《数据、模型与决策》 课件 第3章.数据包络分析DEA

第3章线性规划模型在市场、人员、财务中的应用与决策

管理要素有哪些？本章内容框架自1947年Dantzig提出线性规划的单纯型方法后，线性规划的理论体系和计算方法日趋系统和完善。随着计算机技术的发展，线性规划模型已广泛应用于商业领域，如投资决策分析、运输问题计划等。下面我们通过几个例子来说明线性规划模型在市场、人员安排、财务等领域中的应用及其模型的求解方法与决策。线性规划模型在物流领域中的应用与决策，我们放在第6章介绍。

4

问题的提出建模过程：1.理解要解决的问题，了解题中的目标和条件；2.定义决策变量（x1，x2，…，xn

），决策变量的一组定值表示一个方案；3.用决策变量的线性函数形式表达目标函数，确定目标是极大化，还是极小化（MAX或MIN）；3.用决策变量的一组等式或不等式来表示解决问题过程中必须遵循的约束条件（≥、≤或＝）；5.根据决策变量的物理性质确定变量是否有非负性。一般形式：目标函数：Max（Min）Z=c1x1+c2x2+…+cn

xn

约束条件：s.t.a11x1+a12x2+…+a1n

xn

≤（=,≥）b1

a21x1+a22x2+…+a2n

xn

≤（=,≥）b2…………

am1x1+am2x2+…+amn

xn

≤（=,≥）bm

x1，x2，…，xn≥05问题的提出线性规划模型的三要素：

1、决策变量用符号来表示可控制的因素

2、目标函数MaxZ或MinZ3、约束条件s.t.(subjectto)满足于线性规划研究的两大问题：

1、资源一定，任务目标最优；

2、任务一定，要求使用的资源最少。3.1市场调查问题模型的建立与决策

例：某市场调查公司受某厂的委托，调查消费者对某种新产品的了解和反应情况。该厂对市场调查公司提出了一下要求：（1）共对500个家庭进行调查（2）在被调查的家庭中，至少有200个是没有孩子的家庭，同时至少有200个是有孩子的家庭（3）至少对300个被调查家庭采用问卷式书面调查，其余家庭可采用口头调查；（4）在有孩子的被调查家庭中，至少有50%的家庭采用问卷式书面调查；（5）在没有孩子的被调查家庭中，至少有60%的家庭采用问卷式书面调查。对不同家庭采用不同调查方式的费用见表3.1

表3.1.1市场调查费用表

家庭类型

调查费用（元）问卷式书面调查

口头调查有孩子的家庭5030没有孩子的家庭4025华中市场调查公司应如何进行调查，使得在满足厂方要求的条件下使得总调查费用最小？解：根据题意，本问题的决策变量如下：X1—对有孩子家庭采用问卷式书面调查的数目，X2—对有孩子家庭采用口头调查的数目，X3—对没有孩子家庭采用问卷式书面调查的数目，X4—对没有孩子家庭采用口头调查的数目。

家庭类型

调查家庭数问卷式书面调查

口头调查有孩子的家庭X1X2没有孩子的家庭X3X4本问题的目标是使得总调查费用最小。由表3.1.1

可知各种情况下每调查一个家庭的费用，因此，总调查费用应等于各种情况下的调查费用之和。即：

50X1+30

X2+40X3+25X4该公司的目标是使得总费用最小化，即：

min50X1+30

X2+40X3+25X4本问题的约束条件包括：调查家庭总数约束，有孩子与没有孩子的被调查家庭数约束，采用问卷式书面调查的家庭数约束，以及采用问卷式书面调查的家庭的比例约束。由此，可得本问题的线性规划模型如下：o.b.Min50X1+30

