解三角形应用举例-2025年高考数学备考复习

第六章平面向量、复数

第5讲解三角形应用举例

课标要求命题点五年考情命题分析预测

能用余弦本讲知识单一，主要考查利用正、余弦定理求解距

余弦定2021全国卷

定理、正离、高度、角度问题，对数学建模能力的要求较高，

理、正弦乙T9；

弦定理解一般以选择题形式出现，难度中等.在2025年高考的备

定理应用2021全国卷

决简单的考中要提升阅读理解能力，要能够从文字信息中提取

举例甲T8

实际问题.出解三角形的模型.

n学生用书P129

测量中的常用术语

术语名称术语意义图形表示

在竖直平面内的目标视线与水平视线所成

/目标

/视线

仰角与的角中，目标视线在水平视线①上方掌《角水平

I飞角视线

俯角的叫做仰角，目标视线在水平视线②下、，目标

视线

方的叫做俯角.

从某点的指北方向线起按顺时针方向到目

方位角标方向线之间的水平夹角叫做方位角.方位卡"

角。的范围是0W0<2兀.

北t北t

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐

方向角+卜

角，通常表达为北(南)偏东(西)a.

北偏东a南偏西a

设坡角为a,坡度为3则，=^=tana.

坡角与坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角.坡面

坡度的垂直高度人和水平宽度/的比叫坡度.

1

1.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取/,8两点(/,8与树所在的直线在同一

平面内)，从4,3两点测得树尖尸的仰角分别为30。和45。，且/,B

两点之间的距离为60m,则树的高度为(A)

A.(30+30K)mB.(30+15V3)m

A60m3

C.(15+30V3)mD.(15+3V3)m

解析解法一在尸中，由正弦定理可得一⑷6。,。。）=品,则.=言=3°（逐

+V2）.

设树的高度为〃m,则h=PBsm45°=30+30V3.

解法二设树的高度为〃m,则/2=」一一一^=60,解得〃=30+30b.

tan30°tan45°

2.［易错题］两座灯塔4和3与海岸观察站C的距离相等，灯塔/在观察站北偏东40。，灯

塔3在观察站南偏东60。，则灯塔/在灯塔2的（B）

A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°

解析灯塔4,2的相对位置如图所示，由已知得N/C5=80。，NC4B=1

■v-'

/CA4=50°,则a=60°-50°=10°,即北偏西10°,故选B.'

3.［教材改编］已知A船在灯塔C的北偏东85。方向且A到C的距离为2km,B船在灯塔C

的西偏北25。方向且8到。的距离为旧km,则/,3两船的距离为（A）

A.V13kmB.V15kmC.2V3kmD.3V2km

解析画出图形如图所示，由题意可得（90°-25°）+85°=150°,“一

■

又/C=2,SC=V3,在△NBC中，由余弦定理可得/^n/G+BC2一

2ACBC-COS150°=13,所以即N,8两船的距离为gkm.

6学生用书P130

命题点余弦定理、正弦定理应用举例

角度1距离问题

例1［2023合肥市二检］如图，某地需要经过一座山两侧的。，£两点修建一条穿山隧道.工

程人员先选取直线DE上的三点/,B,C,在隧道0E正上方的山顶P处测得/处的俯角

为15。，8处的俯角为45。，C处的俯角为30。，且测得/8=1.4km,BD=Q.2km,CE=0.5

km,则拟修建的隧道的长为0.7km.

解析由题意知，ZPAB=15°,ZPBC=45°,NPCB=3Q°,所以/APB=NPBC—NPAB

ZBPC=180°~ZPBC-ZPCB=l05°,在△尸中，由正弦定理得=

=30°,sinz.APB

PB

则标=玄，所以P2=2.8sml5°(km).

sin^PAB9

BC

在△依中，由正弦定理得标则上=_^所以痂

CsinzBPC,sin30°sinl05o：5C=Xsinl05°=

2PBXsin105°=5.6sin15°-sin105°=5.6sin15°cos15°=2.8sin30°=1.4(km),所以DE=

5C-5D-£C=1.4-0.2-0.5=0.7(km),

即拟修建的隧道DE的长为Q.7km.

