人教版初一数学下册相期末压轴题易错题试卷及解析(四)

一、解答题

1.在如图所示的平面直角坐标系中，4(1,3),B(3,1),将线段A平移至CD,C

(m,-1),D(1,n)

(1)m=,n=

(2)点P的坐标是(c,0)

①设/ABP=a,请写出NBPD和NPDC之间的数量关系(用含a的式子表示，若有多种数

量关系，选择一种加以说明)

②当三角形PAB的面积不小于3且不大于10,求点p的横坐标C的取值范围(直接写出

答案即可)

解析：(1)-1,-3.(2)①当点P在直线AB,CD之间时，NBPD-NPDC=a.当点P在直

线CD的下方时，ZBPD+ZPDC=a.当点P在直线AB的上方时，ZBPD+ZPDC=a；@-6<

m<l或74m<14

【分析】

(1)由题意，线段AB向左平移2个单位，向下平移4个单位得到线段CD,利用平移规

律求解即可.

(2)①分三种情形求解，如图1中，当点P在直线AB,CD之间时，ZBPD-NPDC=a.如

图2中，当点P在直线CD的下方时，NBPD+4PDC=a.如图3中，当点P在直线AB的上

方时，同法可证NBPD+ZPDC=a.分别利用平行线的性质求解即可.

②求出点P在直线AB两侧，△PAB的面积分别为3和10时，m的值，即可判断.

【详解】

解：(1)由题意，线段AB向左平移2个单位，向下平移4个单位得到线段C。，

A(1,3),8(3,1),

,C(-1,-1),D(1,-3),

/.m=-l,n=-3.

故答案为：-1,-3.

(2)如图1中，当点P在直线48,C。之间时，2BPD叱PDC=a.

•/ABWCD,

/.PEWCDWAB,

：.ZABP=Z.BPE,ZPDC=NDPE,

：.ZBPD叱PDC=NBPD叱DPE=4BPE=a.

如图2中，当点P在直线C。的下方时，ZBPD+Z.PDC=a.

理由：过点尸作PEII/B,

ABWCD,

/.PEWCDWAB,

：.ZABP=NBPE,ZPDC=NDPE,

：.ZBPD+NPDC=NBPD+NDPE=ZBPE=a.

如图3中，当点P在直线AB的上方时，同法可证N8PD+NPDC=a.

(3)如图4中，过点B作轴于H,过点A作AriBM交于点了，延长AB交x轴

当点P在直线AB的下方时，

SAPAB=S^ATHP-SAABT-S^PBH=~(2+3-m)»3-yx2x2-^-•(3-m)»l=-m+4,

当小PAB的面积=3时，-m+4=3,解得m=l,

当公PAB的面积=3时，-m+4=10,解得m=-6,

•••△ABT是等腰直角三角形，

ZABT=45°=NHBE,

：.BH=EH=1,

.E(4,0),

根据对称性可知，当点P在直线AB的右侧时，当ARAB的面积=3时，m=7,

当APAB的面积=3时，m=14,

观察图象可知，-6<mSl或74m<14.

【点睛】

本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，平行线的判定和性质等知识，解题的关键

是学会利用分割法求三角形面积，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型.

2.如图，A点的坐标为(0,3),B点的坐标为(-3,0),D为x轴上的一个动点且不

与B,0重合，将线段AD绕点A逆时针旋转90。得线段AE,使得AE_LAD,且AE=AD,连

接BE交y轴于点M.

(1)如图，当点D在线段OB的延长线上时，

①若D点的坐标为(-5,0),求点E的坐标.

②求证：M为BE的中点.

③探究：若在点D运动的过程中，瞿的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如

BD

果不是，请说明理由.

解析：(1)①E(3,-2)②见解析；③器■=；，理由见解析；(2)OD+OA=2AM

或OA-OD=2AM

【分析】

(1)①过点E作EH_l_y轴于H.证明△DOA2△AHE(AAS)可得结论.

②证明△BOM些AEHM(AAS)可得结论.

③是定值，证明△BOMV△EHM可得结论.

(2)根据点D在点B左侧和右侧分类讨论，分别画出对应的图形，根据全等三角形的判

定及性质即可分别求出结论.

【详解】

A(0,3),B(-3,0),D(-5,0),

OA=OB=3,0D=5,

ZA0D=NAHE=NDAE=90°,

ZDAO+ZEAH=90°,ZEAH+ZAEH=9O°,

/.ZDAO=NAEH,

△DOAM△AHE(AAS),

/.AH=OD=5,EH=OA=3,

OH=AH-OA=2,

/.E(3,-2).

