江苏省南京市栖霞区2024年中考数学模试卷（含解析）

江苏省南京市栖霞区重点名校2024年中考数学模试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.若等式（-5）口5―1成立，贝后内的运算符号为（）

A.+B.—C.xD.4-

2.若关于x、y的方程组xIy=.k尸4有实数解'则实数k的取值范围是（）

A.k>4B.k<4C.k<4D.k>4

3.下列方程有实数根的是（）

A.X4+2=0VX2-2=-1

C.x+2x—1=0

x—1x—1

使CE=gcD,过点B作BF〃DE,与AE的延长线

4.如图，ZACB=90°,D为AB的中点,连接DC并延长到E,

交于点F,若AB=6,则BF的长为（）

5.如图，在AABC中，边上的高是（）

B.BHC.CDD.AF

6.如图，一个斜边长为10cm的红色三角形纸片，一个斜边长为6cm的蓝色三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼

成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（）

黄

*-------lOrm--------]

A.60cm2B.50cm2C.40cm2D.30cm2

7.已知x2+mx+25是完全平方式，则m的值为（）

A.10B.±10C.20D.±20

8.圆锥的底面直径是80cm,母线长90c帆，则它的侧面积是

A.36071cm2B.12071cm2C.ISOO^cm2D.3600^cm2

9.已知圆内接正三角形的面积为3B，则边心距是（）

A.2B.1C.73D.

~T

10.如图，圆O是等边三角形内切圆，则/BOC的度数是（）

A

BC

A.60°B.100°C.110°D.120°

11.一元二次方程3x2-6x+4=0根的情况是

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有两个实数根D.没有实数根

12.如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（）

/

从正面看

B.^‘JT

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.关于工的一元二次方程4/+4依+a+l=O有两个相等的实数根，则且出

的值等于

a—1

1

14.若式子仁―彳有意义,则x的取值范围是____.

j2x+3

15.若一组数据1,2,3,x的平均数是2,则x的值为.

16.如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60。、45°,如果无人机距地面高度CD为10。6米，

点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是米.（结果保留根号）

17.若式子七日有意义，则实数x的取值范围是.

x

18.设西、々是一元二次方程V—5x—1=0的两实数根，则再2+%2的值为.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60。角，在离电线杆6米的B处

安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30。，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）.

4x-3y=11,①

20.（6分）解方程组

2x+y=13.②

21.（6分）某海域有A、B两个港口，B港口在A港口北偏西30。方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出

发,沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75。方向的C处，求：

（1）ZC=°；

（2）此时刻船与B港口之间的距离CB的长（结果保留根号）.

22.(8分)深圳某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息:

“读书节“活动计划书

书本类别科普类文学类

进价」(单位：元)1812

(1)用不超过16800元购进两类图书共1000本；科普类图书不少于600

备注本；

(1)已知科普类图书的标价是文学类图书标价的L5倍，若顾客用540元购买的图书，能单独购买科普类图书的数量

恰好比单独购买文学类图书的数量少10本，请求出两类图书的标价；经市场调查后发现：他们高估了“读书节”对图书

销售的影响，便调整了销售方案，科普类图书每本标价降低。(0<a<5)元销售，文学类图书价格不变，那么书店应

如何进货才能获得最大利润？

23.(8分)程大位是珠算发明家，他的名著《直指算法统宗》详述了传统的珠算规则，确立了算盘用书中有如下问题：

一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁.意思是：有100个和尚分100个馒头，如果

大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？

24.(10分)如图1,在菱形A3C。中，AB=6后,tan/A8C=2,点E从点。出发，以每秒1个单位长度的速度沿

着射线"4的方向匀速运动，设运动时间为秒)，将线段CE绕点C顺时针旋转一个角a(a=N5CD),得到对应

线段C尸.

(1)求证：BE=DF;

(2)当/=秒时，O歹的长度有最小值，最小值等于;

(3)如图2,连接8。、EF.BD交EC、E歹于点尸、Q,当f为何值时，△EP0是直角三角形?

25.(10分)如图，抛物线y=ax?-2ax+c(a/0)交x轴于A、B两点，A点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,

4),以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G.

PM的长；在（2）的条件下，连结PC,则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的

三角形和AAEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由.

1k

26.（12分）如图，直线y=-x+2与双曲线丫=—相交于点A（m,3）,与x轴交于点C.求双曲线的解析式；点P在

2x

x轴上，如果AACP的面积为3,求点P的坐标.

