2023-2024学年黑龙江哈尔滨六校高二下学期期末考数学试题及答案

2023～2024学年度下学期六校高二期末联考试卷数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．4CmC3mm（1.若20242024，则）A2B.6C.2或6D.2或507x2,3,4,52.设某制造公司进行技术升级后的第xyˆ6x3x1时的观测值y10，则x1时的残差为（求得y关于x的经验回归方程为，若）A.1B.1C.3D.6fxxfxx13.若定义在上的函数有fx，则的单调递减区间是fxxxx0（）D.A.B.C.4.李白的一句“烟花三月下扬州”让很多人对扬州充满向往．据统计，唐朝约有120名诗人写下了400多首与扬州有关的诗篇，某扬州短视频博主从中选取了7首，制作了分别赏析这7首诗的7个短视频（含甲、1个，每个短视频只在其中1发布，则这7个短视频不同的发布种数为（）A.180B.360C.720D.1440的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（）fxfx5.已知函数至少有2个极值点fx,cfxB.函数A.函数C.函数在上单调递增在a,e上单调递减fx函数在处取得极大值fxxcD.351225npBn,p，若EXDX，，则（）X6.已知随机变量14A.15B.C.D.D.413f(x)x3x2cc7.已知函数有3个不同的零点，则的取值范围是()3299A.(0)B.C.)(,0)228.小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（）3132327A.B.C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．n1x9.若x的展开式中第4项与第9项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为（）A第4项B.第5项C.第6项D.第7项10.甲、乙、丙、丁4人每人随机选取VisualBasie、VisualC＋＋，VisualFoxpro三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A表示事件“甲学习VisualBasic编程语言”；B表示事件“乙学习VisualBasic编程语言”；C表示事件“乙学习VisualC＋＋编程语言”，则（）A.事件A与B相互独立B.事件A与C不是互斥事件51PC|APB|AC.D.12611.已知定义域为R的函数的导函数为fx，若函数fx2和均为偶函数，且fxf4x1f2f11，则（）2023202420232024fifi2023fifi100A.B.C.D.i1i1i1i1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．aia，则______．12.已知随机变量X的分布列PXi2,3)2i11fxx3ax23xx的两个极值点，若1fx，且的极小值为整13.已知x,x是函数2251233a数，则______．14.五一小长假，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去某景点游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：一个会走路的机器人从一数轴上的原点出发沿该数轴行走，游客可以设定机器人总共行走的步数n，机器人每一步会随机选择前或向后行走，且每一步的距离均为一XPX06个单位，设机器人走完设定的n步后所在位置对应数为随机变量，则__________，nDX__________.n四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(xmx7aaxax28x815.已知．012aaaa的值；7（1）若m1，求135a702（2）若，求m的值．．fx2x16.已知函数25x4exyfx在点处的切线方程；f0（1）求（2）求函数的极值．fx17.光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等第定为优秀．现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下表：11数学（分）1459995135120122851301209物理（分）84908284838183819082（1）试列出22列联表，并依据0.10的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？N,，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均X2（2）如果本次测试理科考生的物理成绩数为，方差为2，若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩的等第优秀的概率．，则4，0.8413540.501，0.9772540.91206XN,2参考数据：取103，．若PX，，0.6827P2X0.9545PX0.9973．2nadbc2nabcd，．abcdacbd00100.100.050.0250.0052.7063.8415.0246.6357.87918.2024年4月25日—4月29日，“与辉同行”开启了一场深入中原的文化之旅，让河南文旅打开了流量密码．某景区趁此时机，举行五一游该景区网上购票抽奖活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机6个减免红包中随机抽取2个，6个红包的金额分别为5元、5元、10元、10元、30元、60元，已知该景区门票每张120元，全部实行网上购票．