②■「EH_Ly轴，

/.ZEHO=ZBOH=90°,

NBMO=NEMH,OB=EH=3,

「.△BOM兰△EHM(AAS)，

BM=EM.

③结论:OM_i

理由：,/△DOA空△AHE,

OD=AH,

,/OA=OB,

/.BD=OH,

,/△BOM之△EHM,

OM=MH,

OMOHBD

=42=32.

(2)结论：OA+OD=2AM或OA-OD=2AM.

理由：当点D在点B左侧时，

,/△BOM兰△EHM,△DOAM△AHE

OM=MH,OD=AH

/.OH=2OM,OD-OB=AH-OA

/.BD=OH

/.BD=2OM,

/.OD-OA=2(AM-AO),

/.OD+OA=2AM.

当点D在点B右侧时，过点E作EHLy轴于点H

,/ZAOD=ZAHE=ZDAE=90°,

/.ZDAO+ZEAH=90°,ZEAH+ZAEH=90°,

/.ZDAO=NAEH,

•/AD=AE

△DOAM△AHE(AAS),

/.EH=AO=3=OB,OD=AH

/.ZEHO=ZBOH=90°,

,/ZBMO=ZEMH,OB=EH=3,

「.△BOM兰△EHM(AAS),

OM=MH

/.OA+OD=OA+AH=OH=OM+MH=2MH=2(AM+AH)=2(AM+OD)

整理可得OA-OD=2AM.

综上：OA+OD=2AM或。A-OD=2AM.

【点睛】

此题考查的是全等三角形的判定及性质、旋转的性质和平面直角坐标系，掌握全等三角形

的判定及性质、旋转的性质和点的坐标与线段长度的关系是解决此题的关键.

3.如图1,C点是第二象限内一点,CB_Ly轴于B,且3(0,。)是y轴正半轴上一点，

(是轴负半轴上一点，且()

Aa,0)xxk+2|+6-32=0,SWAOBC=9.

(2)如图2,设。为线段OB上一动点，当ADLAC时，NOD4的角平分线与NC4E的角

平分线的反向延长线交于点尸，求NAPD的度数：(注:三角形三个内角的和为180)

(3)如图3,当。点在线段上运动时，作交CB于的平分线

交于N,当。点在运动的过程中，/N的大小是否变化?若不变，求出其值;若变化，请说明

理由.

解析：(1)A(-2,0)、B(0,3);(2)ZAPD=90°；(3)NN的大小不变，NN=45。

【分析】

(1)利用非负数的和为零，各项分别为零，求出a,b的值；

(2)如图，作DMIIX轴，结合题意可设NADP=NOAP=x,NEAF=NCAF=NOAP=y,根据

平角的定义可知NOAD=9(T-2y,由平行线的性质可得NOAD+NADM=180。，即90-

2y+2x+90°=180°,进而可得出x=y,再结合图形即可得出NAPD的度数；

(3)NN的大小不变，NN=45。，如图，过D作DEIIBC,过N作NFIIBC,根据平行线的

性质可知NBMD+NOAD=NADM=90。，然后根据角平分线的定义和平行线的性质，可得

ZANM=-ZBMD+-ZOAD,据此即可得到结论.

22

【详解】

(1)由m+2|+仅一3『=0,可得,+2|=0和(力-3『=0,

解得a=-2,6=3

二A的坐标是(-2,0)、B的坐标是(0,3)；

(2)如图，作DMIIx轴

根据题意，设NADP=NOAP=x,ZEAF=ZCAF=ZOAP=y,

,,,ZCAD=90°,

ZCAE+ZOAD=90°,

2y+ZOAD=90°,

/.ZOAD=90°-2y,

DMIIx轴，

ZOAD+ZADM=180°,

90-2y+2x+90°=180°,

x=y,

ZAPD=180°-(ZPAD+ZADP)=180o-(y+90o-2y+x)=180o-90o=90°

(3)ZN的大小不变，ZN=45°

理由：如图，过D作DEIIBC,过N作NFIIBC.

BCIIx轴，

/.DEIIBCIIx轴，NFIIBCIIx轴，

ZEDM=NBMD,ZEDA=ZOAD,

DM±AD,

/.ZADM=90°,

/.ZBMD+ZOAD=ZEDM+ZEDA=ZADM=90°,

MN平分NBMD,AN平分NDAO,

11

ZBMN=-ZBMD,ZOAN=-ZOAD,

22

11

ZANM=NBMN+NOAN=-ZBMD+-ZOAD

22

1

=-x90°=45°.

