2025中考数学专项复习：将军饮马模型（含答案）

2025中考数学专项复习微专题将军饮马模型

通关专练

微专题将军饮马模型通关专练

一、单选题

题目口（2023福建厦门•校考二模）如图，正方形ABCD的边长为4,点E、F分别为CD的中点，点P是

对角线BD上的动点，则四边形PECF周长的最小值为（）

A.4B.4+2V2C.8D.4+472

题目区（2023秋•八年级课时练习）如图，在△ABC中，乙4cB=90°,9平分/48。，石。_1>16与点。,

=30°,AE=6cm,那么CE等于（）

题目⑶（2023•福建福州•八年级福州日升中学校考期中）如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,EF

垂直平分B。,点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（）

题目⑷（2023秋・福建福州•八年级校考阶段练习）如图，等边△4BC中，BO，AC于。，Q。=15,点P、Q

分别为AB.AD上的两个定点且BP=AQ=20,在BD上有一动点E彳吏PE+QE最短,则PE+QE的最

小值为（）

血

•••

A.35B.40C.50D.60

题目回（2023春・福建龙岩•七年级龙岩初级中学校考阶段练习）如图，点P是直线矽卜一点，A,8,。，。都

在直线上，下列线段最短的是（）

题目回（2023秋・福建宁德•八年级统考期末）如图,在平面直角坐标系中，点4-2,4）,5（4,2）,在田轴上取

一点P,使点P到点A和点8的距离之和最小，则点P的坐标是（）

题目⑶（2023・福建•校联考零模）如图，等腰Rt/\ABC中，AB，AC于A,AB=CA=2,M为

△ABC内一点，当MA+最短时,在直线上有一点E,连接CE.亨BE+CE的最小值为

A.兀B.罕C.等

D.V6

OO

;舞目1]（2023秋・福建厦门•八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中,/C=a°,ZB=ZD=90°,石，尸分

别是上的点，当4AEF的周长最小Ht,AEAF的度数为（）

D

5b-——*

A.aB.2aC.180-tzD.180-2a

题目回（2023秋•八年级单元测试）如图，点A,B在直线1的同侧,若要用尺规在直线1上确定一点P,使得

AP+BP最短,则下列作图正确的是（）

题目回（2023•福建・九年级专题练习）如图,在等腰三角形ABC中，AB=AC,4,tanAABC=4,

AC的垂直平分线EF分别交AC,4B边于E,F点.若点。为BC边的中点，点河为线段EF上一动点,

则△CDM周长的最小值为（）

C

二、填空题

题目兀（2023春.福建福州.九年级统考期中）在平面直角坐标系，。夕中，点的坐标分别为（5,0）,

（a,2）,（a+2,2）,则ABPQ周长的最小值为.

题目卫（2023秋・福建南平•八年级统考期末）如图，/人。8=22°,点河，双分别是边0人，03上的定点，点

P,Q分别是边OA,OB上的动点，记/MQP=a,/OPN=6,当MQ+QP+PN最小时，则a与万的数量

关系为.

题目叵〕（2023秋•福建莆田•八年级统考期中）如图,在锐角△AB。中，乙4cB=50°,边AB上有一定点P,

分别是AC和边上的动点，当△PMN的周长最小时，/MPN的度数是

A

2

题目国（2023秋・福建厦门•八年级统考期末）如图，在/\ABC中，AB=BC,AC=2cm,S^c=3cm,边

BC的垂直平分线为Z,点。是边AC的中点，点P是/上的动点，则△PCD的周长的最小值是.

题目£（2023秋•八年级课时练习）如图，在AABC中，AB=AC,点。，E都在边BC±,ABAD=

/CAE,若RD=9,则CE的长为.

