第三章 圆锥曲线 章末总结及测试（解析版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）

第三章圆锥曲线章末总结及测试考点一定义1．（2024·陕西商洛）已知椭圆的长轴长为20，离心率为，左､右焦点为，若上的点满足，则的面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题知，，解得椭圆，的左､右焦点为，若上的点满足，由椭圆定义得①.由余弦定理得②，联立①②，得，的面积是.故选：A.2．（2024·山东日照·一模）过双曲线的右支上一点P，分别向和作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（

）A．28 B．29 C．30 D．32【答案】C【解析】由双曲线方程可知：，可知双曲线方程的左、右焦点分别为，，圆的圆心为（即），半径为；圆的圆心为（即），半径为．连接，，，，则，可得，当且仅当P为双曲线的右顶点时，取得等号，即的最小值为30.故选：C.3（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，O为坐标原点，若，则的面积为（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】因为双曲线C：，所以，因为，所以，所以，由双曲线的定义知：，两边同时平方得：，所以，故.故选：D4（2024·江西宜春）（多选）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，坐标原点为O．若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（

）A． B．C．的面积为2 D．的内切圆半径为【答案】ACD【解析】法1：由题意得，，则，．由对称性可设（，），，，，由，解得，又，，所以，，所以．由椭圆的定义得，在中，由余弦定理，得，即，解得，故A正确；，故B错误；的面积为，故C正确；设的内切圆半径为r，由的面积相等，得，即，解得，故D正确．故选：ACD．法2：设，，．易知，，由极化恒等式，得，故B错误；由中线长定理得，由椭圆定义得，所以，所以，所以，故A正确；由，得，所以，故C正确；设的内切圆半径为r，由的面积相等，得，即，解得，故D正确．故选：ACD．5．（23-24高二上·江苏泰州·期末）（多选）下列结论正确的是（

）A．椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为8B．椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为6C．双曲线上一点到一个焦点的距离为1，则点到另一个焦点的距离为D．双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则点到另一个焦点的距离为1【答案】AC【解析】对于A：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为，正确；对于B：椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为，B错误；对于C：根据双曲线的定义，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为，这里，所以到另一个焦点的距离为，C正确；对于D：根据双曲线的定义，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为，这里，所以到另一个焦点的距离为或，D错误.故选：AC.6．（23-24河北秦皇岛·开学考试）（多选）为抛物线上的动点，动点到点的距离为（F是的焦点），则（

）A．的最小值为 B．最小值为C．最小值为 D．最小值为【答案】BCD【解析】抛物线焦点坐标为，动点到距离为

设点为，则整理得，，即，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，设点为，则点到距离时，最小为，最小值为，故A错误.点为，最小为最小值为1，最小为，故B正确.等于点到直线的距离，最小值为到直线的距离减去，即，故C正确.到的距离为最小值为到的距离与和的最小值，即到的距离最小值，设为则到距离为当时，最小值为2，最小值为2，得最小值为，故D正确.故选：BCD考点二标准方程1．（2024安徽·期中）与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】椭圆方程化为标准形式，设要求解的椭圆方程为：，将点代入得，解得：，所以，C正确.故选：C2．（22-23高二上·辽宁营口·期末）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】椭圆的标准方程为，故，可得焦点坐标为.设双曲线的方程为，故，解得，故双曲线的标准方程为.故选:A.3．（2024·广东珠海·期末）已知双曲线：与椭圆：有相同的焦点，且一条渐近线方程为：，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵双曲线：的一条渐近线方程为：∴设双曲线：∵双曲线与椭圆有相同的焦点∴，解得：∴双曲线的方程为.故选：B.4．（23-24高三下·湖北·开学考试）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点关于其准线的对称点为，则的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，设抛物线的方程为，可得焦点坐标，准线方程为，设焦点关于准线的对称点为，可得，解得，因为点关于其准线的对称点为，可得，解得，所以抛物线的方程为.故选：A.5．（24-25高二·上海·随堂练习）已知抛物线C：的焦点与椭圆的右焦点重合，顶点为椭圆的中心，则抛物线C的标准方程为．【答案】【解析】椭圆的右焦点坐标为，由题意可知抛物线的焦点坐标为，所以抛物线C的标准方程为．故答案为：．考点三离心率1．（23-24高二上·江西赣州·期中）中国刺绣作为一项传统手工技艺，是中国传统文化的一个重要组成部分．某个椭圆形的刺绣艺术品的尺寸如图所示，则这个椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】以椭圆的对称中心作为坐标原点建立平面直角坐标系，则可得，所以，所以，所以该椭圆的离心率，故选：A．2．（2024·湖北武汉）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，取弦的中点D，连接，则，即，因为，所以，因为O为的中点，所以D是的中点，所以，因为，所以OD垂直平分弦，因为，，所以，所以，由椭圆定义可得，，所以，解得，，所以离心率为，故选：A．3．（24-25湖北武汉·开学考试）已知双曲线的右顶点为，若以点为圆心，以为半径的圆与的一条渐近线交于两点，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】不妨设该圆与渐近线分别交于、点，则，故，则，设，则，则有，，即有，则有，即，故，即，即，即，故有，即，故，即.故选：B.4．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点B是双曲线上位于第二象限的点．直线与双曲线交于另一点A，，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，，，因为，则，则，解得又因为，，则为的中点，所以，则，在直角三角形中，，即，化简得，将代入上式得，则，化简得，两边同除得，解得或1（舍去），则.故选：A.