2

【点睛】

本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算出相应的线段的长和判断线段与坐标轴的

位置关系.也考查了三角形内角和定理和三角形外角性质.

4.如图1,在平面直角坐标系中，A(a,0),C(b,2),且满足(0+2了+^J=o,过

C作CB_Lx轴于B,

(1)求a,b的值；

(2)在y轴上是否存在点P,使得△ABC和△OCP的面积相等，若存在，求出点P坐标，

若不存在，试说明理由.

(3)若过B作BDIIAC交y轴于D,且AE,DE分别平分NCAB,ZODB,如图2,图3,

①求：ZCAB+ZODB的度数；

②求：ZAED的度数.

解析：(1)a=-2,b=2；(2)P(0,-4)或(0,4)；(3)①NCAB+NODB=90°；

②NAED=45°.

【分析】

(1)根据非负数的性质即可求得a、b的值；(2)先求得SAABC=4,设P(0,t),根据

SA0Pc=g0Px2=gxMx2=4求得t值，即可求得点P的坐标；(3)①已知BDIIAC,根据

两直线平行，内错角相等可得NCAB=ZOBD,由NOBD+zODB=90°,即可得NCAB+

ZODB=90°；②根据角平分线的定义及①中的结论，可求得N3+N4=45。；过点E作

EFIIAC,即可得EFUBDIIAC,根据平行线的性质可得N3=N1,N2=N4,由此求得

ZAED=Z1+Z2=Z4+Z3=45°.

【详解】

(1)•••(a+2)2+V^2=0,

a+2=0,b-2=0,

a=-2,b=2；

(2)a=-2,b=2,

A(-2,0),C(2,2),

•二SAABC=AB»BC=^-x4x2=4；

设P(0,t),

••SAOPC=OPx2=~x|?|x2=|^|=4；

/.t=4或t=-4,

/.P(0,-4)或(0,4).

(3)①:BDIIAC,

/.ZCAB=ZOBD,

,/ZOBD+ZODB=90°,

/.ZCAB+ZODB=90°；

②TAE,DE分别平分NCAB,ZODB,

/.z3=-ZCAB,z4=-ZODB,

22

---ZCAB+ZODB=90°,

z3+Z4=-ZCAB+-ZODB=45",

22

过点E作EFIIAC,

图3

BDIIAC,

EFIIBDIIAC,

/.Z3=Z1,Z2=N4,

ZAED=Z1+Z2=N4+Z3=45°.

【点睛】

本题考查了坐标与图形性质，熟知非负数的性质、三角形的面积公式及平行线的性质是解

决问题的关键.

5.已知A(0,a)、B(b,0),且Ja-5+(b-4)2=0.

(1)直接写出点4B的坐标；

(2)点C为x轴负半轴上一点满足SAABC=15.

①如图1,平移直线AB经过点C,交y轴于点E,求点E的坐标；

②如图2,若点F(m,10)满足SAACF=10,求m.

(3)如图3,。为x轴上B点右侧的点，把点A沿y轴负半轴方向平移，过点A作x轴的

平行线/,在直线/上取两点G、H(点H在点G右侧)，满足”8=8,GD=6.当点A平

移到某一位置时，四边形BDHG的面积有最大值，直接写出面积的最大值.

解析：(1)4(0,5),B(4,0)；(2)①E(0,-；)；②-2或6；(3)24.

【分析】

(1)根据二次根式和偶次幕的非负性得出a,b解答即可；

(2)①根据三角形的面积公式得出点C的坐标，根据平行线的性质解答即可；②延长

CA交直线/于点”(a,10),过点”作H/WJLx轴于点/W,根据三角形面积公式解答即

可；

(3)平移GH到OM,连接HM,根据三角形面积公式解答即可.