〔题目〔16］（2023秋・福建三明•八年级统考期末）如图，在电443。中，乙4cB=90°,AC=BC,点、C在直线

MN上,/BCN=30°,点P为上一动点，连接AP,BP.当AP+BP的值最小时，/CBP的度数为

三、解答题

建目亘）（2023秋・福建南平•八年级福建省南平第一中学校考期中）△ABC在平面直角坐标系中的位置如下

图所示，点4（1,1）,点B（4,2）,点（7（3,4）.

⑴画出△48。关于沙轴对称的△45G，并写出点4,8,6的坐标.

（2%轴上是否存在一点P,使得PA+PB的和最小.若存在，请你找出点P的位置.（保留作图痕迹）

（3）求出△ABC的面积.

题目逗（2023春・福建泉州•七年级福建省泉州第一中学校考期末）如图，在正方形网格上有一个（三

个顶点均在格点上）.

（1）作aABC关于直线HG的轴对称图形（不写作法）；

（2）画出△48。中BC边上的高AD-,

（3）在HG上画出点P,使PB+PC最小.

题目叵（2023春・福建泉州•七年级福建省永春第一中学校考期末）（1）如图1,在△AB。中乙4=60°,

BD、CE均为△ABC的角平分线且相交于点O.

①填空：NBOC=_度;

②求证：BC=BE+CD.（写出求证过程）

（2）如图2,在4ABC中，=CE平分AACB.

①若△ABC的面积为S,在线段CE上找一点在线段AC上找一点N,使得AM+的值最小,则

⑷W+MV的最小值是.（直接写出答案）；

②若/A=20°,则△BCE的周长等于.（直接写出答案）.

•M

A

题目区〕（2023秋・福建福州•八年级福建省福州第一中学校考期中）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为

4（1,1）,8（4,2）,。（3,4）.

（1）请画出△48。关于y轴对称的△ABiG；

（2）在立轴上求作一点P,使△PAB的周长最小,请画出△PAB,并简要说明理由.

题目口（2023春・福建三明•七年级统考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,网格中有

一个格点△4BC（即三角形的顶点都在格点上）

（1）在图中画出4ABC关于直线I对称的；

（2）在直线，上找出点P,使得△PB。周长最小,在图中标出点P的位置；

⑶已知点。在格点上，且ABCD和全等,请画出所有满足条件的△BCD（点。与点A不重合）.

题目22j（2023秋・福建福州•八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC.

（2）画出ZVIB。关于y轴对称的△AQiG；

（3）在y轴上作出点P,使得AP+的值最小.

题目亘（2023春・福建泉州•七年级统考期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单

位，AAB。的三个顶点都在格点上.

（1）在网格中画出4ABC向下平移4个单位得到的△4B1G；

（2）在网格中画出△ABC关于直线m对称的△力2B2G；

（3）在直线m上画一点P,使得△ACP的周长最小.

题目包（2023秋.福建福州.七年级福建省福州第十九中学校考期末）如图，已知点是不在同一

直线上的四个点,请按要求画出图形.

7

c

A•B

•D

（1）画直线AB和射线CB；

（2）连接AC,过点。画直线AB的垂线，垂足为E；

（3）在直线AB上找一点P,连接PC、PD,使PC+PD的和最短.

题目区（2023秋・福建南平•八年级统考期中）如图,在平面直角坐标中，ZVIB。各顶点都在小方格的顶点

上.

（1）画出△48。关于a;轴对称的图形；写出△ABiG各顶点坐标A_；B-；G_

（2）在y轴上找一点P,使PA+PBi最短，画出P点,并写出P点的坐标

（3）若网格中的最小正方形边长为1,则△ABiG的面积等于一

・・

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一、单选题

题目工（2023・福建厦门•校考二模）如图,正方形ABCD的边长为4,点E、F分别为CD的中点，点P是

对角线BD上的动点，则四边形PECF周长的最小值为（）

A.4B.4+2V2C.8D.4+472

【答案】。

［分析］作E关于BD的对称点E'，连接E，F交BD于点。，根据轴对称性质及两点之间,线段最短，得到四

边形PECF的周长最小，即OE+OF最小,再利用三角形三边关系解题即可.