考点四直线与曲线的位置关系1．（2024·湖南衡阳）已知直线与椭圆相切，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，联立，得，化解得，因为直线与椭圆相切，所以，化简整理得，所以.故选：C.2．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】D【解析】易知双曲线的焦点，顶点，渐近线为，由可得该点在双曲线右顶点上方，易得过点与双曲线有且只有一个公共点的直线中，有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线（图1），有两条双曲线右支的切线（图2），共4条.故选：D.3（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）过双曲线：左焦点为和点直线与双曲线的交点个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】由题意得双曲线：左焦点为，则直线l的斜率为，故直线l的方程为，而双曲线的渐近线方程为，故直线l与平行，且l过双曲线的左焦点，故直线与双曲线的交点个数是1，故选：B4．（2024·全国·模拟预测）在区间内随机抽取一个实数，则事件“直线与双曲线的两个交点分别在双曲线左、右两支上”发生的概率为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】联立方程组，整理得，因为直线与双曲线的左右两支有两个交点，则方程有异号的两实数根，所以，解得，又因为实数为区间内的实数，由几何概型的概率计算公式得所求概率为．故选：C．5．（2024·江苏宿迁）已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（

）A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条，则当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线为；当直线的斜率存在时，设直线为，则，消去整理得，即有两个不同的解，所以即，解得或，所以“”是“过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件.故选：A.考点五弦长1．（2023高二上·江苏·专题练习）设直线与椭圆相交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】联立直线与椭圆方程，消可得：，，设，则，，根据弦长公式有：.故选：B.2．（23-24高二上·全国·单元测试）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于点两点，若面积是的2倍，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设直线与轴的交点为，则.所以，.因为所以.由得，即，.所以，解得或.因为与有两个交点，联立消得，则,解得.所以.故选：C.3．（24-25河南·开学考试）已知是双曲线的左焦点，过点的直线与交于两点（点在的同一支上），且，则（

）A．6 B．8 C． D．【答案】D【解析】由可得.根据对称性，不妨设过点的直线为，联立可得.设，则.①由，则，又所以.②由①②可得，所以，解得或（舍），，所以.故选：D.4．（2024·河北·模拟预测）点为等轴双曲线的焦点，过作轴的垂线与的两渐近线分别交于两点，则的面积为（

）A． B．4 C． D．8【答案】B【解析】设双曲线为：，因为，解得：，所以双曲线为：，则双曲线的渐近线为：，所以，解得：，则，所以为等腰直角三角形，所以的面积为.故选：B.5．（2023·陕西西安·模拟预测）双曲线的焦点弦长为的弦有（

