空气动力学方程：简化欧拉方程的无量纲化教程

空气动力学方程：简化欧拉方程的无量纲化教程1空气动力学基础1.1流体动力学基本概念流体动力学是研究流体（液体和气体）在静止和运动状态下的行为的学科。在空气动力学中，我们主要关注气体，尤其是空气的流动。流体动力学的基本概念包括：流体的连续性：流体在流动过程中，其质量是守恒的。这意味着流体在管道中流动时，流过任意截面的质量流量是恒定的。流体的动量：流体的动量是其质量和速度的乘积。动量方程描述了流体动量随时间的变化，以及外力对流体动量的影响。流体的能量：流体的能量包括动能、位能和内能。能量方程描述了流体能量随时间的变化，以及能量的转换和传递。1.1.1示例：流体连续性方程假设有一根管道，其截面积在不同位置变化。流体在管道中以稳定的速度流动。我们可以使用连续性方程来计算在不同截面处的流速。设管道的截面积为A，流体的密度为ρ，流速为v。连续性方程可以表示为：ρ这意味着，流体的密度、截面积和流速的乘积在管道的任何位置都是相同的。1.1.2Python代码示例#流体连续性方程的Python实现

defcontinuity_equation(rho1,A1,v1,A2):

"""

计算在不同截面处的流速。

参数:

rho1:截面1的流体密度

A1:截面1的面积

v1:截面1的流速

A2:截面2的面积

返回:

截面2的流速

"""

rho2=rho1*(A1/A2)*(v1/A1)

returnrho2

#示例数据

rho1=1.225#流体密度，单位：kg/m^3

A1=0.1#截面1的面积，单位：m^2

v1=10#截面1的流速，单位：m/s

A2=0.2#截面2的面积，单位：m^2

#计算截面2的流速

v2=continuity_equation(rho1,A1,v1,A2)

print(f"截面2的流速为：{v2}m/s")1.2连续性方程解析连续性方程是流体动力学中的一个基本方程，它基于质量守恒原理。在三维空间中，连续性方程可以表示为：∂其中，ρ是流体的密度，v是流体的速度矢量，t是时间，∇⋅1.2.1示例：一维连续性方程在一维情况下，连续性方程简化为：∂假设流体的密度和速度随时间线性变化，我们可以使用数值方法来求解这个方程。1.2.2Python代码示例importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定义参数

L=1.0#管道长度

N=100#空间网格点数

T=1.0#时间长度

M=100#时间步数

rho0=1.225#初始密度

v0=10.0#初始速度

dx=L/N#空间步长

dt=T/M#时间步长

#定义网格

x=np.linspace(0,L,N)

t=np.linspace(0,T,M)

#初始化密度和速度

rho=np.ones(N)*rho0

v=np.ones(N)*v0

#定义速度和密度随时间的变化率

dvdt=np.zeros(N)

drhodt=np.zeros(N)

#定义边界条件

rho[0]=rho0

rho[-1]=rho0

#使用欧拉方法求解连续性方程

forminrange(M):

forninrange(1,N-1):

drhodt[n]=-(rho[n]*v[n]-rho[n-1]*v[n-1])/dx

dvdt[n]=0#假设速度随时间不变

rho[n]+=drhodt[n]*dt

v[n]+=dvdt[n]*dt

#绘制结果

plt.plot(x,rho)

plt.xlabel('位置(m)')

plt.ylabel('密度(kg/m^3)')

plt.title('一维连续性方程的数值解')

plt.show()1.3动量方程与能量方程介绍1.3.1动量方程动量方程描述了流体动量随时间的变化，以及外力对流体动量的影响。在三维空间中，动量方程可以表示为：ρ其中，v是流体的速度矢量，p是流体的压力，τ是应力张量，f是作用在流体上的外力。1.3.2能量方程能量方程描述了流体能量随时间的变化，以及能量的转换和传递。在三维空间中，能量方程可以表示为：ρ其中，e是流体的单位质量能量，q是单位体积的热源。1.3.3示例：一维动量方程在一维情况下，动量方程简化为：ρ假设流体在管道中流动，我们可以使用数值方法来求解这个方程。1.3.4Python代码示例importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定义参数

L=1.0#管道长度

N=100#空间网格点数

T=1.0#时间长度

M=100#时间步数

rho0=1.225#初始密度

v0=10.0#初始速度

p0=101325#初始压力

dx=L/N#空间步长

dt=T/M#时间步长

#定义网格

x=np.linspace(0,L,N)

t=np.linspace(0,T,M)

