浙江省杭州二中2025届高三数学上学期返校考试试题含解析

PAGE21-浙江省杭州二中2025届高三数学上学期返校考试试题（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A＝{x|x≤﹣1或x≥0}，B＝{x|﹣1＜x≤2}，则A∪B＝（）A.{x|0≤x≤2} B.{x|x≤2} C.{x|x≥0} D.R【答案】D【解析】【分析】依据并集定义可干脆求解得到结果.【详解】由或,，则由并集的定义可知,.故选：.【点睛】本题考查集合运算中的并集运算,属于基础题,难度简洁.2.双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】已知双曲线方程，找出方程中，代入离心率的公式即可.【详解】因为双曲线，所以，，因为，所以离心率.故选：C.【点睛】本题主要考查了双曲线方程的离心率，属于基础题.3.函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）A.ab="0" B.a+b="0" C.a=b D.=0【答案】D【解析】考点：函数奇偶性的推断；必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：计算题．分析：利用奇函数的定义“函数y=f（x）的定义域为D，假如对D内的随意一个x，都有x∈D，且f（-x）=-f（x），则这个函数叫做奇函数”建立恒等式，求出a、b的值即可．解答：解：依据奇函数的定义可知f（-x）=-x|a-x|+b=-f（x）=-x|x+a|-b对随意x恒成立∴a=0，b=0，故选D点评：本题主要考查了函数奇偶性的推断，以及必要条件、充分条件与充要条件的推断，属于基础题．4.已知直线n与平面α，β，若n⊂α，则“n⊥β”是“α⊥β”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析】依据课本的面面垂直的判定得到若“n⊥β，n⊂α，则“α⊥β”，若n⊂α，α⊥β，则n不肯定垂直β，进而得到答案.【详解】若“n⊥β，n⊂α，则“α⊥β”，若n⊂α，α⊥β，则n不肯定垂直β，也可能平行，故n⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件故选A．【点睛】这个题目考查了充分不必要条件的推断，推断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤推断命题p与命题q所表示的范围，再依据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，推断命题p与命题q的关系．5.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体的侧面积为（）A. B. C. D.6【答案】C【解析】【分析】推断几何体的图形，利用三视图的数据求解各侧面面积,求和即可.【详解】由三视图可知几何体是一条侧棱与底面垂直，底面是正方形，四棱锥的高为，底面正方形的对角线的长为,四棱锥的个侧面面积分别为：.所以侧面面积为:.故选:.【点睛】本题考查三视图推出几何体的推断,几何体的侧面积的求法留意视图的应用,难度较易.6.设，且满意，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用正弦的两角和公式化简已知等式，求得α+β=，把sinβ转换为cosα，利用两角和公式化简，依据α的范围求得sinα+sinβ的范围即可．【详解】∵sinαcosβ+sinβcosα=sin(α+β)=1,，∴α+β=，∴−≤β=−α≤，可推断出≥α≥0，，∵α∈[0,]，∴，∴，∴，故选：D.【点睛】本题考查两角和与差的正弦函数，驾驭并敏捷应用公式是解题的关键，属于中等题.7.已知定义在R上的函数f（x）满意f（2﹣x）为奇函数，函数f（x+3）关于直线x＝1对称，则下列式子肯定成立的是（）A.f（x﹣2）＝f（x） B.f（x﹣2）＝f（x+6）C.f（x﹣2）•f（x+2）＝1 D.f（﹣x）+f（x+1）＝0【答案】B【解析】【分析】干脆利用函数的奇偶性,以及函数的对称性,求出,得到结果即可．