（1）记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为X，求X的分布列与期望；131612（2）已知每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为，，，举行此抽奖活动后预计可使该景区五一期间客流量增加40%，假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说明理由：①举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入是增加了，还是减少了？②举行抽奖活动后该景区在五一期间的总收入是增加了，还是减少了？19.定义：若函数与的图象在gx上有且仅有一个交点，则称函数与在fxxCfxgxxC上fx2e单交，此交点被称为“单交点”.已知函数xaxaRgxex，2.，（1）讨论函数的单调性；fx（2）当0a1时，（i）求证：函数与在上存在“单交点”x,fx0；fxgxxa11.0（ⅱ）对于（i）中的正数0，证明：02023～2024学年度下学期六校高二期末联考试卷数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．4CmC3mm（1.若20242024，则）A.2B.6C.2或6D.2或507【答案】D【解析】【分析】通过组合数的性质即可得到答案.【详解】由题意知mm或mm4所以m2或m507.故选：D．x2,3,4,52.设某制造公司进行技术升级后的第xyˆ6x3x1时的观测值y10，则x1时的残差为（求得y关于x的经验回归方程为，若）A.1B.1C.3D.6【答案】B【解析】【分析】利用残差的定义求解.【详解】解：因为x1时的预测值为ˆ6139，所以残差为91．故选：B．fxxfxx13.若定义在上的函数有fx，则的单调递减区间是fxxxx0（）D.A.B.C.【答案】C【解析】【分析】由导函数定义可得f(x)，再利用导函数求单调减区间即可.fxxfxx1，xxx0x1f(x)x，，x，解得f(x)00x1，由故的单调递减区间是(.fx故选：C.4.李白的一句“烟花三月下扬州”让很多人对扬州充满向往．据统计，唐朝约有120名诗人写下了400多首与扬州有关的诗篇，某扬州短视频博主从中选取了7首，制作了分别赏析这7首诗的7个短视频（含甲、1个，每个短视频只在其中1发布，则这7个短视频不同的发布种数为（）A.180B.360C.720D.1440【答案】D【解析】【分析】元素相邻的排列问题，利用捆绑法解决即可.A22【详解】先将甲、乙排为一列，有种方法，A66再将其视为一个整体与其余5个视频排成一列，有种方法，A226A1440．6根据分步乘法计数原理可得，甲、乙在相邻两天发布的不同的发布种数为故选：D．的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（）fxfx5.已知函数至少有2个极值点fx,cfxB.函数A.函数C.函数在上单调递增在a,e上单调递减fx函数在处取得极大值fxxcD.【答案】D【解析】【分析】根据的图象判断其符号，进而可知的单调性和极值，结合选项分析判断即可.fxfx【详解】由的图象可知：当时，fx0；当fx0时，；fxxaxe或a<e可知在，上单调递增，在a,e上单调递减，fx,a,则函数有且仅有两个极值点a,e，fx结合选项可知：ABC正确；D错误；故选：D.351225npBn,p，若EXDX，，则（）X6.已知随机变量14A.15B.C.D.4【答案】A【解析】XBn,p的期望和方差公式解方程组计算即可.【分析】由随机变量312EXDXnp1pnp【详解】因为，，525DXEX41p所以，515p，所以n3，即np15所以．故选：A．1322f(x)x3xcc7.已知函数有3个不同的零点，则的取值范围是()399A.(0)B.C.)(,0)D.22【答案】D【解析】2fxfx有3f(x)x3x式，即可求解．13f(x)x3x2c2x3x【详解】由函数，可得f(x)，32，解得f(x)0x0或x3，令令x3fx0；令，解得fx0，解得x3x0，0或则在(,和(0,)上单调递增，在(0)上单调递减，fx9f(cf(0)c，又由，299要使有3个不同的零点，则c0c，解得c0，fx229c所以实数的取值范围是(,0)．2故选：D．8.小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（）3132327A.B.C.D.【答案】B【解析】CC23271CC242727【分析】先由古典概率公式求出PA|B,PA|B2，再由全概率公式求出1731PAPB|A1，最后由条件概率求出即可.3BB2【详解】用A表示丢掉一个小球后任取两个小球均为红球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的1小球为黑球，12CC232717CC242727,PA|B2PBPBPA|B则，，121由全概率公式可得11123PAPBPA|BPBPA|B，112127271411PPA13273PB|A所以1，114故选：B.PAB1PB|A【点睛】关键点点睛：条件概率公式为，全概率公式为1PAPBPA|B.1PAPBPA|B112二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．n1x9.若x的展开式中第4项与第9项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为（）A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项【答案】CD【解析】【分析】根据二项式系数的性质即可求解.n1x【详解】因为x的展开式中第4项与第9项的二项式系数相等，所以C3nC8n；所以n11，由于展开式中项的系数与二项式系数相等，故展开式中系数最大的项为第6项和第7项．