）A．8条 B．4条 C．2条 D．1条【答案】B【解析】由，可得其通径为，注意到左右顶点的距离为，所以过一个焦点，可作满足题意与双曲线交于两支的弦有两条，交于一支的情况不存在，结合双曲线的对称性，该双曲线满足题意的焦点弦共有4条.故选：B.6．（23-24高二上·北京通州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与C交于，两点，若面积是面积的2倍，则m等于（

）A．6 B． C． D．【答案】D【解析】易得，故，设，，直线与轴交点，面积为，面积为，由题意得面积是面积的2倍，则，化简得，结合，故，解得，即，故，解得.故选：D.7．（23-24高二下·浙江杭州·期中）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，设，则，所以，则，故，所以，则直线的倾斜角，所以直线的斜率，所以直线的方程为，联立，消得，，设，则，所以.

故选：A.8．（23-24高二下·四川成都·期末）抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点．已知一束平行反射镜于轴的入射光线与抛物线的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为（

）

A． B．214 C． D．【答案】C【解析】因为点在抛物线上，所以，解得，所以抛物线方程为.故抛物线的焦点为，又因为反射光线经过点及焦点，所以反射光线的方程为，联立抛物线方程得，解得或，故反射光线与抛物线的交点为，由两点距离公式得.所以反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为.故选：C.

考点六点差法1．（2024·陕西安康）已知椭圆，过点作倾斜角为的直线与交于，两点，当为线段的中点时，直线（为坐标原点）的斜率为，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，所以，两式相减得，即，又，所以，整理得，又，，所以，所以，所以椭圆的离心率.故选：D.2．（2024高三·全国·专题练习）椭圆上的两点A，B关于直线对称，则弦的中点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，，的中点为，则，由点在椭圆上得，两式相减得，整理得，由，，即，将代入，解得，，所以.故选：D．3．（2024·陕西宝鸡）已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【解析】设，则，且，所以，整理得到：，因为是弦的中点，所以，所以即所以，故选：A.4．（2024北京）已知双曲线方程，则以为中点的弦所在直线的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设直线交双曲线于点、，则，由已知得，两式作差得，所以，，即直线的斜率为，故直线的斜率为，即.经检验满足题意故选：B.5（2024河南·阶段练习）已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【解析】设，，，则，两式相减得，所以.因为，，所以.因为，，所以，，故.故选：C6．（2024湖北·阶段练习）已知斜率为的直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，的中点为，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设、、，则，两式相减得，所以．因为，，所以．因为，，所以，故，故．故选：A.考点七轨迹方程1．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）平面直角坐标系中，等边的边长为，M为BC中点，B，C分别在射线，上运动，记M的轨迹为，则（

）A．为部分圆 B．为部分线段C．为部分抛物线 D．为部分椭圆【答案】D【解析】如图，由题意不妨设，则，而，即，又，所以，即，因为，所以，即为部分椭圆.故选：D.2（23-24高二下·湖北黄冈·阶段练习）已知三角形的周长为，且，，则顶点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为、，所以，又因为的周长为，得，由椭圆的定义可知：顶点的轨迹是一个以为焦点的椭圆的一部分，且椭圆中，，，即，椭圆方程为，因为时，三点共线，不能构成三角形．顶点的轨迹方程为，故选：C．3．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）已知点为圆上的动点，点，延长至，使得，线段的垂直平分线交直线于点，记的轨迹为.则的方程为.【答案】【解析】连接，如下图所示：

因为为的中点，所以，由垂直平分线的性质可知：，所以，所以的轨迹是以为焦点且实轴长为的双曲线，所以，所以，所以轨迹方程为，故答案为：.4．（2024高三·全国·专题练习）已知点与点，是动点，且直线与的斜率之积等于求动点的轨迹方程;【答案】【解析】设点的坐标为，因为，所以，化简得.故动点的轨迹方程为.5．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点、，的内切圆与直线相切于点，记点M的轨迹为C.求C的方程.【答案】【解析】因为点、，的内切圆与直线相切于点，所以，因此根据双曲线的定义可知，点的轨迹为以，为焦点的双曲线的右支，设点的轨迹C的方程为，焦距为，所以，，所以，，，所以点的轨迹方程C为.考点八实际应用1．（2024·重庆）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】如图可知，，，，A不正确；，，；B不正确；由，可知，C不正确；，可得，故，即，，，即，D正确，故选:D.2．（22-23高二上·安徽芜湖·阶段练习）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论错误的是（