【详解】令,为奇函数，,即，∴即的图象关于点对称，令图象关于直线对称，即，即的图象关于直线对称，用换表达式中的,可得，又，即，∴，用换表达式中的,则，∴函数周期为8，故选:.【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性,函数图象的对称性,属于基础题,难度较易.8.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，则平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设面与底面所成的二面角的平面角为，设边长为,建立直角坐标系，设可求得平面的一个法向量为,而底面的一个法向量为,由,化简探讨即可求得范围.【详解】设面与底面所成的二面角的平面角为，如图所示，建立直角坐标系，设平面的一个法向量为,则取,而底面的一个法向量为,则,结合选项，当时,，当时,,时，取到，故.故选:.【点睛】本题主要考查在空间直角坐标系中二面角的求法，考查学生的转化实力和计算求解实力.难度一般.9.已知向量，满意，当，的夹角最大时，则（）A.0 B.2 C. D.4【答案】D【解析】分析】先建系,设,再结合平面对量数量积的坐标及运算性质,将，的夹角最大转化为直线与抛物线相切,利用求出,即可,即可解得所求.【详解】设,因为,所以,即,为点的轨迹方程.由上图易知,当直线与抛物线相切时,的夹角最大.令,由消去得.所以,即点或时，即或时，的夹角最大.此时，.故选:.【点睛】本题考查平面对量数量积的坐标运算,考查转化与化归思想,,将，的夹角最大转化为直线与抛物线相切,考查数形结合的解题思想,难度一般.10.已知r，s，t为整数，集合A＝{a|a＝2r+2s+2t，0≤r＜s＜t}中的数从小到大排列，组成数列{an}，如a1＝7，a2＝11，a121＝（）A.515 B.896 C.1027 D.1792【答案】C【解析】【分析】（1）由于为整数且，下面对进行分类探讨:最小取2时，符合条件同理可得,,……，时符合条件的的个数，最终利用加法原理计算即得．【详解】为整数且最小取,此时符合条件的数有,当时,可在0,1,2中取,符合条件有的数有所以,同理时,符合条件有的数有,……,时,符合条件有的数有,且,是的最小值,即时,.故选:.【点睛】本题考查组合及组合数公式,有理数指数幂的运算性质,数列的概念及简洁表示法,难度较难.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11.成书于公元一世纪的我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，题目是：“今有池方一丈，点生其中心，出水一尺，引葭赶岸，适马岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈（10尺），有棵芦苇长在它的正中心，高出水面部分有1尺长，把芦苇拉向岸边，恰好遇到沿岸（池塘一边的中点），则水深为__________尺，芦苇长__________尺.【答案】(1).12(2).13【解析】【分析】把问题转化为如图的数学几何图形，依据题意，可知EB′的长为10尺，则B′C=5尺，设出AB=AB′=x尺，表示出水深AC，依据勾股定理建立方程，求出方程的解即可得到芦苇的长和水深．【详解】依题意画出图形,设芦苇长AB=AB′=x尺,则水深AC=(x−1)尺，∵B′E=10尺,∴B′C=5尺，在Rt△AB′C中,52+(x−1)2=x2，解得x=13(尺)，∴水深为12尺，芦苇长为13尺.故答案为：12，13.【点睛】本题考查点、线、面间的距离计算，将实际问题转化为几何问题，考查转化思想与数形结合思想的应用，属于中等题.12.已知实数x，y满意，则z＝4x+y的最小值是_____．【答案】5【解析】【分析】首先画出题中所给的约束条件对应的可行域,化目标函数所对应的直线方程,数形结合得到最优解,联立方程组求解的坐标,代入目标函数得答案.【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图所示:目标函数z＝4x+y可化为4x+y＝0，平移直线4x+y＝0知，当直线过点A时，z取得最小值；由，解得A（1，1）所以目标函数z＝4x+y的最小值是zmin＝4×1+1＝5．故答案为:.