【详解】

解：⑴Ja-5+S-4)2=0,且Ja-520,(fa-4)2>0,

/.a-5=0,b-4=0,

解得:a=5,b=4,

/\(0,5),B(4,0)；

(2)①连接BE,如图1,

.5AAec=：xOAxBC=|yA\xBC=；x5xBC=15,

BC—^6,

/.C(-2,0),

,/ABWCE,

•二SAABC—S^ABEf

S.ADP=—xAExOB=—AEx4=15,

AADC22

,5、

.•E(0,--)；

2

②；F(m,10),

二点F在过点G(0,10)且平行于x轴的直线/上,

图2

延长CA交直线/于点”(a,10),过点H作“M_Lx轴于点M,则M(a,0),如图2,

SAHCM=SAACO+S梯形AOMH，

Q(Q+2)x10=5x2x5+5x(5+10)•a,

解得：a=2,

.H(2,10),

SAAFC=SACFH-SAAFH，

-FH(10-5)=10,

2

FH=4,

H(2,10),

F(-2,10)或(6,10),

m=-2或6；

贝ijGOIIHM,GD=HM,如图3,

图3

四边形BDHG的面积=△BHM的面积,

当时，△BUM的面积最大，其最大值=•G。=！x8x6=24.

222

【点睛】

本题主要考查图形与坐标及平移的性质，熟练掌握图形与坐标及平移的性质是解题的关

键.

6.如图，在平面直角坐标系中，已知A(a,O),B(b,0),C(0,4),a,6满足

(a+2)2+7^4=0.平移线段AB得到线段CD,使点A与点C对应，点B与点。对应,

连接AC,BD.

(1)求4，6的值，并直接写出点。的坐标；

(2)点尸在射线A3(不与点A,8重合)上，连接PC,PD.

①若三角形尸CD的面积是三角形P8D的面积的2倍，求点P的坐标；

②设/PC4=&,"DB=/3,ADPC=6.求a,/7,9满足的关系式.

解析：(1)0(6,4)；(2)①尸(1,0)或(7,0)；②点尸在B点左侧时，々+£=8；点尸在

B点右侧时，a-(3=0.

【分析】

(1)根据非负数的性质分别求出“、b,根据平移规律得到平移方式，再由平移的坐标变

化规律求出点。的坐标；

(2)①设尸8="，根据三角形的面积公式列出方程，解方程求出加，得到点P的坐标；

②分点尸点尸在B点左侧、点P在B点右侧时，过点P作PE//AC,根据平行线的性质解

答.

【详解】

2

解：(1)(fl+2)+^/^4=0,

.,.a+2=0,b—4=0»

,解得，a=—2,Z?=4.

.•.4-2,0),B(4,0),

■平移线段AB得到线段CD,使点A(-2,0)与点C(0,4)对应，

・•・平移线段AB向上平移4个单位，再向右平移2个单位得到线段CD,

。(4+2,0+4),即0(6,4)；

(2)①设依=皿，

・「线段A3平移得到线段CD,

/.AB//CD,

-/AB=CD=6,OC=4

..c—oc

•2.PCD-42、PBD，

：.-CD.OC=2.-PB.OC,

22

-/AB=CD=6fOC=4

/.—1x6-.4=2cx—1x4)m

22

解得m=3,

当P在B点左侧时，坐标为(1,0),

当P在B点右侧时，坐标为(7,0),

・••尸(L0)或(7,0)；

②/、点P在射线(不与点A,B重合)上，点尸在B点左侧时，a,夕，6满足的关

系式是

理由如下：如图1,过点尸作尸E〃AC,

/.ZCPE=ZPCA=a,

CD由AB平移得到，点A与点C对应，点8与点Z)对应,

AC//BD,

PE//BD

：.ZDPE=NPDB=B,

ZCPD=ZCPE+Z.DPE=a+/3-^a+/3=6,

IK如图2,点尸在射线A3（不与点A,B重合）上，点尸在B点右侧时，«,B,。满

足的关系式是a-夕=6.

同①的方法得，ZCPE=ZPCA=a,ZDPE=ZPDB=^,

ZCPD=ZCPE-ZDPE=a-/3-即：a-/3=6

综上所述：点尸在B点左侧时，e6.点尸在B点右侧时，a-/3=6.

【点睛】

本题考查了坐标与图形平移的关系，坐标与平行四边形性质的关系，平行线的性质及三角

形、平行四边形的面积公式.关键是理解平移规律，作平行线将相关角进行转化.

7.如图，直线ABII直线CD,线段EFIICD,连接BF、CF.

（1）求证：ZABF+NDCF=ZBFC；

（2）连接BE、CE、BC,若BE平分NABC,BE±CE,求证：CE平分NBCD；

（3）在（2）的条件下，G为EF上一点,连接BG,若NBFC=NBCF,ZFBG=2ZECF,

ZCBG=70。，求NFBE的度数.

ffilS2图3

解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）NFBE=35。.