）A．卫星向径的取值范围是B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小【答案】C【解析】由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，所以A正确；根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确；卫星向径的最小值与最大值的比值为越大，则越小，椭圆越圆，故C错误．因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故D正确；故选：C．3（2024湖北荆州）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚.已知各观测点到该中心的距离是.则该巨响发生在接报中心的（

）处.（假定当时声音传播的速度为3，相关各点均在同一平面上）A．西偏北方向，距离 B．东偏南方向，距离C．西偏北方向，距离 D．东偏南方向，距离【答案】A【解析】如图，以接报中心为原点，正东、正北方向为轴、轴正向，建立直角坐标系．设、、分别是西、东、北观测点，则，，，设为巨响为生点，由、同时听到巨响声，得，故在的垂直平分线上，的方程为，因点比点晚听到爆炸声，故由双曲线定义知点在以、为焦点的双曲线上，依题意得，，，故双曲线方程为，将代入上式，得，，，，即故.故巨响发生在接报中心的西偏北距中心处．故选：A4．（23-24高三上·江西·期末）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，，，由题意知，，，所以，，，所以，又，所以，解得，所以.故选：B.5．（22-23高二上·浙江嘉兴·期中）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒：若，则的长轴长与的实轴长之比为（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】设椭圆方程为，双曲线方程为，由图①可得，其中，故上面两式相减得，由图②可得，故，由题意得，即，即，解得，故的长轴长与的实轴长之比为.故选：C6（2024·新疆·一模）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点的椭圆T与双曲线S构成，现一光线从左焦点发出，依次经S与T反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的S去掉，如图②，此光线从点发出，经T两次反射后又回到了点历时秒.已知，则T的离心率与S的离心率之比.【答案】/0.5【解析】由得，由椭圆定义可得，由椭圆和双曲线定义得，，故，故，解得，设椭圆T与双曲线S的公共焦点为，故，所以故答案为：一、单选题1．（23-24高二下·广西桂林·期中）已知椭圆的两个焦点为上有一点，则的周长为（

）A． B．20 C． D．16【答案】B【解析】因为，，所以，故的周长为．故选：B．2．（23-24高二上·江西赣州·期中）以椭圆的焦点为焦点，离心率的双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】椭圆化为标准方程为，焦点为，双曲线的半焦距，离心率，，，双曲线的标准方程为．故选：A．3．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知椭圆，则“”是“椭圆C的离心率为”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由椭圆的方程，可得：当时，可得，此时椭圆的离心率为，由，可得，解得；当时，可得，此时椭圆的离心率为，由，可得，解得，所以所以是椭圆C的离心率为的充分不必要条件．故选：A.4．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P是C的右支上的一点，C在点P处的切线与C的渐近线交于M，N两点，O为坐标原点，给出下列四个结论：①直线的斜率的取值范围是；②点P到C的两条渐近线的距离之积为；③；④．其中所有正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由题意知，，设，又点P在C上，所以，所以，所以直线的斜率，所以，令，，所以所以，即直线的斜率的取值范围是，故①正确；C的渐近线方程为，所以点P到C的两条渐近线的距离之积为．故②错误；，故③正确；当时，显然C在点P处的切线的斜率存在，设点P处的切线方程为，由得，所以得，，解得，所以C在点P处的切线方程为，即．当时，C在点P处的切线方程为，所以点P处的切线方程为．由，解得，由解得又，，所以点P是线段MN的中点，所以，故④正确．故选：C．5．（24-25高二·上海·随堂练习）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设椭圆的标准方程为，则椭圆的面积为，又，联立解得．所以椭圆的标准方程为．故选：D.6．（23-24高二下·安徽亳州·期末）设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以．设，则．在中，．在中，，所以，整理得，．于是．故选：D．7．（2024·四川内江·模拟预测）已知双曲线C的方程为，过点作直线与双曲线左右两支分别交于点M，N.若，则直线的方程为（）A．

