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文档简介
山西省大同市重点中学2021-2022学年中考冲刺卷数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.如图,等腰直角三角形纸片ABC中,∠C=90°,把纸片沿EF对折后,点A恰好落在BC上的点D处,点CE=1,AC=4,则下列结论一定正确的个数是()①∠CDE=∠DFB;②BD>CE;③BC=CD;④△DCE与△BDF的周长相等.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.如图,将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC的面积为9,阴影部分三角形的面积为1.若AA'=1,则A'D等于()A.2 B.3 C. D.3.一次函数的图象不经过()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.如图是由两个小正方体和一个圆锥体组成的立体图形,其主视图是()A. B. C. D.5.如图,在△ABC中,AB=AC,AD和CE是高,∠ACE=45°,点F是AC的中点,AD与FE,CE分别交于点G、H,∠BCE=∠CAD,有下列结论:①图中存在两个等腰直角三角形;②△AHE≌△CBE;③BC•AD=AE2;④S△ABC=4S△ADF.其中正确的个数有()A.1 B.2 C.3 D.46.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”,而把1,4,9,16…这样的数称为“正方形数”.从图中可以发现,任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.下列等式中,符合这一规律的是()A.13=3+10 B.25=9+16 C.36=15+21 D.49=18+317.下列图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是()A. B. C. D.8.如图,将一副三角板如此摆放,使得BO和CD平行,则∠AOD的度数为()A.10° B.15° C.20° D.25°9.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根,则实数m的取值范围是()A.m≥1 B.m≤1 C.m>1 D.m<110.数轴上有A,B,C,D四个点,其中绝对值大于2的点是()A.点A B.点B C.点C D.点D11.cos60°的值等于()A.1 B. C. D.12.下列运算正确的是()A.a•a2=a2 B.(ab)2=ab C.3﹣1= D.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13.如图(a),有一张矩形纸片ABCD,其中AD=6cm,以AD为直径的半圆,正好与对边BC相切,将矩形纸片ABCD沿DE折叠,使点A落在BC上,如图(b).则半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积为_______.14.中国的陆地面积约为9600000km2,把9600000用科学记数法表示为.15.如图,在每个小正方形边长为的网格中,的顶点,,均在格点上,为边上的一点.线段的值为______________;在如图所示的网格中,是的角平分线,在上求一点,使的值最小,请用无刻度的直尺,画出和点,并简要说明和点的位置是如何找到的(不要求证明)___________.16.“若实数a,b,c满足a<b<c,则a+b<c”,能够说明该命题是假命题的一组a,b,c的值依次为_____.17.方程组的解一定是方程_____与_____的公共解.18.计算的结果等于__________.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(6分)已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处,如图1,已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA.若△OCP与△PDA的面积比为1:4,求边CD的长.如图2,在(Ⅰ)的条件下,擦去折痕AO、线段OP,连接BP.