辽宁省某中学2023-2024学年高二年级下册7月期末考试 数学试题（含答案）

2023-2024学年度下学期期末考试高二年级数学科试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知函数/（%）=》2+4，则lim/（1+盘）-/⑴=（）

'）32-Ax

,3r3c5

A.-B.-C.-D.一

2424

2.已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8,超过2年的概率为0.6,若一个这种元件使用到1年时

还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为（）

A.0.75B.0.6C.0.52D.0.48

3.已知S“为等差数列｛4｝的前〃项和，的+2%+%8=20,则与=（）

85

A.—B.85C.170D.340

2

4.已知命题p：Vxefo,^-j,—x<sinx<x,则命题p的真假以及否定分别为（）

A.真，“%e0微〉

B.真，一）〃：3x€0,—,一x2sinx或sinx2x

I271

C.假，-ip：3xe0,—,—x>sinx>x

I271

D.假，-in：3xG0,—,—xNsinx或sinx2x

I271

5.已知随机变量J,〃，4〜49,；］,〃〜N3b2）,且£仔）=。（〃），若

尸42Q+1）+尸42—Q）=1,则实数。=（）

A.0B.-1C.1D.2

6.集合｛xeZH+lVx+e｝的子集个数为（）（其中e为自然对数的底数）

A.2B.4C.8D.16

7.设数列｛〃〃｝满足4=1,%=ln（%+i—1）+加,〃wN*,若对一切〃EN*,47V2,则实数加的取值范

围是()

A.m>2B.l<m<2C.m>3D.2<m<3

8.已知定义在R上的单调递增的函数/(x)满足：任意xeR,有/(I—x)+/(l+x)=2,

/(2+x)+/(2—x)=4,则下列结论错送的是()

A.当xeZ时，/(x)=x

B.任意xeR,/(-x)=-/(x)

C.存在非零实数7,使得任意xeR,/(x+T)=/(x)

D.存在非零实数公使得任意xeR,|/(x)-日归1

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.等比数列｛%｝的公比为分则下列说法正确的是()

A.｛ln|qJ｝为等差数列B.若与〉％且生〉的，则｛4｝递增

C.｛%+2%加｝为等比数列D.<4+,+2,为等比数列

10.甲乙两人进行投篮比赛，两人各投一次为一轮比赛，约定如下规则：如果在一轮比赛中一人投进，另

一人没投进，则投进者得1分，没进者得-1分，如果一轮比赛中两人都投进或都没投进，则都得0分，当

两人各自累计总分相差4分时比赛结束，得分高者获胜，在每次投球中甲投进的概率为0.5,乙投进的概率

为06每次投球都是相互独立的，若规定两人起始分都为2分，记耳«=0,1,2,3,4)为“甲累计总分为，

时，甲最终获胜”的概率，则()

A.一轮比赛中，甲得1分的概率为0.5B.P(0)=0,P(4)=l

C.4=0.2片+]+0.34_1+0.54D.｛4+1_£｝«=0』,2,3)为等差数列

11.已知函数/(x)=x(e*—，aeR,则下列说法正确的是()

A.若a=0,则

B.3aGR,使得/(x)在(一8,+8)上单调递增

C.若x=l为/(x)的极值点，则a=e

D.X/aeR,坐标平面上存在点尸，使得有三条过点尸的直线与/(x)的图象相切

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.从含有6件正品和4件次品的产品中任取3件，记X为所抽取的次品，贝iJ£（X）=.

13.已知实数x,y满足/+町一1=0,则/+/的最小值为.

14.设高斯函数[x]表示不超过x的最大整数（如[2.1]=2,[3]=3,[―1.7]=—2）,已知%=|xlOn,

bx=aA,bn=an-\Oa,-（〃eN*,〃22）,则％=；Z?2024=.

四、解答题，本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）甲、乙两人对局比赛，甲赢得每局比赛的概率为夕（0<?<1）,每局比赛没有平局.

2

（1）若赛制为3局2胜，p=-,求最终甲获胜的概率；

3

（2）若赛制为5局3胜，记/（2）为“恰好进行4局比赛且甲获得最终胜利”的概率，求/（2）的最大值

及此时0的值.

16.（15分）已知数列｛4｝满足aA=-,数列｛%,｝的前"项和为且2S"=3"T—3.

%+12

（1）求数列｛4｝,也｝的通项公式;

（2）求数列|」一的前〃项和为7；.

Wn]

18.（15分）目前AI技术蓬勃发展，某市投放了一批AI无人驾驶出租车为了了解不同年龄的人对无人驾驶

出租车的使用体验，随机选取了100名使用无人驾驶出租车的体验者，让他们根据体验效果进行评分.

（1）现将100名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如

下数据，请将2X2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为对无人驾驶出租车的评价与年龄有关.

好评差评合计

青年20

中老年10

合计40100

（2）设消费者的年龄为x,对无人驾驶出租车的体验评分为y.若根据统计数据，用最小二乘法得到y关于

x的线性回归方程为_P=1.5x+15,且年龄x的方差为s；=9,评分y的方差为s；=25.求y与x的相关

系数『，并据此判断对无人驾驶出租车使用体验的评分与年龄的相关性强弱（当卜|»0.75时，认为相关性强,

否则认为相关性弱）.

E（x，-^）（z-y）£（巧-可（％-刃

附：一丁，r=i"

za一可、忙—可》5一刃2

IVi=lz=l

独立性检验中的K?=-----：(adbe)----

其中〃=a+b+c+t/.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值表:

2

P(K>k0)0.0500.0100.001

左03.8416.63510.828

18.(17分)已知函数/(x)=(lnx/+a(lnx+l),a>Q

(1)求证：x>0时，ex>x2；

(2)讨论/(x)的单调性;

(3)求证：Va>0,/(x)恰有一个零点.