#初始化速度和压力

v=np.ones(N)*v0

p=np.ones(N)*p0

#定义速度和压力随时间的变化率

dpdx=np.zeros(N)

dvdt=np.zeros(N)

#定义边界条件

v[0]=v0

v[-1]=v0

p[0]=p0

p[-1]=p0

#使用欧拉方法求解动量方程

forminrange(M):

forninrange(1,N-1):

dpdx[n]=(p[n+1]-p[n-1])/(2*dx)

dvdt[n]=-(1/rho0)*dpdx[n]+0#假设应力和外力为0

v[n]+=dvdt[n]*dt

p[n]=p0#假设压力随时间不变

#绘制结果

plt.plot(x,v)

plt.xlabel('位置(m)')

plt.ylabel('速度(m/s)')

plt.title('一维动量方程的数值解')

plt.show()以上代码示例展示了如何使用Python和数值方法来求解流体动力学中的连续性方程和动量方程。这些方法在空气动力学研究中非常有用，可以帮助我们理解和预测流体在不同条件下的行为。2空气动力学方程：简化欧拉方程2.1欧拉方程的物理意义欧拉方程是流体力学中描述理想流体（即无粘性、不可压缩的流体）运动的基本方程。在空气动力学领域，欧拉方程被用来分析高速飞行器周围的气流行为，因为在这种情况下，流体的粘性效应可以忽略。欧拉方程由连续性方程、动量方程和能量方程组成，它们分别描述了流体的质量、动量和能量守恒。2.1.1连续性方程连续性方程表达的是流体的质量守恒原则，即在任意固定体积内，流体的质量不会随时间改变。对于不可压缩流体，连续性方程简化为：∂其中，ρ是流体的密度，u是流体的速度矢量，t是时间。2.1.2动量方程动量方程描述了流体的动量守恒，即作用在流体上的外力等于流体动量的变化率。在理想流体中，外力主要由压力梯度和重力构成。动量方程可以表示为：∂其中，p是流体的压力，g是重力加速度。2.1.3能量方程能量方程描述了流体的总能量守恒，包括动能和内能。在理想流体中，能量方程简化为：∂其中，E是流体的总能量密度，包括动能和内能。2.2简化欧拉方程推导在空气动力学中，为了简化计算，我们通常会假设流体是不可压缩的，即密度ρ为常数。此外，如果流体的运动速度远小于声速，可以忽略声波传播的影响，从而进一步简化方程。基于这些假设，欧拉方程可以简化为：2.2.1简化连续性方程由于假设流体不可压缩，连续性方程简化为：∇2.2.2简化动量方程动量方程中，由于密度ρ为常数，可以将ρ提出方程外，得到：ρ进一步简化，假设流体运动速度远小于声速，忽略u⋅ρ2.2.3简化能量方程能量方程中，如果流体的温度变化不大，可以假设内能变化可以忽略，从而简化为：∂进一步简化，由于ρ为常数，可以得到：∂2.3简化欧拉方程的应用场景简化欧拉方程在空气动力学中有着广泛的应用，特别是在以下场景中：2.3.1飞行器设计在设计高速飞行器时，简化欧拉方程可以用来预测飞行器周围的气流行为，帮助工程师优化飞行器的外形设计，减少阻力，提高飞行效率。2.3.2气象学在气象学中，简化欧拉方程可以用来模拟大气中的风场，预测天气变化，尤其是在大尺度的气象现象分析中，简化欧拉方程的使用可以显著减少计算资源的需求。2.3.3流体动力学仿真在流体动力学仿真中，简化欧拉方程可以用来快速模拟流体的运动，尤其是在初步设计阶段，可以提供快速的反馈，帮助设计者进行迭代优化。2.3.4示例：使用Python进行简化欧拉方程的数值解下面是一个使用Python和NumPy库来求解简化欧拉方程的简单示例。我们将使用有限差分方法来离散化方程，并求解一个二维不可压缩流体的运动。importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定义网格参数

nx,ny=100,100

dx,dy=1.0/(nx-1),1.0/(ny-1)

nt=100

nu=0.01

rho=1.0

g=9.81

#初始化速度场和压力场

u=np.zeros((ny,nx))

v=np.zeros((ny,nx))

p=np.zeros((ny,nx))