【分析】

（1）根据平行线的性质得出NABF=NBFE,ZDCF=ZEFC,进而解答即可;

（2）由（1）的结论和垂直的定义解答即可；

（3）由（1）的结论和三角形的角的关系解答即可.

【详解】

证明：（1）：ABWCD,EFWCD,

：.ABWEF,

：.ZABF=NBFE,

-：EFWCD,

ZDCF=ZEFC,

/.ZBFC=NBFE+NEFC=NABF+NDCF；

(2)---BE±ECf

/.ZBEC=90°,

/.ZEBC+NBCE=90°,

由(1)可得：NBFC=NABE+NECD=90°,

/.ZABE+ZECD=NEBC+NBCE,

BE平分NABC,

/.ZABE=NEBC,

：.ZECD=NBCE,

二.CE平分NBCD；

(3)设NBCE=B，ZECF="

,/CE平分NBCD,

/.ZDCE=A8CE=B，

/.ZDCF=NDCE-ZECF=^-y,

/.ZEFC=B-v，

,/ZBFC=NBCF,

：.ZBFC=NBCE+NECF=v+0,

/.ZABF=NBFE=2y,

,/ZFBG=2NECF,

/.ZFBG=2y,

/.ZABE+NDCE=4BEC=90°,

/.ZABE=90°-P，

/.ZGBE=NABE-ZABF-ZFBG=900-p-2y-2y,

BE平分NABC,

：.ZCB£=ZABE=90°-B，

ZCBG=ZCBE+ZGBE,

：.70°=90°-P+90°-g-2y-2v，

整理得：2y+P=55°,

ZFBE=NFBG+NGBE=2y+90°-p-2y-2v=90°-(2y+B)=35°.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质，解决本题的关键是根据平行线的性质解答.

8.己知AB〃CD.

(1)如图1,E为AB,C。之间一点，连接BE,DE,得到NBED.求证：NBED=

ZB+ZD；

(2)如图，连接AD,BC,ABC,OF平分NAOC,且BF,OF所在的直线交于点

F.

①如图2,当点B在点A的左侧时，若NABC=50。，NADC=60。，求NBFD的度数.

②如图3,当点B在点A的右侧时，设NABC=a,NADC=B，请你求出NBFD的度

数.（用含有a,B的式子表示）

图1图2图3

解析：（1）见解析；（2）55。；（3）180。-；a+；〃

【分析】

（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；

（2）①如图2,过点F作FE//AB,当点5在点A的左侧时，根据乙钻C=50。，

ZADC=60°,根据平行线的性质及角平分线的定义即可求上曲的度数；

②如图3,过点P作EF//AB,当点B在点A的右侧时，ZABC=a,NADC=£，根据

平行线的性质及角平分线的定义即可求出N3ED的度数.

【详解】

图1

则有=

ABI/CD,

:.EF//CD,

:.ZFED=ZD,

:.ZBED=ZBEF+ZFED=ZB+ZD；

(2)①如图2,过点尸作EE//AB,

有ZBFE=/FBA.

AB//CD,

:.EF//CD.

:.ZEFD=ZFDC.

/.ZBFE+ZEFD=ZFBA+ZFDC.

即ZBFD=ZFBA+Z.FDC,

班1平分ZABC,£＞尸平分NADC,

ZFBA=-ZABC=25°,NFDC=-ZADC=30°,

22

ZBFD=ZFBA+ZFDC=55°.

答：的度数为55。；

②如图3,过点P作EE//A5,

有NBFE+ZFBA=180°.

:.ZBFE=180°-ZFBA,

ABI/CD,

:.EF//CD.

:.ZEFD=ZFDC.

ZBFE+ZEFD=180°-ZFBA+ZFDC.

即ZBFD=180。—ZFBA+ZFDC,

3尸平分ZABC,平分N71DC,

:.ZFBA=-ZABC=-a,ZFDC=-ZADC=-B,

2222

ZBFD=1800-ZFBA+ZFDC=180°-；。+].

答：N3FD的度数为18()o-ga+g4.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质.

9.如图1,MNIIPQ,点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间.

(1)求证：NCAB=NMCA+NPBA；

(2)如图2,CDIIAB,点E在PQ上，ZECN=ZCAB,求证：ZMCA=ZDCE-,

【分析】

（1）过点A作ADIIMN,根据两直线平行，内错角相等得到N/WCA=NDAC,ZPBA=

NDAB,根据角的和差等量代换即可得解；

（2）由两直线平行，同旁内角互补得到，、ZCAB+ZACD=180°,由邻补角定义得到

NECM+NECN=180°,再等量代换即可得解；

（3）由平行线的性质得到，ZMB=120°-ZGCA,再由角平分线的定义及平行线的性质

得到NGCA-ZABF=60。，最后根据三角形的内角和是180。即可求解.