X2+40X3+25X4s.t.X1+X2+X3+X4=500（调查家庭总数约束）

X1+

X2≥200（有孩子家庭调查数约束）

X3+X4≥200（没有孩子家庭调查数约束）

X1+X3≥300（采用问卷式书面调查的家庭数约束）

X1≥0.5*（X1+X2）（有孩子家庭采用问卷式书面调查比例约束）

X3≥0.6*（X3+X4）（没有孩子家庭采用问卷式书面调查比例约束）

X1，

X2，X3，X4≥0（非负约束）图3-2数据设置与求解公式图3-3规划求解参数设置图3-4选项的设置图3-5求解结果3.2人力资源分配问题模型的建立与决策例：某通讯中心需全天24小时为客户提供热线电话服务，中心接线员分别于班次开始时上班，每次需连续工作8小时。已知各个班次所需接线员如表3-2所示。问：中心至少聘用多少接线员才能使通讯中心正常运转？班次时间需要接线员数量/人10：00~4：00524：00~8：001038：00~12：0020412：00~16：0027516：00~20：0030620：00~24：0015表3-2各班次所需接线员人数解：设分别表示各个班次安排的接线员数量。则可建立下述的线性规划模型求解该问题：目标函数：MinZ=x1+x2+x3+x4+x5+x6

约束条件：s.t.x1+x6≥5

x1+x2≥10

x2+x3≥20

x3+x4≥27

x4+x5≥30

x5+x6≥15

x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0且取整该模型的已知数据、决策变量、目标函数、约束条件等设置如图3-6所示图3-6数据设置与求解公式图3-7规划求解参数设置图3-8求解结果例（排班问题）某航空公司准备增加中心机场的往来航班，需雇佣更多的服务人员。分析新的航班时刻表，以确定一天中不同时段为实现客户满意水平必须工作的服务人员数。每班8小时，分5班，各班时间安排：排班16:00~14:00，排班28:00~16:00，排班312:00~20:00，排班416:00~24:00，排班522:00~6:00，时段＼排班12345人数6:00~8:00√488:00~10:00√√7910:00~12:00√√6512:00~14:00√√√8714:00~16:00√√6416:00~18:00√√7318:00~20:00√√8220:00~22:00√4322:00~24:00√√5224:00~6:00√15每人每天工资170160175180195问题是：确定各排班的人数，以最小的成本提供令人满意的服务。（不同时段在岗，工资不同）G7=SUMPRODUCT(B7:F7,每班人数)总人数=SUM(B19:F19)总成本=SUMPRODUCT(单位成本,每班人数)总工资每天30610元 求解结果：6点班 48名 早8点班 31名 中午班 39名 下午4点班 43名 晚上10点班 15名决策变量：设xi

为各排班i

的人数（i=1,…,5）目标函数：人员总费用最少约束条件：每个时段的在岗人数必须不少于最少需要人数例

投资组合优化问题。某公司董事会决定将20万元现金进行债券投资。经咨询，现有五种较好的投资对象，黄河汽车、长江汽车、华南电器、西南电器、缜山纸业。债券名称黄河汽车长江汽车华南电器西南电器缜山纸业回报率6.5%9.2%3.5%5.5%3.2%为减少风险，董事会要求，对汽车业投资不得超过12万元，对电器业投资不得超过8万元，其中对长江汽车的投资不得超过对汽车业投资的65%，对纸业的投资不得低于对汽车业投资的20%。该公司应如何投资，才能在满足董事会要求的前提下使得总回报额最大？

3.3投资组合线性规划模型的建立与决策解：（1）决策变量本问题的决策变量是对五种投资对象的投资额。设：该公司对五种债券的投资额分别为x1，x2，x3，x4，x5（万元）。（2）目标函数本问题的目标是使得公司总回报额最大（3）约束条件总投资额为20万现金汽车业的投资不得超过12万电器资业的投不得超过8万对长江汽车的投资不得超过对汽车业投资的65%对纸业的投资不得低于对汽车业投资的20%非负o.b.max0.065X1+0.092X2+0.045X3+0.055X4+0.042X5(总投资额最大化)s.t.X1+X2+X3+X4+X5=200000（总投资额约束）X1+X2≤120000（汽车业投资约束）X3+X4≤80000（电器业投资约束）X2≤0.65（X1+X2）（长江汽车业投资约束）X5≥0.20（X1+X2）（纸业投资约束）X1、X2、X3、X4、X5≥0（非负约束）该模型的已知数据、决策变量、目标函数、约束条件等设置如图3-9所示。图3-9设置与求解公式数据图3-10规划求解参数设置图3-11求解结果债券名称黄河汽车长江汽车华南电器西南电器缜山纸业回报额（元）420007800005600024000表3-4五种债券回报额表这时，满足所有的约束条件，且总回报额最大，达到13994元。

混合两种以上的资源来生产一种以上的产品时,就出现了混合问题.

