高考数学一轮复习题型与专项训练：导数的应用-单调性、极值、最值题型战法

第三章导数

3.2.1导数的应用-单调性、极值、最值(题型战法)

知识梳理

一求函数的单调性

一般地，从函数导数的几何意义理解函数的单调性与导数的正负之间的关系；

函数/(%)的单调性与导函数/⑴正负的关系定义在区间份内的函数y=/(%)：

/'(X)正负/(X)单调性

尸(x)>。单调递增

r(x)＜。单调递减

二求函数的极值

1.极值点与极值

一般地，设函数y=/(x)的定义域为D,设xoGD,如果对于欣附近的任意不同于xo的x,都有

(1)«¥)<“TO),则称X0为函数/(X)的一个极大值点，且/(X)在X0处取极大值；

(2)兀0>式次)，则称X0为函数而0的一个极小值点，且40在出处取极小值.

极大值点与极小值点都称为极值点,极大值与极小值都称为极值.显然，极大值点在其附近函数值

最大，极小值点在其附近函数值最小.

2.函数的导数与极值

(1)极小值点与极小值

若函数y=/(x)在点的函数值/(a)比它在点附近其他点的函数值都小，/,(a)=0,而且在

点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,就把点a叫做函数y=/(x)的极小值点，/(a)叫做函数

y=/(x)的极小值.

(2)极大值点与极大值

若函数y=f(x)在点x=b的函数值/3)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=O,而且在

点x=b附近的左侧广(x)>0,右侧/(x)<0,就把点b叫做函数y=/(x)的极大值点，/(&)叫做函

数y=/(x)的极大值.

(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值.

三求函数的最值

1.函数的最值

(1)一般地，如果函数y=Ax)在定义域内的每一点都可导，且函数存在最值，则函数的最值点一定是某个极

值点；

(2)如果函数＞=式无)的定义域为［a,b］且存在最值，函数y=/(x)在(a,6)内可导，那么函数的最值点要么是

极值点，要么是区间端点a或A

2.求函数，(x)在闭区间［a,切上的最值的步骤

(1)求函数＞=/(尤)在区间(a,6)上的极值；

(2)将函数＞=/(尤)的各极值与端点处的函数值/(a),/S)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最

小直

题型战法

题型战法一利用导数求函数的单调区间

典例1.函数＞=的单调递增区间是()

X

A.UB.(e,+8)C.1o,jD.

(O'e)

变式1-1.已知函数则函数〃元)的单调递增区间为()

A-「8,-彳)

JHTJB.7

C.(0,用D.隹+8

变式12函数/(x)=Y—3d+i的单调递减区间为()

A.(-00,0)B.(0,2)C.(2,+oo)D.(-co,0)u(2,+oo)

变式1-3.函数W苫?.二的递增区间是()

A.(0,2)B.

C.(-8,0),(2,+8)D.(-0),0)(2,-H»)

变式1-4.函数y=J的单调减区间是()

X

A.(-«,1]B.(l,+t»)

C.(0,1]D.(一8,0)和(0』

题型战法二由函数的单调性求参数

典例2.若函数〃x)=ar+cosx在(-oo,+w)上单调递增，则实数a的取值范围是()

A.(-1,1)B.[1,+8)C.(-1,+oo)D.(-1,0)

变式2-1.若函数/(x)=ln(x+l)-侬在区间(0,+8)上单调递减，则实数加的取值范围是()

A.B.y,T)C.(1,+°°)D.[1,+<»)

变式22若函数/(力=-丁-2依+3的单调递增区间为(-2,2),求。的取值范围()

A.-6B.6C.6或一6D.(-6,6)

变式2-3.若函数〃幻=(一一3一4卜，在区间(-2,0)内单调递减，则实数。的取值范围是()

A.[1,+<»)B.[0,+co)

C.(一8,。]D.(YO,1]

变式2-4.若函数"x)=lnx+"2_2在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是()

1

A.(一8,一2)B.—,+ooC.(-2,+oo)D.(-8,+8)

8

题型战法三含参的单调性讨论(一根型)

典例3.设函数〃x)=e，-取-2,求例X)的单调区间.