角度2高度问题

例2[2021全国卷甲]2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛

峰最新高程为8848.86（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方

法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有B,C三点，且

A,B,C在同一水平面上的投影，，B',。满足44。*=45。，ZA'B'C'='二:

60。.由。点测得2点的仰角为15。，B皮与CC的差为100；由8点测得/点的仰角为45。,

贝I]/,。两点到水平面/皮。的高度差4T-C。约为（b-1.732）（B）

A.346B.373C.446D.473

解析如图所示，根据题意过C作CE〃。皮，交BB'于E,过B作BD〃AB,交4r于

D,则BE=100,CB=CE=-^~.

''tanl5°

在△/'C®中，/C'A'B'=75°,则BD=4'B'=c'B"sin45。.又在?点处测得4点

sin75°

的仰角为45。，所以/£>=§£>=C'B、sin45。,所以高度差44，—cc，=N£>+3£=

sin750

100.._o__V2

空坐+100=即:n45+100=%嘤+100=詈｝+100=100(V3+1)+100^373.

sin75°sin75°sinl50二一夜

-4~

故选B.

角度3角度问题

例3如图所示，位于4处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的8处

有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西

30°,相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东。的方向即沿直线C2

前往8处救援，则cos0=_^_.

解析在△/8C中，AB=40,AC=20,ZBAC=120°.

由余弦定理，得120。=2800,所以3c=2077.

由正弦定理，得sin//C2=^-sin/R4C=包.

BC7

由NA4C=120°,知N4C5为锐角，故cosN4cg=手，从而cos9=cos(N4C5+30。)=

cosZACBcos300—sinN4cgsin30°=—X—--Xi=—.

727214

方法技巧

1.解三角形实际问题的一般求解步骤

（1）分析.理解题意，分析已知与未知，画出示意图.

（2）建模.根据已知条件与求解目标，把已知量与所求量尽量集中在相关的三角形中，建

立一个解三角形的模型.

（3）求解.利用正、余弦定理解三角形，求得数学模型的解.

（4）检验.检验上述所求出的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解.

2.对于立体测量问题，通常要转化为两类平面问题，一类是竖直放置的平面，通常要解直

角三角形；另一类是水平放置的平面，通常要解斜三角形.

训练（1）如图，为测量某塔的高度C£>,在点N测得塔底在北偏东60。

方向的点。处，塔顶C的仰角为30。.在点A的正东方向且距离D点、50

m的2点测得塔底在北偏西45。方向，则塔的高度CD约为（参考数

据：伤心2.4）（C）

A.30mB.35mC.40mD.45m

解析由题意知，BD=50m,/DAB=NDAC=30°,ZDBA=45°,在中，由正弦

定理得磊=含则40=50夜m,所以tan/ZMC=—=—广=一,得■CD=---弋

AD50V233

40（m）,故塔的高度CD约为40m.故选C.

（2）［多选］一艘轮船航行到/处时看灯塔2在/的北偏东75。方向，距离为12连海里,

灯塔C在/的北偏西30。方向，距离为12g海里，该轮船由/沿正北方向继续航行到。

处时再看灯塔8在其南偏东60。方向，则下列结论正确的有（ABD）

A./Z）=24海里

B.CD=12海里

C.ZCDA=60°或/CDA=120°

D.ZCDA=60°

解析如图，由题意得N3/D=75°,ZCAD=30°,ZADB=60°,AB=

12迎海里，/C=12百海里，在中，易得2=45°,由正弦定理得

3,

黑=磊，则4D=上步=24（海里），故A正确.在中，由余

sin45sin60见

2

弦定理得COZn/c+N。2—2X/CXN£）XCOS30°,得CD』（12百）2+242-

2X12V3X24X—=144,所以CD=12海里，故B正确.在中，由正弦定理得-^-=

2sin30°

A-,得sin/CD4=^%=^,故/C7M=60°或=120°,因为所以

sinz.CDA122

/CD4为锐角，所以NCO/=60°,故C错误，D正确.故选ABD.

1.［角度1］如图，曲柄连杆机构中，曲柄C3绕C点旋转时，通过连杆的传递，使活塞

做直线往复运动.当曲柄在C为位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点/在恁处.设

连杆AB长200mm,曲柄CB长70mm,则曲柄自C为按顺时针方向旋转53.2。时，活塞移

动的距离（即连杆的端点/移动的距离/B）约为36mm.（结果保留整数，取sin53.2。

W）

I.