动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连接MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问当动点M、N在移动的过程中,线段EF的长度是否发生变化?若变化,说明变化规律.若不变,求出线段EF的长度.20.(6分)已知,抛物线的顶点为,它与轴交于点,(点在点左侧).()求点、点的坐标;()将这个抛物线的图象沿轴翻折,得到一个新抛物线,这个新抛物线与直线交于点.①求证:点是这个新抛物线与直线的唯一交点;②将新抛物线位于轴上方的部分记为,将图象以每秒个单位的速度向右平移,同时也将直线以每秒个单位的速度向上平移,记运动时间为,请直接写出图象与直线有公共点时运动时间的范围.21.(6分)问题:将菱形的面积五等分.小红发现只要将菱形周长五等分,再将各分点与菱形的对角线交点连接即可解决问题.如图,点O是菱形ABCD的对角线交点,AB=5,下面是小红将菱形ABCD面积五等分的操作与证明思路,请补充完整.(1)在AB边上取点E,使AE=4,连接OA,OE;(2)在BC边上取点F,使BF=______,连接OF;(3)在CD边上取点G,使CG=______,连接OG;(4)在DA边上取点H,使DH=______,连接OH.由于AE=______+______=______+______=______+______=______.可证S△AOE=S四边形EOFB=S四边形FOGC=S四边形GOHD=S△HOA.22.(8分)光华农机租赁公司共有50台联合收割机,其中甲型20台,乙型30台,先将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦,其中30台派往A地区,20台派往B地区.两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见表:每台甲型收割机的租金每台乙型收割机的租金A地区18001600B地区16001200(1)设派往A地区x台乙型联合收割机,租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y(元),求y与x间的函数关系式,并写出x的取值范围;(2)若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元,说明有多少种分配方案,并将各种方案设计出来;(3)如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高,请你为光华农机租赁公司提一条合理化建议.23.(8分)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,且∠B=45°,AD=DC=1,点M为边BC上一动点,联结AM并延长交射线DC于点F,作∠FAE=45°交射线BC于点E、交边DCN于点N,联结EF.(1)当CM:CB=1:4时,求CF的长.(2)设CM=x,CE=y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域.(3)当△ABM∽△EFN时,求CM的长.24.(10分)已知:如图,点A,F,C,D在同一直线上,AF=DC,AB∥DE,AB=DE,连接BC,BF,CE.求证:四边形BCEF是平行四边形.25.(10分)如图,AB是⊙O直径,BC⊥AB于点B,点C是射线BC上任意一点,过点C作CD切⊙O于点D,连接AD.求证:BC=CD;若∠C=60°,BC=3,求AD的长.26.(12分)如图,AC是⊙O的直径,点P在线段AC的延长线上,且PC=CO,点B在⊙O上,且∠CAB=30°.(1)求证:PB是⊙O的切线;(2)若D为圆O上任一动点,⊙O的半径为5cm时,当弧CD长为时,四边形ADPB为菱形,当弧CD长为时,四边形ADCB为矩形.27.(12分)如图所示,一幢楼房AB背后有一台阶CD,台阶每层高0.2米,且AC=17.2米,设太阳光线与水平地面的夹角为α,当α=60°时,测得楼房在地面上的影长AE=10米,现有一老人坐在MN这层台阶上晒太阳.(取1.73)(1)求楼房的高度约为多少米?(2)过了一会儿,当α=45°时,问老人能否还晒到太阳?请说明理由.
