2025高考数学一轮复习：数列的综合应用 专项训练【含解析】

课时过关检测（三十三）

数列的综合应用【原卷版】

1.已知数列｛%｝,若斯+1=诙+即+2（〃GN*）,则称数列｛斯｝为“凸数列”.已知数列｛d｝

为“凸数列"，且乩=1,匕2=—2,则数列｛d｝的前2023项和为（）

A.14B.—5

C.1D.-1

2.若a,6是函数/（XlMx2—px+q3>0,q>0）的两个不同的零点，且a,b,一2这三个

数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq=（）

A.17B.18

C.19D.20

3.一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群.该塔

群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶

5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5,公差为2的等差数列，总计

108座，故名一百零八塔.则该塔的阶数是（）

A.10B.11

C.12D.13

4.（多选）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.如图，有一列曲

线Po,Pl，P2,…,P„,已知尸0是边长为1的等边三角形，Pk+1是对尸尢进行如下操作

而得到的：将尸上的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将

中间部分的线段去掉（左=0,1,2,•••）.记化,的周长为品，面积为S“对于”EN,下列结论不

正确的是（）

尸1尸2P"

A.似:为等差数列B.榭为等比数列

C.3M>0,使£〃<又D.3M>0,使S/M

5.定义〃个正数01，P2,…，P”的“均倒数”为上工一上-，若各项均为正数的数

列｛斯｝的前"项的“均倒数”为丘p则。2021=.

6.已知函数/（%）是定义在（0,+8）上的单调函数，且对任意的正数x,y都有7（%.丁）=/（%）

+700,若数列｛斯｝的前〃项和为斗，且满足式5〃+2）=/（3）+/（如），则斯=.

7T

7.已知数列｛斯｝的前几项和为S”满足S“=a”2+加m，b均为常数），且°7=].设函

数於）=sin2x+2cos],记必=/（斯），则数列｛丹｝的前13项和为.

8.数列｛斯｝满足:ai=l,点（",%+呢+1）在函数y=Ax+l的图象上，其中无为常数,

且k手0.

（1）若3。2，。4成等比数列,求上的值；

⑵当k=3时，求数列｛斯｝的前2n项的和S2rt.

9.（多选）在数列｛④｝中，若即+%+i=3",则称｛而为“和等比数列”.设S”为数列｛◎｝

的前w项和，且的=1,则下列对“和等比数列”的判断中正确的有（）

、32020-132021—1

A.々2020=4B.412020=

32022—132°23—1

C.$2021=gD.S2021=g

10.已知数列｛斯｝的前"项和为S”点（〃，3M1）在直线y=5上，若6〃=（—1）"斯，

数列｛儿｝的前n项和为Tn,则满足IGIW20的”的最大值为.

11.已知数列｛斯｝的前"项和为",且S"+i=4斯，wGN*,的=1.

（1）在下列三个结论中选择一个进行证明，并求｛斯｝的通项公式；

①数列像是等差数列；

②数列｛an+1-2a„｝是等比数列；

③数列｛&+i-2S”｝是等比数列.

（2）记b“=不片，求数列｛父｝的前n项和T,,.

注：如果选择多个结论分别解答，则按第一个解答计分.

选结论②.

12.将正整数12分解成两个正整数的乘积有1X12,2X6,3义4三种，其中3义4是这三

种分解中两数差的绝对值最小的一种，我们称3X4为12的最佳分解.当pXq（p,qGN*）

2021

是正整数w的最佳分解时，我们定义函数/（〃）=|p—q|,例如加2）=|4—3|=1,则寸⑵）=

Z=1

（）

A.2i°u—lB.21011

C.21010-lD.21010

13.某同学在复习数列时，发现曾经做过的一道题目因纸张被破坏，导致一个条件看不

清（即下题中“己知”后面的内容看不清），但在（1）的后面保留了一个“答案：51，邑，S2成

等差数列”的记录，具体如下：记等比数列｛。“｝的前”项和为％,已知.

S1,S1,

①判断S2,S3的关系；（答案：S3,S2成等差数列）

几、4

②若内一的=3,记仇=不编，求证：bi+62H-----

（1）请在本题条件的“已知”后面补充等比数列｛斯｝的首项M的值或公比q的值（只补充

其中一个值），并说明你的理由；

（2）利用（1）补充的条件，完成②的证明过程.

课时过关检测（三十三）

数列的综合应用【解析版】

1.已知数列｛斯"若诙+1=斯+斯+2（〃£N*）,则称数列｛斯｝为“凸数列”.已知数列｛儿｝

为“凸数列"，且加=1,"=—2,则数列｛为｝的前2023项和为（）

A.-4B.-5

C.1D.-1

解析：C由“凸数列”的定义及d=1,岳=—2,得/?3=-3,/?4=-1,Z?5=2,。6=

3,岳=1,88=—2,…，.,•数列｛瓦｝是周期为6的周期数列,且岳+岳+%+/+65+66=0,

于是数列｛勿｝的前2023项和等于加=1,故选C.