变式3-1.已知函数〃力=葭+".讨论了⑺的单调性;

变式32已知函数/已)=e，+(r+l)x(祇eR),讨论外力的单调性.

k

变式33已知函数〃同=：-111-比丘R,讨论函数/a)在区间(l,e)内的单调性;

变式3-4.已知函数7■(x)=lnx+〃a,其中根eR,讨论了⑴的单调性;

题型战法四含参的单调性讨论（二根型）

典例4.设函数其中aeR.讨论的单调性.

变式4-1.已知函数〃尤）=gf-alnx-ax（a>0）,讨论的单调性;

变式4-2.已知函数/（无）=aln尤+；/-（1+。）无，求函数“x）的单调区间;

变式4-3.设函数/（尤）=x2+（a-2）x-aln尤（aeR）,讨论函数人》的单调性.

变式4-4.已知函数/。）=巴£+出加，aeR.若“<e,求函数/⑺的单调区间.

X

题型战法五求函数的极值点、极值

典例5.函数>=片3-2工+2的极小值点是()

O

214

A.2B.(2,--)C.-2D.(-2,y)

变式5-1.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)=xe\则

A.1是f(x)的极小值点B.-1是f(x)的极小值点

C.1是f(x)的极大值点D.-1是f(x)的极大值点

变式5-2.函数y=x+](x<0)的极大值为()

A.-2B.2C.D.不存在

变式5-3.函数'=/_3犬—9x(—2<x<2)有()

A.极大值为5,无极小值B.极小值为-27,无极大值

C.极大值为5,极小值为-27D.极大值为5,极小值为-11

变式5-4.已知函数/(%)=炉-8x+61nx+l,则f(x)的极大值为()

A.10B.-6C.-7D.0

题型战法六由函数的极值点'极值求参数

典例6.若函数/0)=1+"在％=-1处有极值，则()

A.ci=_1B.Q=

e

C.〃=一©D.4不存在

变式6-1.若x=1是函数/(%)=aln%+%的极值点，贝心的值是()

A.-1B.0C.1D.e

变式6-2.已知函数〃x）=M尤-of,在x=2处取得极大值，则实数c的值是

2

A.-B.2C.2或6D.6

变式6-3.已知负x）=gl+m—没有极值，则实数。的取值范围是（）

A.[0,1]B.（-00,O]U[1,+oo）C.[0,2]D.（—oo,0]U[2,+oo）

变式6-4.若函数/（x）=x2-2x+alnx有两个不同的极值点，则实数。的取值范围是（）

A.〃〉一B.—<Q<0C.—D.0<tz<—

2222

题型战法七求函数的最值

典例7.函数/。）=三-3》+1在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是（）

A.1,-1B.1,-17

C.3,-17D.9,19

变式7-1.函数/'（x）=lnx-x在（0,e]上的最大值为（）

A.-1B.1C.0D.e

变式7-2.函数〃力=丁-3》在区间[T2]上的最大值和最小值分别为（）

A.2和一2B.2和0C.0和-2D.1和0

JT

变式7-3.已知函数/'（x）=f+2sinx,xe0,-,则函数"尤）的最大值为（）

71

A.0B.2——

2

C.6.工D.g一£

36

变式7-4.函数y=x+sinx在［0,句上的最大值为()

TT

A.—F1B.71C.71D.乃+1

2

题型战法八由函数的最值求参数

17

典例8.函数/")=§_?+尤2-§在区间(a,q+3)内既存在最大值也存在最小值，则a的取值范围(

A.(-3,-2)B.(-3,-1)C.(-2,-1)D.(-2,0)

变式8-1.函数f(x)=x3-x2_x+a在区间［0,2］上的最大值是3,则。的值为()

A.3B.1

C.2D.-1

变式8-2.当x=l时，函数/(x)=alnx+2取得最大值一2,则式⑵=()

X

A.—1B.—C.；D.1

22

变式8-3.函数小)=犷-而无，若小)在(0,9上有最小值，则实数a的取值范围是()

A.(0,+动B.(0,1)C.(fO)D.(-1,0)

变式8-4.函数/(耳=丁-3x在区间(-2,机)上有最大值，则用的取值范围是()

A.1,A/3jB.(T，3］

C.(-1,©D.(-1,2］

第三章导数

3.2.1导数的应用-单调性、极值、最值(题型战法)

知识梳理

一求函数的单调性

一般地，从函数导数的几何意义理解函数的单调性与导数的正负之间的关系；

函数/'(X)的单调性与导函数/(无)正负的关系定义在区间(a,6)内的函数y=f(x)：

f'(x)正负/(X)单调性

m>o单调递增

m<o单调递减

二求函数的极值

1.极值点与极值

一般地，设函数y=/(x)的定义域为。，设xodD,如果对于xo附近的任意不同于xo

的x,都有

(1)Xx)</(xo),则称尤0为函数7U)的一个极大值点，且_/U)在X0处取极大值；

(2)则称X0为函数“¥)的一个极小值点，且/(X)在X0处取极小值.

