2024高考数学艺体生一轮复习讲义-集合解析版

专题01集合

【考点预测】

1、元素与集合

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：e和乙

(3)集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图图).

(4)常见数集和数学符号

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*或以ZQR

说明：

①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个

元素在不在这个集合中就确定了.给定集合4={1,2,3,4,5},可知IwA，在该集合中，

不在该集合中；

②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现

的.

集合A={a,b,c}应满足a字b/c.

③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分.集合A={1,2,3,4,5}和6={1,3,5,2,4}是同

一个集合.

④列举法

把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{卜'括起来表示集合的方法叫做列举法.

⑤描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.

具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再

画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

2、集合间的基本关系

(1)子集(subset)：一般地，对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集

合5中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合5的子集，记作

(或33,读作“A包含于5”(或"5包含A”).

(2)真子集(propersubset)：如果集合A屋5,但存在元素5,且XeA,我们称集

合A是集合3的真子集，记作AU3(或6UA).读作“A真包含于8”或“3真包含A”

(3)相等：如果集合A是集合5的子集(A。3,且集合3是集合A的子集(8。A),

此时，集合A与集合8中的元素是一样的，因此，集合A与集合3相等，记作4=3.

(4)空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作0；0是任何集合的子集，

是任何非空集合的真子集.

3、集合的基本运算

(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合3的所有元素组成的集合，称为A与3的交

集，记作AB,即AB={x\x&A,eB].

(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合5的元素组成的集合，称为A与3的并

集，记作AB,即A—B=[x\x&A,nJtreB].

(3)补集：对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合

A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作gA,即

CuA-{x\xGU,且xeA}.

4、集合的运算性质

(1)AA=A,A\0=0,AB=BA.

(2)AA=A,A0=A,AB=BA.

(3)A(QA)=0,A(GA)=U,G(qA)=A.

【方法技巧与总结】

(1)若有限集A中有九个元素，则A的子集有2'个，真子集有2"-1个，非空子集有

2"—1个,非空真子集有2"-2个.

(2)空集是任何集合A的子集，是任何非空集合3的真子集.

(3)AcB<=>AiB=A<=>AB=BoC^BcCVA.

(4)CD(A5)=0),«心)，G(4,5)=(QA)(C®.

【题型归纳目录】

题型一：集合的表示：列举法、描述法

题型二：集合元素的三大特征

题型三：集合与集合之间的关系

题型四：集合的交、并、补运算

题型五：集合的创新定义

【典例例题】

题型一：集合的表示：列举法、描述法

例1.(2023春•广东茂名•高三统考阶段练习)设集合A={2,4},B={1,2},集合

M=Jz|z=：,尤eA,ye8>,则M中所有元素之和为（）

A.3B.5C.7D.9

【答案】C

【解析】当x=2,y=l时，z=2；

当x=2,y=2时,z=l；

当x=4,y=l时,z=4；

当x=4,y=2时,z=2；

所以M={1,2,4},M中所有元素之和为7.

故选：C.

例2.（2023・全国•高三专题练习）已知集合4={1,2,3},3={（羽刈*64好阕彳-引©4}中

所含元素的个数为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】因为A={1,2,3},

所以B={(2,1),(3,1),(3,2),(1,2),(1,3),(2,3)},3中含6个元素.

故选：C.

例3.（2023•全国•高三专题练习）已知集合4={1,2},5={2,4},

C={z\Z=x\x^A,yeB],则C中元素的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

yy

【解析】由题意，当x=l时，z=x=1J当％=2,丁=2时，z=x=4,

当尤=2,y=4时，z=xy=16,

即。中有三个元素，

故选：C

变式1.（2023・全国•高三专题练习）已知集合A={0,1,2},B={at\a&A,b^A\,则集合B

中元素个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】因为A={0』,2},a&A,b&A,所以“6=0或=1或。6=2或而=4,

故3={回。6A}={0,l,2,4},即集合8中含有4个元素；

故选：C

【方法技巧与总结】

1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然.

2、描述法，注意代表元素.

题型二：集合元素的三大特征

例4.（2023.全国•高三专题练习）若ae{2,"一4，则。的值为（）

A.0B.2C.0或2D.-2

【答案】A

【解析】若。=2,则/一“=2,不符合集合元素的互异性；

若a=则“=0或4=2（舍），此时{2,/一力={2,0},符合题意；

综上所述：a=O.