例题：GS石油公司通过合成3种石油成分来生产汽油产品.这些产品以不同的价格出售,这3种石油成分的成本也不同.公司想通过决定一种混合这3种石油成分以生产汽油产品的方案来获得最大的产品利润.

现有的资料显示,一般规格的汽油的售价是每加仑1.0美元,而特殊规格汽油是每加仑1.08美元.在当前的生产计划期内,GS公司可以得到的那3种石油成分每加仑的成本和总量见表:石油成分单位成本(美元)最大供应量(加仑)

10.50500020.6010000

30.8410000混合问题GS公司的混合问题就是要决定一般规格汽油和特殊规格汽油的每种石油成分的用量分别为多少.具体要求见表:

产品规格

一般规格汽油最多百分之30成分1

最少百分之40成分2

最多百分之20成分3

特殊规格汽油最少百分之25成分1

最多百分之40成分2

最少百分之30成分3

资源分配问题例3.5

某公司是商务房地产开发项目的主要投资商。目前，该公司有机会在三个建设项目中投资： 项目1：建造高层办公楼； 项目2：建造宾馆； 项目3：建造购物中心。每个项目都要求投资者在四个不同的时期投资：在当前预付定金，以及一年、二年、三年后分别追加投资。表3-1显示了四个时期每个项目所需资金（百万元）。投资者可以按一定的比例进行投资和获得相应比例的收益。年份办公楼项目宾馆项目购物中心项目0（现在）408090160805029080203107060净现值457050公司目前有2500万元资金可供投资，预计一年后，又可获得2000万元，两年后获得另外的2000万元，三年后还有1500万元以供投资。那么，该公司要在每个项目中投资多少比例，才能使其投资组合获得最大的总净现值？解：这是一个资源分配问题。(1)决策变量设：x1，x2，x3分别为在办公楼项目、宾馆项目、购物中心项目中的投资比例(2)目标函数本问题的目标是总净现值最大(3)约束条件本题的约束条件是公司在各期可获得的资金限制（资源约束）。但要注意的是：前一期尚未使用的资金，可以在下一期使用（为了简化问题，不考虑资金可获得的利息）。因此，每一时点的资金限制就表现为累计的资金。表3-2显示了累计的资金数据。年份办公楼项目宾馆项目购物中心项目可用资金0（现在）40809025110016014045219024016065320031022080净现值457050数学模型（线性规划模型）

资源分配问题电子表格模型例3.5的解法2例3.5还可用另外一种解法，引入剩余变量si。数学模型为：例3.5的解法2例3.5还可用另外一种解法，引入剩余变量si。电子表格模型为：注意：在“规划求解”中，决策变量不连续时，用;隔开Theendofchapter4

第3章.数据包络分析DEA什么是包络分析?431978年，著名运筹学家、美国德克萨斯大学教授A.Charnes及W.W.Cooper和E.Rhodes发表了一篇重要论文：“Measuringtheefficiencyofdecisionmakingunits”（决策单元的有效性度量），刊登在权威的“欧洲运筹学杂志”上。正式提出了运筹学的一个新领域：数据包络分析，其模型简称C2R模型。该模型用以评价部门间的相对有效性（因此被称为DEA有效）。数据包络分析（DEA）源起数据包络分析概述