【点睛】本题主要考查线性规划的应用,结合图形并利用目标函数的几何意义,是解决此类问题的常用方法,难度较易.13.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，b＝1，c＝2acosB，则a＝_____；cosA＝_____．【答案】(1).1(2).【解析】【分析】首先依据已知和余弦定理化简可得,则由,,可得,利用绽开计算即可解得.【详解】在△ABC中，∵c＝2acosB＝2a，∴整理可得：a＝b，又b＝1，∴a＝1，∵，∴A，cosA＝coscos（）（）．故答案为:.【点睛】本题考查余弦定理,和角的三角函数值计算,难度一般.14.中，，，则的取值范围是__________，的取值范围是__________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】依据题意利用正弦定理可建立与角B的关系，求出B的范围即可得范围，利用向量数量积运算及正弦定理进行边角转化，转化为只与角B有关的关系式，依据B的范围即可求解．【详解】在中，，，则，由正弦定理可得：，，由A+B+C=π，可得3B+C=π，即，又角B为三角形内角，所以，，所以，，由正弦定理可得：，所以可得，故答案为：，.【点睛】本题考查正弦定理的应用，涉及三角形边角转化，和差公式、二倍角公式，向量的数量及运算等学问，属于中等题。15.已知等比数列{an}满意首项a1＝2024，公比，用表示该数列的前n项之积，则取到最大值时，n的值为_____．【答案】12【解析】【分析】依据等比数列的通项公式和题意求出，进而得到分析的正负,对比可得取最大值时的值．【详解】等比数列{an}满意首项a1＝2024，公比，∴2024×（）n﹣1，|an|＝2024×（）n﹣1，{an}中奇数项是正数，偶数项是负数，a10＝2024×（）9，a11＝2024×（）10，，用表示该数列的前n项之积，则取到最大值时，n的值为12．故答案为:.【点睛】本题考查等比数列通项公式和性质,难度较难.16.已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是__________【答案】【解析】，分类探讨：①当时，，函数的最大值，舍去；②当时，，此时命题成立；③当时，，则：或，解得：或综上可得，实数的取值范围是．【名师点睛】本题利用基本不等式，由，得，通过对解析式中肯定值符号的处理，进行有效的分类探讨：①；②；③，问题的难点在于对分界点的确认及探讨上，属于难题．解题时，应细致对各种状况逐一进行探讨．17.已知抛物线y＝x2和点P（0，1），若过某点C可作抛物线的两条切线，切点分别是A，B，且满意，则△ABC的面积为_____．【答案】．【解析】【分析】由可得,则有直线恒过定点,设直线方程与抛物线方程联立,即可解得弦的长,对抛物线方程求导,求得切线方程的斜率,可求得切线方程,进而解得点坐标,利用点到直线的距离公式,三角形面积公式,即可解得所求.【详解】∵，则3（2（），∴2，故直线AB过点P，且AP＝2PB．故设直线AB：y＝kx+1，A（x1，y1），b（x2，y2）联立可得x2﹣kx﹣1＝0，则x1x2＝﹣1，x1+x2＝k．由AP＝2PB．可得x1+2x2＝0可得k，AB由导数y′＝2x，可得过A，B的切线分别为y+y1＝2x1x，y+y2＝2x2x，联立切线方程可得C（，﹣1）C到y＝kx+1的距离d．则△ABC的面积为S．故答案为:.【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,恒过定点的直线,求三角形面积问题,难度较难.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在区间上的值域．【答案】（Ⅰ）最小正周期，[]（k∈Z）．（Ⅱ）[0，3]．【解析】【分析】(Ⅰ)先用降幂公式,协助角公式将化简,然后求得最小正周期和单调减区间;(Ⅱ)先通过平移得到的解析式,由x∈,可计算得到,结合余弦函数的图象和单调性,可得解.【详解】（Ⅰ）函数1﹣cos（2x）．所以函数的最小正周期为，令（k∈Z），整理得（k∈Z），所以函数的单调递减区间为[]（k∈Z）．