27.（12分）如图，为了测量建筑物AB的高度」，在D处树立标杆CD,标杆的高是2m,在DB上选取观测点E、F,

从E测得标杆和建筑物的顶部C、A的仰角分别为58。、45°.从F测得C、A的仰角分别为22。、70°.求建筑物AB

的高度（精确到0.1m）.（参考数据：tan22°«0.40,tan58°~1.60,tan70°~2.1.）

DEB

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、D

【解析】

根据有理数的除法可以解答本题.

【详解】

解：（-5）4-5=-1,

...等式（-5）口5=-1成立，贝！I口内的运算符号为+,

故选D.

【点睛】

考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数的混合运算的计算方法.

2、C

【解析】

利用根与系数的关系可以构造一个两根分别是x,y的一元二次方程，方程有实数根，用根的判别式K）来确定左的取

值范围.

【详解】

解：""xy—k,x+y—4,

,根据根与系数的关系可以构造一个关于机的新方程，设x,y为方程近2一4〃?+左=0的实数根.

-4«C=16-4左>0,

解不等式16-4左20得

k<4.

故选：C.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用和根与系数的关系.解题的关键是了解方程组有实数根的意义.

3、C

【解析】

分析：根据方程解的定义，一一判断即可解决问题；

详解：A.,.,工4>0,...工4+2=0无解；故本选项不符合题意；

B.•；正一2*，：•&_2=T无解，故本选项不符合题意;

C.Vx2+2x-1=0,A=8=4=12>0,方程有实数根，故本选项符合题意；

Y1

D.解分式方程一匚=——，可得x=l,经检验x=l是分式方程的增根，故本选项不符合题意.

x-1x-1

故选C.

点睛：本题考查了无理方程、根的判别式、高次方程、分式方程等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考

常考题型.

4、C

【解析】

VZACB=90°,D为AB的中点，AB=6,

1

•\CD=-AB=1.

2

r1

又CE=—CD,

3

/.CE=1,

/.ED=CE+CD=2.

又,；BF〃DE,点D是AB的中点，

•,.ED是4AFB的中位线，

/.BF=2ED=3.

故选C.

5、D

【解析】

根据三角形的高线的定义解答.

【详解】

根据高的定义，A歹为AABC中边上的高.

故选D.

【点睛】

本题考查了三角形的高的定义，熟记概念是解题的关键.

6、D

【解析】

标注字母，根据两直线平行，同位角相等可得NB=NAED,然后求出△ADE和△EFB相似，根据相似三角形对应边

DE5EF5

成比例求出一=—，即一=一，设BF=3a,表示出EF=5a,再表示出BC、AC,利用勾股定理列出方程求出a的

BF3BF3

值，再根据红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积计算即可得解.

【详解】

解:如图，•.•正方形的边DE〃CF,

/.ZB=ZAED,

,-,ZADE=ZEFB=90°,

/.△ADE-^AEFB,

.DE_AE_5

••而一而一%一3'

•EF_5

••——9

BF3

设BF=3a,贝!|EF=5a,

/.BC=3a+5a=8a,

540

AC=8ax—=a,

33

在RtAABC中，AC】+BCi=ABi,

40

即(一a)U(8a)i=(10+6)b

3

1Q

解得/=3，

140

红、蓝两张纸片的面积之和=一x—ax8a-(5a)\

23

160,,

=-----a1-lSa1,

3

85,

=—a',

3

8518

——X--f

317

=30cm1.

故选D.

【点睛】

本题考查根据相似三角形的性质求出直角三角形的两直角边，利用红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减

去正方形的面积求解是关键.

7、B

【解析】

根据完全平方式的特点求解：a2±2ab+b2.

【详解】

*.,X2+»IX+25是完全平方式，

,'.m=±10,

故选B.

【点睛】

本题考查了完全平方公式:层±2而+眄其特点是首平方，尾平方，首尾积的两倍在中央，这里首末两项是x和1的平方,

那么中间项为加上或减去x和1的乘积的2倍.

8、D

【解析】

圆锥的侧面积=；x807rx90=360(hr(cm2).

故选D.

9、B

【解析】

根据题意画出图形，连接4。并延长交5c于点。，则设。。=x,由三角形重心的性质得AZ>=3x,利用锐

角三角函数表示出50的长，由垂径定理表示出5c的长，然后根据面积法解答即可.

【详解】

如图，

A

连接4。并延长交3C于点。，则

设OD=x,贝!|AD=3x,

BD

•:tanZBAZ)=-----,

AD

/.BD-tan30°*AD=Mx,

：.BC=2BD=2y/3x9

•:LBCAD=36,

2

1「「

:.—x2>/3xx3x=3，3，

/.x=l

所以该圆的内接正三边形的边心距为1,

故选B.