故选：A.

例5.（2023•全国•高三专题练习）若集合M={。,仇c}中的元素是△ABC的三边长，则^

ABC一定不是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

【答案】D

【解析】由题可知，集合M={a,b,c}中的元素是，ABC的三边长，

则所以,AFC一定不是等腰三角形.

故选：D.

例6.（2023・全国•高三专题练习）已知aeR,beR,若集合“，!/:={1,a+b,。},则

+从⑼的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【解析】因为=

Aa（b=016=0

所以＜4=4+6,解得＜，或＜,

,a=1a=-1

a2=111

当a=l时，不满足集合元素的互异性，

故a=—l,b=0,即6⑼+廿⑼=（_1）2⑼+02⑼=-1.

故选：B.

变式2.（2023・全国•高三专题练习）由实数X,TJXI,JF,（正『,-相所组成的集合，最

多可含有（）个元素

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】由题意，当时所含元素最多，

2

此时X,-尤,|尤，-V?分别可化为X,-x,x,

所以由实数X「x,|尤『，-正所组成的集合，最多可含有3个元素.

故选：B

【方法技巧与总结】

1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性.

2、研究两个或者多个集合的关系时,最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的关系.

题型三：集合与集合之间的关系

例7.（2023•全国•高三专题练习）已知集合4={-1,3,0},8={3,/},若则实数优

的值为.

【答案】0

【解析】因为所以加=-1（舍去）或病=0,

所以根=0.

故答案为：0

例8.（2023・全国•高三专题练习）设集合A="wN|y=TgeN1,则集合A的子集个数

为________

【答案】16

【解析】4={0,1,3,9},

故A的子集个数为2,=16,

故答案为：16

例9.（2023・全国•高三专题练习）设集合”={q2,a},N={l},若N=M,贝匹的值为

【答案】-1

【解析】由集合M知，a2^a,则。片0且awl,因"={1},N=M,

于是得力=1,解得"-1,

所以。的值为-1.

故答案为：T

变式3.（2023・全国•高三专题练习）满足条件：⑷/三{。,上。,1}的集合〃的个数为

【答案】7

【解析】由⑷Af={a,6,c,d}可知,

/中的元素个数多于{。}中的元素个数，不多于{。,瓦G“中的元素个数

因此〃中的元素来自于b,c,d中，

即在6,c,d中取1元素时，M有3个；取2个元素时，有3个；取3个元素时，有1

个，

故足条件：⑷“1{a,6,C,内的集合〃的个数有7个，

故答案为：7.

变式4.（2023・全国•高三专题练习）已知集合4=a一2W烂7},B={x\m+l<x<2m-l],若

BQA,则实数优的取值范围为.

【答案】（-8,4]

【解析】①当3=0时，满足此时解得

2m-1>m+1

②当3W0时，由3=A可得根+1N-2,解得2Vm<4.综上可得加W4,所以实数

2m-1<7

机的取值范围为（TO,4].答案：（-00,4]

【方法技巧与总结】

1、注意子集和真子集的联系与区别.

2、判断集合之间关系的两大技巧：

（1）定义法进行判断

（2）数形结合法进行判断

题型四：集合的交、并、补运算

例10.（2023春・云南・高三云南师大附中校考阶段练习）已知集合4=何-2<%<2},

8=卜三|叶贝IJAB=（）

A.1x|l<x<21B.|x|l<x<21

C.1%|-2<x<31D,|x|-2<x<3|

【答案】B

【解析】因为8=卜三|401={犬|1<》43},所以AB={x\l<x<2}.

故选：B

例11.(2023春・广西,高三统考期末)已知集合4={-1,0,1,2},3={*|2工2-1},则AB=

()

A.{-1,2}B.{-1,1,2)

C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2)

【答案】C

【解析】2x2-1,解得故AB={0,l,2).

故选：C.

例12.(2023•河南郑州•高三校联考阶段练习)已知A={x||x-1|<2},3={刈％>1},则

A<JB=()

A.[x\-l<x<3]B.{x\x>-l}

C.{x|x>3}D.{x|l<x<3}

【答案】B

【解析】由题意解I%-1K2,可得，

所以A={x|-1<x<3},={x|x>1},

则A<JB=[X\X>-\],

故选：B.

