3.3 抛物线（解析版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）

.3抛物线知识点一抛物线的标准方程【【解题思路】用待定系数法求抛物线标准方程的步骤设方程：根据焦点的位置，设出标准方程列方程：根据条件建立关于参数P的方程解方程：解关于参数P的方程，求出P的值得方程：根据参数P的值，写出所求的标准方程注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数．【例1-1】（2023·新疆·三模）已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意抛物线上任意一点到焦点F的距离与它到直线的距离相，因此，，抛物线方程为．故选：C．【例1-2】（2023·河南新乡）已知抛物线的焦点为F，C上一点满足，则抛物线C的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意得，因为，所以.又，解得，所以抛物线的方程为.故选：D【变式】1．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线：过点，则抛物线的准线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于抛物线：过点，所以，，所以抛物线方程为，，，所以抛物线的准线方程为.故选：B.2．（2024·陕西安康）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设抛物线的标准方程为，将点点代入，得，解得，所以抛物线的标准方程是.故选：B3．（2024·河南）已知为坐标原点，为抛物线（）的焦点，点在上，且，则的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由抛物线的定义，可知，又，，所以，得.由点在上，得，结合，解得.所以的方程为.故选：A.知识点二抛物线定义的应用【【解题思路】1.抛物线定义的应用实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．2.抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.【例2-1】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知点，且是抛物线的焦点，为上任意一点，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】抛物线的焦点为，准线为，当时，，因为，所以在抛物线内，过作于，则，所以，由图可知当三点共线时，最小，则最小值为.故选：D【例2-2】（2024·四川成都·模拟预测）设点，动点P在抛物线上，记P到直线的距离为d，则的最小值为（

）A．1 B．3 C． D．【答案】D【解析】由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为，由抛物线的定义可得，所以，因为所以.当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为故选：D【变式】1．（2024·湖南常德）已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点，为圆上的一点，则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】

由抛物线方程为，得到焦点，准线方程为，过点做准线的垂线，垂足为，因为点在抛物线上，所以，所以，当点固定不动时，三点共线，即垂直于准线时和最小，又因为在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径，所以，故选：C.2．（2024·四川成都）已知点分别是抛物线和直线上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．4【答案】C【解析】设的坐标为，则，抛物线的焦点，准线方程为，当点在直线上及右侧，即时，，当且仅当是与直线的交点时取等号，此时，当且仅时取等号，当点在直线左侧，即时，点关于的对称点是，则，，当且仅当是与直线的交点，且时取等号，而，所以的最小值为.故选：C3（2024·全国·模拟预测）已知点，点是抛物线上任一点，为抛物线的焦点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，抛物线的准线方程为，设，则，，故．令，则，由，得，所以，令，则，所以，故当，即时，取得最小值．故选：A．知识点三直线与抛物线的位置关系【【解题思路】直线与抛物线的位置关系(1)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论，求解交点时不要忽略二次项系数为0的情况．(2)一般弦长：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.(3)焦点弦长：设焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.【例3-1】（2024·江苏宿迁）已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（

）A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条，则当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线为；当直线的斜率存在时，设直线为，则，消去整理得，即有两个不同的解，所以即，解得或，所以“”是“过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件.故选：A.【例3-2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知抛物线，直线过定点.讨论直线与抛物线的公共点的情况.【答案】答案见解析【解析】

若直线斜率不存在，此时为轴，与抛物线有且仅有一个交点；若直线的斜率存在，记为，则可设直线的方程为：，由得：；①当时，，解得：，此时，直线与抛物线有且仅有一个公共点②当时，方程的判别式；若，即，方程无实根，则直线与抛物线无交点；若，即，方程有两个相等实根，则直线与抛物线相切，有且仅有一个公共点；若，即且时，方程有两个不等实根，则直线与抛物线有两个不同交点；综上所述：当直线斜率不存在或直线斜率或时，直线与抛物线有且仅有一个公共点；当直线斜率时，直线与抛物线无公共点；当直线斜率且时，直线与抛物线有两个公共点.【变式】1．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（

