异面直线所成角62683

１、一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条之间的位置关系是（）Ａ、平行Ｂ、相交Ｃ、异面Ｄ、可能平行、可能相交、可能异面２、两条异面直线指的是（）Ａ、没有公共点的两条直线Ｂ、分别位于两个不同平面的两条直线Ｃ、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线Ｄ、不同在任何一个平面内的两条直线练习：DD3、下列命题中，其中正确的是（１）若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行（２）若两条直线都和第三条直线相交，那么这两条直线互相平行（３）若两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行（４）若两条直线都和第三条直线异面，那么这两条直线互相平行4.若两直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系_________．5.直线a和b分别是长方体的两个相邻的面的对角线所在直线，则a和b的位置关系是_________．6．如果OA∥O1A1，OB∥O1B1，∠AOB＝40

，则∠A1O1B1＝

．

1．空间两直线的位置关系．位置关系共面情况公共点个数相交在同一平面内有且只有一个平行没有异面不同在任一平面内复习回顾：

2．平行公理．

3．空间等角定理．4．异面直线空间内不同在任一平面内的两条直线叫异面直线．(不平行也不相交)．4.2异面直线的画法

mn

ABl

mn

mn画异面直线一定要依托于平面．4.1定义．对于异面直线，如何判定，又如何进一步刻画呢？用反证法证明：空间四边形ABCD的对角线AC，BD是异面直线．DABC

在空间四边形中，各边所在直线异面的共有几对？练习：空间里,不在同一个平面上的四个点两两相连,就是空间四边形

例1．求证过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线．已知：A

，B

，B

l，l

．求证：直线AB和l是异面直线．

ABl定理：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线．符号表示：若A

，B

，B

l，l

，则直线AB与l是异面直线．——两点一线一面判定两条直线是异面直线的常用方法：反证法．3.已知不共面的三直线a，b，c相交于点O，M，P是a上两点，N，Q分别在b，c上．求证：MN，PQ异面.

acbOPMQN法二：（判定定理）∵a∩c=O，∴它们确定一个平面，

设为β

，由已知N∉平面β

，M∈平面β

，

PQ⊂平面β

，M∉PQ，

∴PQ和MN是异面直线．证明：法一：（反证法）假设PQ和MN共面，所确定的平面为β，

那么点P、Q、M、N都在平面β内，∴PM⊂β

即a⊂β∴O∈平面β∴直线OQ、ON都在平面β内,即直线b、c都在平面β内∴直线a、b、c都在平面β内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，

假设不成立，∴AD和BC是异面直线．

小结：异面直线的判定：①利用定义；②判定定理：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线．符号表示：若A

，B

，B

l，l

，则直线AB与l是异面直线．

——两点一线一面③常用方法：反证法．定量异面直线所成的角aα一、异面直线所成角的定义：1.直线a、b是异面直线。经过空间任意一点O，分别作直线a1∥a，b1∥b。我们把直线a1和b1所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。ba1b1Ob

aαOθ为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上。

2.异面直线a和b所成的角的范围：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。

相交垂直（有垂足）垂直异面垂直（无垂足）OααO因此，异面直线所成角的范围是（0，]3、特例：空间内O点“任取”，说明角的大小与点O的位置选取无关，只由两直线的相对位置所确定；

abOa

b

a

思考：异面直线所成角的大小与点O的位置选取有关吗？为什么？a

，b

相交，将异面直线转化为平面内两相交直线所成的角进行度量，立体问题平面化；找异面直线所成的角的关键是什么？平移转化为平面角例1.如图，在正方体中，（1）哪些棱所在的直线与直线BA1成异面直线？（2）求直线BA1和CC1所成的角的大小。四、例题分析：解：（1）与直线BA1成异面直线有AD、CD、B1C1、C1D1、C1C、D1D（2）∵B1B∥C1C∴∠A1B1B是异面直线BA1和CC1所成的角易求得所成的角为AA1BB1CC1DD1AA1BB1CC1DD1例2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求下列各对异面直线所成的角O

主要步骤：①构造平面角；②证明；③求角计算．(1)AC与B1D1；(2)AC与BC1(3)A1B与B1D1．（4）BD1与AC例2.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体DCBAA1D1C1B1异面直线所成角的求法(2)BC1和AC新课讲解：AA1BB1CC1DD1例2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求下列各对异面直线所成的角O

主要步骤：①构造平面角；②证明；③求角计算．转化为平面角(3)A1B与B1D1．DCBAA1D1C1B1异面直线所成角的求法oE（4）BD1与AC

DCBAA1D1C1B1异面直线所成角的求法补形法（4）BD1与AC

AA1BB1CC1DD1练习．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为所在棱的中点，求下列各对异面直线所成的角．OPEFMNL*中位线(1)EF与MN；(2)EF与BD1．例2．空间四边形ABCD中，E，F分别是对角线BD，AC的中点，(1)若BC＝AD＝2EF，求直线EF与AD所成角的大小．(2)若AB＝8，CD＝6，EF＝5，求AB与CD所成角的大小．BCDAEF求异面直线所成的角的一般步骤是：

根据异面直线所成角的定义，求异面直线所成角,就是要将其变换成相交直线所成的角。其方法为：

平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。(1)找出或作出有关的图形；(2)证明它符合定义；(3)计算。[即：一证二作三求]

具体地讲是选择“特殊点”作异面直线的平行线，构作含异面直线所成(或其补角)的角的三角形，再求之。

1．异面直线的判定．小结：①利用定义；②判定定理：若A

，B

，B

l，l

，则直线AB与l是异面直线．

——两点一线一面③常用方法：反证法．

2．异面直线所成的角．练习：1.指出下列命题是否正确，并说明理由.①过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线.②过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直.③若a∥b，c⊥a则b⊥c．④若c⊥a，b⊥c则a∥b．⑤分别与两条异面直线a，b都相交的两条直线c，d一定异面.2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1所成角为60

的面对角线有

条AA1BB1CC1DD13.已知不共面的三直线a，b，c相交于点O，M，P是a上两点，N，Q分别在b，c上．求证：MN，PQ异面.

acbOPMQN法二：（判定定理）∵a∩c=O，∴它们确定一个平面，

设为β

，由已知N∉平面β

，M∈平面β

，

PQ⊂平面β

，M∉PQ，

∴PQ和MN是异面直线．证明：法一：（反证法）假设PQ和MN共面，所确定的平面为β，

那么点P、Q、M、N都在平面β内，∴PM⊂β

即a⊂β∴O∈平面β∴直线OQ、ON都在平面β内,即直线b、c都在平面β内∴