#定义边界条件

u[0,:]=1.0

u[-1,:]=0.0

v[:,0]=0.0

v[:,-1]=0.0

#定义时间步长

dt=0.001

#使用有限差分方法求解简化欧拉方程

forninrange(nt):

un=u.copy()

vn=v.copy()

#更新速度场

u[1:-1,1:-1]=un[1:-1,1:-1]-un[1:-1,1:-1]*dt/dx*(un[1:-1,1:-1]-un[1:-1,0:-2])\

-vn[1:-1,1:-1]*dt/dy*(un[1:-1,1:-1]-un[0:-2,1:-1])\

-dt/(2*rho*dx)*(p[1:-1,2:]-p[1:-1,0:-2])

v[1:-1,1:-1]=vn[1:-1,1:-1]-un[1:-1,1:-1]*dt/dx*(vn[1:-1,1:-1]-vn[1:-1,0:-2])\

-vn[1:-1,1:-1]*dt/dy*(vn[1:-1,1:-1]-vn[0:-2,1:-1])\

-dt/(2*rho*dy)*(p[2:,1:-1]-p[0:-2,1:-1])+rho*g*dt

#应用边界条件

u[0,:]=1.0

u[-1,:]=0.0

v[:,0]=0.0

v[:,-1]=0.0

#可视化结果

plt.imshow(u,cmap='hot',interpolation='nearest')

plt.colorbar()

plt.show()2.3.5示例解释在上述代码中，我们首先定义了网格参数和流体的物理属性，如密度ρ和重力加速度g。然后，我们初始化了速度场和压力场，并设置了边界条件。使用有限差分方法，我们更新了速度场，忽略了压力场的更新，因为在这个示例中，我们只关注速度场的变化。最后，我们使用Matplotlib库来可视化速度场的结果。这个示例展示了如何使用简化欧拉方程来模拟流体的运动，尽管它是一个非常简化的模型，但在初步设计和概念验证阶段，它仍然非常有用。3无量纲化技术3.1无量纲化的概念与目的无量纲化（DimensionlessScaling）是物理学和工程学中常用的一种数学技巧，用于消除物理方程中的单位，从而简化方程的分析和求解过程。在空气动力学中，无量纲化特别重要，因为它可以帮助我们理解流体动力学行为的普遍性，而不仅仅是特定单位系统下的特定情况。3.1.1目的简化方程：通过无量纲化，可以减少方程中的参数数量，使方程更加简洁。提高通用性：无量纲方程在不同单位系统下保持一致，使得研究结果更具有普遍适用性。物理意义清晰：无量纲参数往往具有明确的物理意义，如雷诺数（Reynoldsnumber）和马赫数（Machnumber），这有助于深入理解流体动力学现象。数值稳定性：在数值计算中，无量纲化可以改善方程的数值稳定性，避免因单位差异导致的数值问题。3.2选择特征量在进行无量纲化时，选择合适的特征量是关键步骤。特征量通常包括特征长度、特征速度、特征时间、特征温度等，它们用于定义无量纲参数。3.2.1特征长度特征长度（L）是描述系统大小的尺度，例如，对于绕流问题，特征长度可以是物体的长度或直径。3.2.2特征速度特征速度（U）是描述流体速度的尺度，例如，对于绕流问题，特征速度可以是来流速度。3.2.3特征时间特征时间（T）是描述时间尺度的量，通常由特征长度和特征速度的比值决定，即T=3.2.4特征温度特征温度（T03.3无量纲参数的定义无量纲参数是通过特征量组合而成的，它们在无量纲化方程中起着关键作用。下面是一些常见的无量纲参数：3.3.1雷诺数（ReynoldsNumber）雷诺数（ReR其中，U是特征速度，L是特征长度，ν是流体的动力粘度。雷诺数描述了惯性力与粘性力的相对大小，是判断流体流动状态（层流或湍流）的重要指标。3.3.2马赫数（MachNumber）马赫数（MaM其中，U是特征速度，a是声速。马赫数用于描述流体流动的压缩性，是超音速和亚音速流动分析的关键参数。3.3.3斯特劳哈尔数（StrouhalNumber）斯特劳哈尔数（StS其中，f是流体中周期性现象的频率，L是特征长度，U是特征速度。斯特劳哈尔数在涡街和卡门涡街等现象的研究中非常重要。3.3.4普朗特数（PrandtlNumber）普朗特数（PrP其中，α是热扩散率。普朗特数描述了动量扩散与热量扩散的相对效率，对于热传导和对流问题的分析至关重要。3.3.5无量纲温度无量纲温度（θ）通常定义为：θ其中，T是流体的温度，T∞是来流温度，T3.3.6示例：简化欧拉方程的无量纲化假设我们有简化欧拉方程：∂其中，u是流体速度，t是时间，x是空间坐标，ρ是流体密度，p是压力，g是重力加速度。3.3.6.1无量纲化步骤定义无量纲变量：u代入简化欧拉方程：∂简化方程：U定义无量纲参数：R其中，Fr是弗劳德数（Froude最终无量纲化方程：∂3.3.6.2Python代码示例importnumpyasnp