参考答案一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1、D【解析】等腰直角三角形纸片ABC中,∠C=90°,∴∠A=∠B=45°,由折叠可得,∠EDF=∠A=45°,∴∠CDE+∠BDF=135°,∠DFB+∠B=135°,∴∠CDE=∠DFB,故①正确;由折叠可得,DE=AE=3,∴CD=,∴BD=BC﹣DC=4﹣>1,∴BD>CE,故②正确;∵BC=4,CD=4,∴BC=CD,故③正确;∵AC=BC=4,∠C=90°,∴AB=4,∵△DCE的周长=1+3+2=4+2,由折叠可得,DF=AF,∴△BDF的周长=DF+BF+BD=AF+BF+BD=AB+BD=4+(4﹣2)=4+2,∴△DCE与△BDF的周长相等,故④正确;故选D.点睛:本题主要考查了折叠问题,折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.2、A【解析】分析:由S△ABC=9、S△A′EF=1且AD为BC边的中线知S△A′DE=S△A′EF=2,S△ABD=S△ABC=,根据△DA′E∽△DAB知,据此求解可得.详解:如图,∵S△ABC=9、S△A′EF=1,且AD为BC边的中线,∴S△A′DE=S△A′EF=2,S△ABD=S△ABC=,∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C',∴A′E∥AB,∴△DA′E∽△DAB,则,即,解得A′D=2或A′D=-(舍),故选A.点睛:本题主要平移的性质,解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点.3、B【解析】
由二次函数,可得函数图像经过一、三、四象限,所以不经过第二象限【详解】解:∵,∴函数图象一定经过一、三象限;又∵,函数与y轴交于y轴负半轴,
∴函数经过一、三、四象限,不经过第二象限故选B【点睛】此题考查一次函数的性质,要熟记一次函数的k、b对函数图象位置的影响4、B【解析】主视图是从正面看得到的视图,从正面看上面圆锥看见的是:三角形,下面两个正方体看见的是两个正方形.故选B.5、C【解析】
①图中有3个等腰直角三角形,故结论错误;②根据ASA证明即可,结论正确;③利用面积法证明即可,结论正确;④利用三角形的中线的性质即可证明,结论正确.【详解】∵CE⊥AB,∠ACE=45°,∴△ACE是等腰直角三角形,∵AF=CF,∴EF=AF=CF,∴△AEF,△EFC都是等腰直角三角形,∴图中共有3个等腰直角三角形,故①错误,∵∠AHE+∠EAH=90°,∠DHC+∠BCE=90°,∠AHE=∠DHC,∴∠EAH=∠BCE,∵AE=EC,∠AEH=∠CEB=90°,∴△AHE≌△CBE,故②正确,∵S△ABC=BC•AD=AB•CE,AB=AC=AE,AE=CE,∴BC•AD=CE2,故③正确,∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=DC,∴S△ABC=2S△ADC,∵AF=FC,∴S△ADC=2S△ADF,∴S△ABC=4S△ADF.故选C.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、三角形的面积等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考选择题中的压轴题.6、C【解析】
本题考查探究、归纳的数学思想方法.题中明确指出:任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.由于“正方形数”为两个“三角形数”之和,正方形数可以用代数式表示为:(n+1)2,两个三角形数分别表示为n(n+1)和(n+1)(n+2),所以由正方形数可以推得n的值,然后求得三角形数的值.【详解】∵A中13不是“正方形数”;选项B、D中等式右侧并不是两个相邻“三角形数”之和.故选:C.【点睛】此题是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.7、C【解析】
根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解.【详解】A、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误;B、不是中心对称图形,是轴对称图形,故本选项错误;C、既是中心对称图形,又是轴对称图形,故本选项正确;D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误.故选C.【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.8、B【解析】