【详解】解:如图，作右关于的对称点E,连接E'F交友?于点。，

故点P与点。重合时，

四边形PECF的周长最小，

即OE+OF最小，

•.♦E和E'关于对称，

则OE=OE',EO+0歹=E'O+OF=4

连接E'P,同样E'P=PE,EP+PF=E'P+PF>E'F

而E'F=E'O+OF=4,即EP+PF>E'F

所以当P与。重合时，

四边形PECF周长最小，即为4+2+2=8,

故选：C.

【点睛】本题考查正方形的性质、轴对称与最值问题等知识,是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关

键.

题目团（2023秋•八年级课时练习）如图，在△ABC中，AACB=90°,BE平分/ABC,ED，AB与点。,

=30°,AE=6cm,那么CE等于（）

A.4cmB.2cmC.3cmD.lcm

【答案】。

【详解】•・・ED_LAB,乙4=30°,

/.AE=2ED,

AE=6cm,

:.ED—3cm.•••

•/ZACB=90°,B石平分AABC,

:・ED=CE,

:.CE—3cm.

故选C.

题目区（2023・福建福州•八年级福州日升中学校考期中）如图，在AABC中，AB=3,AC=4,BC=5,EF

垂直平分BC,点P为直线EF上的任一点，则4P+BP的最小值是（）

【答案】。

【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点。，故当点P与点。重合时，AP+BP的最小值，求出

AC长度即可.

【详解】解：「EF垂直平分BC,

.•.3、。关于班对称，

设4。交EF于。，

当P和。重合时,AP+BP的值最小,最小值等于AC的长，

AP+BP的最小值是4.

故选：D

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位

置.

题目回（2023秋・福建福州•八年级校考阶段练习）如图，等边△ABC中，BD，AC于。，QD=15,点P、Q

分别为AB.AD上的两个定点且BP=AQ=20,在BD上有一动点E使PE+QE最短,则PE+QE的最

小值为（）

A.35B.40C.50D.60

【答案】。

【分析】作点Q关于BD的对称点Q,连接PQr交BD于E,连接QE,此时PE+EQ的值最小.最小值

PE+PQ=PE+EQ，=PQL

【详解】解：

如上图，・・・△46。是等边三角形，

：.BA=BC,

•：BD_LAC,

:.AD—DC—AQ+QD=20+15=35cm,

・・・46=47=240=70,

作点Q关于BD的对称点Qf，连接PQf交石。于石，连接QE,此时PE+EQ的值最小.最小值为PE+

PQ=PE+EQ』PQL

QD—DQr—15（cm）,

AQf—AD+DQ'=35+15=50（cm）

VBF=20（cm）,

/.AP=AB—BP=70-20=50（cm）

AP=AQf=50（cm）,

•：乙4=60°,

・・・△APQ，是等边三角形，

/.PQ'=PA=50（cm）,

・・.PE+QE的最小值为50cm.

故选：C.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识,解题的关键是学会利用轴对称解决

最短问题.

题目回（2023春・福建龙岩•七年级龙岩初级中学校考阶段练习）如图，点P是直线矽卜一点，A,。都

在直线上，下列线段最短的是（）

A.PAB.PCC.PBD.PD

【答案】。

【分析】根据点到直线的距离可直接进行排除选项.

【详解】解：•.•点P是直线，外一点，4B,C,。都在直线上，

：.PB<PC<PA<PD,

线段最短的是PB;

故选C.

【点睛】本题主要考查点到直线的距离,熟练掌握点到直线的距离是解题的关键.