#特征量

U=10.0#特征速度(m/s)

L=1.0#特征长度(m)

T=L/U#特征时间(s)

rho=1.225#流体密度(kg/m^3)

nu=1.5e-5#动力粘度(m^2/s)

#定义无量纲参数

Re=U*L/nu

Fr=U/np.sqrt(9.81*L)

#假设的流体速度和压力分布

u=np.array([5.0,7.5,10.0])#流体速度分布(m/s)

p=np.array([101325,101300,101275])#压力分布(Pa)

#无量纲化

u_tilde=u/U

p_tilde=p/(rho*U**2)

#输出无量纲参数和无量纲化后的速度和压力

print("ReynoldsNumber(Re):",Re)

print("FroudeNumber(Fr):",Fr)

print("DimensionlessVelocity(u_tilde):",u_tilde)

print("DimensionlessPressure(p_tilde):",p_tilde)3.3.7结论无量纲化技术在空气动力学方程的分析中扮演着重要角色，它不仅简化了方程，还提高了分析的通用性和物理意义的清晰度。通过选择合适的特征量和定义无量纲参数，可以有效地应用无量纲化技术于各种流体动力学问题的求解中。4简化欧拉方程的无量纲化4.1简化欧拉方程的无量纲形式在空气动力学中，简化欧拉方程通常用于描述不可压缩流体的运动，忽略粘性效应。无量纲化这一过程，是将物理方程转换为无量纲形式，以消除单位的影响，简化方程，使其更易于分析和理解。简化欧拉方程的一般形式为：∂其中，u是流体速度，ρ是流体密度，p是压力，g是重力加速度，t是时间。4.1.1无量纲化步骤选择特征量：选择特征长度L，特征速度U，特征时间T，特征压力P。定义无量纲变量：u*=u/U，p代入方程：将无量纲变量代入简化欧拉方程中。简化方程：通过特征量的比值，消除方程中的物理单位，得到无量纲形式的方程。4.1.2无量纲化后的方程无量纲化后的简化欧拉方程为：∂其中，g*=g4.2无量纲方程的物理解释无量纲化后的方程不仅简化了数学形式，也提供了物理现象的更深层次理解。例如，无量纲时间t*和无量纲长度x*帮助我们理解流体运动的时间尺度和空间尺度。无量纲压力p*4.2.1雷诺数的引入在无量纲化过程中，雷诺数Re=U4.3无量纲方程在空气动力学中的应用无量纲化后的简化欧拉方程在空气动力学中有着广泛的应用，特别是在飞行器设计和风洞实验中。通过无量纲化，可以将实验结果或数值模拟结果应用于不同尺度的物体，而无需重新进行实验或模拟。4.3.1飞行器设计在设计飞行器时，工程师会使用无量纲化后的方程来预测不同飞行条件下的气动性能。例如，通过调整飞行器的几何参数（如翼展、翼型等），可以改变其雷诺数，从而影响流体动力学行为。4.3.2风洞实验风洞实验中，通过控制风速和模型尺寸，可以调整实验的雷诺数，使其与实际飞行条件相匹配。这样，实验数据可以直接用于飞行器的性能评估，而无需考虑单位转换。4.3.3数值模拟在进行数值模拟时，无量纲化后的方程可以减少计算资源的需求，因为它们通常在更小的数值范围内运行。此外，无量纲化有助于识别方程中的关键参数，从而优化模拟设置。4.3.4示例：无量纲化简化欧拉方程的数值模拟假设我们有一个二维不可压缩流体流动问题，流体速度u=u,v，压力p，密度ρ。我们选择特征长度L=1m4.3.4.1代码示例importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定义网格

nx=100

ny=100

dx=1.0/nx

dy=1.0/ny

x=np.linspace(0,1,nx)

y=np.linspace(0,1,ny)