根据题意可知,∠AOB=∠ABO=45°,∠DOC=30°,再根据平行线的性质即可解答【详解】根据题意可知∠AOB=∠ABO=45°,∠DOC=30°∵BO∥CD∴∠BOC=∠DCO=90°∴∠AOD=∠BOC-∠AOB-∠DOC=90°-45°-30°=15°故选B【点睛】此题考查三角形内角和,平行线的性质,解题关键在于利用平行线的性质得到角相等9、D【解析】分析:根据方程的系数结合根的判别式△>0,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出实数m的取值范围.详解:∵方程有两个不相同的实数根,∴解得:m<1.故选D.点睛:本题考查了根的判别式,牢记“当△>0时,方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.10、A【解析】
根据绝对值的含义和求法,判断出绝对值等于2的数是﹣2和2,据此判断出绝对值等于2的点是哪个点即可.【详解】解:∵绝对值等于2的数是﹣2和2,∴绝对值等于2的点是点A.故选A.【点睛】此题主要考查了绝对值的含义和求法,要熟练掌握,解答此题的关键要明确:①互为相反数的两个数绝对值相等;②绝对值等于一个正数的数有两个,绝对值等于0的数有一个,没有绝对值等于负数的数.③有理数的绝对值都是非负数.11、A【解析】
根据特殊角的三角函数值直接得出结果.【详解】解:cos60°=故选A.【点睛】识记特殊角的三角函数值是解题的关键.12、C【解析】
根据同底数幂的乘法法则对A进行判断;根据积的乘方对B进行判断;根据负整数指数幂的意义对C进行判断;根据二次根式的加减法对D进行判断.【详解】解:A、原式=a3,所以A选项错误;B、原式=a2b2,所以B选项错误;C、原式=,所以C选项正确;D、原式=2,所以D选项错误.故选:C.【点睛】本题考查了二次根式的加减法:二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式进行合并,合并方法为系数相加减,根式不变.也考查了整式的运算.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13、【解析】
解:如图,作OH⊥DK于H,连接OK,∵以AD为直径的半圆,正好与对边BC相切,∴AD=2CD.∴根据折叠对称的性质,A'D=2CD.∵∠C=90°,∴∠DA'C=30°.∴∠ODH=30°.∴∠DOH=60°.∴∠DOK=120°.∴扇形ODK的面积为.∵∠ODH=∠OKH=30°,OD=3cm,∴.∴.∴△ODK的面积为.∴半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积是:.故答案为:.14、9.6×1.【解析】
将9600000用科学记数法表示为9.6×1.故答案为9.6×1.15、(Ⅰ)(Ⅱ)如图,取格点、,连接与交于点,连接与交于点.【解析】
(Ⅰ)根据勾股定理进行计算即可.(Ⅱ)根据菱形的每一条对角线平分每一组对角,构造边长为1的菱形ABEC,连接AE交BC于M,即可得出是的角平分线,再取点F使AF=1,则根据等腰三角形的性质得出点C与F关于AM对称,连接DF交AM于点P,此时的值最小.【详解】(Ⅰ)根据勾股定理得AC=;故答案为:1.(Ⅱ)如图,如图,取格点、,连接与交于点,连接与交于点,则点P即为所求.说明:构造边长为1的菱形ABEC,连接AE交BC于M,则AM即为所求的的角平分线,在AB上取点F,使AF=AC=1,则AM垂直平分CF,点C与F关于AM对称,连接DF交AM于点P,则点P即为所求.【点睛】本题考查作图-应用与设计,涉及勾股定理、菱形的判定和性质、几何变换轴对称—最短距离等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用数形结合的思想解决问题.16、答案不唯一,如1,2,3;【解析】分析:设a,b,c是任意实数.若a<b<c,则a+b<c”是假命题,则若a<b<c,则a+b≥c”是真命题,举例即可,本题答案不唯一详解:设a,b,c是任意实数.若a<b<c,则a+b<c”是假命题,则若a<b<c,则a+b≥c”是真命题,可设a,b,c的值依次1,2,3,(答案不唯一),故答案为1,2,3.点睛:本题考查了命题的真假,举例说明即可,17、5x﹣3y=83x+8y=9【解析】