题目回（2023秋・福建宁德•八年级统考期末）如图,在平面直角坐标系中，点4-2,4）,5（4,2）,在立轴上取

一点P,使点P到点A和点8的距离之和最小，则点P的坐标是（）

A.（-2,0）B.（0,0）C.（2,0）D.（4,0）

【答案】。

【分析】作A关于。轴的对称点。，连接AC交必轴于。，连接BC交交t轴于P,连接4P,此时点P到点A

和点B的距离之和最小，求出。（的坐标,设直线CB的解析式是y=皿+6,把。、B的坐标代入求出解析

式是沙=,—2,把夕=0代入求出c即可.

【详解】如图：

作人关于立轴的对称点C,连接入。交/轴于。,连接BC交交2轴于P,连接AP,则此时4P+PB最小，

即此时点P到点A和点B的距离之和最小,

vA（-2,4）,

（7（—2,—4）,

设直线CB的解析式是y=kx+b,

{2=4fc+6

把。、口的坐标代入得:

—4=-2%+b

解得：k—1,b——2,

.,.y=x—2,

把沙=0代入得：0=a;—2,

x=2,

即P的坐标是（2,0）,

故选C.

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，一次函数的解析式，坐标与图形性质等知识点，关键是能画出

P的位置，题目比较典型,是一道比较好的题目.

目jJ（2023・福建•校联考零模）如图,等腰Rt/\ABC中，AB，AC于A,CA=2,M为

△ABC内一点，当MA+最短时,在直线上有一点E,连接CE.^BE+CE的最小值为

A.KB.C.等D.V6

OO

【答案】。

【分析】由加■为△ABC内一点，当K4+MB+MC最短时，得“为△AB。的费马点，以AC为边向外作正

三角形ACF,据费马点的特征，直线和直线BF为同一条直线，由题意容易求得/MBG=30°,以BF

为边，B为顶点向AMBC的外侧作AFBG，使2FBG=30°,过E作BG的垂线，垂足为H,显然^BE+

CE=CE+EH；再过点。作BG的垂线，垂足为丑r'，由垂线段最短，知0BE+CE=CE+EH>CH'；因为

易得BC=2V2,X4GBe=60°就容易求得CH'就是^-BE+CE的最小值.

【详解】解:如下图

以人。为边向外作正三角形ACF,以BF为边，B为顶点向AMBC的外侧作AFBG，使ZFBG=30°,过E

作BG的垂线,垂足为X,过点。作BG的垂线，垂足为H'

由ZFBG=30°,HE±BG知HE=[BE

：.^-BE+CE=CE+EH>CH，

下面计算S'

AB=AC=2且AB_LAC

：.BC=2V2；

M为△ABC内一点，当AM+MB+上。最短时

.•.河为△ABC的费马点

由费马点的特点知BM与BF为同一条直线

•••正三角形ACF

ZCAF=60°

又

NBAF=150°

又AB=47=AF

/.乙4BF=15°

又/ABC=45°

/.ZFBC=30o

ZGBC=60°

在RT/\BCH'中

CH=BCsin/GBC=BCsin60°=•卓=正

^BE+CE的最小值为V6.

故选：D

【点睛】此题是几何最值问题--费马点和胡不归的综合.确定最短长度时，要据30°角所对直角边是斜边

的一半把问题转化为“垂线段最短”来解决;计算最短值时要熟悉费马点的性质.

【寂目⑼（2023秋・福建厦门•八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，NC=a°,4B=4D=90°,E,F分

别是上的点，当△AEF的周长最小时，/EAF的度数为（）

D

A.aB.2aC.180—cnD.180-2a

【答案】。

【分析】要使43的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD

的对称点4,4',即可得出乙44E+乙4'=a,即可得出答案.

【详解】解:作A关于BC和CD的对称点A,A/，连接44",交BC于E,交CD于F,

：.AF^AF,AE^AE,

：.AEAA=AEAA,AFAD=",

则AA即为/\AEF的周长最小值，

•・•/C=a,/ABC=/ADC=90°

Z.DAB=180°—a,

AAAE+"=180°-(180°-a)=a,

ZEAA=AEAA,/FAD=ZA",

AAEAA+AXAF^a,

：.Z.EAF=180°—a—a=180°—2a,

故选：D.

