江苏省盐城市阜宁县（部分校）2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（A卷）（含答案解析）

2024年春学期高一期中考试数学试卷（A卷）时间：120分钟分值：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是（）A.±1 B.±iC.±i D.±2i【答案】C【解析】【分析】根据方程的解法求得方程的根.【详解】.故选：C2.cos295°sin70°－sin115°cos110°的值为（）A. B.－C. D.－【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式以及两角差的余弦公式的逆应用即可求解.【详解】原式＝－cos115°cos20°＋sin115°sin20°＝cos65°·cos20°＋sin65°sin20°＝cos(65°－20°)＝cos45°＝.故选：A3.在三角形中，，则的大小为A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：，选A考点：余弦定理4.已知､是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中不能作为基底的一组是（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】B【解析】【分析】根据基底向量的定义，结合共线向量的判定定理逐项分析判断.【详解】因为､是平面内所有向量的一组基底，则､不共线，对于选项A：若、共线，则，可得，无解，所以、不共线，可以作为基底向量，故A错误；对于选项B：因为，可知和共线，不能作为基底向量，故B正确；对于选项C：若、共线，则，可得，无解，所以、不共线，可以作为基底向量，故C错误；对于选项D：若、共线，则，可得，无解，所以、不共线，可以作为基底向量，故D错误；故选：B.5.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可；【详解】解：，所以复数在复平面内对应的点为，在第一象限.故选：A.6.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ等于A. B. C.－1 D.－1【答案】C【解析】【分析】在ABC中，由正弦定理得AC＝100，再在ADC中，由正弦定理得解.【详解】在ABC中，由正弦定理得，∴AC＝100．在ADC中，，∴cosθ＝sin(θ＋90°)＝.故选：C【点睛】结论点睛：解一个三角形需要已知三个几何元素（边和角），且至少有一个为边长，对于未知的几何元素，放到其它三角形中求解.7.化简值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用两角差的余弦公式计算可得.【详解】.故选：B8.公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”.“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，其比值为，这一比值也可以表示为，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】由题知,再根据二倍角公式化简整理即可得答案.【详解】解:因为，,所以,所以故选:C二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分；三个正确选项时，选对一个的得2分，选对二个的得4分；两个正确选项时，选对一个的得3分；有选错的得0分）9.已知向量，，，则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据向量平行的判定方法可判定A是否正确；根据向量垂直的判定方法可判定B是否正确；根据向量的坐标运算方法可判定C、D是否正确.【详解】由题意，，A错误；，，所以B正确，C错误；，D正确.故选：BD.10.已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（）A.若，则．B.若，，则三角形有一解．C.若，则一定为等腰直角三角形．D.若面积为，，则．【答案】ABD【解析】分析】利用正弦定理判断A、B，利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式即可判断C，由面积公式及余弦定理判断D.【详解】对于A，由正弦定理得，因为，所以，则，故A正确；对于B，因为，，由正弦定理得，则，因为，所以，则，所以只有一解，则三角形只有一解，故B正确；对于C，因为，所以，即，又，所以，所以或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，因为面积为，，又，所以，所以，显然，则，因为，所以，故D正确．故选：ABD．11.已知是所在平面内一点，以下说法正确的是（）A.若动点满足，则点的轨迹一定通过的重心．B.若点满足，则点是的垂心．C.若为的外心，且，则是的内心．D.若，则点为的外心【答案】AD【解析】【分析】由正弦定理结合共线向量可判断A；将题设转化可得出点的位置，从而可判断B；依题意结合共线向量可得出点的位置，进而可判断C；由数量积的运算可得，由此可判断D.【详解】对于选项A：由正弦定理得（为外接圆半径），设的中点为，则由条件可得，所以与共线，因为是中线，所以点的轨迹一定通过的重心.故A正确；对于选项B：由得，则是的角平分线；同理，由得是的角平分线，所以点是的内心.故B错误；对于选项C：设的中点为点，由得，所以，由是外心可得，所以，所以；同理，，所以点是的垂心.故C错误；对于选项D：由得，则，即，同理，由得，故点是的外心.故D正确.故选：AD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知为虚数单位，则复数模为__________.【答案】【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再计算其模.【详解】因为，所以复数的模为.故答案为：13.设，且的夹角为钝角，实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】根据题意可知且不共线，结合向量的坐标运算列式求解.【详解】因为的夹角为钝角，则且不共线，可得，解得且，所以实数的取值范围是.故答案为：.14.若关于不等式的解集为，则的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】令，将原问题转化为关于的不等式的解集为，结合二次函数的性质，即可求出结果.【详解】令，若关于的不等式的解集为，等价于若关于的不等式的解集为，即关于的不等式的解集为，若，可知函数的对称轴为，开口向上，所以函数图象如图所示：当时，，当时，，即最小值为时，，所以，解得，即.故答案为：四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知平面向量（1）若，求x的值：（2）若，求【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）直接利用向量垂直的坐标表示列方程求解；（2）先通过向量平行的坐标公式求出，再通过向量的坐标运算求模.【小问1详解】，，解得或；【小问2详解】，，即解得或，当时，，，；当时，，，，或.16.已知复数和它的共轭复数满足．（1）求z；（2）若z是关于x的方程的一个根，求复数的模．【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）设，根据复数代数形式的运算法则及复数相等的充要条件得到方程组，解得即可；（2）将代入已知方程，利用复数代数形式的乘法运算及复数为的充要条件得到方程，即可求出、，再代入，利用复数除法运算法则化简，从而求出其模；【小问1详解】解：设，则，所以，所以，即，所以；【小问2详解】解：将代入已知方程可得，即，整理可得，所以，解得，所以，又，故复数的模为1．17.平行四边形ABCD中，，求：（1）的值；（2）【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，结合数量积的运算律分析求解；（2）先根据数量积的运算律可得，结合夹角公式分析求解.【小问1详解】由题意可得：，且，所以=.【小问2详解】由（1）可知：，，则，设的夹角为，所以.18.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求B；（2）若，求的面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再由内角和等于消去角A，然后通过和差公式展开化简可得；（2）余弦定理结合基本不等式可得ac最大值，然后由面积公式可得.【小问1详解】因为，所以由正弦定理可得，即，整理得，又，所以，所以，即，又，所以，即.【小问2详解】在中，由余弦定理可得，所以，当且仅当时取等号，所以，故的面积的最大值为.19.已知向量，函数，．（1）当时，求的值；（2）若的最小值为﹣1，求实数m的值；（3）是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）利用向量数量积的公式化简函数即可．（2）求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．（3）由得到方程的根，利用三角函