）条A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】因为点不在抛物线上，易知当直线斜率不存在时，直线方程为，满足题意；当直线斜率时，易知满足条件；当直线斜率存在且时，设直线方程为，由，整理得到，由，解得.综上所述：满足条件的直线有条.故选：D2．（2024高三·全国·专题练习）过点与抛物线只有一个公共点的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．0条【答案】C【解析】当直线斜率存在时，设直线的斜率等于，则当时，直线的方程为，满足直线与抛物线仅有一个公共点，当时，设直线的方程为，代入抛物线的方程可得：，有，解得，故切线方程为，当斜率不存在时，直线方程为，该直线也与抛物线相切，故满足条件的直线方程有三条.故选：C．3．（23-24高二上·全国·课后作业）当k为何值时，直线与抛物线有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？【答案】答案见解析【解析】由，得.当时，方程化为一次方程，该方程只有一解，原方程组只有一组解，∴直线与抛物线只有一个公共点；当时，二次方程的判别式，当时，得，，∴当或时，直线与抛物线有两个公共点；由得，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点；由得或，此时直线与抛物线无公共点．综上，当或时，直线与抛物线仅有一个公共点；当或时，直线与抛物线有两个公共点；当或时，直线与抛物线无公共点．知识点四弦长【【解题思路】直线与抛物线的位置关系(1)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论，求解交点时不要忽略二次项系数为0的情况．(2)一般弦长：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.(3)焦点弦长：设焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.【例4-1】（23-24高二下·广东茂名·期末）已知直线与抛物线：交于两点，则（

）A． B．5 C． D．【答案】B【解析】将与抛物线联立得，设，显然抛物线焦点坐标为，令，即，则，则直线过焦点，则.故选：B.【例4-2】（2024·江西新余·二模）已知点在抛物线C：上，F为抛物线的焦点，则（O为坐标原点）的面积是（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】A【解析】点在抛物线上，为抛物线的焦点，，解得，故抛物线的方程为，,，则的面积．故选：A．【例4-3】（23-24高二下·河南洛阳·期末）经过抛物线的焦点F的直线交C于A，B两点，与抛物线C的准线交于点P，若成等差数列，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意得，，抛物线的准线方程为，因为过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，且与抛物线的准线相交，所以直线的斜率存在且不为0，设直线方程为，与联立得，设，显然，则，，故，设直线倾斜角为，则，所以，故，解得，故，又，故，解得，故.故选：D【变式】1．（22-23高二下·上海闵行·期末）已知直线与抛物线交于A、B两点，则弦AB的中点到准线的距离为(（

）.A．4 B． C．8 D．【答案】A【解析】由题意抛物线标准方程为，，，∴焦点为，准线方程为，直线方程为，代入抛物线方程整理得，设，则，设中点为，则，∴到准线的距离为．故选：A．2．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，代入抛物线，可得，两式相减得，所以直线的斜率为，又因为的中点为，可得，所以，即直线的斜率为.故选：C.3．（2024·山东济宁）已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两点，若，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】由题意知，，设，联立直线与抛物线得，消去，得，所以.由抛物线的定义知.而，故，解得.故选：D.4．（2024·上海）过抛物线的焦点的直线交于点，交的准线于点，，点为垂足.若是的中点，且，则.【答案】4【解析】作于点，与轴交于点，如图，则，又且是的中点，则有，即，又，故，又，，，故，即，则.故答案为：45．（2024·北京）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若弦中点纵坐标为2，则．【答案】6【解析】由得，所以焦点坐标为，准线为，设弦中点纵坐标为，故．故答案为：6知识点五抛物线有关的轨迹问题【【解题思路】求轨迹问题的两种方法(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程．(2)定义法：若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解的曲线方程．【例5-1】（2024·湖南衡阳）已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，点到点的距离和它到直线的距离相等，所以点的轨迹是以为焦点的抛物线，所以的方程为，故C正确.故选：C.【例5-2】（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设圆心坐标为，依题意可得，化简得，即圆的圆心的轨迹方程为.故选：C【变式】1（2024·福建泉州·模拟预测）已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为．【答案】【解析】如图，设，，则，依题意，四边形为矩形，则，即，所以，即，则，所以顶点的轨迹方程为，故答案为:．2．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为.【答案】【解析】设，可得以线段为直径的圆的圆心为，半径为，由以线段为直径的圆与轴相切，可得，整理得．故答案为：．3．（23-24北京房山·期末）已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大2，则的轨迹方程是.【答案】或【解析】设点，依题意，，即，整理得，所以的轨迹方程是或.故答案为：或4．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是．【答案】【解析】将化为，动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点到点的距离与它到直线的距离相等，由抛物线定义可知动点的轨迹为抛物线，该抛物线以为焦点，以为准线，开口向右，设，所以，解得，所以抛物线方程为，故答案为：.5（22-23福建宁德·期末）已知圆：与定直线：，动圆与圆外切且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为.【答案】【解析】设，动圆与圆外切且与直线相切，则有，化简得.故曲线的方程为.故答案为：知识点六抛物线的实际应用问题【【解题思路】首先确定与实际问题相匹配的数学模型．此问题中拱桥是抛物线型，故利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为(1)建系：建立适当的坐标系．(2)假设：设出合适的抛物线标准方程．(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程．(4)求解：求出需要求出的量．(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题．【例6-1】（2024·全国·模拟预测）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m．若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（