变式5.（2023春・广东广州•高三统考阶段练习）已知全集。=R,集合A={小>1},

B={x|-2<x<2},则如图中阴影部分表示的集合为（）

A.1%[%>-2}B.{x|x<-2}C.{%|1<%<21D.{x|x<1}

【答案】B

【解析】由韦恩图知，图中阴影部分的集合表示为e(AB),

因集合A={x|x>l},8={尤卜24尤<2},则AB={x\x>-2],又全集U=R,

所以用(AB)={x\x<-2].

故选：B

变式6.(2023・江苏•高三专题练习)设全集

?7=[-2,9],A={^GR|-1<X<2},B={-2,0,2,5},贝!|@A)C3=()

A.{0,2}B.{-2,5}C.{-2,2,5}D.{-2,0,2)

【答案】B

【解析】因为U=[-2,9],A={xeR|—l<xW2},

所以AA=[—2,-1]（2,9],

因为3={-2,0,2,5},

所以@A）cB={-2,5}

故选：B

变式7.（2023・广东•高三统考学业考试）已知全集。=R,集合A={x[l<x<3},则=

（）

A.{x|x<l或x>3}B.{x|x>3}

C.{尤或x23}D.{x\x<l]

【答案】C

【解析】：U=R,集合A={x|l<尤<3},

.,.电A={x|x<l^x>3}.

故选：C.

变式8.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）图中阴影部分用集合符号可以表示为（）

A.Bn（AuC）B.^Bn（AoC）

C.8M（AC）D.（AnB）u（BnC）

【答案】AD

【解析】在阴影部分区域内任取一个元素x,贝UxeA8或C,

故阴影部分所表示的集合为Bc（AuC）或（ACB）38CC）.

故选：AD.

变式9.（2023•全国•高三专题练习）建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都

己陆续上映，截止2021年10月底，《长津湖》票房收入已超56亿元，某市文化调查机构，

在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了100人进行调查，得知其

中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50

人，数据如图，则图中已_；b=；c=.

28+〃+/?+6=51a=9

【解析】由题意得：,35+Q+C+6=60解得：b=8.

26+b+c+6=50c=10

故答案为：9；8；10.

【方法技巧与总结】

1、注意交集与并集之间的关系

2、全集和补集是不可分离的两个概念

题型五：集合的创新定义

例13.（2023•全国•高三专题练习）设P和。是两个集合，定义集合尸-Q={x|xe尸且

x^Q\,如果「={了|1082了<1},0={尤|工2_4尤+3<0},那么尸-Q=（）

A.{x10<x<1}B.{%|0<x<l}

C.{x|l<x<2}D.{x|2<x<3）

【答案】B

［解析］,；P={x|log2无<1}={彳|0<尤<2},Q={x|尤2_4x+3<0}={x［1<尤<3},

/.P-0={x|O<x<l}.

故选：B.

例14.（2023•全国•高三专题练习）定义集合A2的一种运算：

A®B={x\x=a2-b,a&A,b&B},若4={-1,0},B={1,2},则A（8）3中的元素个数为

（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】因为4区8={苫|》="e8},A={-1,。},B={1,2},

所以AE8={0,-l,-2},

故集合A⑤3中的元素个数为3,

故选：C.

例15.（2023・全国•高三专题练习）定义集合A-B={x|xeA且彳住身.已知集合

U^{xeZ\-2<x<6],A={0,2,4,5},£={-1,0,3},则g（A-3）中元素的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】因为A={024,5},8={-1,0,3},所以4-3={2,4,5},

又因为。={-1,0,1,2,3,4,5},所以6（A—8）={-1,0,1,3}.

故选：B.

变式10.（2023•全国•高三专题练习）若xGA,则就称A是伙伴关系集合，集合

X

2,3：的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（）

A.1B.3

C.7D.31

【答案】B

【解析】根据题意可知：当-leg,要想具有伙伴关系，则必满足所以集合

3={T}符合题意；

当;eC,要想具有伙伴关系，则必满足I'C,即2iC,所以集合C={；,21符合题

思；

显然集合。=[-1，；，21也符合题意，故一共三个集合具有伙伴关系.