解析解法一在△N8C中，AB=200mm,5C=70mm,ZACB=53.2°,sin/NC3=(由

正弦定理得sin/R4C=空辿*=口，由题意知/2/C,N/C3均为锐角，所以cos/2/C

=[]_([)2=||,cosZACB=Jl-(.)2=|,所以sinN/5C=sin(ZACB+

ABAC)=-X—+-X—=一,所以/C=----------=200X-X-=234(mm),故/自=

525525125smZ-ACB1254

(4)5o+&C)~AC=(200+70)-234=36(mm),即曲柄自C&按顺时针方向旋转

53.2。时，活塞移动的距离约为36mm.

解法二因为/NC5=53.2°,sinZACB=^,且//C8为锐角，所以cos/4cB=

Jl-si/乙4cB=2.在△4BC中，由余弦定理可得/52=/C2+BC2-2></CXBCCOSN/C2,

解得NC=234mm(负值舍去),故4^4=(A0B0+B0C)~AC=(200+70)—234=36

(mm),即曲柄自C为按顺时针方向旋转53.2。时，活塞移动的距离约为36mm.

2.[角度2]如图，为测量山高MV,选择/和另一座山的山顶C为测量•*

观测点，从点4测得点M的仰角/MNN=60。，点C的仰角/C48=45°厂：：/

以及/M4C=75。；从点。测得/MCN=60。，已知山高BC=100m,贝|''；-

4u

山高MN=150m.

解析在△4BC中，因为/A4C=45°,ZABC=9Q°,5c=100,所以/C=B-=100夜.

sin45

在中，因为NM4C=75°,ZMCA=60°,所以N4WC=45°,由正弦定理可得卫”

sin600

=鳖2解得/河=100b.在Rt^4W中，jW=/MsinNM4N=100bXsin60°=150^

sin45°

以山高MV为150m.

(---------------------)练习帮:练透好题精准分层-----------------------------

。学生用书•练习帮P325

■础练知识四关

1.[2024黑龙江省实验中学开学考试]中国古代四大名楼之一鹳雀楼，位于山西省运城市永

济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而闻名遐迩.如图，某同学为测量鹳雀

楼的高度MN,在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物/瓦高约为37m,在地面上点。处

(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部/,鹳雀楼顶部M的仰角分别为30。和45。，在N

处测得鹳雀楼顶部M的仰角为15。，则鹳雀楼的高度约为(B)

A.64mB.74mC.52mD.91m

解析在RtZXZBC中，ABLBC,AB=37,ZACB=30°,所以4C=2/5=74,在

及△ACVC中，NC上MN,NMCN=45。,所以ACV=MCsin45。=/M。.由题意，/MAC=

15°+30°=45°,ZMC4=180°-45°-30°=105°,故180°—105°—45°=30°.在

MC4c行MC74

△/CW中，由正弦定理付。故MC=¥=74所以MN

sinz.MACsinz.AMCsin45sin30Q,

=yX74V2=74,故选B.

2.［设问创新/多选〃024江苏南通阶段检测］重庆的解放碑是重庆的地标性建筑，吸引了众

多游客打卡拍照.某中学数学兴趣小组对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意

图，如图所示，4为解放碑的顶端，8为基座（8在/的正下方），在

步行街（与8在同一水平面内）上选取C,。两点，测得C£＞的长为

100m.小组成员利用测角仪已测得//CB=g则根据下列各组中的测量,3

数据，能计算出解放碑高度的是（ABD）'n

A.ZBCD,ZBDCB.ZACD,ZADC

C.ZBCD,ZACDD.ZBCD,ZADC

解析对于A,根据CD,ZBCD,ZBDC,可解三角形求得C3,从而在RtZ\48C中求得

AB,所以A符合题意.

对于B,根据CD,ZACD,ZADC,可解三角形求得/C,从而在RtZ\/8C中求得N8,

所以B符合题意.

对于C,根据CD,ZACB,ZBCD,N/CD四个条件，无法通过解三角形求得48,所以

C不符合题意.

对于D,第一步，/ACB已知,在RtZ\4BC中，用48表示出3C,AC;第二步，在

△BCD中，根据余弦定理用表示出AD,在△/€?£（中，根据正弦定理用48表示出

AD-,第三步，在中，利用勾股定理列方程，即可求得48.所以D符合题意.