）

A．3m B．4m C．5m D．6m【答案】B【解析】以拱形部分的顶点为坐标原点，水平线为x轴，垂直于轴，且方向向上，建立平面直角坐标系．

设抛物线的方程为．易知抛物线过点，则，得，所以，所以．故选：B．【例6-2】（23-24高二上·山东滨州·期末）如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽.当水面上升后，水面宽为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】以拱形顶点为原点，建立如图所示平面直角坐标系，则，设抛物线方程为，则有，解得，得抛物线方程为，令，则，得，所以，当水面上升后，水面宽为m.故选：C，【变式】1（2024·山西晋城）吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（

）A．米 B．米C．米 D．米【答案】A【解析】以为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的单位均为米），依题意可得抛物线的方程为．因为同一边的悬索连接着29根吊索，且相邻两根吊索之间的距离均为米，则点的横坐标为，则，所以点到桥面的距离为米．故选：A.2．（23-24高二上·四川德阳·期末）一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（

）A． B． C．1m D．【答案】A【解析】如图所示，以接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在上，设抛物线的标准方程为，由已知得在抛物线上，所以，得，其顶点到焦点的距离等于.故选：A.3．（23-24高二上·新疆阿克苏·阶段练习）鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，其宽为，高为，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点到准线距离为（

）A． B．5 C．10 D．20【答案】C【解析】依题意，设该抛物线的方程为，显然点在此抛物线上，因此，解得，所以该抛物线的焦点到准线距离为10.故选：C【题组一抛物线的标准方程】1．（2024·贵州毕节）已知点在抛物线上，则抛物线C的准线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为点在抛物线上，所以，解得，所以抛物线的标准方程为，所以抛物线C的准线方程为.故选：D.2．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线C：过点，则抛物线C的准线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由抛物线C：过点，可得，解得，即抛物线的方程为，可得抛物线的准线方程为.故选：B.3．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】将点代入，得，即，所以抛物线，即抛物线的准线方程为，故选：C.4．（2024·福建莆田）已知抛物线）的焦点为F，点在抛物线C上，且，则抛物线C的准线方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为点在抛物线上，且，可得，解得，即抛物线，所以抛物线C的准线方程是.故选：D.5．（2024·陕西西安）已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，为坐标原点，当时，，则抛物线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】过作准线的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，则，又，则，所以，解得，所以抛物线的方程为.故选：A.

【题组二抛物线定义的应用】1．（2024·陕西西安）设为抛物线C：上的动点，关于的对称点为，记到直线、的距离分别、，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】抛物线C：的焦点为，准线方程为，如图，因为，且关于的对称点为，所以，所以.当在线段与抛物线的交点时，取得最小值，且最小值为.故选：D2．（2024·河北邯郸）已知抛物线的焦点为F，为抛物线上一动点，点，则周长的最小值为（

）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】A【解析】由题知，准线方程为.如图，过作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为，所以的周长，当为与抛物线的交点时等号成立，即周长的最小值为13.故选：A3．（2024·内蒙古赤峰）已知抛物线的焦点为，点的坐标是，P为上一点，则的最小值为（

）A． B．6 C． D．5【答案】D【解析】由拋物线知，则，准线l方程为，如图所示，点A在抛物线内，过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为点，过点A作于点H，由抛物线的定义得,所以,当且仅当点P是线段与抛物线的交点（即A，P，H三点共线）时取等号．所以的最小值为，故选：D.4．（2024·湖南·模拟预测）已知点，抛物线的焦点为为抛物线上一动点，当运动到时，，则的最小值为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【解析】由抛物线的定义可知，，所以，所以抛物线的方程为，过点作垂直抛物线的准线，垂足为，则，当且仅当和三点共线时等号成立.故选：A.