极大值点与极小值点都称为极值点,极大值与极小值都称为极值.显然，极大值点在

其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小.

2.函数的导数与极值

(1)极小值点与极小值

若函数y=/(%)在点x=。的函数值/(<2)比它在点x=。附近其他点的函数值都小,r(a)

=0,而且在点x=a附近的左侧广(x)<0,右侧/'Q)>0,就把点。叫做函数y=/(x)

的极小值点，/3)叫做函数y=/(%)的极小值.

(2)极大值点与极大值

若函数y=/(x)在点x=b的函数值/(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,广(份

=0,而且在点x=b附近的左侧r(x)>0,右侧r(x)<0,就把点b叫做函数y=/(x)

的极大值点，于(b)叫做函数y=/(x)的极大值.

(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值.

三求函数的最值

1.函数的最值

(1)一般地，如果函数y=/U)在定义域内的每一点都可导，且函数存在最值，则函数的最值

点一定是某个极值点；

(2)如果函数y=/(x)的定义域为［a,b］且存在最值，函数y=/(x)在(a,6)内可导，那么函数

的最值点要么是极值点，要么是区间端点。或A

2.求函数/(%)在闭区间团，加上的最值的步骤

⑴求函数y=/(x)在区间(a,b)上的极值；

(2)将函数y=/(x)的各极值与端点处的函数值/(a),/(b)比较，其中最大的一个是最大值，

最小的一个是最小值.

题型战法

题型战法一利用导数求函数的单调区间

典例1.函数y=上士的单调递增区间是()

X

A.100，：)B.(e,+℃)C.UD.(0,e)

【答案】D

【解析】

【分析】

求导后，根据导函数的正负即可得到结果.

【详解】

由题意得：函数>=皿的定义域为(0,+必)，y'=L及，

XX

.,.当xe(0,e)时,/>0；当xe(e,+oo)时,/<0；

.•一=(的单调递增区间为(0,e).

故选：D.

变式1-1.已知函数〃尤)=lnx-则函数/("的单调递增区间为()

d

c［。曰-

【答案】c

【解析】

【分析】

判断定义域，求导函数，分析/'(力＞0的解，从而得单调递增区间.

【详解】

定义域为(0,+8),/,(x)=--2x=-2r+1=0,

XX

解得彳=孝，当/'(x)＞0时，0＜尤＜手，

所以〃x)的单调递增区间为0..

故选：C

变式12函数〃司=解_3寸+1的单调递减区间为()

A.(-00,0)B.(0,2)C.(2,+oo)D.(F,0)D(2,+S)

【答案】B

【解析】

【分析】

求出尸(x),由尸(力＜0解出不等式可得答案.

【详解】

6x=3x(x-2),由/'(x)＜0,解得0cx＜2

所以函数〃x)的单调递减区间为(0,2)

故选：B

变式1-3.函数＞=/「的递增区间是()

A.(0,2)B.(7,0)

C.(-℃,0),(2,+00)D.(-00,0)(2,+00)

【答案】A

【解析】

【分析】

求得函数的导数/（x）=r（:12）,令广（同＞0,即可求解函数的递增区间.

【详解】

由题意，函数〃力=/.1=《，可得/（司=一牛2）,

ee

令/'（x）＞。，即%（九一2）＜0,解得0＜xv2,

所以函数尸炉.二的递增区间是（0,2）.

故选：A.

变式1-4.函数y=h的单调减区间是（）

X

A.B.（1,+℃）

C.（0,1]D.（一8,0）和（0』

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出导函数，进而令导函数小于0,最后求得答案.

【详解】

由题意，X6（^＞,O）U（O,4W）,令y，＜0,解得：X＜1且XR0,即该函数

的减区间为（9,0）,（0』）,也可为（F,0）,（。」].

故选：D.