故选：CD．10.甲、乙、丙、丁4人每人随机选取VisualBasie、VisualC＋＋，VisualFoxpro三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A表示事件“甲学习VisualBasic编程语言”；B表示事件“乙学习VisualBasic编程语言”；C表示事件“乙学习VisualC＋＋编程语言”，则（）A.事件A与B相互独立B.事件A与C不是互斥事件51PC|APB|AC.D.126【答案】BCD【解析】【分析】由古典概率公式求出，再利用相互独立事件和互斥事件的PA,PB,PC,P,P定义判断A，B；用条件概率公式计算判断C，D.C24AC12A3336【详解】4人选择3种编程语言之一，每种编程语言至少有1人学习，共有种安排方案，22甲学习VisualBasic编程语言、乙学习VisualBasic编程语言、乙学习VisualC+＋编程语言，1PAPBPC种方案，∴C23A22+A33=12各有；321PAB种方案，∴A222甲、乙均学习VisualBasic编程语言，有；361855种方案，∴P2甲学习VisualBasic编程语言且乙学习VisualC＋＋编程语言，有1C12C1，对于A，∵PPAPB，∴事件A与B不相互独立，故A错误；50，∴事件A与C不是互斥事件，故B正确；PAC对于B，∵36PACPA5PC|A对于C，对于D，，故C正确；12PPA1PB|A，故D正确.6故选：BCD.11.已知定义域为R的函数的导函数为fx，若函数fx2和均为偶函数，且fxf4x1f2f11，则（）2023202420232024fifi2023fi0fi10A.B.C.D.i1i1i1i1【答案】AB【解析】【分析】根据题意分析可知4为的周期，关于x2对称，关于点1,0对称，进而判断ABfx知4为的周期，但没有充分条件求，进而判断CD.f2fxf4x1【详解】因为f4x1为偶函数，则，f4x1即fx1fx，可知关于fxx1对称，为偶函数，则x2fx，可知关于x2对称，fx2fx2f又因为fx1fx1且，则fx1x1ffxx2，f，即可得关于点对称，且1,0fxfx2，fx则fx2，可知4为fx的周期，fxfx4fx4由x2，可得，即f10，fxff1f1则f3f2f41，f1即f1f2f3f40，20232024f1f2f31，fifi0，故AB正确；所以i1i1因为fx4，则fxfx4，即，fxfxcfx4c可知4为的周期，fxfx2fx22c，fx2fx2，则又因为fx2fx22cfx关于点(c)对称，即，可知但没有充分条件求，故无法求CD选项的值，故CD错误；f2故选：AB.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．aii2,3)a，则______．12.已知随机变量X的分布列PX2i817【答案】##17【解析】【分析】根据分布列的性质概率之和为1可求.ai（i2,3PX【详解】已知2i则由分布列的性质可得1117P(XP(X2)P(Xaa1，2222388a解得，78故答案为：.71313fxx3ax23xx的两个极值点，若1fx，且的极小值为整13.已知x,x是函数22512a数，则______．1【答案】【解析】##4【分析】因为有两个极值点，所以fxfxx22ax3有两个变号解，结合韦达定理得出54a2a5xx2ax2x5x1,2xx3又因为，所以得出12,，又因为，联立得出1212331的极小值为整数即可得出答案.fxa1或a.再利用4【详解】fxx22ax由题意知4a12x,x是x22ax30的两根，所以21254a2a5xx2a,xxx2xx所以1,2,且又1212123354a2a515a1解得a1或所以即4a2a.334263fxf3的极小值为1时，12,不合题意；当a此时13axx,fx的极小值为f2符合题意．当故时，此时12412a.41故答案为：.414.五一小长假，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去某景点游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：一个会走路的机器人从一数轴上的原点出发沿该数轴行走，游客可以设定机器人总共行走的步数n，机器人每一步会随机选择前或向后行走，且每一步的距离均为一XPX06个单位，设机器人走完设定的n步后所在位置对应数为随机变量，则__________，nDX__________.n5n②.【答案】①.##0.3125【解析】12XBn,Xn【分析】X表示向右移动的次数，则，再根据二项分布即可得到回到原点的概率，找到XXnX2Xn与X关系，得到，由二项分布的方差结合方差性质再计算方差即可.n12XBn,【详解】设X表示向右移动的次数，则.若运动6步回到原点，则向左，右各移动3次，33115036所以回到原点的概率PXC1.62216X，X表示向右移动的次数则nX表示向左移因为机器人走完设定的n步后所在位置对应数为随机变量n动的次数，XXnX2Xn则，n1211nXBn,则DXnp1pn，224nD2Xn22DXDX4n所以.n45n故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(xmx7aaxax28x815.已知．012aaaa的值；7（1）若m1，求135a702（2）若，求m的值．【答案】（1）1285（2）m2或3【解析】1）通过赋值法求系数和；（2）通过二项式定理的通项求参数值．【小问1详解】(xx7aaxax28x8在中，012x1，得0a12a8，取取0x=1，得25601a，8aaaa128以上两式相减，得．1357【小问2详解】(mxa707的通项为k1Ck7(mx)7km7kCk7x7k，mC76m2C5770若，可得，25所以m2m100，解得m2或．