数据包络分析是线性规划模型的应用之一，常被用来衡量拥有相同目标的运营单位的相对效率。数据包络分析是一种基于线性规划的用于评价同类型组织（或项目）工作绩效相对有效性的特殊工具手段。这类组织例如学校、医院、银行的分支机构、超市的各个营业部等，各自具有相同（或相近）的投入和相同的产出。衡量这类组织之间的绩效高低，通常采用投入产出比这个指标，当各自的投入产出均可折算成同一单位计量时，容易计算出各自的投入产出比并按其大小进行绩效排序。45但当被衡量的同类型组织有多项投入和多项产出，且不能折算成统一单位时，就无法算出投入产出比的数值。例如，大部分机构的运营单位有多种投入要素，如员工规模、工资数目、运作时间和广告投入，同时也有多种产出要素，如利润、市场份额和成长率。在这些情况下，很难让经理或董事会知道，当输入量转换为输出量时，哪个运营单位效率高，哪个单位效率低。因而，需采用一种全新的方法进行绩效比较。这种方法就是二十世纪七十年代末产生的数据包络分析（DEA）。DEA方法处理多输入，特别是多输出的问题的能力是具有绝对优势的。46数据包络分析应用现状DEA的优点吸引了众多的应用者，应用范围已扩展到美国军用飞机的飞行、基地维修与保养，以及陆军征兵、城市、银行等方面．目前，这一方法应用的领域正在不断地扩大。它也可以用来研究多种方案之间的相对有效性（例如投资项目评价）；研究在做决策之前去预测一旦做出决策后它的相对效果如何（例如建立新厂后，新厂相对于已有的一些工厂是否为有效)。DEA模型甚至可以用来进行政策评价。最引人注目的研究是把DEA与其它评价方法进行比较。例如将DEA应用于北卡罗来纳州各医院的有效性评价。已有的按计量经济学方式给出的回归生产函数认为，此例中不存在规模收益。DEA的研究发现，尽管使用同样的数据，回归生产函数不能象DEA那样正确测定规模收益．其关键在于：DEA和回归方法虽然都使用给定的同样数据，但使用方式不一样；DEA致力于每个单个医院的优化，而不是对整个集合的统计回归优化在其它的研究中，例如在评价医院经营有效性时，将DEA与马萨诸塞州有效性评定委员会使用的比例方法进行了比较，当使用模拟方法对DEA进行检验后认为，尽管由回归函数产生的数据有利于回归方法的使用，但是DEA方法显得更有效。2024/9/847数据包络分析（DEA）模型简介DEA是使用数学规划（包括线性规划、多目标规划、具有锥形结构的广义最优化、半无限规划、随机规划等）模型，评价具有多个输入、特别是多个输出的“部门”或“单位”（称为“决策单元”，简记DMU）间的相对有效性（称为DEA有效）。实际上“效率”或“相对有效性”的概念也是指产出与投入之比，不过是加权意义之下的产出投入比。根据对各DMU观察的数据判断DMU是否为DEA有效，本质上是判断DMU是否位于可能集的“生产前沿面”上。在DEA中一般称被衡量绩效的组织为决策单元（decisionmakingunit——DMU）。设：n个决策单元（j=1，2，…，n）每个决策单元有相同的m项投入（输入）（i=1，2，…，m）每个决策单元有相同的s项产出（输出）（r=1，2，…，s）

Xij——第j决策单元的第i项投入

yrj——第j决策单元的第r项产出衡量第j0

决策单元是否DEA有效数据包络分析基本概念

决策单元12…n投入项目12…mX11X12…X1nX21X22…X2n…………Xm1Xm2…Xmn12…n决策单元y11y12…y1ny21y22…y2n…………ys1ys2…ysn12…s产出项目

衡量某一决策单元j0是否DEA有效——是否处于由包络线组成的生产前沿面上，先构造一个由n个决策单元组成（线性组合成）的假想决策单元。如果该假想单元的各项产出均不低于

j0

决策单元的各项产出，它的各项投入均低于

j0决策单元的各项的各项投入。即有：

构建DEA模型的思路∑

j

yrj≥yrj0

（r=1，2，…，s）∑

j

xij≤Exij0

（i=1，2，…，m，E＜1）∑

j=1，j≥0（j=1，2，…，n）j=1j=1j=1nnn

这说明

j0

决策单元不处于生产前沿面上。

基于上述事实，可以写出如下线性规划的数学模型：minE

S.t.∑

j

yrj≥yrj0

（r=1，2，…，s）∑

j

xij≤Exij0

（i=1，2，…，m）∑

j=1，j≥0（j=1，2，…，n）j=1j=1j=1nnn结果分析：1、当求解结果有E＜1

时，则j0决策单元非DEA有效；2、否则，则j0决策单元DEA有效。例1：硕士点教育质量评价某系统工程研究所对我国金属热处理专业的26个硕士点的教育质量，进行了有效性评价。评价采用的指标体系为：输入：导师人数；实验设备；图书资料；学生入学情况。输出：科研成果；论文篇数；学生毕业时的情况。