题型战法二由函数的单调性求参数

典例2.若函数〃x）=Q+cos尤在（-co,4w）上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A.（-1,1）B.[1,包）C.（-1,+oo）D.（-1,0）

【答案】B

【解析】

【分析】

问题转化为。上sinx在（-oo,yo）上恒成立，求出y=sinxw[-l,l],从而求出实数。的取

值范围.

【详解】

f'(x)=a-smx,由题意得：/(x)=a-sinx>0,

即a2sin尤在(-00,+»)上恒成立，

因为y=sinxe[-l,l],所以aZl恒成立，故实数a的取值范围是[1,+8).

故选：B

变式2-1.若函数7'(x)=ln(x+l)-M在区间(0,+◎上单调递减，则实数机的取值范围

是()

A.(-co,-l|B.S,T)C.(1,+℃)D.[1,+℃)

【答案】D

【解析】

【分析】

函数f(x)在区间(0,+8)上单调递减，则导函数/(x)W0在区间(0,+8)上恒成立,分离参

数，即可求解.

【详解】

解：/(%)=ln(x+V)-mx,f\x)=-m,贝!]/'(x)=<0在(0,+功上恒成立，即

机2」^恒成立，又〉=」7在(°，+°°)上单调递减，故

x+1x+1x+1

所以机“，当机=1时，导数不恒为0,

故选：D.

变式2-2.若函数"x)=f3_2依+3的单调递增区间为(-2,2),求。的取值范围()

A.-6B.6C.6或一6D.(-6,6)

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意知八2)=T2-2a=0,解得。=-6,再检验单调递增区间为(-2,2)即可

【详解】

由题意知：f(x)=-3x2-2a,又单调递增区间为(-2,2),f'(2)=-12-2a=0,解得

a=-6.

止匕时八x)=-3/+12,令((x)>0,解得xw(-2,2),即单调递增区间为(-2,2).

故选：A.

变式2-3.若函数〃》)=(尤2-奴-a)e，在区间(-2,0)内单调递减，则实数”的取值范围

是()

A.[1,+<»)B.[0,+8)

C.(-8,0]D.(-℃』]

【答案】B

【解析】

【分析】

求危)的导数制x),原问题等价于1f(x)V0在(-2,0)上恒成立，据此即可求出。的范

围.

【详解】

〃x)=(X?-ax—a^ex,/'(x)=e［尤?+(2—a)x—2a］=e“(x—a)(尤+2),

•.•xW(-2,0)时，er(x+2)>0,

.♦.若在(一2,0)内单调递减，则在(-2,0)上恒成立,

即得aNx在(-2,0)恒成立，a>0.

故选：B.

变式24若函数/(x)=lnx+ax2-2在区间内存在单调递增区间，则实数。的

取值范围是()

A.(-00,-2)B.--,+coC.(-2,+co)D.(-8,+oo)

8

【答案】D

【解析】

【分析】

把题意转化为在上有解，设g(x)=-止,利用导数判断

单调性，即可求解.

【详解】

由/(%)=lnx+a%2_2可得：fr(x)=—+2ajc,

x

因为函数/(%)=lnx+a?-2在区间内存在单调递增区间,

所以八尤)>。在xe］；/上有解，即a>一止在上有解.

设g(尤)=-,由g'(x)=x-3>0在上恒成立，所以g(x)在

单调递增，所以g12<g(x)<g⑴.

所以"ggJ-8.

故选：D

题型战法三含参的单调性讨论(一根型)

典例3设函数〃x)=e-奴-2,求〃力的单调区间.

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】

利用导数判断单调性，分成aV0和a>。两种情况讨论.

【详解】

“X)的定义域为(-oo,+co),f'(x)=ex-a.

若aVO,则广(x)>。，所以〃x)在(分，y)上单调递增.

若a>0,贝I］当xe(-oo』na)时，/(%)<0；当xe(lna,+oo)时，/,(x)>0.

所以“尤)在(T°，In。)上单调递减，在(Ina,+x)上单调递增.

综上所述，当“V。时，函数〃x)在(口，收)上单调递增；

当。>0时，/(力在(72,足4)上单调递减，在(Ina,*»)上单调递增.

变式3-1.已知函数〃x)=葭+分.讨论〃x)的单调性；

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】

对“力求导，结合函数定义域，讨论“40、a>0时/'(X)的符号，确定的单调

区间.