【点睛】

本题考查正多边形和圆，三角形重心的性质，垂径定理，锐角三角函数，面积法求线段的长，解答本题的关键是明确

题意，求出相应的图形的边心距.

10、D

【解析】

由三角形内切定义可知OB、OC是NABC、NACB的角平分线，所以可得到关系式NOBC+NOCB=，

2

(ZABC+ZACB),把对应数值代入即可求得NBOC的值.

【详解】

解：•••△ABC是等边三角形，

.*ZA=ZABC=ZACB=60°,

•.•圆O是等边三角形内切圆，

，OB、OC是NABC、NACB的角平分线，

.,.ZOBC+ZOCB=-(ZABC+ZACB)=-(180°-60°)=60°,

22

:.ZBOC=180°-60=120°,

故选D.

【点睛】

此题主要考查了三角形的内切圆与内心以及切线的性质.关键是要知道关系式NOBC+NOCB=，(ZABC+ZACB).

2

11、D

【解析】

根据A=Z»2-4ac,求出△的值，然后根据△的值与一元二次方程根的关系判断即可.

【详解】

■:。=3乃=-6,c=4,

:.A=ft2-4ac=(-6)2-4x3x4=-12<0,

・•・方程3x2-6x+4=0没有实数根.

故选D.

【点睛】

本题考查了一元二次方程依2+取+,=0(〃加)的根的判别式A="-4ac：当△>()时，一元二次方程有两个不相等的实数

根；当△=()时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△<()时，一元二次方程没有实数根.

12、A

【解析】

分析：根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案.

详解：从上面看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是一个小正方形,

故选：A.

点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、-3

【解析】

分析：先根据根的判别式得到a-l=L,把原式变形为/+a+3a+3—5a—7,然后代入即可得出结果.

a

详解：由题意得：△=(4^)2-4x4(^+1)=0，**•6z2-6/-1=0，I./=〃+,gpa(a-l)=l,.\a-l=-,

a，—8〃a，—8〃

=〃6_8〃2=(昌3_8〃2

a-11

a

—(a+1)，—8(〃+1)—济+3a2+3a+1—8〃—8—/+3。？—5a—7

=a(a+1)+3(a+1)—5a—7

=cT—a—4

=1-4=-3

故答案为-3.

点睛:本题考查了一元二次方程axZ+bx+c=O(a/))的根的判别式△=bMac：当A>0,方程有两个不相等的实数根;当A<0,

方程没有实数根；当△=(),方程有两个，相等的实数根，也考查了一元二次方程的定义.

,3

14、x>---.

2

【解析】

......…_33

解：依题意得：2x+3>l.解得上>-7.故答案为%>-不.

22

15、1

【解析】

根据这组数据的平均数是1和平均数的计算公式列式计算即可.

【详解】

•••数据1,L3,%的平均数是1,

.l+2+3+x

..-----------=2,

4

解得：x=2.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了平均数的定义，根据平均数的定义建立方程求解是解题的关键.

16、100(1+73)

【解析】

分析：如图，利用平行线的性质得NA=60。，ZB=45°,在R3ACD中利用正切定义可计算出AD=100,在R3BCD

中利用等腰直角三角形的性质得BD=CD=100#,然后计算AD+BD即可.

详解：如图，

•••无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60。、45°,

/.ZA=60o,ZB=45°,

*48

在RtAACD中，■:tanA=-----，

AD

…IOOA/3

・・AD=----------=100,

tan60°

在RtABCD中，BD=CD=100V3,

/.AB=AD+BD=100+10073=100(1+73).

答：A、B两点间的距离为100(1+73)米.

故答案为100(1+逝).

点睛：本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关

联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形.

17、xW2且"1

【解析】

根据被开方数大于等于1,分母不等于1列式计算即可得解.

【详解】

解：由题意得，2-且x#L,

解得尤＜2且x/1.

故答案为尤＜2且中1.

【点睛】

本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为1；二次根式的被开方数是非负数.

18、27

【解析】

试题分析：根据一元二次方程根与系数的关系，可知X]+0=5,X「％2=-1，因此可知

x；+X；=（否+%2）2-2玉巧=25+2=27.

故答案为27.

hr

点睛：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题时灵活运用根与系数的关系：石+%=—-,，

aa

确定系数a,b,c的值代入求解，然后再通过完全平方式变形解答即可.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、CE的长为（4+.「）米

【解析】

由题意可先过点A作AH_LCD于H.在R3ACH中，可求出CH,进而CD=CH+HD=CH+AB,再在RtACED中,

求出CE的长.