问题举例例2：行风（行业作风）建设有效性评价本项目研究人员选定江苏省S市交通客运系统作为对象，包括7家交通客运汽车公司。选定了输入指标4项，输出指标4项。分别是：输入指标：1、年末职工总数（单位：人）；

2、单位成本（单位：元/千人公里）；

3、燃料单位消耗（单位：升/千人公里）；

4、行车责任事故率（单位：次/千人公里）。输出指标：1、劳动生产率（单位：元/人）；

2、行车准点率（%）；

3、群众满意率（按问卷调查）（%）

4、车辆服务合格率（包括：服务态度、服务措施、车辆设施等）（%）

例3：银行分理处相对有效性评价振华银行的4个分理处的投入产出如下表。求各个分理处的运行是否DEA有效。（产出单位：处理笔数/月）分理处投入产出职员数营业面积（m2）储蓄存取贷款中间业务分理处1分理处2分理处3分理处415202120140130120135180010008009002003504504201600100013001500解：若先确定分理处1的运行是否DEA有效。建立线性规划模型：例3：银行分理处相对有效性评价minE1800

1+10002+800

3+900

4≥1800200

1+3502+450

3+420

4≥2001600

1+10002+1300

3+1500

4≥1600S.t.15

1+202+21

3+20

4≤15E140

1+1302+120

3+135

4≤140E

1+2+

3+

4=1

j

≥0（j=1，2，3，4）求解结果分析：对分理处1，E=1，说明分理处1的运行DEA有效。对分理处2，E=0.996，说明分理处2的运行非DEA有效。对分理处3，E=1，说明分理处3的运行DEA有效。对分理处4，E=1，说明分理处4的运行DEA有效。57数据包络分析（DEA）的建模例1：王先生的快餐连锁店王先生是一家快餐连锁公司在某地分公司的经理。在该地区，王先生管理着10个下属的快餐连锁店。王先生正在对这10家快餐连锁店去年的业绩进行评估，并依据或部分依据各连锁店的相对效率，提出关于这10家快餐连锁店经理年终奖的分配方案。王先生收集了反映该10家快餐连锁店效率的有关数据，见表5-1。其中：连锁店的输出包括三个项目：净利润，平均顾客满意度和增长率。连锁店的输入包括两个项目：总工作时间和生产成本。王先生希望采用DEA分析这些数据，以确定每个连锁店的效率。本例中的输入、输出目标有多个，运用DEA可以很方便地处理这类问题。5810家快餐连锁店的输入与输出数据连锁店序号顾客满意度净利润（百万元）增长率（%）工作时间（万小时）生产成本（千万元）193107.9136.75290148.4209.07395127.6228.69492108.0166.3159368.5166.34691410.094.43785109.0247.2889069.2173.23996156.7157.421089108.7216.3559DEA模型的目标函数是使得E的值最小化，这里的E既是决策变量又是目标函数。如果求解结果为E=1或E>1（实际上E>1在理论上不可能），则表明合成连锁店需要与连锁店4相同或更多的输入资源，以获得不低于连锁店4的输出，这时无法断定连锁店4是相对低效的；如果E<1，则表明合成连锁店可用比连锁店4低的输入资源，却得到不低于连锁店4的输出，这时合成连锁店具有更高的效率，这是可以断定连锁店4是相对低效。MinEs.t.93+90+95+92+93+91+85+90+96+899210+14+12+10+6+4+10+6+15+10107.9+8.4+7.6+8+8.5+10+9+9.2+6.7+8.7813+20+22+16+16+9+24+17+15+2116E6.75+9.07+8.69+6.31+6.34+4.43+7.28+3.23+7.42+6.356.31E60快餐连锁店DEA模型电子表格ABCDEFGHIJKL1例快餐连锁店4的效率2连锁店3输出指标123456789104满意度939095929391859096895净利润101412106410615106增长率7.98.47.688.51099.26.78.778输入指标9工作时间132022161692417152110生产成本6.759.078.696.316.344.437.283.237.426.35111213模型141516权重效率17x1x2x3x4x5x6x7x8x9X10E18最优解000000.23100.27300.49600.8851920约束条件左边右边MinE0.885权重之和＝11=122满意度94.206>=9223净利润10.00>=1024增长率8.145>=825工作时间14.160<=14.16026生产成本5.585<=5.584快餐连锁店DEA模型的公式ABCDEFGHIJKL1例快餐连锁店4的效率2连锁店3输出指标123456789104满意度939095929391859096895净利润101412106410615106增长率7.98.47.688.51099.26.78.778输入指标9工作时间132022161692417152110生产成本6.759.078.696.316.344.437.283.237.426.35111213模型141516权重