【详解】

函数y=/(x)的定义域为R,且/3

①当aVO时，/V)<0,函数>=/(%)在R上单调递减;

②当。>0时，令尸(无)<0,可得xv—lna；令尸(x)>0,可得x>—Ina,

此时，函数y=/(x)的单调递减区间为(f，Tna),单调递增区间为(-Ina,+8)；

变式32已知函数〃x)=e'+(/n+l)xWeR),讨论〃x)的单调性.

【答案】答案见解析.

【解析】

【分析】

求«x)导数，根据。的范围讨论导数正负，从而判断«r)单调性.

f'^x^-ex+m+l,

当〃2+izo,即机2-1时，r(x)>。,〃尤)在R上单调递增；

当〃7+1<0,即m<-1时，

由/'(x)>0,得x>ln(-机-1),由/'(x)<0,得

〃x)在(ro,ln(-〃zT))上单调递减，在(ln(Tw-l),+oo)上单调递增.

综上所述，当加时，”力在R上单调递增；

当机<-1时，尤)在(-co,ln(Tn-1))上单调递减，在(ln(fj-l),+oo)上单调递增.

变式3-3.已知函数〃引=:-10%-左，左eR,讨论函数/(元)在区间(l,e)内的单调性;

【答案】见解析

【解析】

【分析】

对,(X)进行求导，然后根据左的取值范围分类讨论了(X)的单调性

/(x)=--Inx-A:,keR,xe(1,e)

(I)当一左KI,艮|3左2—1时，x-^-k>x-l>Q

/./(x)<0，.二/(%)在(l,e)单调递减

(II)当-kNe,即上《-e时，x+^<x-e<0

•・.广。)>0,•・•/(%)在(l,e)单调递增

(III)当1〈一左ve,即一evVvl时,当1<%〈一女时，fr(x)>0,/(%)单调递增;

当-左。<e时，/z(x)<0,/(%)单调递减

综上所述，(I)当kN-1时，/⑺在Q,e)单调递减

（II）当左Vy时,/（x）在Qe）单调递增

（III）当左＜-1时，AM在（1,-外单调递增，在（-匕e）单调递减

变式3-4.已知函数/（x）=lnx+〃zx,其中加eR,讨论/*）的单调性;

【答案】当“对时，AM在（0,+s）上单调递增；

当机＜0时，f（x）在（0,-工］上单调递增，在「工,+/上单调递减.

VmJ\m）

【解析】

【分析】

:（。=1+"吠（彳＞0），讨论机20或加＜0判断了（X）的单调性；

X

当心0时，（（无）＞0当x＞0恒成立，.••/（X）在（0,+◎上单调递增；

当机＜0时，令/'。）＞0,得。＜尤＜一工，令/。）＜0,得天＞-工，

mm

f（x）在（o,-工］上单调递增，在+8］上单调递减，

VmJ\m）

综上所述：当〃后0时，/（X）在（0,+8）上单调递增；

当机＜0时，/（X）在（0,-工）上单调递增，在上单调递减.

\mJ\m）

题型战法四含参的单调性讨论（二根型）

典例4.设函数〃x）=*-a-lnx,其中。eR.讨论〃尤）的单调性.

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】

求出函数的导函数，分公0,。＞0两种情况讨论，根据导函数的符号，即可得出函

数的单调区间.

【详解】

解：（x）=Zax--=——-（x＞0）.

当心0时,/'（力＜0,〃尤）在（0,+功内单调递减.

当。＞0时，由/'（x）=0,有彳=忐.此时，当xe

时,广（耳＜0,〃x）单调

递减;当xe+8时，r（x）＞0,〃x）单调递增.

综上：当aVO时，〃x）在（0,+动内单调递减,

/⑺在,女）

当a>0时,内单调递减，在+8单调递增.

变式4-1.已知函数=-alnx-av（a＞0）,讨论的单调性；

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】

利用导数判断单调性，结合。＞0,则A＞。，同时注意定义域对根进行取舍;

（X）=X------CL=_（/_ax_Q）,

令无）=0,x2—ax—a=0.

因为a＞0,贝！］4=4+4々＞0,即原方程有两根设为%,%

尤＞0,所以二伫包土也＜0（舍去），“+J/+4”.