2.若mZ?是函数兀0=/一px+q⑦>0,夕>0）的两个不同的零点，且〃，b,一2这三个

数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq=（）

A.17B.18

C.19D.20

解析：D由题设知：a-\-b=p>0,ab=q>09a,b,—2这三个数可适当排序后成等差

数列，则2=2。或人一2=2〃或"+b=—4（舍）；a,b,一2这三个数可适当排序后成等

[ab=4,[ab=4,

比数列，则ab=4或-2。=庐（舍）或一2b=〃2（舍）；.・.｛。〜或1。。解得

[a-2=2b[b-2=2a,

/a=4,1,2,

],1或t]或1C（舍）....p=5,9=4,则pq=20.故选D.

W=1g=4[b=~2

3.一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群.该塔

群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶

5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5,公差为2的等差数列，总计

108座，故名一百零八塔.则该塔的阶数是（）

A.10B.11

C.12D.13

解析：C由第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，则前四阶共12座.则

从第五阶后共有108—12=96座.设第五阶塔的数目为则勾=5,设从第五阶开始自上

而下，每一层的塔的数目为金，由从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5,公差为2的等

差数列.所以a”=ai+（w—l）d=5+2（w—1）=2〃+3,所以~=/+4〃，所以

由S"=/+4〃=96,解得w=8或“=—12（舍去）.所以该塔的阶数是4+8=12.故选C.

4.（多选）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.如图，有一列曲

线Po,Pl，P2,…,P„,已知尸0是边长为1的等边三角形，Pk+1是对尸尢进行如下操作

而得到的：将尸上的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将

中间部分的线段去掉（左=0,1,2,•••）.记B的周长为〃，面积为S”对于“6N,下列结论不

正确的是（）

P。尸1尸2Pn

A.优:为等差数列B.榭为等比数列

C.3M>0,使D.3M>0,使

解析：ABC易知封闭曲线的周长数列也}的首项L0=3,公比为小故册=3X右〉.易

知的边数为3义型，边长为上,故R+i的面积比Bt的面积增加了3义4«义（义312=*

所以$太+1=$尢+*乂面口=0,1,2一“），所以=—今px。".所以台=

8小—3小义年）

所以不为等差数列也不为等比数列，所以A、B均错误；当w-+8

60xg}

时，&=3义停〉一+8,所以C错误；而所以D正确.故选A、B、C.

5.定义几个正数pi,P2,…，p〃的“均倒数”为，;,，若各项均为正数的数

pi十。2H----rpn

列｛%｝的前W项的“均倒数”为日T，则。2021=.

解析：设数列｛斯｝的前n项和为Sn,由已知可得数列｛斯｝的前n项的“均倒数”为

几〃]

川+勿+…+4=M=2/Z+1'可得Sz=(2〃+1)〃=2层+几，所以。2021=$2021-S2020=(2X2

0212+2021)-(2X20202+2020)=8083.

答案:8083

6.已知函数/(%)是定义在(0,+8)上的单调函数，且对任意的正数x,y都有7(%.丁)=/3)

+4)，若数列｛斯｝的前〃项和为命,且满足兀%+2)=八3)+大斯)，则诙=.

解析：由题意可得S〃+2=3斯，①

当2时，S1T+2=3诙-1,②

则①一②，可得诙=3。〃-3。〃-1,即2斯=3斯—1,所以2-=,，当〃=1时，“1=1,所

3

以｛如｝是以1为首项，豺公比的等比数列，所以出=内•尸

答案:3〃一1

7T

7.已知数列｛斯｝的前〃项和为S〃，满足S〃=即2+而(〃，b均为常数)，且〃7=].设函

数危尸sin2x+2cos与记％=/(斯)，则数列｛加｝的前13项和为.

2

解析：Sn=an+bn,・•・当〃22时，有an=Sn—Sn-i=2an+b—a；又当n=l时，有

===

S\a\a-\-b也适合上式，/.an=2an~\-b—a,又an+i—an2a为常数，二・数列｛斯｝是公差

兀x

为2。的等差数列，又•二斯+为4-〃=兀，\'fix)=smZx+Zcos^^sin2x+cosx+1,

yn+y14-n-+A^i4-«)=sin2斯+sin2〃i4-〃+cos念+cos〃i4-八+2=sin2。〃+sin2(71—^)

+COS斯+COS(兀一斯)+2=2,又》7=/(。7)=1,・••数列｛%｝的前13项和为八〃1)+黄。2)Hh/312)

+;(〃i3)=2X6+l=13.

答案：13

8.数列｛斯｝满足：41=1,点(〃，斯+斯+1)在函数,=履+1的图象上，其中女为常数，

且20.

(1)若的，。2,。4成等比数列，求左的值;

(2)当％=3时，求数列｛斯｝的前2〃项的和S2〃.

解：（1）由〃〃+〃鹿+1=版+1可得41+42=%+1,。2+。3=2左+1,。3+〃4=3左+1,

所以〃2=鼠。3=%+1,〃4=2%.

又。2,。4成等比数列，，星=。1〃4,即—=2鼠

又ZWO,故人=2.

