1.2.1必要条件与充分条件（第2课时习题课充分条件与必要条件的综合应用）课件高一上学期数学北师大版

2.1必要条件与充分条件第2课时习题课充分条件与必要条件的综合应用第一章预备知识北师大版

数学

必修第一册重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引

重难探究·能力素养速提升探究点一充要条件的证明【例1】求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.证明

充分性:因为a+b+c=0,所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0,所以方程有一个根为1,充分性成立.必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1,所以x=1满足方程ax2+bx+c=0,所以有a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.必要性成立.综上所述,方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.变式探究

将本例的条件“有一个根为1”改为“有一个正根和一个负根”,“a+b+c=0”改为“ac<0”,如何判断?证明

充分性:因为ac<0,所以Δ=b2-4ac>0,方程ax2+bx+c=0中有两个不等实根,由根与系数关系可知这两个根的积为

<0,所以方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,充分性成立.必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,由根与系数关系可知这两个根的积为

<0,所以ac<0,必要性成立.综上,方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.规律方法

充要条件的证明(1)根据充要条件的定义,证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明:一般地,证明“p成立的充要条件为q”①充分性:把q当作已知条件,结合命题的前提条件,推出p;②必要性:把p当作已知条件,结合命题的前提条件,推出q.解题的关键是分清哪个是条件,哪个是结论,然后确定推出方向,至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求.(2)在证明过程中,若能保证每一步推理都满足等价性(⇔),也可以直接证明充要性.探究点二根据充分条件、必要条件求参数的取值范围【例2】

(1)若“x<a”是“x≥3或x≤-1”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是(

)A.{a|a≥3} B.{a|a≤-1}C.{a|-1≤a≤3} D.{a|a≤3}B解析

因为“x<a”是“x≥3或x≤-1”的充分不必要条件,所以a≤-1.故选B.(2)若“x>2”是“x>m”的必要不充分条件,则实数m的取值范围是

.

{m|m>2}解析

因为“x>2”是“x>m”的必要不充分条件,所以{x|x>m}是{x|x>2}的真子集,所以m>2.规律方法

根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下:(1)记集合M={x|p(x)},N={x|q(x)};(2)根据以下表格确定集合M与N的包含关系:条件类别集合M与N的关系p是q的充分不必要条件M⫋Np是q的必要不充分条件M⫌Np是q的充要条件M=Np是q的充分条件M⊆Np是q的必要条件M⊇N(3)根据集合M与N的包含关系建立关于参数的不等式(组);(4)解不等式(组)求出参数的取值范围.变式训练1(1)一次函数

的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是(

)A.m>1,且n<1 B.mn<0C.m>0,且n<0 D.m<0,且n<0B★(2)[2024山东泰安高一期末](多选题)一元二次方程ax2+4x+3=0有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(

)A.a<0 B.a<-1C.a<1 D.-3<a<-2BD探究点三由传递性判断命题间的关系【例3】

已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么:(1)s是q的什么条件?(2)r是q的什么条件?(3)p是q的什么条件?解

(1)∵q是s的充分条件,∴q⇒s.∵q是r的必要条件,∴r⇒q.∵s是r的充分条件,∴s⇒r.∴s⇒r⇒q⇒s.即s是q的充要条件.(2)由r⇒q,q⇒s⇒r,知r是q的充要条件.(3)∵p是r的必要条件,∴r⇒p,∴q⇒r⇒p.∴p是q的必要不充分条件.规律方法

解决传递性问题的关键是画出推出的结构图,也可以考虑命题之间的关系.变式训练2如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么(

)A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件A解析

如图所示,∵甲是乙的必要条件,∴乙⇒甲.∵丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,∴丙⇒乙,但乙不能推出丙.综上,有丙⇒乙⇒甲,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.本节要点归纳1.知识清单:(1)充要条件概念的理解;(2)充要条件的证明;(3)根据条件求参数范围.2.方法归纳:等价转化法、特例法.3.常见误区:条件和结论辨别不清.学以致用·随堂检测促达标123451.在四边形ABCD中,“四边形ABCD为平行四边形”是“AB与CD平行且相等”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件C解析

四边形ABCD为平行四边形等价于AB与CD平行且相等.故选C.123452.(多选题)在下列各选项中,p是q的充要条件的是(

)A.p:A⊆B,q:A∩B=AB.p:a=b,q:|a|=|b|C.p:|x|+|y|=0,q:x=y=0D.p:a,b都是偶数,q:a+b是偶数AC解析A,C中,p都是q的充要条件;B中,p是q的充分不必要条件;D中,p是q的充分不必要条件.123453.已知集合A={x|x2+x-6≤0},B={x|3-m≤x≤m+5},若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则实数m的取值范围为

.

[6,+∞)解析

由题得A={x|x2+x-6≤0}={x|-3≤x≤2},因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,所以实数m的取值范围为[6,+∞).123454.“有两个角之和为90°的三角形称为直角三角形”是否可以作为直角三角形的定义?为什么?解

可以作为直角三角形的定义.因为“有两个角之和为90°的三角形”⇔“有一个内角为90°的三角形”⇔“直角三角形”,即“有两个角之和为90°的三角形”是“直角三角形”的充要条件,故“有两个角之和为90°的三角形称为直角三角形”可以作为直角三角形