【详解】

过点A作AHLCD,垂足为H,

由题意可知四边形ABDH为矩形，ZCAH=30°,

；.AB=DH=1.5,BD=AH=6,

*»CH

在RtZkACH中，tan/CAH=——，

AH

.,.CH=AH»tanZCAH,

:.CH=AH«tanZCAH=6tan30°=6x6=2百（米）,

3

•/DH=1.5,

,\CD=273+1.5,

在RtACDE中，

CD

；NCED=60°,sinZCED=——，

CE

2用1.5

，CE=­忑~=(4+^/3)(米)，

~2

答：拉线CE的长为(4+遂)米.

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题

x—5

20、[\y=3

【解析】

将②x3,再联立①②消未知数即可计算.

【详解】

解：

②x3得：6x+3y=39(3)

①+③得：10%=50

%=5

把x=5代入③得10+3y=39

>=3

x=5

•••方程组的解为.

U=3

【点睛】

本题考查二元一次方程组解法，关键是掌握消元法.

21、(1)60；(2)30A/2+10V6

【解析】

(1)由平行线的性质以及方向角的定义得出/尸R4=NEAB=30。，ZFBC=15°,那么NA3C=45。，又根据方向角的定

义得出ZBAC=ZBAE+ZCAE=75°,利用三角形内角和定理求出ZC=60。；

(2)作AD1BC交BC于点D,解RtAABD,得出80=40=30&,解ACD,得出0)=10&,根据BC=BD+CD

即可求解.

解：(1)如图所示，

VZEAB=30°,AE//BF,

：.ZFBA=30°,

又NFBC=75°,

:.ZABC=45°,

VZBAC=ZBAE+ZCAE=75°,

.*.NC=60°.

故答案为60；

VZABD=45°,A5=60,

.•.40=30=300.

在RtAACD中,

VZC=60°,4Z>=300,

...0）=22^1=10几，

：.BC=BD+CD=30y/2+1076.

答：该船与5港口之间的距离CB的长为（30后+10#）海里.

22、（1）A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；（2）当A类图书每本降价少于3元时，A类图书购进800

本，B类图书购进200本，利润最大；当A类图书每本降价大于等于3元，小于5元时，A类图书购进600本，B类

图书购进400本，利润最大.

【解析】

（1）先设B类图书的标价为x元，则由题意可知A类图书的标价为1.5x元，然后根据题意列出方程，求解即可.

（2）先设购进A类图书f本，总利润为w元，则购进B类图书为（1000-f）本，根据题目中所给的信息列出不等式组,

求出，的取值范围，然后根据总利润w=总售价-总成本，求出最佳的进货方案.

【详解】

解：(1)设5类图书的标价为x元，则A类图书的标价为1.5x元,

根据题意可得754-010540

x1.5%

化简得：540-10x=360,

解得：x=18,

经检验：x=18是原分式方程的解，且符合题意，

则A类图书的标价为：1.5x=1.5xl8=27(元)，

答：A类图书的标价为27元，5类图书的标价为18元；

(2)设购进A类图书f本，总利润为w元，A类图书的标价为(27口)元(0<a<5),

’18计12(1000-。勺6800

由题意得，\t>600,

解得：6003s800,

则总利润"=(27-a-18)t+(18-12)(1000-/)

=(9-a)t+6(1000-/)

=6000+(3-a)t,

故当0VaV3时，3-a>0,f=800时，总利润最大，且大于6000元；

当a=3时，3-a=0,无论f值如何变化，总利润均为6000元；

当3<a<5时，3-a<0,f=600时，总利润最大，且小于6000元；

答：当A类图书每本降价少于3元时，A类图书购进800本，B类图书购进200本时，利润最大；当A类图书每本降

价大于等于3元，小于5元时，A类图书购进600本，5类图书购进400本时，利润最大.

【点睛】

本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在

于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解.

23、大和尚有25人，小和尚有75人.

【解析】

设大和尚有x人，小和尚有y人，根据100个和尚吃100个馒头且1个大和尚分3个、3个小和尚分1个，即可得出

关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论.

【详解】

解：设大和尚有x人，小和尚有y人，

x+y=100

依题意，得：<1,

3x+-y=100

(x=25

解得：(y=75.

答：大和尚有25人，小和尚有75人.

【点睛】

考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.