1222

e八“Ca+y/a2力,（、八、1/fa+yla2+4tz.力,（、八

贝！J当0,----------时，r（x）＜0,当---------,+8时，r（x）＞0

\7\7

“X）在［。,”亨上是减函数，在卜+,：+4。，+/上是增函数.

变式4-2.已知函数〃x）=41nx+：尤2_0+a）x,求函数贝幻的单调区间；

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】

求导数，然后对。进行分类讨论，利用导数的正负，可得函数〃x）的单调区间;

解：求导可得可（元）=一一一）（x＞0）

X

①"W0时，令尸。）＜0可得X＜1,由于x＞0知0cxe1；令「（x）＞0,得X＞1

函数Ax）在（0,1）上单调递减，在（Ly）上单调递增；

②0＜°＜1时，令尸（无）＜0可得a＜x＜l；令/'。）＞0,得x＞l或x＜a,由于x＞0知

0<x<a或x>l；

函数“X)在(a,l)上单调递减，在(0M),(1,+◎上单调递增；

③a=l时，f'(x)>0,函数>=/(尤)在(0,+oo)上单调递增；

④。>1时，令/''(x)<0可得1<无<。；令/(x)>0,得或彳<1,由于无>0知。<x<l

或x>a

函数在(1M)上单调递减，在(0,1),3内)上单调递增；

变式4-3.设函数3(x)=wZ+(a-2)x-alnx(aeR),讨论函数〃方的单调性.

【答案】讨论过程见解析.

【解析】

【分析】根据导数的性质，结合。的不同取值分类讨论进行求解即可.

由/(x)=x2+(a-2)x-aInx{x>0),

2x2+{a-2)x-a(2x+a)(x-l)

n=2x+(a-2)--=

xx尤

当心0时,当x>l时,/(x)>0,/(x)单调递增，当0<x<l时,/(x)<O,f(尤)单调递

减;

当〃<0时，-(x)=0=>%=-£，或苫2=1,

当。=-2时，广(x)=2d),0,函数在x>0时，单调递增,

X

当a<-2时，-y>1,

当o<x<i时，y'(x)>oj(尤)单调递增,

当l<x<—|时，/'(x)<0,/(尤)单调递减,

当X〉-1时，/'(x)>0J(x)单调递增，

当—2<a<0时，—5<1，

当。<X<—|时，/'(尤)>。,/(尤)单调递增F

当-时，/’(无)<0J(x)单调递减,

当x>l时，/'(x)>o,/(x)单调递增，

综上所述：当aNO时，/(X)在(1,”)上单调递增，在(0,1)上单调递减;

当a=-2时，/⑴在(0,+oo)上单调递增；

当”-2时，Ax)在(0,1)单调递增，在单调递减，在(-*+s)上单调递增；

当-2<。<0时，/(x)在(0,-女单调递增，在(一|,D单调递减，在(Ly)上单调递增

【点睛】

关键点睛：根据一元二次方程两根之间的大小关系分类讨论是解题的关键.

变式4-4.已知函数/(*)=伫幺+。加，aeR.若a<e,求函数f(x)的单调区间.

X

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】

求出函数7U)定义域并求出其导数/'(X),分aVl,l<a<e两类确定不等式((尤)>。、

广(无)<0的解集即可.

【详解】

角毕：/(x)=―——+alnx,

x

，(⑴二(一)(一,

x

当时，令r(%)<0,得：X>1;令广(x)>。，得Ovxvl；

当leave时，令r(%)〈0,得：Ovxvlna或%>1,

令/(%)>0,得Inavxvl；

因此，当时，/(%)在(0,1)递增，在(1,收)递减；

当leave时，/(%)在(O,lna),(l,+oo)递减；在(Ina,1)递增.

题型战法五求函数的极值点、极值

典例5.函数>=底3-2彳+2的极小值点是()

6

214

A.2B.(2,C.-2D.(-2,T)

【答案】A

【解析】

【分析】

利用求导求函数的极小值.

【详解】

解：由题意得:

.y——X，—2x+2

6

12c

y——x—2

2

令y'=0,贝！Jx=±2

当xe(-s,-2)时，函数y=JV-2x+2单调递增

当尤e[-2,2]时，函数了=!V-2x+2单调递减

6

当X£(2,4W)日寸，函数y=，%3一2尤+2单调递增

故x=2时，取得极小值

故选:A

变式5-1.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)=xe\则

A.1是f(x)的极小值点B.T是f(x)的极小值点

C.1是f(x)的极大值点D.-1是f(x)的极大值点

【答案】B

【解析】

【详解】

试题分析：_f(x)=/+xd=(l+x)-/，当/'(x)=0时，x=-l,当x<-l时，

-「<0,当时，/'(x)>0,所以当丫=一1时，函数取得极小值，-1是函数

的极小值点，故选B.