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质

和垂直平分线的性质等知识,根据已知得出E,F的位置是解题关键.

题目⑥（2023秋•八年级单元测试）如图，点A,B在直线Z的同侧,若要用尺规在直线/上确定一点P,使得

AP+BP最短,则下列作图正确的是（）

义

I

【答案】。

【详解】解:要得到满足题意的点，首先要作A点（或B点）关于直线I的对称点，然后将此对称点与B（A）点

连接，所得连线与直线/的交点即为所求点，观察选项，只有。符合.

故选：C.

题目①（2023•福建・九年级专题练习）如图,在等腰三角形ABC中，AB=AC,BO=4,tan/ABC=4,

AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点.若点。为5。边的中点，点刊为线段E尸上一动点,

则△CZW周长的最小值为（）

•••

c

,IB

A.6B.8C.10D.12

【答案】。

【分析】连接A。,根据等腰三角形三线合一的性质，得到AD，BC,利用正切的定义解得供=4,再由垂

IDD

直平分线的性质得到点。关于直线EF的对称点为点A,根据轴对称-最短路线解题即可.

【详解】解:连接4D,

•.•△ABC是等腰三角形，点D是边的中点，

：.AD±BC,c

*：BC=4,^/\

••・tan/丽=第二4,\

解得40=8,AFB

•••EF是线段AC的垂直平分线，

.♦.点。关于直线EF的对称点为点A,

AAD的长为CM+MD的最小值，

A△CZW的周长最短=(CM+MD)+CD^AD+8+gX4=10.

故选：C.

【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题、等腰三角形三线合一的性质、正切等知识，是重要考点，难度较

易,掌握相关知识是解题关键.

二、填空题

建目叵］(2023春・福建福州•九年级统考期中)在平面直角坐标系M)y中，点B,P,Q的坐标分别为(5,0),

(a,2),(a+2,2),则人印曜周长的最小值为.

【答案】2祈+2

【分析】由题意，PB=J(a—5>+22,PQ=2,BQ=J(a-3>+22,推出当PB+BQ=V(a-5)2+22+

V(a-3)2+22最小时，△BPQ的周长最小，欲求PB+BQ的最小值,相当于在。轴上找一点E(a,0),使得

点E到F(5,2),G(3,2)的距离和最小.

【详解】解:V3(5,0),P(a,2),Q(a+2,2),

：.PB=V(Q-5)2+22,PQ=2,BQ=V(«-3)2+22,

当PB+BQ=V(a-5)2+22+V(a-3)2+22最小时,△BPQ的周长最小，

欲求PB+BQ的最小值,相当于在工轴上找一点E(a,0),使得点E到F(5,2),G(3,2)的距离和最小，

如图，作点G关于，轴的对称点连接网交立轴于点E,此时EG+FE的值最小，

•M

G、，F

!\/

\/

•X/

I\/

X/

―•-----4------A---

o一X

1/

'L

•/L(3,-2),EG+EF的最小值=FL=vW?=2A/5,

.•.△BPQ的周长的最小值为2瓶+2.

故答案为：2^5+2.

【点睛】本题考查轴对称最短问题，勾股定理，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合

的思想解决问题,属于中考常考题型.

题目口。(2023秋・福建南平•八年级统考期末)如图，22°,点“，N分别是边OA,上的定点，点

P,Q分别是边OA,OB上的动点，记=/OPN=6,当MQ+QP+PN最小时，则a与0的数量

关系为.

【答案】万-a=44°

【分析】作加■关于OB的对称点M',N关于OA的对称点N',连接ATN'交。4于P,交08于Q,则+

QP+PN最小,易知AOQM=4OQM'=ANQP,AOPQ=AAPN'=/APN,根据三角形的外角的性质

和平角的定义即可得到结论.