X,Y=np.meshgrid(x,y)

#定义无量纲变量

u=np.zeros((ny,nx))

v=np.zeros((ny,nx))

p=np.zeros((ny,nx))

#定义无量纲化参数

L=1.0#特征长度

U=1.0#特征速度

P=1.0#特征压力

T=1.0#特征时间

#定义时间步长和迭代次数

dt=0.01

nt=1000

#简化欧拉方程的无量纲化形式

forninrange(nt):

un=u.copy()

vn=v.copy()

p_n=p.copy()

#更新速度场

u[1:-1,1:-1]=un[1:-1,1:-1]-un[1:-1,1:-1]*dt/dx*(un[1:-1,1:-1]-un[1:-1,:-2])\

-vn[1:-1,1:-1]*dt/dy*(un[1:-1,1:-1]-un[:-2,1:-1])\

-dt/dx*(p_n[1:-1,2:]-p_n[1:-1,:-2])/(2*rho)

v[1:-1,1:-1]=vn[1:-1,1:-1]-un[1:-1,1:-1]*dt/dx*(vn[1:-1,1:-1]-vn[1:-1,:-2])\

-vn[1:-1,1:-1]*dt/dy*(vn[1:-1,1:-1]-vn[:-2,1:-1])\

-dt/dy*(p_n[2:,1:-1]-p_n[:-2,1:-1])/(2*rho)

#更新压力场（此处省略，通常需要求解泊松方程）

#边界条件（此处省略）

#绘制结果

plt.figure(figsize=(10,10))

plt.streamplot(X,Y,u,v)

plt.title('无量纲化简化欧拉方程的数值模拟结果')

plt.xlabel('无量纲长度')

plt.ylabel('无量纲长度')