考点：导数与极值

变式5-2.函数,=尤+1(》<0)的极大值为()

A.-2B.2C.-jD.不存在

【答案】A

【解析】

【分析】

求出导函数，判断导函数符号，结合极值的定义得答案.

【详解】

y'=l-[=三±令y'=o得x=-i或x=i(舍).

由于x<0,当V>。时，x<-i,当y'<0时，-i<x<o,

所以函数在(-«,-1)上单调递增，在(-1,0)上单调递减.

故函数在尤=-1处取得极大值y=-2.

故选：A

变式5-3.函数了=尤3-31一9%(-2〈工<2)有()

A.极大值为5,无极小值B.极小值为-27,无极大值

C.极大值为5,极小值为-27D.极大值为5,极小值为-11

【答案】A

【解析】

【分析】

利用导数可求出结果.

【详解】

y'=3x2-6x-9=3(尤—3)(x+l),

由y'>。，得-2<x<-l,由y'<0,得-l<x<2,

所以函数y=炉--9尤(-2<x<2)在(-2,-1)上单调递增，在(-1,2)上单调递减,

所以y=三-3d—9x(-2<x<2)在尤=—1时，取得极大值5,无极小值.

故选：A

变式54已知函数〃x)=x2-8x+61nx+l,则〃x)的极大值为()

A.10B.—6C.-7D.0

【答案】B

【解析】

【分析】

利用导数可判断函数的单调性，进而可得函数的极大值.

【详解】

函数〃元)的定义域为(0,+a)，

/'(X)=2X-8+@=2(XT)(X-3),

XX

令/(X)=。，解得X=1或X=3,

故

X(0」)1(L3)3(3,+8)

>0=0<0=0>0

/W单调递增极大值单调递减极小值单调递增

所以〃尤)的极大值为〃1)=-6,

故选：B.

题型战法六由函数的极值点、极值求参数

典例6.若函数/a)=e*+ox在x=-l处有极值，则()

A.6z=-lB.〃=—

e

C.a=—eD.Q不存在

【答案】B

【解析】

【分析】

函数/(x)=e'+"在x=T处有极值，即八-1)=0,求解导数，代入x=-1即可求解.

【详解】

解：因为函数/(x)=e，+ox,故/'(x)=e*+a

又函数/a)=e，+ax在x=T处有极值，故((-1)=J+a=0,

解得。=-2.经检验满足题意

e

故选：B.

变式6-1.若x=l是函数/(x)=alnx+x的极值点，则。的值是()

A.-1B.0C.1D.e

【答案】A

【解析】

【分析】

根据(⑴=0即可得解.

【详解】

/(X)的定义域为(0,+(»)，

八元)，+1,

X

因为X=1是函数f(x)=alnx+x的极值点，

所以((1)=0,即。+1=0,所以。=一1,

1y—1

当。=-1时，/'(无)=1一一=--,

XX

令广(无)>。，得X>1,令尸(x)<0,得O<X<1,

所以/⑴在x=l处取得极小值，符合题意.

综上所述：a=T.

故选：A

变式6-2.已知函数〃尤)=尤(尤-4,在x=2处取得极大值，则实数c的值是

2

A.-B.2C.2或6D.6

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意可得/(2)=0,解出C的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的

充分条件.

【详解】

函数/(X)=X(x-c)2的导数为/'(x)=(x-c)2+2x(x-c)=(x-c)(3x-c),

由/(x)在工=2处有极大值，即有42)=0,即(c-2)(c-6)=。，

解得c=2或6,

若c=2时，/V)=0,可得x=2或|,

由/⑺在x=2处导数左负右正，取得极小值，

若c=6,八元)=0,可得x=6或2,

由/⑴在、=2处导数左正右负，取得极大值.

综上可得c=6.

所以D选项是正确的.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的极值，根据函数的极值求参数需注意验证函数的单调

性，属基础题.

