2024年宁夏石嘴山某中学中考数学四检试卷（附答案解析）

2024年宁夏石嘴山实验中学中考数学四检试卷

一、选择题（共8小题，每题3分，共24分）

1.（3分）某地区2024年元旦的最高气温为9℃,最低气温为-2℃,那么该地区这天的最低气温比最高

气温低（）

A.7℃B.-7℃C.11℃D.-11℃

2.（3分）下列计算正确的是（）

A.V2+V3=V5B.J（-3）2=±3

C.a*a~i=l（aWO）D.（-3«2/?2）2=-6a4b4

3.（3分）己知反比例函数y=[图象经过点（2,3）,则下列点中不在此函数图象上的是（）

A.（3,2）B.（1,6）C.（-1,6）D.（-2,-3）

4.（3分）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，若DE〃AC,则图中的/I度数是（）

A.60°B.75°C.90°D.105°

5.（3分）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每

次降价的百分率为x,根据题意，所列方程正确的是（）

A.150（1+无）2=96B.150（1-2%）=96

C.150（1-7）=96D.150（1-尤）2=96

6.（3分）如图，在正方形网格中，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则NA的余弦值为（）

।—T—।—।—r—।

।।।।।।

।—T—।—।—r—।

7.（3分）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=,上，第二象限的点8在反比例函数y=[“是

1

常数，左W0）上，且。4_L0B,tan/ABO=*,则上的值为（

8.（3分）已知二次函数尸a/+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=6x+c的图象和反比例函数尸岑北

的图象在同一坐标系中大致为（）

二、填空题（共8个小题，每题3分，共24分）

9.（3分）冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为0.00000012米，数据0.00000012用科学记数法表

示为.

10.（3分）分解因式：2/-8a=.

11.（3分）20瓶饮料中有3瓶已过保质期.从20瓶饮料中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率

为.

12.（3分）如图，为。。的直径，C,。为O。上两点，若/BCD=40°,则的大小为

D

13.（3分）若二次函数y=/-4x+w的图象与x轴只有一个公共点，则实数〃=.

14.（3分）如图，四边形48第是。。的内接四边形，/&£^=150°,弦?^=2,则00的半径等于

15.（3分）如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°,利用尺规在BC,8A上分别截取BE,BD,使BE=BD；

1

分别以点。、E为圆心，以大于亍48的长为半径作弧，两弧在/CBA内交于点R作射线8尸交AC于

点G.若CG=LP为AB上一动点，则GP的最小值为.

16.（3分）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物。点的俯角a为45°,C点的俯

角0为58°,8C为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度CO为6m，则甲建筑物的高度AB为

（sin58°心0.85,cos58°心0.53,tan58°心1.60,结果保留整数）.

三、解答题（共6小题，每题6分，共36分）

17.（3分）计算：|-V2|-2sin45°+（1-V3）°+一2

x—3（%—1）>5①

18.（6分）过程纠错，改错，解不等式组：%-3.

匕-IV.②

下面是某同学解不等式①的过程，请你阅读解题过程并完成相应任务.

解：去括号，得x-3x+3N5……第一步

移项,得x-3x25-3……第二步

合并同类项，得-2x22……第三步

系数化为1,得第四步

任务一：该同学的解答过程中第一一步出现了错误，错误原因是：

不等式①的正确解集是：

任务二：解不等式②，写出原不等式组的解集，并将其解集在如图所示的数轴上表示出来.

-8-7-6-5-4-3-2-1012

19.（6分）先化简，再求值：（旦-a+1）+2次［4,,其中从。从-1,2,3中取一个你认为合适的数

a+1az+2a+l

代入求值.

20.（6分）如图，在平面直角坐标系中，把以格点为顶点的三角形称为格点三角形（每个小方格都是边长

为1的正方形），图中AABC是格点三角形，点A、B、C的坐标分别是（-4,-1）、（-2,-3）、（-

1,-2）.

（1）画出△ABC关于原点。成中心对称的△AiBiCi；

（2）以-2,0）为位似中心，在网格中画出△ABC同侧的位似图形AA222c2,使222c2与△ABC

的相似比为2：1.

21.(6分)已知关于x的一元二次方程晨-1)/-2x+l=0有两个不相等的实数根.

(1)求实数上的取值范围.

(2)设方程的两个实数根分别为尤1,X2,若(xi+1)(X2+1)=-1,求左的值.

22.(6分)某商店欲购进A,8两种商品，已知购进A种商品5件和8种商品4件，共需300元；若购进

A种商品6件和B种商品8件，共需440元.

(1)求A,8两种商品每件的进价分别是多少元？

(2)若该商店每件A种商品售价是48元，每件8种商品售价为30元，且商店将购进A,8共50件的

商品全部售出后，要获得的利润不低于348元，问A种商品至少购进多少件？

四、解答题(本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分)

23.(8分)如图，在△ABC中，AB^AC,以48为直径的。。交8C于点。，交氏4的延长线于

点E,交AC于点?