【详解】解:如图，作M关于OB的对称点M',N关于OA的对称点N',连接M'N'交OA于P,交OB于Q,

则MQ+QP+PN最小，

4OQM=4OQM'=4NQP,NOPQ=NAPN'=4APN,

：.NPQN=y(180°—a)=ZAOB+NMPQ=22°+y(180°—£),

；.8—a=44°,

故答案为：6—a=44°.

【点睛】本题考查轴对称一最短问题、三角形的内角和定理.三角形的外角的性质等知识，解•题的关M键是灵

活运用所学知识解决问题.

1题目叵（2023秋•福建莆田•八年级统考期中）如图,在锐角△48。中，乙4cB=50°,边4B上有一定点P,

M,N分别是力。和BC边上的动点,当的周长最小时，/皿PN的度数是.

【答案】80°

【分析】根据对称的性质，易求得ZC+NEPF=180°,由=50°,易求得/O+/G=50°,继而求得答

案；

【详解】•••DA

APEC=4PFC=90°,

：./C+/EPF=180°,

•••/C=50°,

•/ZD+ZG+NEPF=180°,

AZD+ZG=50°,FB

由对称可知：NG=2GPN,2D=2DPM,L

2GpN+ZDPM=50°,

ZMPN=130°-50°=80°,

故答案为：80°.

【点睛】此题考查了最短路径问题以及线段垂直平分线的性质，关键是注意掌握数形结合思想的应用.

］题目五（2023秋・福建厦门•八年级统考期末）如图，在/\ABC中，AB=BC,AC=2cm,$但=3cm2,边

BC的垂直平分线为Z,点。是边AC的中点，点P是，上的动点，则AFCD的周长的最小值是.

【答案】4

【分析】连接BD,由于=点。是边的中点，故再根据三角形的面积公式求出BD的

长,再根据直线I是线段BC的垂直平分线可知，点。关于直线I的对称点为点B,故BD的长为CP+PD

的最小值，由此即可得出结论.

【详解】解:连接BD,jA

=点。是BC边的中点，J\\

：.BD工AC,

S^ABC^^AC-BD=Jx2xBD=3,B\

解得BD=3,

•••直线l是线段BC的垂直平分线，

/.点。关于直线I的对称点为点B,•M

AB的长为CP+PD的最小值，

△CDP的周长最短=(CP+PD)+CD=_BD+9AC=3+1=4.

故答案为：4.

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.

I题目|15](2023秋•八年级课时练习)如图，在^ABC中，AB=力。,点。，E都在边BC上，ABAD=

ACAE，若RD=9,则CE的长为.

EC

【答案】9.

【分析】根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质即可求解.

【详解】因为△ABC是等腰三角形,所以有AB=AC,ABAD=NCAE,/ABD=NACE,所以AABD=

^ACE(ASA),所以BD=EC,EC=9.

【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质.

题目包(2023秋・福建三明•八年级统考期末)如图，在2tt△ABC中，乙4cB=90°,。，点。在直线

MN±,/BCN=30°,点P为人W上一动点，连接当AP+BP的值最小时，/CBP的度数为

______度.

【答案】15

【分析】如图，作B关于的对称点O,连接AD,BD,CD,AP+BP的值最小,则MN交AD于P,由轴对

称易证ZCBF=/CDP,结合ZBCN=30°证得ABCD是等边三角形，可得AC=CD,结合已知根据等腰

三角形性质可求出/CDP,即可解决问题.