19.(17分)已知函数/(X),定义：对给定的常数0,数列｛%｝满足q〉a,J=ZfeJlZH

an-a

则称数列｛%｝为函数/(x)的“L(a)一数列”.(/'(X)为/(x)的导函数)

(1)若函数/(x)=x2,数列｛%｝为函数/(x)的“1(—1)一数列"，且为=1,求｛4｝的通项公式;

⑵若函数g(x)=lnx,数列｛%｝为函数g(x)的“⑴一数列"，求证：1<an+l<an；

(3)若函数/z(x)=x3+6sinx,正项数列也｝为函数/z(x)的“L(b)一数列”，已知

bn+le.也),〃eN*.记数列｛bn｝的前n项和为Sn.

求证：当时，Sn+bn>(n-\]b+2bx.

2023-2024学年度下学期期末考试高二年级数学科试卷

参考答案

1234567891011

DABBCCACABDBCABD

12.-13.2A/2-214.4285；2

5

四、解答题：

15.【解】(1)设前两局比赛甲赢为事件4・・・尸(4)二2

21?

设前两局比赛甲赢一局且最后甲胜为事件B,：.P(B)=C\----8

27

20

甲胜的概率为尸(z)+尸(8)=方

(2)恰进行4局比赛且甲最后胜，则前三局比赛甲赢两局，第四局甲赢/(0)=C；/0—夕)2=3/_3/

3

...f(p)=9P2-12/=3p2(3—4夕)，.../'(〃)=()=〃=；

3

当夕/'(2)>0，・••/(2)在上为增函数

4

当p£,/'(0)<0,，/(0)在上为减函数

3813

=f,止匕时夕二

,\x/max"256

an1=工1+1,..」上1是以1工=2为首项，以1为公差的等差数列

16.【解】⑴Van+1

%+1%%a1

111

———I-—l)d=2+〃—1=〃+・，・q

4%"n+\

•；2Sn=-3,2S,i=3"—3》2)

3"+1-3"

•"-I=3",(n>2)

2

32-3

当〃=1,4=S]==3,符合上式.：.b=3",〃eN*

2n

(2)由(1)得」一=2里

。也3"

1+12+13+172+1

=+——+——+•••+H-----

332333'T3"

1.1+12+1("-1)+1+n+1

不丁+丁+…十

3"3”H

22111n+1

作差：-T=-+

n—-----1----〃

3"332333〃3+i

17.【解】（1）根据题意可得2x2列联表如下:

好评差评合计

青年203050

中老年401050

合计6040100

2100(20x10-30x40/

因为K=-------------------

50x50x60x40

所以有99.9%的把握认为对无人驾驶出租车的评价与年龄有关.

1100100

（2）因为=诉4（%.一元）2=9,所以自（七一元）2=900,

1100100

因为学=而»—3)2=25,所以»(%.一力2=2500,

100

无)他-贡)100100

因为g=入诉------------=1.5,所以Z(玉—元)(%—歹)=1.5XZ(玉—元)2=1.5X900=1350,

方(x,—可21=11=1

Z=1

100

一亍)(乂-刃

13501350_09

所以相关系数r=Y-

100210027900x250030x50"''

#(X,.-X)^(Z.-7)

V1=1Z=1

因为0.9>0.75,所以判断对无人驾驶出租车使用体验的评分与年龄的相关很强.

18.【解】(1)设g(x)=x2e-x,x>0,则g，(x)=x(2-x)e-*,x>0

易知g（x）在（0,2］上递增，在［2,+8）上递减，

所以g（x）<g（2）=^-<1,即x2e~x<1=>ex>x2.

,axaax

（2）/（力定义域为他+⑹，/（x）=—lnx+^=（^）^x>Qa>Q

①a=2时，可知恒有/'（x"0,此时/（x）在（0,+oo）上递增；

②0<a<2时，可知xe0,£U(l,+8)时，/'(x)>0:XG/1时，小）<0,

所以此时/⑴在卜力和仙+⑹上递增，在gl］上递减；

③a>2时，同理可得/⑴在(0,1)和悖+oo］上递增，在d上递减.

(3)由(2)：

①a=2时，/(x)在(0,+8)上递增，因为/⑴=2>0,/(e^2)=4-2e2<0,所以此时/(x)恰有一

个零点；

(-J、(1¥1+1,

②0<a<2时，因为/(x)的极小值为/(l)=a>0,又由(1)知/1e=+—J-e0<0,结合

/(x)的单调性，可知此时/(x)也恰有一个零点；

③a>2时，/(x)的极小值为=+2^1n|+l^ln|+l^+1>0,

又2e2<0,结合〃x)的单调性，同样/(x)也恰有一个零点.

综上，\/a>0,/(x)恰有一个零点.

【说明】用极限代替找点，过程合理，扣2分.

a2_1

19.【解】⑴==>/'(%)=2x,由题意，有2a“+i=，；——=4“一1,

%+1

则%=又%+1=2,所以｛4+1｝是以2为首项、以3为公比的等比数列，

所以4+1=5上，从而氏=$方一1・

(2)由题可得二一=里%,

4+i4T

①设9(x)=lnx—x+l,d(x)=__l,

x

可知当x〉l时，9’(x)<0,9(x)递减,⑴=0；

当0<x<l时，