【详解】

解：（1）证明：如图1,过点A作

M_________Q._________N

图1

MNWPQ,ADWMN,

：.ADWMNWPQ,

：.ZMCA=ZDAC,NPBA=ZDAB,

：.ZCAB=ZDAC+NDAB=NMCA+Z.PBA,

即：NCAB=NMCA+NPBA；

(2)如图2,CDIIAB,

：.ZCAB+NACD=180°,

■：ZECM+NECN=180°,

,,,ZECN=NCAB

：.ZECM=NACD,

即NMCA+NACE-DCE+NACE,

：.ZMCA=NDCE；

(3)AFWCG,

：.ZGC4+NMC=180°,

ZCAB=60°

即NGC4+NCAB+ZFAB=180°,

：.ZMB=180°-60°-ZGCA=1200-ZGCA,

由(1)可知，NCAB=NMCA+NABP,

rBF平分NABP,CG平分NACN,

ZACN=2ZGCA,NABP=2ZABF,

又:ZMCA=180°-ZACN,

：.ZCAB=180°-2ZGCA+2NABF=E>0°,

：.ZGCA-ZABF=60",

ZAFB+NABF+Z样B=180°,

ZAFB=1800-NFAB-NFBA

180°-(120°-ZGCA)-ZABF

180°-120°+ZGCA-ZABF

=120。.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关

键.

10.己知，ABWCD.点M在AB上，点N在CD上.

(1)如图1中，4BME、NE、NEND的数量关系为：;(不需要证明)

如图2中，NBMF、NF、NFN。的数量关系为：;(不需要证明)

(2)如图3中，NE平分NFND,MB平分NFME,且2NE+NF=180。，求NFME的度

数；

(3)如图4中，NBME=60°,EF平分NMEN,NP平分NEND,且EQIINP,则NFEQ的大

小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出NFEQ的度数.

F

月-------&—BA-------

2//立/LB

--------D

图1图2

:二三

3/D

等

------------D

图3图4

解析：(1)NBME=ZMEN-NEND；ZBMF=ZMFN+NFND；(2)120°；(3)不变,

30°

【分析】

⑴过E■作EHIIAB,ABWCD,，根据平行线的性质可求解；过F作FHIIAB,易

得F”llABIICD,根据平行线的性质可求解；

(2)根据(1)的结论及角平分线的定义可得2QBME+NEND)+ZBMF-NFA/。=180°,

可求解NBMF=60。,进而可求解；

(3)根据平行线的性质及角平分线的定义可推知NFEQ=gzBME,进而可求解.

【详解】

解：(1)过E作EHIIAB,如图1,

A-------——B

H------>£

C—7?r—-------D

图1

/.ZBME=NMEH,

ABWCD,

HE11CD,

：.ZEND=ZHEN,

：.ZMEN=NMEH+NHEN=NB/WE+NEND,

即NBME=NMEN-ZEND.

如图2,过F作FHWAB,

：.ZBMF=NMFK,

-：ABWCD,

：.FHWCD,

：.ZFND=NKFN,

：.ZMFN=ZMFK-ZKFN=ABMF-ZFND,

图2

故答案为NBME=4MEN-ZEND；ZBMF=NMFN+NFND.

(2)由(1)得NBME=NMEN-ZEND；ZBMF=NMFN+NFND.

■：NE平分NFND,MB平分NFME,

：.ZFME=ZBME+ABMF,ZFND=NFNE+zEND,

■：2ZZWEN+NMFN=180°,

：.2(ZB/WE+ZEND)+ZBMF-ZFND=180",

2ZBME+2NEND+NBMF-ZFND=180°,

即2ZBMF+ZFND+ZBMF-ZFND=180°,

解得NBMF=60°,

ZFME=2NB/WF=120°；

(3)NFEQ的大小没发生变化，ZFEQ=30°.

由(1)知：ZMEN=NBME+NEND,

-：EF平分NMEN,NP平分NEND,

:.NFEN=，MEN=；QBME+NEND),NENP=；NEND,

■：£QIINP,

：.ZNEQ=NENP,

：.ZFEQ=ZFEN-ZNEQ=~(ZB/WE+zEND)-END=；NBME,

ZBMf=60°,

/.ZFEQ=5x60°=30°.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键.

