；

(4)计算出该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间即可.

【详解】

解：(4)由题意可得：0.5小时的人数为：400人，所占比例为：40%,

,本次调查共抽样了500名学生；

(4)4.5小时的人数为：500x4.4=440(人)，如图所示：

100x0.5+200x+120xl.5+80x2

(4)根据题意得:=4.4,即该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间为4.4

100+200+120+80

小时.

考点：4.频数(率)分布直方图；4.扇形统计图；4.加权平均数.

(1)反比例函数的解析式为y=e,一次函数的解析式为y=-Lx+1.(2)2.

20、

x2

【解析】

VYl

(1)根据反比例函数72=—的图象过点A(2,3),利用待定系数法求出力，进而得出3点坐标，然后利用待定系数

x

法求出一次函数解析式；

(2)设直线以=履+方与x轴交于C,求出C点坐标，根据SAAOB=SAAOC-SABOC,列式计算即可.

【详解】

(1)•・•反比例函数刈=一的图象过A(2,3),B(6,〃)两点，，帆=2x3=6"，，m=6,〃=1,工反比例函数的解析

x

式为y=9,8的坐标是(6,1).

X

[2k+b=3左二--1

把A(2,3)、B(6,1)代入yi=«x+6,得：＜6k+解得：2,・••一次函数的解析式为-jx+l.

b=42

(2)如图，设直线尸-；x+l与x轴交于C,则C(2,0).

11.

S&AOB=SAAOC~SABOC^X2X3-x2xl=12-1=2.

22

【点睛】

本题考查了待定系数法求反比例函数、一次函数解析式以及求三角形面积等知识，根据已知得出B点坐标以及得出

SAAOB=SAAOC-SABOC是解题的关键.

21、(1)该公司计划购进A种品牌的教学设备20套，购进B种品牌的教学设备30套；(2)A种品牌的教学设备购进

数量至多减少1套.

【解析】

(1)设该公司计划购进A种品牌的教学设备x套，购进B种品牌的教学设备y套，根据花11万元购进两种设备销售

后可获得利润12万元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)设A种品牌的教学设备购进数量减少m套，则B种品牌的教学设备购进数量增加1.5m套，根据总价=单价x数

量结合用于购进这两种教学设备的总资金不超过18万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最大的整

数即可得出结论.

【详解】

解：(1)设该公司计划购进A种品牌的教学设备x套，购进B种品牌的教学设备y套，

1.5x+1.2y—66

根据题意得：j(L8-1.5)x+(1.4-1.2)尸2

fx=20

解得：”.

U=3。

答：该公司计划购进A种品牌的教学设备20套，购进B种品牌的教学设备30套.

(2)设A种品牌的教学设备购进数量减少m套，则B种品牌的教学设备购进数量增加1.5m套,

根据题意得:1.5(20-m)+1.2(30+1.5m)<18,

20

解得：m<—,

3

为整数，

:.m<l.

答：A种品牌的教学设备购进数量至多减少1套.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一

次方程组；(2)根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式.

22、(1)y=-30x+l；(2)每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润2元；(3)该网店每星期想要获

得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件.

【解析】

(1)每星期的销售量等于原来的销售量加上因降价而多销售的销售量，代入即可求解函数关系式；

(2)根据利润=销售量%(销售单价-成本)，建立二次函数，用配方法求得最大值.

(3)根据题意可列不等式，再取等将其转化为一元二次方程并求解，根据每星期的销售利润所在抛物线开口向下求出

满足条件的x的取值范围，再根据(1)中一元一次方程求得满足条件的x的取值范围内y的最小值即可.

【详解】

(1)y=300+30(60-x)=-30x+l.

(2)设每星期利润为W元，

W=(x-40)(-30x+l)=-30(x-55)2+2.

.\x=55时,W最大值=2*

二每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润2元.

(3)由题意(x-40)(-30x+l)>6480,解得52Wx/58,

当x=52时，销售300+30x8=540,

当x=58时，销售300+30x2=360,

...该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件.

【点睛】

本题主要考查一次函数的应用和二次函数的应用，注意综合运用所学知识解题.

23、(1)AABC是“等高底”三角形；(1)叵;(3)CD的值为2加，1、巧，1.

23

【解析】

(1)过A作于，则AAOC是直角三角形，ZADC=90°,根据30。所