故选：B

【方法技巧与总结】

1、集合的创新定义题核心在于读懂题意.读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到

的知识和方法并不难，难在转化.

2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新

的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行

理解.

【过关测试】

一、单选题

1.(2023•广西桂林•统考一模)设集合A={x|x-1V1},集合8={x|xW-l],则AAO=

()

A.(-oo,-l]u[2,+oo)B.(-1,2)C.[-1,2]D.0

【答案】C

【解析】由已知A={x|xW2},

.•.AB={x|-lWxW2}.

故选：C.

2.(2023・四川广安・统考一模)已知集合4={小2+工一6<0},B={x|-l<x<3},则

()

A.(—3,3)B.(—2,3)C.(—1,5)D.(—5,3)

【答案】A

【解析】解尤2+为一6<0可得，—3<x<2,所以A={x|—3<x<2},

所以AuB={x|-3<尤<2}口{川一1<x<3}={x|-3<尤<3}.

故选：A.

3.(2023春•福建泉州•高三校考阶段练习)已知全集U,集合A和集合B都是U的非空子

集，且满足=则下列集合中表示空集的是()

A.B.An5C.(橱)c(D.

【答案】D

【解析】由迩力图表示集合A,3如下：

由图可得(麟11B=BA,AB=A,(瘵4)c(a)=多8,A&3)=0,

故选：D

4.(2023•河南郑州•高三校联考阶段练习)已知集合4=上炉<1},B={x|0<%<2},则

AB=()

A.(-1,2)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

【答案】C

【解析】由得：—1<无<1,即A=(-l,l),又8=(0,2),.1A3=(0,1).

故选：C.

5.(2023・广西南宁•南宁二中校考一模)设集合A={尤卜l<x<2},B={%|log2%<2},则

AB=()

A.(一8,1)B.(0,1)C.(0,2)D.(-8,2)

【答案】C

【解析】由log?尤<2,解得0<x<4,则3={尤[0<无<4}.又：4={*卜1<*<2},

；.Ac8=(0,2).

故选：C.

6.(2023春•甘肃兰州•高三兰化一中校考阶段练习)已知集合A={x|3'>3},B=[x\x2-

5x<0},则AfW=()

A.(-1,0)B.(0,5)C.(0,1)D.(1,5)

【答案】D

【解析】3X>3,x>1,A=(1,+oo);

又光(x—5)v。,..%£(。,5),.二5二(0,5),「.AnB=(l,5).

故选：D

7.(2023・全国•高三校联考阶段练习)已知4=卜»=罐(。)0,awl)},3={x|f>x},则

AB=()

A.(0,+功B.(l,+oo)

C.(一.0)D.(-oo,0)u(l,+oo)

【答案】B

【解析】易知A={易y>。},Bx(x-1)^o|=(-00,o)u(1,+OO),所以

AnB=(l,+co).

故选：B

8.(2023•北京•高三专题练习)己知集合A={小2-4x一540},8={巾=^/7=T},则AB=

()

A.{x|l<x<5}B.{x|x>-l}C.{x|l<x<51D.{x|x>-l)

【答案】C

【解析】x2-4%-540,解得-

x-GO,解得

/.A=何-1W5},8=1x|x>1},

/.AnB=1x|l<x<5}.

故选:C.

9.(2023•青海海东•统考一模)已知集合4={岳2*15叫,5={-3,-1,1,3,5},则

A5=()

A.{1,3}B.{-3,-1,1}C.{-1,1}D.{-1,1,3}

【答案】D

【解析】解2d_x_15W0可得一|〈x43,所以A={x|—

所以AB=p-1<x<3!{-3,-l,l,3,5}={-1,1,3).

故选：D.

10.(2023•全国•高三校联考阶段练习)设集合A={x[x<-4或x>l},B={-2,-1,1,2},则

(”)IB=()

A.{-1,1}B.{-2,—1}C.D.{-2,—1,1,2}

【答案】C

【解析】A={、尤<一4或x>l},^A={x|-4<x<l},(^A)nB={-2-1,1}.

故选：C

二、多选题

11.（2023•全国•高三专题练习）已知全集。=11,集合满足AB,则下列选项中正

确的有（）

A.AB=BB.A^JB=B

C.（即A）,B=0D.An（^B）=0

【答案】BD

【解析】因为全集。=11,集合43满足AB,

所以A「B=A,AuB=B,(2A)c8w0,An(^B)=0.