方程组的解一定是方程5x﹣3y=8与3x+8y=9的公共解.故答案为5x﹣3y=8;3x+8y=9.18、【解析】
根据完全平方公式进行展开,然后再进行同类项合并即可.【详解】解:.故填.【点睛】主要考查的是完全平方公式及二次根式的混合运算,注意最终结果要化成最简二次根式的形式.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19、(1)10;(2).【解析】
(1)先证出∠C=∠D=90°,再根据∠1+∠3=90°,∠1+∠2=90°,得出∠2=∠3,即可证出△OCP∽△PDA;根据△OCP与△PDA的面积比为1:4,得出CP=AD=4,设OP=x,则CO=8﹣x,由勾股定理得x2=(8﹣x)2+42,求出x,最后根据AB=2OP即可求出边AB的长;(2)作MQ∥AN,交PB于点Q,求出MP=MQ,BN=QM,得出MP=MQ,根据ME⊥PQ,得出EQ=PQ,根据∠QMF=∠BNF,证出△MFQ≌△NFB,得出QF=QB,再求出EF=PB,由(1)中的结论求出PB=,最后代入EF=PB即可得出线段EF的长度不变【详解】(1)如图1,∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=∠D=90°,∴∠1+∠3=90°,∵由折叠可得∠APO=∠B=90°,∴∠1+∠2=90°,∴∠2=∠3,又∵∠D=∠C,∴△OCP∽△PDA;∵△OCP与△PDA的面积比为1:4,∴,∴CP=AD=4设OP=x,则CO=8﹣x,在Rt△PCO中,∠C=90°,由勾股定理得x2=(8﹣x)2+42,解得:x=5,∴AB=AP=2OP=10,∴边CD的长为10;(2)作MQ∥AN,交PB于点Q,如图2,∵AP=AB,MQ∥AN,∴∠APB=∠ABP=∠MQP.∴MP=MQ,∵BN=PM,∴BN=QM.∵MP=MQ,ME⊥PQ,∴EQ=PQ.∵MQ∥AN,∴∠QMF=∠BNF,∴△MFQ≌△NFB.∴QF=FB,∴EF=EQ+QF=(PQ+QB)=PB,由(1)中的结论可得:PC=4,BC=8,∠C=90°,∴PB=,∴EF=PB=2,∴在(1)的条件下,当点M、N在移动过程中,线段EF的长度不变,它的长度为2.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质,关键是做出辅助线,找出全等和相似的三角形20、(1)B(-3,0),C(1,0);(2)①见解析;②≤t≤6.【解析】
(1)根据抛物线的顶点坐标列方程,即可求得抛物线的解析式,令y=0,即可得解;(2)①根据翻折的性质写出翻折后的抛物线的解析式,与直线方程联立,求得交点坐标即可;②当t=0时,直线与抛物线只有一个交点N(3,-6)(相切),此时直线与G无交点;第一个交点出现时,直线过点C(1+t,0),代入直线解析式:y=-4x+6+t,解得t=;最后一个交点是B(-3+t,0),代入y=-4x+6+t,解得t=6,所以≤t≤6.【详解】(1)因为抛物线的顶点为M(-1,-2),所以对称轴为x=-1,可得:,解得:a=,c=,所以抛物线解析式为y=x2+x,令y=0,解得x=1或x=-3,所以B(-3,0),C(1,0);(2)①翻折后的解析式为y=-x2-x,与直线y=-4x+6联立可得:x2-3x+=0,解得:x1=x2=3,所以该一元二次方程只有一个根,所以点N(3,-6)是唯一的交点;②≤t≤6.【点睛】本题主要考查了图形运动,解本题的要点在于熟知一元二次方程的相关知识点.21、(1)见解析;(2)3;(3)2;(4)1,EB、BF;FC、CG;GD、DH;HA【解析】
利用菱形四条边相等,分别在四边上进行截取和连接,得出AE=EB+BF=FC+CG+GD+DH=HA,进一步求得S△AOE=S四边形EOFB=S四边形FOGC=S四边形GOHD=S△HOA.即可.【详解】(1)在AB边上取点E,使AE=4,连接OA,OE;(2)在BC边上取点F,使BF=3,连接OF;(3)在CD边上取点G,使CG=2,连接OG;(4)在DA边上取点H,使DH=1,连接OH.由于AE=EB+BF=FC+CG=GD+DH=HA.可证S△AOE=S四边形EOFB=S四边形FOGC=S四边形GOHD=S△HOA.故答案为:3,2,1;EB、BF;FC、CG;GD、DH;HA.【点睛】此题考查菱形的性质,熟练掌握菱形的四条边相等,对角线互相垂直是解题的关键.22、(1)y=200x+74000(10≤x≤30)(2)有三种分配方案,方案一:派往A地区的甲型联合收割机2台,乙型联合收割机28台,其余的全派往B地区;方案二:派往A地区的甲型联合收割机1台,乙型联合收割机29台,其余的全派往B地区;方案三:派往A地区的甲型联合收割机0台,乙型联合收割机30台,其余的全派往B地区;(3)派往A地区30台乙型联合收割机,20台甲型联合收割机全部派往B地区,使该公司50台收割机每天获得租金最高.【解析】