【详解】如图，作B关于的对称点O,连接AD,BD,CD,

•••AP+BP的值最小，

则的V交4D于P,由轴对称可知：

CB=CD,PB=PD,

：.ACBD=4CDBZPBD=APDB,A

NCBP=NCDP,B

•：NBCN=30°,V

/.BCD=2ZBCN=60°,_________j

.•.△BCD是等边三角形，MC'7、、P：N

、、.、、.I

・・・AC=BC,

：.AC=CD,

NCAD=NCDA,

NACB=90°,ZBCD=60°,

ACAD=ZCDA=y(180°-AACB-NBCD)=15°,

ANCBP=NCDP=15°,

故答案为：15.

【点睛】本题考查等边三角形判定和性质、轴对称的性质、最短路径问题、等腰三角形的性质；熟练掌握相关

性质的联系与运用，会利用最短路径解决最值问题是解答的关键.

三、解答题

题目上〕(2023秋・福建南平•八年级福建省南平第一中学校考期中)A4BC在平面直角坐标系中的位置如下

图所示，点4(1,1),点5(4,2),点<7(3,4).

⑴画出△48。关于V轴对称的A4BG，并写出点4,瓦6的坐标.

(2%轴上是否存在一点P,使得PA+PB的和最小.若存在，请你找出点P的位置.(保留作图痕迹)

⑶求出的面积.

【答案】⑴画图见解析，5(一4,2),0x(-3,4)

(2)见解析

⑶日

【分析】(1)根据轴对称的性质即可在图中画出△ABC关于2轴的对称图形△ABiG，进而得点儿、Bi、G

的坐标；

⑵连接ABi或AB,与夕轴交点即为点P；

(3)根据网格利用割补法计算即可.

【详解】(1)解:如图，△ABQi即为所求；

4(—1,1)，8(—4,2),Ci(—3,4)；

•M

⑵如图，点P即为所求；

⑶SA4B[G=3X3—yXlX3--yXlX2-^-X2X3=-1-.

【点睛】本题考查了作图-轴对称变换,轴对称-最短路线问题,解决本题的关键是掌握轴对称的性质.

题目叵]（2023春•福建泉州•七年级福建省泉州第一中学校考期末）如图，在正方形网格上有一个△ABC（三

个顶点均在格点上）.

⑴作△ABC关于直线HG的轴对称图形△45G（不写作法）；

（2）画出△48。中边上的高AD；

⑶在HG上画出点P,使PB+PC最小.

【答案】（1）作图见解析；

⑵作图见解析；

（3）作图见解析.

【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；

（2）根据三角形的高的概念过点A作4。垂直于线段CB的延长线,垂足为D即可;

（3）连接CB”交HG于点P,点P即为所求.

【详解】⑴解:如图1,△4BC为所求作的三角形；

（2）解:如图2,过点人作AD垂直于线段CB的延长线,垂足为。，则线段AD就是A4BC中BC边上的高;

图2

图3

【点睛】本题考查作轴对称图形，作高、以及最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键.

题目包（2023春.福建泉州.七年级福建省永春第一中学校考期末）（1）如图1,在△ABC中乙4=60°,

BD、CE均为△ABC的角平分线且相交于点O.

①填空：NBOC=_度;

②求证：BC=BE+CD.（写出求证过程）

（2）如图2,在4ABC中，=CE平分NACB.

①若△ABC的面积为S,在线段CE上找一点在线段AC上找一点N,使得AW+的值最小,则

⑷W+MN的最小值是.（直接写出答案）；

②若/A=20°,则△BCE的周长等于.（直接写出答案）.

•M

A

【答案】⑴①120；②证明见解析；⑵①当或②m

【详解】试题分析：（1）①根据三角形内角和定理得到乙8。。=180°—/OBC—/OCB,则2/BOC=360°

-2ZOBC-2/OCB,再根据角平分线的定义得/ABC=2/OBC,乙4cB=2/OCB,则2ZBOC=360°

-AABC-AACB,易得ZBOC=90°+方/月，由/A=60°即可得NBOC的值；

②采用截长法在BC上截取BF=BE,连接。F,由边角边证得AEBO经八?B。,再由角边角证得/\DCO

笃△FCO,即可得证；

⑵①当AM±BC时，AM+MN的值最小；

②在CA上截取CD=O8,以E为圆心EC为半径画弧，与4。交于点F,通过构造全等三角形，利用等腰

三角形的判定和性质即可求解.