B．C． D．【答案】C【解析】设，直线的斜率为，则直线的方程为，联立，则①，②因为，则③，①③联立解得，代入②得，则直线的方程为或，故答案为：C8．（23-24高二下·安徽·期末）关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆：的左焦点为F，右顶点为A，过F且垂直于x轴的直线与C的一个交点为M，过M作椭圆的切线，若切线与直线的倾斜角互补，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知：，令代入椭圆方程可得，不妨设，则切线，即，可知直线的斜率，切线的斜率，由题意可知：，即.故选：C.二、多选题9．（24-25高二下·上海·期末）已知曲线C：，下列结论中正确的有（

）A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若，则C是圆，其半径为C．若，则C是双曲线，其渐近线方程为D．若，，则C是两条直线【答案】ACD【解析】对于A，若，则可化为，∴，∴，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线C表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线C表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，，则可化为，，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确．故选：ACD.10．（23-24江苏无锡）设椭圆的左､右焦点分别为、，左､右顶点分别为A、B，点P是椭圆C上的动点，则下列结论正确的是（

）A．离心率B．面积的最大值为1C．以线段为直径的圆与直线相切D．动点P到点的距离的最小值为【答案】BD【解析】对于选项A，由已知得，，则，即，故A错；对于选项B，由已知得，要使的面积最大，当底边上的高最大即可，高的最大值即为1，则的面积最大值为，故B正确；对于选项C，以线段为直径的圆的方程为，则该圆的圆心到直线的距离为，即以线段为直径的圆与直线相交，故C错；对于选项D，设点，则又，故时取得最小值为，故D正确．故选：BD．11．（江苏省南通市名校联盟2025届新高三暑期学习（全国普通高考调研模拟测试）数学试题）已知抛物线Γ：的焦点为F，P为Γ上一动点．过F且斜率大于0的直线与Γ交于不同的两点A，B，且满足，．则下列说法错误的是（

）A．直线AB的倾斜角大于60°B．若，则C．点P可能在第一象限D．直线PB的横截距不可能是【答案】AC【解析】抛物线Γ：的焦点为，直线过F且斜率大于0，设直线方程为，，联立，化简得，由韦达定理，设，，，代入韦达定理得，又点不在直线上，则，即只有，当，即时，有实数解，且存在点，又，则点在第四象限，故C错误.设直线的斜率为，则，直线的倾斜角小于等于，故A错误.若，则，，代入，解得，，所以，即，故B正确.取，则直线的直线方程为，联立，化简得，方程其中一个根为点纵坐标，则另一根为，若另一根为点纵坐标，则，此时，代入方程无解，所以与无法垂直，则不存在这样过的直线，即直线的横截距不可能是，故D正确.故选：AC.三、填空题12．（24-25高二·上海·课堂例题）已知点，直线，若动点P到l的距离等于，则点P的轨迹是．【答案】抛物线【解析】因为，可知，且抛物线的定义：动点到定点距离等于到定直线距离，所以点P的轨迹是抛物线.故答案为：抛物线.13．（24-25高二·上海·随堂练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为．【答案】【解析】令椭圆的半焦距为，由的最小值为1，得，由的周长为34，得，解得，，由，得，所以椭圆C的标准方程为.故答案为：14．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C：的上顶点为A，右顶点为B，点P在线段AB上（不包括端点），O为坐标原点，直线OP与椭圆相交于M，N两点，点M在第一象限，则的最大值为．【答案】【解析】设直线的斜率为，则直线的方程为：，联立方程得，则，所以，因为椭圆C：的上顶点为A，右顶点为B，所以，则直线的方程为，因为点P在线段AB上，直线OP与椭圆相交于M，N两点，所以，因为点M在第一象限，所以，，，则所以，，，由，整理得，，当时，故答案为：四、解答题15．（24-25高二下·上海·期末）已知