3.［2023皖豫名校联考］如图，一艘巡逻船由南向北行驶，在/处测得某山

的底部。在北偏东15。方向上，匀速向北航行20min到达3处，此时测得

该山的底部C在北偏东60。方向上，测得山顶P（尸在C正上方）的仰角为

60°,已知山的高度为2遮km.则巡逻船的航行速度为6（』+1）km/h.•

i

解析由题意知，在△3C尸中，PC=2V3km,ZPBC=60°,故tan/P8C=¥=仃，得

5C=2km.在中，々0=60」15。=45。，则嬴嬴=嬴而即，上一=_与_

sin15°sin45°'

sin15°=sin(45°—30°)="以，所以ABudlX-p=2(V3+1)(km).所以巡逻船

476—72

的航行速度为2(遍+1)+：=6(V3+1)(km/h).

4.[2023郑州一中期中]如图所示，遥感卫星发现某海域上有三个

小岛，小岛3位于小岛/北偏东75。的60海里处，在小岛8北偏

东15。方向上，相距(30国一30)海里处有一个小岛C.

(1)求小岛/与小岛C之间的距离；

(2)如果有游客想直接从小岛/出发到小岛C,求游船航行的方

向.

解析(1)在△4BC中，NB=60,3c=30旧一30,/4BC=180°—75°+15°=120。，根

据余弦定理得，AC2^AB2+BC2-2ABBC-COSZABC^602+(30V3-30)2-2X60X

(30百一30)义cos120。=5400,得NC=30限

小岛/与小岛C之间的距离是30历海里.

AC_AB

(2)根据正弦定理得,

sinz.ABCsinz.ACB'

・

30V6_60得sinZACB=—

(*sml20°-sinZi4CB,f

又,.・0。</4。5<60。，ZACB=45°f

：.NG45=180。一120°-45°=15°.

由75。-15°=60°得，游船应该沿北偏东60°的方向航行.

能力练；一国美

5.[2023贵州诊断]镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中，已知

人眼距离地面高度〃=1.5m,某建筑物高〃i=4.5m,将镜子(平面镜)置于平地上，人后

退至从镜中能够看到建筑物顶部的位置，测量人与镜子间的距离必=1.2m,将镜子后移

am,重复前面的操作，测量人与镜子间的距离念=3.2m,贝lja=(A)

A.6B.5C.4

解析如图，设建筑物最高点为N,建筑物底部为。，第一次观察时镜面位置为8,第一

次观察时人眼睛位置为C,第二次观察时镜面位置为D,设。到8之间的距离为aom,

1>

由光线反射性质得//50=NCAD,所以tan/4B0=tan/CAD,即也=以①，同理可得

GOtti

-^-=—②,

。0十aa2

由①②可得—=也，解得ao=/lL,代入①整理得°=同S2jai)=4.5X,/T2)=6,故

aa-a

CLQl2l九1-5

选A.

6.［背景创新］1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部

位，一根垂直的悬杆呈现最长(即视角最大，视角是指由物体两端引出的两条光线在眼球

内交叉而成的角)？这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和

水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作

圆，则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十分广泛.某人观察一座山顶上

的铁塔，塔高90m,山高160m,此人站在对塔“最大视角”(忽略人身高)的水平地面

位置观察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为(B)

解析如图，由诺德尔教授对米勒问题的解答，设此时的视角为0,易知塔

底距离地面的高度为5C=160m,塔顶离地面的高度为NC=90+160=250

°L

(m),则人距塔的距离CD=，4C-BC=200m,由/C=90°得

JBC2+CD2=40V41(m),,

AD=JAC2+CD2=50V41(m),则在△AftD中cos故sin。=

Jl-cos20=Jl-(詈)2=*故选B.

7.［2024青岛市检测］海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地

球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”.若要测量如图所示某蓝洞口边缘/,

2两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=8海里，

ZADB=135°,/BDC=NDCA=15°,N/C3=120。，则/,3两点间的

距离为」金海里.

解析如图所示，在△4CD中，ZADC=ZADB+ZBDC=135°+15°

=150°,ZDCA=15°,则/ZMC=180°—150°—15°=15°,即△/CD

为等腰三角形，又CD=8,所以40=8.在△BCD中，/BDC=15°,ZDCB=ZDC