效率17x1x2x3x4x5x6x7x8x9X10E18最优解000000.23100.27300.49600.8851920约束条件左边右边MinE=L18权重之和＝1=sum(b18:k18)=122满意度=sumproduct(B4:K4,$B$18:$K$18)>=E423净利润=sumproduct(B5:K5,$B$18:$K$18)>=E524增长率=sumproduct(B6:K6,$B$18:$K$18)>=E625工作时间=sumproduct(B9:K9,$B$18:$K$18)<=E9*$L$1826生产成本=sumproduct(B10:K10,$B$18:$K$18)<=E10*$L$186263运用电子表格求解运用Excel的规划求解功能，可以求出本问题的解。在规划求解参数框内键入目标函数、决策变量和约束条件，如图5-1所示；单击“选择”项，选择“线性规划”和“假定非负”，单击“求解”，即在电子表格上得到规划的解。从表可见，最优解为：0，0.231，0.273，0.496，E=0.885。这时目标函数E=0.885。64求解结果分析从本题的最优解可知，目标函数E=0.885，即连锁店4的效率指数得分为0.885。这说明合成连锁店只要能够得到相当于连锁店4输入资源的88.5%作为其输入资源，就可以获得不小于连锁店4的输出，因此，通过DEA分析得到的结论是：合成连锁店比连锁店4具有更高的效率，而连锁店4则是相对低效的。从本题的最优解还可以知道，合成连锁店是由权重为23.1%的连锁店6，27.3%的连锁店8和49.6%的连锁店9加权平均所构成的。即合成连锁店的输入和输出分别是由权重为23.1%的连锁店6，27.3%的连锁店8和49.6%的连锁店9的输入和输出加权平均所得出的。65通过对约束条件的分析，还可以得到关于连锁店4和其他连锁店的效率比较方面的信息。合成连锁店至少可以获得与连锁店4相同的输出，事实上，合成连锁店能够以小于连锁店4的输入资源，获得比连锁店4大1.206的满意度，以及比连锁店4高0.146的增长率（比较C22:C24和单元格E22:E24可得）。从表5-2中的工作时间约束可见，合成连锁店使用的工作时间仅相当于连锁店4的工作时间的88.5%左右（比较单元格C25和E9可得）。显然合成连锁店比连锁店4具有更高的效率。可以确定，连锁店4与其他连锁店相比，是相对低效的。根据DEA分析得到的结果，管理者应进一步考察和改善连锁店的运作情况，以确定采取哪些措施可以使得连锁店4更有效地使用资源，并获得更多的产出。66利用DEA模型分析4类医院（普通医院、校医院、镇医院和国家医院）的相对效率。这些医院具有相同（或相似）的投入（输入量）和产出（输出量）。例如，建立一个用于分析镇医院相对效率的线性模型。输入量全职非主治医师人数提供的经费可供住院的床位数输出量开诊日的药物治疗服务开诊日的非药物治疗服务接受过培训的护士数目接受过培训的实习医师数目例5：医院相对效率评价2024/9/8输入量全职非主治医师人数提供的经费可供住院的床位数输出量开诊日的药物治疗服务开诊日的非药物治疗服务接受过培训的护士数目接受过培训的实习医师数目投入方式普通医院学校医院乡镇医院国家医院全职非主治医师285.20162.30275.70210.40提供的经费（千元）123.8128.70348.50154.10可提供的住院床位数（千张）106.7264.21104.10104.044类医院的年输入量（年消耗）输出方式普通医院学校医院乡镇医院国家医院开诊日的药物治疗（千次）48.1434.6236.7233.16开诊日的非药物治疗（千次）43.1027.1145.9856.46接受过培训的护士数目253148175160接受过培训的实习医师数目412723844类医院的年输出量（年提供的服务）2024/9/8镇医院相对效率评价——DEA分析通过建立一个线性规划模