故选：BD

12.(2023•全国•高三专题练习)下面说法中，正确的为()

A.{x[x+y=l}={y|x+y=l}B.{(x,y)|尤+y=2}={x[x+y=2}

C.{x\x>2\={y\y>2}D.{1,2}={2,1}

【答案】ACD

【解析】方程x+y=i中x的取值范围为R,所以{x|x+y=i}=R,同理{Vx+y=l}=R,

所以A正确；

{(x，y)|x+y=2}表示直线x+y=2上点的集合，而{x[x+y=2}=R,所以

{（x,y）]x+y=2}w{x[x+y=2},所以B错误；

集合{x|x>2},{y|y>2}都表示大于2的实数构成的集合，所以C正确；

由于集合的元素具有无序性，所以{1,2}={2,1},所以D正确.

故选：ACD.

13.（2023・全国•高三专题练习）己知集合A,8均为R的子集，若Ac3=0,则（）

A.A^SRBB.B

C.AoB=RD.（瘵4）u（M）=R

【答案】AD

【解析】如图所示

根据图像可得A=故A正确；由于,故B错误；AB=R，故C错误

（繇）u（M）=&（Ac3）=R

故选：AD

14.（2023•全国•高三专题练习）已知集合4={1,4,°},8={1,2,3},若A8={1,2,3,4},则

。的取值可以是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】AB

【解析】因为A8={1,2,3,4},所以{1,4,a}{1,2,3,4},所以a=2或。=3；

故选：AB

15.（2023•全国•高三专题练习）下列关系式错误的是（）

A.0e{O}B.{2}口{1,2}C.D.OGZ

【答案】AC

【解析】A选项由于符号e用于元素与集合间，0是任何集合的子集，所以应为0G{0},

A错误；

B选项根据子集的定义可知正确；

C选项由于符号=用于集合与集合间，C错误；

D选项Z是整数集，所以OeZ正确.

故选：AC.

/\Ix+V=1

16.（2023•全国•高三专题练习）下列与集合"八表示同一个集合的有

[x—y-3=0

（）

A.｛（2,-1）｝B.｛2,-1｝C.｛（%,y）|x=2,y=-l｝D.｛x=2,y=-l｝

【答案】AC

fx+y=1fx=2

【解析】由，八解得

（x—y—3=O[y=—1

所以M=｛（2，T｝，

所以根据集合的表示方法知A,C与集合M表示的是同一个集合，

集合｛2,-1｝的元素是2和-1两个数，｛x=2,y=T｝的元素是x=2和>=-1这两个等式，与

集合M的元素是有序数对（可以看做点的坐标或者对应坐标平面内的点）不同，故BD错误.

故选：AC.

17.（2023•全国•高三专题练习）已知均为实数集R的子集，且NcQM=0,则下

列结论中正确的是（）

A.MCCRN=0B.MuCRN=R

C.CRM<JCRN=CRMD.CRMCCRN=CRM

【答案】BD

【解析】•••NCCRM=0

N三M,

若N是/的真子集，则MCCRNH。，故A错误；

由N=M可得MUCRN=R,故B正确；

由N=M可得,故C错误，D正确.

故选：BD.

三、填空题

18.（2023・上海•高三专题练习）用列举法表示｛六eN|aeN｝=

【答案】｛123,6｝

【解析】因为“

eN_g.4ZGN,所以。一1=1或。一1=2或a一1=3或。一1=6,

CL—

解得。=2或a=3或a=4或a=7,

所以对应的二分别为6、3、2、1,

a-\

即｛焉eNlaeN：=｛l,2,3,6｝；

故答案为：｛1,2,3,6｝

19.（2023•上海•高三专题练习）已知集合4={1,2,3},3={3,4,5},则=

【答案】{123,4,5}

【解析】因集合A={1,2,3},3={3,4,5},所以AB={1,2,3,4,5}.

故答案为：{123,4,5}

20.（2023・上海•高三专题练习）已知集合A=（l,3）,B=（2,+w）,则AB=

【答案】（2,3）

【解析】集合A=（l,3）,8=（2,+8）,

,■,A8=（2,3）.

故答案为：（2,3）.

21.（2023・全国•高三专题练习）已知。={小