plt.show()4.3.4.2代码解释上述代码示例展示了如何使用无量纲化后的简化欧拉方程进行数值模拟。首先，我们定义了网格和无量纲变量，然后通过迭代更新速度场和压力场。注意，为了简化示例，我们省略了压力场的更新和边界条件的处理，实际应用中这些步骤是必要的。通过无量纲化，我们能够以更通用的方式处理流体动力学问题，这在空气动力学研究中是极其有价值的。无量纲化不仅简化了方程，还提供了对物理现象更深刻的理解，有助于飞行器设计、风洞实验和数值模拟的优化。5案例分析5.1无量纲化在翼型分析中的应用在空气动力学中，无量纲化是一种将物理方程转换为无量纲形式的技术，这有助于简化方程，使其在不同尺度和条件下更具通用性。对于翼型分析，无量纲化通常涉及将速度、压力、密度等物理量转换为无量纲数，如马赫数、雷诺数等，以便于理解和比较不同翼型在不同飞行条件下的性能。5.1.1马赫数马赫数定义为飞行器速度与当地声速的比值，是无量纲化中的一个重要参数。它表示了流动的压缩性程度，对于超音速和亚音速流动的分析至关重要。5.1.2雷诺数雷诺数是流体动力学中的另一个关键无量纲数，它描述了惯性力与粘性力的相对大小。在翼型分析中，雷诺数的大小直接影响了边界层的性质，从而影响翼型的升力和阻力。5.1.3无量纲化过程无量纲化过程通常包括以下步骤：选择特征量：如特征长度（翼型的弦长）、特征速度（飞行速度）、特征时间（飞行时间）等。定义无量纲变量：将物理变量除以相应的特征量，得到无量纲变量。重写方程：使用无量纲变量重写原始的物理方程，消除单位的影响。5.1.4示例：翼型升力系数的无量纲化假设我们有一个翼型，其升力系数CL需要无量纲化。升力系数通常定义为升力L与动态压力q和翼型面积AC其中，动态压力q为：qρ是空气密度，V是飞行速度。为了无量纲化CL，我们可以选择特征长度c（翼型的弦长），特征速度V，和特征密度ρC简化后得到：C在这个表达式中，cA可以被视为翼型的参考面积，而ρV25.2简化欧拉方程解决实际问题示例简化欧拉方程是空气动力学中用于描述不可压缩流体无粘性流动的方程组。在实际应用中，简化欧拉方程可以用来预测翼型周围的流动特性，如压力分布和速度场。下面通过一个示例来说明如何使用简化欧拉方程来解决翼型分析中的实际问题。5.2.1简化欧拉方程组简化欧拉方程组通常包括连续性方程和动量方程。对于二维不可压缩流体，方程组可以表示为：∂∂∂其中，ρ是流体密度，u和v分别是流体在x和y方向的速度分量，p是流体压力。5.2.2示例：使用简化欧拉方程预测翼型压力分布假设我们有一个NACA0012翼型，飞行速度为V=50m5.2.2.1步骤1：无量纲化方程首先，我们需要将简化欧拉方程无量纲化。选择特征长度c=1m（翼型的弦长），特征速度V∂∂∂其中，带帽子的变量表示无量纲变量。5.2.2.2步骤2：数值求解使用数值方法（如有限差分法或有限体积法）来求解无量纲化后的简化欧拉方程。这通常涉及到将翼型表面和周围空间离散化，然后在每个网格点上应用方程组。5.2.2.3步骤3：后处理一旦得到数值解，我们可以分析翼型表面的压力分布，以及流场中的速度分布。这些信息对于理解翼型的空气动力学性能至关重要。5.2.3结论通过无量纲化和简化欧拉方程的数值求解，我们可以有效地分析和预测翼型在不同飞行条件下的空气动力学特性。这种方法不仅适用于NACA0012翼型，也适用于其他类型的翼型和飞行条件，是空气动力学研究和工程设计中的重要工具。请注意，上述示例中并未提供具体可操作的代码和数据样例，因为这超出了当前的输出限制。然而，实际应用中，这些方程通常会通过如OpenFOAM、FLUENT等CFD软件进行数值求解，这些软件提供了丰富的数值方法和后处理工具，以帮助工程师和研究人员进行空气动力学分析。6进阶主题6.1复杂流场的无量纲化处理在空气动力学中，处理复杂流场时，无量纲化方程是一种常用的技术，它有助于简化方程的物理意义，减少参数数量，从而提高数值模拟的效率和准确性。简化欧拉方程的无量纲化处理，通常涉及选择合适的特征长度、特征速度、特征时间等，将方程中的物理量转换为无量纲形式。6.1.1特征量的选择特征长度L:通常选择物体的最大尺寸或流场中的典型长度。特征速度U:可以是来流速度或物体的最大速度。特征时间t:由特征长度和特征速度定义，t=特征压力P:通常选择为流体的静压或动压。6.1.2无量纲化过程假设我们有简化欧拉方程中的连续性方程和动量方程：连续性方程:∂动量方程:ρ其中，ρ是密度，u是速度矢量，P是压力，g是重力加速度。6.1.2.1无量纲化步骤定义无量纲变量:ρ其中，ρ0和P0代入无量纲变量:将上述无量纲变量代入原始方程中，得到无量纲化的方程。简化方程:通过无量纲化，可以识别出方程中的重要无量纲数，如马赫数Ma=Ua和雷诺数Re=ρU6.1.3示例：无量纲化连续性方程假设我们有以下连续性方程：importsympyassp

#定义符号

rho,t,x,y,z=sp.symbols('rhotxyz')

#连续性方程

continuity_eq=sp.Derivative(rho,t)+sp.Derivative(rho*x,x)+sp.Derivative(rho*y,y)+sp.Derivative(rho*z,z)

#打印方程

print("原始连续性方程:")

sp.pprint(continuity_eq)6.1.3.1无量纲化选择特征量并定义无量纲变量：rho_0,U,L=sp.symbols('rho_0UL')

tilde_rho=rho/rho_0

tilde_x=x/L

tilde_y=y/L

tilde_z=z/L

tilde_t=t*U/L

#代入无量纲变量

continuity_eq_dimless=continuity_eq.subs({rho:tilde_rho*rho_0,x:tilde_x*L,y:tilde_y*L,z:tilde_z*L,t:tilde_t*L/U})

#简化方程

continuity_eq_dimless=continuity_eq_dimless.simplify()

#打印无量纲化后的连续性方程

print("\n无量纲化后的连续性方程:")

sp.pprint(continuity_eq_dimless)6.1.4解释无量纲化后的连续性方程中，所有物理量都被转换为无量纲形式，这有助于在数值模拟中减少对具体物理单位的依赖，使得方程更加通用。6.2与Navier-Stokes方程的比较简化欧拉方程与Navier-Stokes方程的主要区别在于，前