(1)求证：OE是。。的切线；

(2)若AC=6,tan£=],求AF的长.

4

24.(8分)某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分

学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表.

等级时长f(单位：分钟)人数所占百分比

A0«24X

B2'<420

C40<636%

D16%

根据图表信息，解答下列问题：

(1)本次调查的学生总人数为，表中X的值为;

(2)该校共有500名学生，请你估计等级为8的学生人数；

(3)本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流,

请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点M是线段上的点(不与3,。重合)，过初作MW〃y轴交抛物线于M设点M的横坐标

为m,请用含相的代数式表示MN的长；

(3)在(2)的条件下，连接NB,NC,是否存在点M,使△BNC的面积最大？若存在，求机的值；

26.(10分)［教材呈现］下面是华师版八年级下册数学教材第104页的部分内容.

1.如图，AB.CO是。。的两条直径，四边形AC8O是矩形吗？证明你的结论.

［问题解决］如图①，AB.C。是。。的两条直径.

求证：四边形是矩形.

［发现结论］矩形的四个顶点都在以该矩形对角线的交点为圆心，对角线的长为直径的圆上.

［结论应用］如图②，已知线段AB=2,以线段A8为对角线构成矩形ACB。，矩形ACBD面积的最大值

为.

［拓展延伸］如图③，在矩形ABC。中，AB=2,30°,点、E、尸分别为边A。、的中点，以

线段EF为对角线构造矩形EGFH,矩形EGFH的边与矩形ABCD的对角线BD交于M、N两点，当

的长最长时，矩形EGFH的面积为.

2024年宁夏石嘴山实验中学中考数学四检试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每题3分，共24分）

1.（3分）某地区2024年元旦的最高气温为9℃,最低气温为-2℃,那么该地区这天的最低气温比最高

气温低()

A.7℃B.-7℃C.11℃D.-11℃

【解答】解：9-(-2)

=9+2

=11(℃),

故选：C.

2.(3分)下列计算正确的是()

A.A/2+V3=V5B.V(-3)2=±3

C.a'aT—1(aWO)D.(-3czV)2=-6a%4

【解答】解：Aa+遍无法合并，故此选项错误;

区正可=3,故此选项错误；

C.°•鼠1=£=1（aWO）,故此选项正确；

D.（-3a2庐）2=90%4,故此选项错误；

故选：C.

3.（3分）已知反比例函数y=2图象经过点（2,3）,则下列点中不在此函数图象上的是（）

A.（3,2）B.（1,6）C.（-1,6）D.（-2,-3）

【解答】解：•••反比例函数y=:图象经过点（2,3）,

：.k=2X3=6.

43X2=6,在反比例函数图象上，不符合题意；

8、1X6=6,在反比例函数图象上，不符合题意；

C、-1X6=-6,不在反比例函数图象上，符合题意；

。、-2X（-3）=6,在反比例函数图象上，不符合题意.

故选：C.

4.（3分）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，若DE//AC,则图中的/I度数是（）

C.90°D.105°

【解答】W：'：DE//AC,

.•.N2=NA=30°,

.•.Nl=N2+NE=30°+45°=75°.

故选：B.

5.(3分)某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每

次降价的百分率为x,根据题意，所列方程正确的是()

A.150(1+无)2=96B.150(1-2%)=96

C.150(1-%2)=96D.150(1-%)2=96

【解答】解：第一次降价后的价格为150X(1-X),两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基

础上降低X,为150X(1-x)X(1-x),

则列出的方程是150(1-x)2=96.

故选：D.

6.(3分)如图，在正方形网格中，已知AABC的三个顶点均在格点上，则NA的余弦值为()

3V102710

c.-------D.

1010

【解答】解：如图所示:

则AC=V32+I2=V10,

AD_3_3/10

cosNCAB=

AC^7TO=^O~'

故选：c.

7.（3分）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数上，第二象限的点2在反比例函数y=［（左是

1

常数，k¥0）上，且。4_L0B,tan/ABO=*,则上的值为（）

【解答】解：作ACJ_x轴于C,轴于。，如图,

(1A1

在RtzMOB中，tanZABO==

'：OA±OB.

：.ZBOD^ZAOC=90°,

•：/BOD+/OBD=9U°,

・•・ZAOC=ZOBD,

.•.RtAOBD^RtAAOC,

.S^OBD/OB2

・・-------=(—)，=4,

S-OC0A

..11

•S^OBD—2因，SAAOC=2x21,

而kVO,

k=-8.