变式6-3.已知1x)=gx3+(q—i)/+x+i没有极值，则实数”的取值范围是()

A.[0,1]B.(—8,O]U[1,+oo)C.[0,2]D.(—oo,0]U[2,+

00)

【答案】c

【解析】

【分析】

求导得广(无)=/+2(。-1)汗+1,再解不等式[2(a-1)F-4W0即得解.

【详解】

由/(x)=~x'+(a—1)%2+x+1/'(X)=尤？+2(a—1)尤+1,

根据题意得[2(〃-1)乎-4W0,解得0VaV2.

故选：C

变式6-4.若函数/(x)=f-2x+alnx有两个不同的极值点，则实数。的取值范围是

()

A.a>—B.—<。<0C.—D.0<di<—

2222

【答案】D

【解析】

【分析】

求出函数的导数，由导函数有两个零点可得实数。的取值范围.

【详解】

：/(x)=/-2x+aIn尤有两个不同的极值点，

尸(x)=2x-2+：=2厂一2x+"=0在©+8)有2个不同的零点,

2/-2x+a=0在(0,+8)有2个不同的零点，

[A=4-8(2>01

\n，解得。<。<弓.

>02

故选：D.

题型战法七求函数的最值

典例7.函数/(尤)=尤3-3苫+1在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是()

A.1,-1B.1,-17

C.3,-17D.9,19

【答案】C

【解析】

【分析】

先求导，利用导函数得到极值，再求出端点值，比较得到最值.

【详解】

/,(^)=3X2-3=3(X+1)(X-1),令/'(x)>0得：x>l或x<-l,令/'(x)<0得：

故在x=—l处取得极大值，在x=l处取得极小值，且〃-1)=-1+3+1=3,

/(-3)=-27+9+1=-17,/(0)=1,所以函数/(》)=尤3-3尤+1在闭区间［一3,0］上的最大

值、最小值分别是3,-17.

故选：C

变式7-1.函数/(x)=lnx-x在(0,e］上的最大值为()

A.-1B.1C.0D.e

【答案】A

【解析】

【分析】

对函数求导，然后求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值

【详解】

由/(x)=lnx-x,得/'(尤)=」一1=匕4,

XX

当0Vx<1时，f(x)>0,当1<尤/(x)<0,

所以Ax)在(0,1)上单调递增，在(l,e］上单调递减，

所以当x=l时，Ax)取得最大值==

故选：A

变式72函数〃力=%3一3x在区间［-1,2］上的最大值和最小值分别为()

A.2和一2B.2和0C.0和一2D.1和0

【答案】A

【解析】

【分析】

利用导数求得最大值和最小值.

【详解】

f(x)=3^-3=3(%+l)(x-l),

所以“元)在区间(-1.1)上/(%)<0,/(x)递减，在(1,2)上f(x)>O,/(x)递增.

所以〃尤)的最小值为了⑴=1-3=-2,

/(-1)=-1+3=2,/(2)=8-6=2,

所以〃x)的最大值为2.

故选：A

jr

变式7-3.已知函数〃x)=-x+2sinx,xe0,-,则函数〃x)的最大值为()

7T

A.0B.2——

2

C.2D.7

36

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数的导函数的正负性判断函数在已知区间的单调性，结合余弦函数的性质进

行求解即可.

【详解】

Vr(x)=-l+2cosx,.•.当xe[O,$时，f(x)>OJ(x)单调递增，

当时，/(x)<O,〃x)单调递减，

"Xi=/闺=6-^.

故选：C.

变式7-4.函数y=x+sinx在[0,句上的最大值为()

TT

A.—b1B.71C.71D.7T+1

2

【答案】B

【解析】

【分析】

利用导数研究y=》+sinx的单调性，进而求其最大值.

【详解】

由题意，在［0,句上y=l+cosxNO,即广尤+sinx单调递增,

Xnax=^+sin乃=".

故选：B

题型战法八由函数的最值求参数

17

典例8.若函数〃尤)=§尤3+f一§在区间ma+3)内既存在最大值也存在最小值，则。

的取值范围是()

A.(-3,-2)B.(-3,-1)C.(-2,-1)D.(-2,0)

【答案】A

【解析】

利用导数求出“X)在x=o处取得极小值〃o)=在x=-2处取得极大值〃-2)=彳,

再根据/(0)=-£且/⑴=：,结合三次函数的图象列不等式组I：：”：可求得结

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