11.己知：如图，直线AB〃CD,直线EF交48,C。于P,Q两点，点M,点N分别是直线

CD,EF上一点（不与P,Q重合），连接PM,MN.

①试判断PM与MN的位置关系，并说明理由；

②若胡平分NEPM,NMNQ=20。,求NEPB的度数.（提示：过N点作AB的平行线）

（2）点M,N分别在直线C。，EF上时，请你在备用图中画出满足P/W_LMN条件的图形,

并直接写出此时NAPM与NQMN的关系.（注：此题说理时不能使用没有学过的定理）

解析：（1）①PM_L/WM理由见解析；②NEPB的度数为125。；（2）APM

+ZQMN=90°或NAPM-NQ/WA/=90°.

【分析】

（1）①利用平行线的性质得到NAP/W=NP/WQ,再根据已知条件可得到P/W_L/WM

②过点N作NHIIC。，利用角平分线的定义以及平行线的性质求得NMN”=35。，即可求

解；

（2）分三种情况讨论，利用平行线的性质即可解决.

【详解】

解：（1）①PMLMN,理由见解析：

AB//CD,

：.ZAPM=NPMQ,

■：ZAPM+NQMA/=90",

/.ZPMQ+ZQMN=90°,

：.PM工MN；

②过点N作NHIICD,

-/AB//CD,

/.AB//NHWCD,

/.ZQMN=NMNH,ZEPA=AENH,

,/PA平分NEPM,

/.ZEPA=4MPA,

,/ZAPM+NQMA/=90°,

/.ZEPA+ZMNH=90°,即NENH+NMNH=9Q°,

/.ZMNQ+NMNH+NMNH=90°,

,/ZMNQ=20°,

/.ZMNH=35°,

：.ZEPA=4ENH=NMNQ+NMNH=55°,

/.ZEPB=180o-55°=125°,

AZEPB的度数为125°；

（2）当点M,/V分别在射线QC,QF上时，如图:

•<-PM±MN9AB//CD,

ZPMQ.+ZQMA/=90°,ZAPM=4PMQ,

/.ZAPM+ZQM/V=90°；

当点M,N分别在射线QC,线段PQ上时，如图:

PM工MN,AB//CD,

/.ZPMN=90°,ZAPM=NPMQ,

/.ZPMQ-ZQMN=90°,

/.ZAPM-ZQMA/=90°；

当点M,A/分别在射线Q。，QF上时，如图:

E

APB

M

LD

八

F

PM±MN,AB//CD,

：.ZPMQ+ZQMN=90°,ZAPM+NPMQ=180°,

：.Z4PM+900-ZQ/WA/=180°,

ZAPM-Z.QMN=90°；

综上，ZAPM+ZQ/WN=90°或NAPM-ZQMA/=90".

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，

同旁内角互补；两直线平行，同位角相等等知识是解题的关键.

12.如图1,把一块含30。的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺。EFG的EF边上.

（1）根据图1填空：Z1=。，Z2=°；

（2）现把三角板绕B点逆时针旋转n。.

①如图2,当n=25。，且点C恰好落在。G边上时，求N1、N2的度数；

②当0。<"<180。时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所

在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有”的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请

说明理由.

（图2）

N2=90。+"。；②见解析

【分析】

（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答；

（2）①根据邻补角的定义求出NABE,再根据两直线平行，同位角相等可得N1=NABE,

根据两直线平行，同旁内角互补求出NBCG,然后根据周角等于360。计算即可得到N2；

②结合图形，分AB、BC、AC三条边与直尺垂直讨论求解.

【详解】

解：（1）Z1=180--600=1200,

Z2=90°；

故答案为：120,90；

(2)①如图2,

(图2)

,/Z43c=60°,

/.Z/\BE=180°-60o-no=120o-n°,

•••DGWEF,

/.Z1=ZABE=120°-n°f

ZBCG=180°-ZCBF=180°-n°,

,/ZACB+NBCG+N2=360°,

Z2=360°-ZACB-ABCG

=360°-90°-(180°-n°)

=90°+n°；

②当r?=30°时，.「NABC=60°,

/.Z/ABF=30o+60°=90°,

ABIDG(EF)；

当〃二90。时，

NC=ZCBF=90°f

/.BC±DG(EF)，AC±DE(GF)；

B

当n=120°时,

AB±DE(GF).