8.（3分）已知二次函数y=ad+b尤+c的图象如图所示，则一次函数y=6x+c的图象和反比例函数y=里警

的图象在同一坐标系中大致为（）

O\rx

【解答】解：•••二次函数的图象开口向下，

$<0,

2a

：.b<0,

抛物线与y轴相交于正半轴，

/.c>0,

二・直线y=/?x+c经过一、二、四象限，

由图象可知，当冗=1时，y<0,

a+b+c<0,

反比例函数丫=姓泮的图象必在二、四象限,

故A、B、C错误，。正确；

故选：D.

二、填空题（共8个小题，每题3分，共24分）

9.（3分）冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为0.00000012米，数据0.00000012用科学记数法表

示为1.2X10〃.

【解答】解：0.00000012=1.2X10-7.

故答案为：L2X10?

10.(3分)分解因式：2。3-8。=2a.

【解答】解：原式=2a(a2-4)=2a(a+2)(a-2),

故答案为：2a(a+2)(a-2)

11.(3分)20瓶饮料中有3瓶已过保质期.从20瓶饮料中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率为

3

20~'

【解答】解：•有20瓶饮料，其中有3瓶已过保质期，

3

・•・从20瓶饮料中任取1瓶，取到未过保质期的饮料的概率为：一.

20

3

故答案为：—.

20

12.(3分)如图，A3为的直径，C,。为。。上两点，若N5CD=40°,则的大小为50°.

【解答】解：连接AC,如图,

TAB为。。的直径，

ZACB=90°,

ZACD=90°-ZBCD=90°-40°=50°,

ZABD=ZACD=50°.

故答案为500.

13.(3分)若二次函数y=f-4x+〃的图象与l轴只有一个公共点，则实数〃=4

【解答】解：y=7-4%+〃中，〃=1,b=-4,c=n,

b2-4ac=16-4n=0,

解得M=4.

故答案为：4.

14.（3分）如图，四边形A8C£＞是G）。的内接四边形，NA。C=：150°,弦AC=2,则G）。的半径等于2

B

【解答】解：连接OA,OC,

B

,/四边形ABCD是。。的内接四边形,

AZADC+ZABC=180°,

VZADC=150°,

：.ZABC=3Q°,

.•./AOC=2/48C=60°,

\'OA=OC,

.♦.△OAC为等边三角形，

：.OA=AC=2,

即O。的半径为2.

故答案为:2.

15.（3分）如图，在RtzXABC中，NC=90°,利用尺规在BC,上分别截取BE,BD,使BE=BD；

分别以点。、E为圆心，以大于，48的长为半径作弧，两弧在/C8A内交于点F；作射线8尸交AC于

点G.若CG=1,P为A8上一动点，则GP的最小值为1.

【解答】解：如图，过点G作GHLA8于H.

'：GH±BA,GCLBC,

：.GH=GC=1,

根据垂线段最短可知，GP的最小值为1,

故答案为：1.

16.（3分）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物。点的俯角a为45°,C点的俯

角0为58°,8c为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度CO为6M，则甲建筑物的高度A8为

16m.

（sin58°-0.85,cos58°—0.53,tan58°=1.60,结果保留整数）.

【解答】解：过点。作。于点£,如图.

则8E=CO=6%,ZADE=45°,ZACB=58°,

在RtZ\AZ)E1中,ZADE=45°,

设AE=xm,贝！JDE=xm,

.'.BC—xm,AB—AE+BE—(6+x)m,

在RtAABC中，

tanZACB=tan58°—~QQ—^1.60,

解得x=10,

.'.AB=16m.

故答案为：16.

三、解答题（共6小题，每题6分，共36分）

17.（3分）计算：|-V2|-2sin45°+（1-V3）°+（-1）2

【解答】解：原式=&—2x¥+l+4

=V2-V2+1+4

=5.

x—3（x—1）>5（^）

18.（6分）过程纠错，改错，解不等式组：k—3x+1^.

QTV•②

下面是某同学解不等式①的过程，请你阅读解题过程并完成相应任务.

解：去括号，得x-3x+325……第一步

移项，得尤-3x>5-3.......第二步

合并同类项，得-2x22……第三步

系数化为1,得龙》-1.第四步

任务一：该同学的解答过程中第一一步出现了错误，错误原因是：

不等式①的正确解集是：

任务二：解不等式②，写出原不等式组的解集，并将其解集在如图所示的数轴上表示出来.

-8-7-6-5-4-3-2-1012

【解答】解：任务一：改同学解不等式①的过程中第四步出现了错误，错误原因是不等式两边同除-2

时，不等号的方向没变，

不等式①的正确解集是xW-1；

任务二：解不等式②的过程，

去分母，得2（尤-3）-10<5（尤+1）,

去括号，得-6-10<5x+5,

移项，得2x-5x<5+6+10,

合并同类项，得-3x<21,

系数化为1,得x>-7.

把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:

—8—7—6—5—4—3—2—I012,

所以不等式组的解集为-7VxW-1.