(1)根据题意和表格中的数据可以得到y关于x的函数关系式;
(2)根据题意可以得到相应的不等式,从而可以解答本题;
(3)根据(1)中的函数解析式和一次函数的性质可以解答本题.【详解】解:(1)设派往A地区x台乙型联合收割机,则派往B地区x台乙型联合收割机为(30﹣x)台,派往A、B地区的甲型联合收割机分别为(30﹣x)台和(x﹣10)台,∴y=1600x+1200(30﹣x)+1800(30﹣x)+1600(x﹣10)=200x+74000(10≤x≤30);(2)由题意可得,200x+74000≥79600,得x≥28,∴28≤x≤30,x为整数,∴x=28、29、30,∴有三种分配方案,方案一:派往A地区的甲型联合收割机2台,乙型联合收割机28台,其余的全派往B地区;方案二:派往A地区的甲型联合收割机1台,乙型联合收割机29台,其余的全派往B地区;方案三:派往A地区的甲型联合收割机0台,乙型联合收割机30台,其余的全派往B地区;(3)派往A地区30台乙型联合收割机,20台甲型联合收割机全部派往B地区,使该公司50台收割机每天获得租金最高,理由:∵y=200x+74000中y随x的增大而增大,∴当x=30时,y取得最大值,此时y=80000,∴派往A地区30台乙型联合收割机,20台甲型联合收割机全部派往B地区,使该公司50台收割机每天获得租金最高.【点睛】本题考查一次函数的性质,解题关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用一次函数和不等式的性质解答.23、(1)CF=1;(2)y=,0≤x≤1;(3)CM=2﹣.【解析】
(1)如图1中,作AH⊥BC于H.首先证明四边形AHCD是正方形,求出BC、MC的长,利用平行线分线段成比例定理即可解决问题;(2)在Rt△AEH中,AE2=AH2+EH2=12+(1+y)2,由△EAM∽△EBA,可得,推出AE2=EM•EB,由此构建函数关系式即可解决问题;(3)如图2中,作AH⊥BC于H,连接MN,在HB上取一点G,使得HG=DN,连接AG.想办法证明CM=CN,MN=DN+HM即可解决问题;【详解】解:(1)如图1中,作AH⊥BC于H.∵CD⊥BC,AD∥BC,∴∠BCD=∠D=∠AHC=90°,∴四边形AHCD是矩形,∵AD=DC=1,∴四边形AHCD是正方形,∴AH=CH=CD=1,∵∠B=45°,∴AH=BH=1,BC=2,∵CM=BC=,CM∥AD,∴=,∴=,∴CF=1.(2)如图1中,在Rt△AEH中,AE2=AH2+EH2=12+(1+y)2,∵∠AEM=∠AEB,∠EAM=∠B,∴△EAM∽△EBA,∴=,∴AE2=EM•EB,∴1+(1+y)2=(x+y)(y+2),∴y=,∵2﹣2x≥0,∴0≤x≤1.(3)如图2中,作AH⊥BC于H,连接MN,在HB上取一点G,使得HG=DN,连接AG.则△ADN≌△AHG,△MAN≌△MAG,∴MN=MG=HM+GH=HM+DN,∵△ABM∽△EFN,∴∠EFN=∠B=45°,∴CF=CE,∵四边形AHCD是正方形,∴CH=CD=AH=AD,EH=DF,∠AHE=∠D=90°,∴△AHE≌△ADF,∴∠AEH=∠AFD,∵∠AEH=∠DAN,∠AFD=∠HAM,∴∠HAM=∠DAN,∴△ADN≌△AHM,∴DN=HM,设DN=HM=x,则MN=2x,CN=CM=x,∴x+x=1,∴x=﹣1,∴CM=2﹣.【点睛】本题考查了正方形的判定与性质,平行线分线段成比例定理,勾股定理,相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质.熟练运用平行线分线段成比例定理是解(1)的关键;证明△EAM∽△EBA是解(2)的关键;综合运用全等三角形的判定与性质是解(3)的关键.24、证明见解析【解析】
首先证明△ABC≌△DEF(ASA),进而得出BC=EF,BC∥EF,进而得出答案.【详解】∵AB∥DE,∴∠A=∠D,∵AF=CD,∴AC=DF,在△ABC和△D
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