【点睛】

本题考查了平行线角的计算，垂线的定义，主要利用了平行线的性质，直角三角形的性

质，读懂题目信息并准确识图是解题的关键.

13.如图1,AB”CD,点、E、P分别在AB、8上，点。在直线A3、CD之间，且

ZEOF=100°.

图1图2

图3

(1)求N3EO+NOFD的值；

(2)如图2,直线MN分别交/BE。、NOFC的角平分线于点/、N,直接写出

的值；

(3)如图3,EG在NAEO内，ZAEG=mNOEG；FH在NDFO内,

ZDFH=mNOFH,直线MN分别交EG、可分别于点"、N,且

ZFMN-ZENM=50°,直接写出优的值.

解析：(1)Z.BEO+ADFO=260°；(2)/EW—/FW的值为40。；(3)

【分析】

(1)过点。作。GIIAB,可得ABUOGWCD,利用平行线的性质可求解；

(2)过点M作MKWAB,过点N作NHWCD,由角平分线的定义可设NBEM=NOEM=x,

2CFN=NOFN=y,由NBEO+NDFO=260°可求x-y=40°,进而求解；

(3)设直线FK与EG交于点H,FK与AB交于点K,根据平行线的性质即三角形外角的性

质及NFMN-NENM=50。,可得NKFD—NAEG=50。，结合

ZAEG^nZOEG,DFK^nZOFK,ZBEO+ZDFO^260°,可得

NAEG+-NAEG+180°-ZKFD--NKFD=100°,

nn

即可得关于〃的方程，计算可求解〃值.

【详解】

证明：过点。作。GII4B,

「ABWCD,

：.AB\\OGWCD,

ZB石O+N£OG=180。，ZDFO+ZFOG=180°,

/BEO+NEOG+/DFO+NFOG=360。,

即ZBEO+/EOF+ZDFO=360°,

,/ZEOF=WQ0,

：.ZBEO+NDFO=260。；

(2)解：过点M作MKIIA8,过点/V作/V川IC。,

图2

•/EM平分NBEO,FN平分NCFO,

设/BEM=/OEM=x,ZCFN=ZOFN=y,

ZBEO+ZDFO=260°

/.ZBEO+ZDFO=2x+1800-2y=260°,

/.x-y=40°,

---MKWAB,NHWCD,ABWCD,

.'.ABWMKWNHWCD,

/.NEMK=NBEM=x,4HNF=/CFN=y,/KMN=/HNM,

/./EMN+/FNM=/EMK+/KMN—"HNM+/HNF)

=x+NKMN—/HNM—y

=x-y

=40°,

ZEMN-ZFNM的值为40°；

(3)如图，设直线FK与EG交于点H,FK与AB交于点K,

,/ABWCD,

/.ZAKF=ZKFD,

ZAKF=AEHK+ZHEK=ZEHK+ZAEG,

/.ZKFD=ZEHK-^-ZAEG,

•/ZEHK=ZNMF-ZENM=50°,

ZKFD=50°+ZAEG,

即N"D—NAEG=50。，

ZAEG=n/OEG,FK在NDFO内，ZDFK=nZOFK.

：.ZCFO=180°-ZDFK-ZOFK=180°-ZKFD--ZKFD,

ZAEO=/AEG+ZOEG=ZAEG+-/AEG,

ZBEO+ZDFO=260°,

/.ZAEO+ZCFO=100°,

ZAEG+-ZAEG+180°-ZKFD--ZKFD=100°,

1+-(NK尸D—NAEG)=80。,

1+-x50°=80°,

解得.

经检验，符合题意，

故答案为：J.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键.

14.综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活动，如

图，已知两直线b,且是直角三角形，ZBCA=90°,操作发现：

（1）如图1.若/1=48。，求N2的度数；

（2）如图2,若44=30。,/1的度数不确定，同学们把直线”向上平移，并把N2的位置改

变，发现N2-4=120。，请说明理由.

（3）如图3,若NA=30。，AC平分乙BAM,此时发现N1与N2又存在新的数量关系，请

写出/I与N2的数量关系并说明理由.

解析：（1）42。；（2）见解析；（3）N1=N2,理由见解析

【分析】

（1）由平角定义求出N3=42。，再由平行线的性质即可得出答案；

（2）过点8作BDWa.由平行线的性质得N2+Z>4BD=180o,Z1=ZDBC,则NABD=NABC-

ZDBC=60°-Z1,进而得出结论；

（3）过点C作CPU。，由角平分线定义得N