32_A

19.(6分)先化简，再求值：(一；-〃+1)+n其中从。从-1,2,3中取一个你认为合适的数

a+1az+2a+l

代入求值.

【解答】解：原式=[磊-(-D].第3

_13一(力―1)(a+l)2

a+1(a+2)(a—2)

_(3—M+i、(a+l)2

-(a+1)(a+2)(a—2)

_A-cfiy(a+l)2

a+1(a+2)(a—2)

_(2+a)(2—a)(a+l)2

a+1(a+2)(a—2)

=-a-1,

♦aW-1且a丰2,

.•・a=3,

原式=-3-1=-4.

20.(6分)如图，在平面直角坐标系中，把以格点为顶点的三角形称为格点三角形(每个小方格都是边长

为1的正方形)，图中△ABC是格点三角形，点A、5、C的坐标分别是(-4,-1)、(-2,-3)、(-

1,-2).

(1)画出△ABC关于原点。成中心对称的△AiWCi；

(2)以M(-2,0)为位似中心，在网格中画出△ABC同侧的位似图形282c2,使△A2B2C2与△ABC

的相似比为2：1.

【解答】解:(1)如图所示，△A121C1即为所求;

(2)如图所示，ZVI222c2即为所求.

21.(6分)已知关于尤的一元二次方程(左-1)/-法+1=0有两个不相等的实数根.

(1)求实数上的取值范围.

(2)设方程的两个实数根分别为xi,xi,若(xi+1)(X2+1)=7,求上的值.

【解答】解：(1)由题知，

A=(-2)2-4小1)>0,

解得k<2,

又因为％-IWO,

所以kWl,

所以k的取值范围是k<2且

(2)因为方程的两个实数根分别为XI,X2,

所以％1+%2=树彳,％1%2=Fp

因为(X1+1)(X2+1)=~1,

所以X1X2+X1+X2+1=-1,

…12

则---+----+1=-1,

k-1k-1

解得k=-2，

所以人的值为一全

22.(6分)某商店欲购进A,8两种商品，已知购进A种商品5件和8种商品4件，共需300元；若购进

A种商品6件和B种商品8件，共需440元.

(1)求A,8两种商品每件的进价分别是多少元？

(2)若该商店每件A种商品售价是48元，每件8种商品售价为30元，且商店将购进A,B共50件的

商品全部售出后，要获得的利润不低于348元，问A种商品至少购进多少件？

【解答】解：(1)设A种商品每件的进价为x元，8种商品每件的进价为y元，

依题意，得:牖:沈耀

解得：

答：A种商品每件的进价为40元，2种商品每件的进价为25元.

(2)设购进A种商品初件，则购进B种商品(50-”2)件，

依题意，得：(48-40)m+(30-25)(50-m)2348,

解得：m>学,

又♦.•加为正整数，

：.m的最小值为33.

答：A种商品至少购进33件.

四、解答题(本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分)

23.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的OO交8c于点D,交8A的延长线于

点、E,交AC于点？

(1)求证：。正是。0的切线;

【解答】证明：(1)如图，连接0Q,

二ZABC=ZACB,

,/OB=OD,

：.ZOBD=ZODB,

：.ZODB=ZACBf

J.AC//OD,

：.ZDFC=ZODF,

9

：DE±ACf

：.ZDFC=ZODF=90°,

IODIDE,

・・・DE是。。的切线；

(2)VAC=6=AB,

.\AO=OB=3=OD,

•：ODLDE,tan£=

.OD3

••—―,

DE4

.*.DE=4,

・•・0E=y/OD2+DE2=V9+16=5,

：.AE=OE-OA=2,

'：AC//OD,

：.AAEF^AOED,

AEAF

•e•一,

OEOD

,2AF

.•——,

53

：.AF^

24.（8分）某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分

学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表.

等级时长♦（单人数所占百分

位：分钟）比

A0W/V24X

B2W/V420

C4W/V636%

D/N616%

根据图表信息，解答下列问题：

（1）本次调查的学生总人数为50,表中x的值为8%；

（2）该校共有500名学生，请你估计等级为8的学生人数；

（3）本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流,

请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率.

【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为8・16%=50（人）,

4

所以％=宛=8%；

故答案为：50；8%；

(2)500x瑞=200(人),

所以估计等级为B的学生人数为200人；

(3)画树状图为：

开始

「男要女

八小C小

男女女男女女男男女男更女

共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8,

所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率=备=|.

25.(10分)如图，已知抛物线经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点M是线段BC上的点(不与3,C重合)，过M作MW〃y轴交抛物线于N,设点M的横坐标

为修，请用含机的代数式表示MN的长；

(3)在(2)的条件下，连接A®,NC,是否存在点使△BNC的面积最大？若存在，求相的值；

若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)设抛物线的解析