试题解析：(1)①在△OBC中，ZBOC=180°-AOBC-NOCB,

：.2ZBOC=360°-2ZOBC-2AOCB,

•:BD、CE均为△ABC的角平分线，

ZABC=2ZOBC,乙4cB=2/OCB,

2/80。=360°-AABC-AACB,

：./BOC=90。+yZA,

•//A=60°,

ZBOC=90°+yx60°=120°；

故答案为120°；

②证明：由⑴①/3。。=120°,

NBOE=ACOD=180°-120°=60°,

在BC上截取BF=BE,连接OF,

•••BD平分AABC,

：.NEBO=ZFBO,

又BO=50(公共边相等)

/XEBO名△FBO(SAS)

NBOF=/BOE=60°,

：.ZCOF=/BO。—ZBOF=120°-60°=60°=ZCOD,

•••CE平分NACB,

：.2DCO=ZFCO,

又CO=8(公共边相等)•M

/\DCO空△FCO(ASA)

:.CD=CF,

:.BC=BF+CF=BE+CD；

（2）①如图:

当AM，BC时，与BC交于点。，过M■作MN，AC交AC与点。，

•••CE平分乙4cB,

:.DM=DN,

：.AD=AM+MD=AM+MN,

此时，AM+MN的值最小，

由S^BC=^-BC-AD,BC=n,△ABC的面积为S，

得AD=^,

n

^•：AB=AC,AD±BC,AB=AC=m,BC=n,

:.BD=CD=%,

在Rt/XACD中，由勾股定理得AD=Jm2-^；

故答案为卷（或J病-三）;

②如图:在。4上截取CD=CB,以E为圆心EC为半径画弧，与AC交于点F,

,：AB—AC—m,AA—20°,

・・.ZB=ZC=80°,

•・・CE平分乙4CB,

・・・4BCE=/DCE=40°,

•：CE=CE,

：./\BCE^/\DCE,

：.ACDE=/B=80°,ZD石。=/BEC=60°fBE=DE,

：.NODE=40°,

•：EC=EF,

・・.NEFC=NECF=40\

：./DEF=ACDE-ZDFE=40°,

：.DE=DF,

/AEF=ADFE-ZA=40°-20°=20°,

：.EF=AF,

:・BE=DF,CE=AF,

・•.ABCE的周长=BC+CE+BE=CD+AF+DF=AC=m.

点睛:此题考查了角平分线的定义和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，最短路径问题等知识.解

题的关键是添加正确的辅助线构造出全等三角形，对线段进行转化.

题目①（2023秋・福建福州•八年级福建省福州第一中学校考期中）如图，△力BC三个顶点的坐标分别为

A(1,1),B(4,2),。(3,4).

⑴请画出关于4轴对称的△486；

（2）在c轴上求作一点P,使△PAB的周长最小,请画出△PAB,并简要说明理由.

【答案】（1）图见解析

（2）图见解析

【分析】（1）先根据轴对称性质找到A、B、。的对应点A［、耳、G，再顺次连接即可画出图形;

（2）作点B关于立轴对称的点F,连接A2交h轴于点P,连接AP,BP,即可得到结论；

【详解】（1）解:如图，A41B1G即为所求；

（2）解：作点B关于t轴对称的点B，连接AF父多轴于点P,连接AP,BP,

贝！AP+BP=AP+SP=AB',

根据两点之间，线段最短，此时APAB的周长最小，APAB如图所示.

【点睛】本题考查坐标与图形变换-轴对称、最短路径问题，能根据对称性质正确作出对称图形是解答的关

键.

题百亘）（2023春・福建三明•七年级统考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,网格中有

一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）