5．（23-24陕西安康·开学考试）已知抛物线的焦点为，，点是抛物线上一动点，则的最小值是（

）A．3 B．5 C．7 D．8【答案】A【解析】由题意得，由抛物线焦半径公式可知，，故，显然连接，与抛物线交点为，此时取得最小值，即当三点共线时，最小，最小值为，故的最小值为3.故选：A6．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设点，抛物线上的点P到y轴的距离为d．若的最小值为1，则（

）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】C【解析】抛物线，则焦点，准线，最小时，即最小，根据抛物线的定义，，所以只需求的最小值即可，当为线段与抛物线交点时，最小，且最小值为，解得.故选：C.【题组三直线与抛物线的位置关系】1．（2024湖北）已知直线及抛物线，则（）A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点【答案】C【解析】直线，直线过定点．当时，直线与抛物线有一个公共点，即顶点；当时，点在抛物线的内部，所以直线与抛物线有两个公共点，综上所述，直线与抛物线有一个或两个公共点.故选：.2（2024山东）若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝x只有一个公共点，则实数k的值为（）A． B．0C．或0 D．8或0【答案】C【解析】由得ky2－y＋2＝0，若k＝0，直线与抛物线只有一个交点，则y＝2；若k≠0，则Δ＝1－8k＝0，所以k＝.综上可知k＝0或.故选：C．3．（2024·福建漳州·三模）写出过点且与抛物线有唯一公共点的一条直线方程.【答案】（写对一个方程即可）【解析】如图，当直线斜率为0时，与抛物线有唯一公共点，此时方程为；当斜率不为0时，设的方程为，联立消去，整理得：，因为直线与抛物线有唯一公共点，所以，解得或，所以为或，即或.综上，过点且与抛物线有唯一公共点的直线方程为：或或.故答案为：（或或）.

【题组四弦长】1．（2024·天津·模拟预测）双曲线和抛物线（）的公共焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若中点的横坐标为6，则（

）A．16 B．12 C．10 D．8【答案】A【解析】由题意可得双曲线的交点为，所以，即，设的横坐标分别为，中点的横坐标为6，即由抛物线的焦点弦公式可得，故选：A.2．（2024·安徽马鞍山）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过其焦点且与交于两点，若直线的斜率为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】

如图作垂直于准线，垂足为，可知设，直线的斜率为得，，则，由勾股定理得：，即，化简得：，解得，再设过焦点的直线为与抛物线联立消元得：，设交点，则，而，当时，解得，此时，当时，解得，此时，故选：D.3．（2024·湖北）已知抛物线的准线方程为，直线交抛物线于、两点，则弦长______.【答案】8【解析】因为抛物线的准线方程为，所以，解得，所以抛物线方程为，所以抛物线的焦点坐标为，所以直线过焦点，联立，消去y得，则，所以，故答案为：84．（2024·南昌市）过点的直线与抛物线交于两点，，则△ABC面积的最小值为____.【答案】【解析】设直线的方程为：，，，，，联立方程，消去得：，，，，当时，的值取到最小值，最小值为，故答案为：．【题组五抛物线有关的轨迹问题】1．（22-23高二上·四川绵阳·期中）在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为．【答案】【解析】由题意，由得，化简得．故答案为：．2．（2022高三·全国·专题练习）已知点，在轴上，且，则外心的轨迹的方程；【答案】【解析】设外心为，且，，，由点在的垂直平分线上知由，得故即点G的轨迹S为：，故答案为：.3．（2024辽宁沈阳·阶段练习）点，点B是x轴上的动点，线段PB的中点E在y轴上，且AE垂直PB，则点P的轨迹方程为．【答案】【解析】设，，则．由点E在y轴上，得，则，即．又，若，则，即．若，则，此时点P，B重合，直线PB不存在．所以点P的轨迹方程是．故答案为：.4（24-25高二上·上海·课堂例题）在平面直角坐标系xOy中，动圆M与圆N：相内切，且与直线相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．求曲线C的方程．【答案】．【解析】设动圆圆心，半径为r，依题意，，，消去r，得，化简得，所以曲线C的方程为．【题组六抛物线的实际应用问题】1．（23-24高二上·四川德阳·阶段练习）如图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯到水面的距离为（

）（结果精确到0.01）A．4.96 B