24、(1)见解析；(2)t=(675+6),最小值等于12；(3)，=6秒或6逐秒时，AEP。是直角三角形

【解析】

(1)由/EC尸得结合。C=3C、CE=CF证AOCF丝△5CE即可得；

(2)作交ZM的延长线于当点E运动至点时，由。F=8秒知此时。尸最小，求得3H、即可得

答案；

(3)①NEQP=90°时，由NECF=NBCD、BC=DC、EC=JFC得N5C尸=NE。尸=90°,根据AB=C£)=66,

tanZABC=tanZADC=2即可求得Z)E；

②NEPQ=90。时，由菱形ABC。的对角线AC,30知EC与AC重合，可得。岳=6逐.

【详解】

(1)VZECF=ZBCD,即N5CE+NOCE=NZ>CF+NOCE,

:.NDCF=/BCE,

•.•四边形ABC。是菱形，

：.DC=BC,

在4。。厂和45CE中，

CF=CE

<ZDCF=ZBCE,

CD=CB

:ADCF沿/XBCE(SAS),

；.DF=BE；

(2)如图1,作BE'IDA交DA的延长线于E'.

当点E运动至点£7时，DF=BE',此时OF最小,

在RtAABE，中，AB=6y]5，tanZABC=tanZBAE'=2,

...设AE，=x,则BE，=2x,

'•AB=-^5x—6y/5>x—6,

则AE'=6

：.DE'=6y/5+6,DF=BE'=12,

时间t=6逐+6,

故答案为：6J?+6,12；

(3),:CE=CF,

：.ZCEQ<90°,

①当NE。尸=90。时，如图2①,

'：ZECF=ZBCD,BC=DC,EC=FC,

:.NCBD=NCEF,

；/BPC=NEPQ,

：.NBCP=NEQP=90°,

":AB=CD=6非,tanNABC=tanNAI>C=2,

：.DE=6,

；.f=6秒；

②当NEPQ=90。时，如图2②，

图2②

,菱形ABCD的对角线ACLBD,

EC与AC重合，

:.DE=6逐,

-'•t=6y/5秒，

综上所述，f=6秒或6逐秒时，AEP0是直角三角形.

【点睛】

此题是菱形与动点问题，考查菱形的性质，三角形全等的判定定理，等腰三角形的性质，最短路径问题，注意(3)中

的直角没有明确时应分情况讨论解答.

484

25、(1)抛物线的解析式为y=—9+§x+4；(2)PM=—gm'9+4m(0<m<3)；(3)存在这样的点P使APFC

23

与AAEM相似.此时m的值为一或1,△PCM为直角三角形或等腰三角形.

16

【解析】

(1)将A(3,0),C(0,4)代入y=ax2—2ax+c,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式.

(2)先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，从而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点

P、点M的坐标，即可得到PM的长.

(3)由于NPFC和NAEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况

进行讨论：①△PFCsaAEM,②△CFPs^AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据

相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判

断出△PCM的形状.

【详解】

解：(1)•抛物线y=ax2-2ax+c(a加)经过点A(3,0),点C(0,4),

.4

/产解得「二一7

c=4

48

・•・抛物线的解析式为y=--x29+jx+4.

(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,

VA(3,0),点C(0,4),

,解得卜二一j

3k+b=0

b=4

b=4

4

二直线AC的解析式为y=--x+4.

:点M的横坐标为m,点M在AC上,

一4

・，・M点的坐标为(m,—m+4).

3

48

:点P的横坐标为m,点P在抛物线y=—§x29+：x+4上，

_4O8

，点P的坐标为(m,m~H—m+4).

33

4,844,

,*.PM=PE—ME=(——n:+—m+4)—(——m+4)=——m~+4m.

3333

4,

，PM=——m2+4m(0<m<3).

3

(3)在(2)的条件下，连接PC,在CD上方的抛物线部分存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM

相似.理由如下：

-4428428

由题意，可得AE=3-m,EM=一一m+4,CF=m,PF=一一m2+-m+4-4=——m2+-m,

33333

若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：

①若APFCsaAEM,贝!|PF：AE=FC：EM,即(--m2+-m)：(3-m)=m：(--m+4),

333

口23

m邦且m彳3,..m=—.

16

VAPFC^AAEM,/.ZPCF=ZAME.

,/ZAME=ZCMF,.*.ZPCF=ZCMF.

在直角ACMF中，•.•NCMF+NMCF=90°,/.ZPCF+ZMCF=90°,即NPCM=90。.

.,.△PCM为直角三角形.

②若ACFPs/\AEM,贝!|CF：AE=PF：E