=

（2）%=3时，an~\~ctn+i3n~\~1,.,.〃I+〃2=4,的+。4=10,…，〃2〃-1+。2〃=3（2"-1）+1,

4+6〃一20

S2«—4+10+…+6〃-2=2n=3n2~\~n.

9.（多选）在数列｛斯｝中，若斯+斯+1=3",则称｛斯｝为“和等比数列”.设&为数列｛斯｝

的前〃项和，且的=1,则下列对“和等比数列”的判断中正确的有（）

32。20_132021—1

A.42020=4B.^2020=4

32022_]J2023—1

C.S2021—gD・82021=g

解析：AC因为期+斯+i=3",所以斯+I+〃"+2=3"+1两式相减得斯+2—斯=2X3",

又。1=1,〃1+〃2=3,所以〃2=2,所以“2020=（。202。一。2018）+（。2018一42016）H^（。4一。2）

32020一]

+"2=2X（32+34+…+3?°埠+2=,故A正确,B错误；S2021=。1+（。2+。3）+（。4

32022T

+a5）H-----I~（a2020+^202i）=l+（32+34H------1-32020）=g,故C正确，D错误.故选A、

C.

10.已知数列｛斯｝的前"项和为s”点(小章力在直线y=5上.若幻=(-1)“斯，

数列｛d｝的前n项和为Tn,则满足IGIW20的”的最大值为.

解析：由题意知^一；［=性则S"=5,当71—1时，471—S1—2；当"N2时，a—Sn

3〃十122n

=n=

—S〃-1=3〃-1.而〃i=3Xl—1=2,符合上式，an3n—1,〃£N*,:.bn=(—l)an(一

3(〃—1)

,!

l)(3n-l),.•.〃=—2+5—8+11-------卜(一1),(3〃-1),当“为奇数时，Tn=2~(3n-

3几—13M-1-1

1)=--y-,当〃为偶数时，G=岸...要使|乙|《20,即一^—《20且当(20,解得后13

且“GN*.

答案：13

11.已知数列｛。“｝的前w项和为S”且&+1=4斯，"GN*,ai—1.

(1)在下列三个结论中选择一个进行证明，并求｛斯｝的通项公式；

①数列像是等差数列；

②数列｛%+i—2a”｝是等比数列；

③数列｛S〃+i—2Sn｝是等比数列.

S,9

(2)记儿=3L，求数列｛儿｝的前n项和Tn.

注：如果选择多个结论分别解答，则按第一个解答计分.

解：(1)选结论①.

因为%+1=4斯，6/1=1,所以〃2=3.

当〃22时，Sz=4斯—1,两式相减得，斯+1=4斯一4斯—1,

所以鼾=2竽一狎，即捐一%=第一狎，G2,所以数列用是等差数列.

1311

£2空

又-

«1-2--------

2牙22424

所以竽1)="廿，所以诙=(〃+1>2〃-2.

选结论②.

因为*+1=4。〃，6/1=1,所以。2=3.

当〃22时，S〃=4"〃—1,两式相减得，飙+1=4斯一4斯—1,

所'以cin+i2a〃2(。〃2。〃-1),〃22,

因为〃2—2〃1=1,所以｛斯+1—2斯｝是以1为首项，2为公比的等比数歹%

所以斯+1—2。”=2"一1,两边同时除以2#i得,瑞-"=1

所以愠是以俳=g为首项，9公差的等差数列，

所以器=舁：(〃-1)=空士所以厮=(w+l>2”-2.

选结论③.

因为S“+I=4a”，<21=1,所以$2=4.

当"》2时，Sn+1=4S„—4Sn-1,所以S”+i—2S"=2(S〃-2S〃-i),

因为S—2S1=2,所以｛&+1-2SJ是以2为首项，2为公比的等比数列,

所以S.+i—2S"=2",两边同时除以2"+L得弱一会与

所以松｝是以争=；为首项，3为公差的等差数列，

所以或=舁3("—D=会所以Sn=n-2『i.

S〃+i

所以a~=5+l>2〃—2.

n4

n1

(2)由(1)得，Sn=n-2~,

讦”,S”+2("+2>2〃+i("+1>2"_%2"一1,「_L_I__

所决""—55+1-”.2〃-1.(72+1).2"—4-W.2"1(“+1>2"~4'[_n-2n1(n+l)-2"J,

11~111

所以〃…十

T=42・2i—3n-2"-1(n+l)-2n=4_厂("+1>2"」=4-

1

(〃+1).2"2

12.将正整数12分解成两个正整数的乘积有IX12,2X6,3X4三种，其中3X4是这三

种分解中两数差的绝对值最小的一种，我们称3X4为12的最佳分解.当pXq(p,qdN*)

2021

是正整数”的最佳分解时，我们定义函数为。=|0一外例如五12)=|4—3|=1,则>(2')=

尸1

A.—1B.21011

C.21010-1D.21010

2021

解析：A寸⑵)=/(2)+/(22)H----^22021)=|21-20|+|21-21|+|22-21|+|22-22|4------卜

i=\

I2101