（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）＝2cos（2x）+1的图象，由于x∈，所以，故，所以0≤g（x）≤3，故函数值域为[0，3]．【点睛】本题考查了三角函数的性质综合,考查了学生综合分析,转化化归,数学运算的实力,难度较易.19.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，，（Ⅰ）证明；AC⊥BP；（Ⅱ）求直线AD与平面APC所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）．【解析】【分析】(I)取的中点,连接,通过证明平面得出;(II)以为原点建立坐标系，求出平面的法向量，通过计算与的夹角得出与平面所成角．【详解】（I）证明：取AC的中点M，连接PM，BM，∵AB＝BC，PA＝PC，∴AC⊥BM，AC⊥PM，又BM∩PM＝M，∴AC⊥平面PBM，∵BP⊂平面PBM，∴AC⊥BP．（II）解：∵底面ABCD是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，∴∠ABC＝120°，∵AB＝BC＝1，∴AC，BM，∴AC⊥CD，又AC⊥BM，∴BM∥CD．∵PA＝PC，CM，∴PM，∵PB，∴cos∠BMP，∴∠PMB＝120°，以M为原点，以MB，MC的方向为x轴，y轴的正方向，以平面ABCD在M处的垂线为z轴建立坐标系M﹣xyz，如图所示：则A（0，，0），C（0，，0），P（，0，），D（﹣1，，0），∴（﹣1，，0），（0，，0），（，，），设平面ACP的法向量为（x，y，z），则，即，令x得（，0，1），∴cos，，∴直线AD与平面APC所成角的正弦值为|cos，|．【点睛】本题考查异面直线垂直的证明,考查直线与平面所成角的正弦值的求法,解题时要细致审题,留意向量法的合理运用,难度一般.20.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3＝30，2S2是3S1和S3的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}满意，求数列{bn}前n项和Tn．【答案】（Ⅰ）an＝3n，n∈N*；（Ⅱ）Tn＝2﹣（n+2）•（）n．【解析】【分析】(Ⅰ)由,是和的等差中项,可得,,化简,利用等比数列的通项公式即可得出.(Ⅱ)由化简可得,再利用错位相减法即可求出.【详解】（Ⅰ）等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且a1+a3＝30，2S2是3S1和S3的等差中项．可得a1+a1q2＝30，4S2＝3S1+S3，即有4（a1+a1q）＝3a1+a1+a1q+a1q2，解得a1＝q＝3，则an＝3n，n∈N*；（Ⅱ）（2n+1）•（）n，前n项和Tn＝3•5•7•（2n+1）•（）n，Tn＝3•5•7•（2n+1）•（）n+1，相减可得Tn＝1+2（（）n）﹣（2n+1）•（）n+1＝1+2•（2n+1）•（）n+1，化简可得Tn＝2﹣（n+2）•（）n．【点睛】本题考查了错位相减法在数列求和中的运用,考查了等比数列的通项公式,难度一般.21.在平面直角坐标系xOy中，点F是椭圆C：1（a＞b＞0）的一个焦点，点D是椭圆上的一个动点，且|FD|∈[1，3]．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点P（﹣4，0）作直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB面积的最大值．【答案】（Ⅰ）：1；（Ⅱ）2．【解析】【分析】（Ⅰ）由点是椭圆上的一个动点,且可得:可解得：即可求得椭圆的标准方程;（Ⅱ）设由题意设直线的方程为,联立,得,由韦达定理、点到直线距离公式等,结合已知条件能求出面积的最大值．【详解】（Ⅰ）由点D是椭圆上的一个动点，且|FD|∈[1，3]可得：a﹣c＝1，a+c＝3，a2＝b2+c解得：a2＝4，b2＝3，所以椭圆的标准方程：1；（Ⅱ）明显直线AB的斜率不为零，设直线AB的方程：x＝my﹣4，A（x，y），B（x'，y'），联立与椭圆方程整理得：（4+3m2）y2﹣24my+36＝0，△＝（﹣24m）2﹣4•36•（4+3m2）＞0，整理得m2＞4，且y+y'，yy'，