3．fx2x16.已知函数25x4exyfx在点处的切线方程；f0（1）求（2）求函数的极值．fxxy40【答案】（1）1（2）极大值为，极小值为e.7e2【解析】1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；（2）通过函数的导数研究函数的单调性，再求出函数极值点，求得极值.【小问1详解】fx，的定义域为R，fx2x由25x4ex得x1e2x2x，fx所以1，又f04，0f0e所以在点f0处的切线方程为yx4，即xy40；fx【小问2详解】fx2x2x1exx12x1ex，12由fx0，得x，或x1，121,,xx1时，f(x)>0fx当或，在上均单调递增；211,1x1xfx，在f0当时，上单调递减；22112127e故函数在x处取得极大值，极大值为f；fx2x1处取得极小值，极小值为fe.在故函数有极大值，也有极小值，极大值为12，极小值为e.fx7e17.光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等第定为优秀．现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下表：11数学（分）1459995135120122851301209物理（分）84908284838183819082（1）试列出22列联表，并依据0.10的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？N,，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均X2（2）如果本次测试理科考生的物理成绩数为，方差为2，若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩的等第优秀的概率．，则4，0.8413540.501，0.9772540.91206XN,2参考数据：取103，．若PX，，0.6827P2X0.9545PX0.9973．2nadbc2nabcd，．abcdacbd0.100.050.0250.0100.00550242.7063.8416.6357.879【答案】（1）答案见解析（2）0.08794【解析】1）根据题意完善22列联表，求2，并与临界值对比分析；（2）根据题意求平均数和方差，结合正态分布求PX90，进而利用对立事件分析求解.【小问1详解】由题意可得：22列联表为物理优秀物理非优秀总计数学优秀数学非优秀总计2024486410H零假设：数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关，01024042可得21.6672.7060.10，6428依据小概率值0.10H成立，0的独立性检验，可以推断即数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关.【小问2详解】18490828483818381908284x由题意可得，物理成绩的平均分为10184842908428284284842838428184283842s2方差1081842908428284210，X:N84,10，即84,90=0.97725，3结合题意可知：10，则，1P2X2可得PX902记“4人中至少1人物理成绩的等第优秀”为事件A，则A为“4人物理成绩的等第都是非优秀，44故PA1PX9010.9772510.912060.08794，所以4人中至少1人物理成绩的等第优秀的概率为0.08794.18.2024年4月25日—4月29日，“与辉同行”开启了一场深入中原的文化之旅，让河南文旅打开了流量密码．某景区趁此时机，举行五一游该景区网上购票抽奖活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机6个减免红包中随机抽取2个，6个红包的金额分别为5元、5元、10元、10元、30元、60元，已知该景区门票每张120元，全部实行网上购票．（1）记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为X，求X的分布列与期望；131612（2）已知每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为，，，举行此抽奖活动后预计可使该景区五一期间客流量增加40%，假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说明理由：①举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入是增加了，还是减少了？②举行抽奖活动后该景区在五一期间的总收入是增加了，还是减少了？【答案】（1）分布列见解析，40（2）①减少了；②增加了【解析】1）问先求随机变量的分布列，再求期望；（2）问通过随机变量的期望求总收入，再判断总收入是否增加．【小问1详解】由题意得X的取值可以是10，15，20，35，40，65，70，90．11224P(X10)P(X20)P(X40)P(X70)P(XP(XP(XP(X90)，，，，，C2615C26151122，C2615C26152222，，C2615C26152211C2615C2615所以X的分布列为XP10152035406570901412222114122221E(X)1015203540657090401515151515151515【小问2详解】①假设不举行抽奖活动，该景区在五一期间客流量为n人，则门票收入为120n元，n40)112n120n举行抽奖活动后该景区在五一期间门票收入为，所以举行抽奖活动后该景区五一期间门票收入减少了．②每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、