初高中数学衔接教材

PAGEPAGE91初高中数学衔接教材前言二次函数、二次方程、二次不等式在高中数学中占有重要地位,是高中数学学习的基础，在高中学习中一直是“重头戏”，高中函数、三角、解析几何的许多内容都与二次函数、二次方程、二次不等式有关．高中数学中有许多重要的基础性知识应用广泛，如一元二次方程根的分布、一元三次方程与不等式、高次不等式、含参数的不等式解法、“打勾函数”、恒成立问题、存在性问题、分式函数的值域等，这些知识在初高中教材中又是不常见的，几乎没有，本书在这些方面作一些补充和尝试．本书可以作为初高中衔接的教材，也是高一新生的入门教材，在高一阶段也可作为校本教材使用．目录第一章一元二次方程……………………11.1一元二次方程的判别式及其作用………11.2一元二次方程根的求解…………………11.3韦达定理及其应用………………………61.4一元三次方程根的求解…………………8第二章二次函数…………122.1二次函数常见的三种表达形式………122.2二次函数在特定区间内的值域(最值)…………………172.3函数(为常数，且)的图象和性质…………212.4函数(为常数，且)的图象和性质……242.5“耐克函数”为常数)与为常数)的图象和性质26第三章一元二次不等式…………………293.1一元二次不等式或(其中)的解法………293.2含参数的一元二次不等式的解法……………………353.3一元二次方程根的研究……39第四章高次不等式的解法…………………47第五章简单分式函数的值域求法…………515.1函数(其中的值域………………515.2函数(其中的值域………535.3函数(其中与(其中的值域55第六章恒成立问题与存在性问题…………586.1恒成立问题与存在性问题两个常见结论………………586.2二次函数的恒成立问题………………60第一章一元二次方程一元二次方程是高中数学学习的基础，在高中数学中占有十分重要的位置．一元二次方程根的求解、韦达定理、判别式、根的范围的分析等都是高中数学学习的基础．1.1一元二次方程的判别式及其作用对一般地，一元二次方程，判别式．当时，方程有两个不等实根，当时，方程有两个相等实根，当时，方程没有实数根．1.2一元二次方程根的求解一元二次方程根的求解常用三种办法：十字相乘法(因式分解)，配方法，公式法．1.2.1十字相乘法(因式分解)因式分解(分解因式)，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．因式分解法就是通过因式分解将一元二次方程化成的形式（注意方程右边一定是0）从而得出或．十字相乘法(因式分解)是解一元二次方程最常用的方法，应用最为广泛，一定要掌握,并多加练习,但只适用于左边易分解而右边是零的一元二次方程．例1.2.1解下列一元二次方程：(1)；(2)．解：(1)应用十字相乘法.把拆成和,把6拆成2和33(也可以拆成1和6,2和3的位置也可变化,具体取哪一种,要看2十字相乘能否凑成一次项的系数),如右图,然后再将和2相乘得,将和3相乘得到,最后将和加起来，看是不是等于式子中的一次项,如果是,就OK了.,从而得它的两个根为,．(2)应用十字相乘法化为,得它的两个根为,.1.2.2配方法先把方程化为形如为常数，）的方程，再用直接开平方法得方程的解．配方法是解一元二次方程公式法的基础，没有配方法就没有公式法．例1.2.2解一元二次方程：．解：由，得，得．1.2.3公式法公式法是解一元二次方程的通法，较配方法简单．当十字相乘法(因式分解)较困难时，是解一元二次方程最常用的方法．对一般地，一元二次方程，判别式．当时，方程有两个不等实根，；当时，方程有两个相等实根，；当时，方程没有实数根．例1.2.3解一元二次方程：．解：，方程有两个不等实根：．课后作业1.2分别解下列一元二次方程．１．（1）；（2）；(3）．２．(1)；(2)；(3)．３．（1）；(2)；（3）．４．（1）；(2)；（3）．５．（1）；(2)；（3）．６．７．８．(1)；(2)；(3)．９．已知是实常数，解下列一元二次方程：(1)；(2)．1.3韦达定理及其应用对一般地，一元二次方程，当判别式时，方程有两个实根，则有．例1.3.1已知是方程的两根，求：；；．解：由韦达定理．则(1)．(2)．(3)．例1.3.2已知是下列各方程的两实根,分别求：．解：(1)由韦达定理．则．(2)，由韦达定理，则．课后作业1.3１．已知是方程的两实根，求：；；．２．已知是方程的两实根，求的值．３．已知是方程的两实根，若，求的值．４．已知方程的两实根为２，－３，解方程．５．已知是方程的两实根，求的值．６．已知是方程的两实根，若,求的值．７．已知是方程的两根,求．８．已知是方程的两实根，若,求实数的取值范围．９．已知是方程的两不等实根，若,求实数的取值范围．1.4一元三次方程根的求解1.4.1一元三次方程猜根法求解高中数学中,一元三次方程根的求解,主要采用先猜一个有理根,再进行因式分解法求解．因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先猜出它的一个有理根，才能作因式分解．当然，因式分解的解法很简便，直接把三次方程降次．一般地,对一个一元三次方程：,如果它有有理根（既约分数），其中,且,则是的约数，是的约数．例1.4.1解一元三次方程：．解：,则的约数有,的约数有,若原方程有有理根，则有理根必为，先猜简单的为它的根，则该一元三次方程可化为，由于方程无实根，从而得它只有一个实数根：．例1.4.2解一元三次方程：．解：对左边作因式分解，得,得方程只有一个实数根：．例1.4.3解一元三次方程：．解：先猜一个根，则化为，再因式分解可得三个实数根．1.4.2一元三次方程卡尔丹公式法求解(含复数根)方程的三个根为(其中,为虚数单位)；；．标准型一元三次方程（其中，且），令代入上式，可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程．【卡尔丹判别法】当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根．1.4.３一元三次方程盛金公式法求解盛金公式法求解一元三次方程，在这里不作介绍，有兴趣可上网查询．相关链接：/s5518/msgview-49671-5.html1.4.4一元三次方程的根与系数的关系方程（其中，且）的三个根为,,,则,展开即得,,.课后作业1.4分别解下列一元三次方程：１．(1)；(2)；２．(1)；（2）．３．(1)；（2）．４．(1)；（2）．５．(1)；（2）．６．(1)；（2）．７．(1)；(2)．８．(1)；(2)．第二章二次函数二次函数的三种表示方法、二次函数的图象和性质以及二次函数的简单应用是本节内容的重点．在高中数学中，经常采用区间来表示相应的实数值的集合．具体规定如下：表示小于的实数的集合；表示大于的实数的集合；表示小于等于的实数的集合；表示大于等于的实数的集合；表示大于且小于（其中）的实数的集合；表示大于等于且小于等于（其中）的实数的集合；表示大于等于且小于（其中）的实数的集合；表示大于且小于等于（其中）的实数的集合．2.1二次函数常见的三种表达形式2.1.1交点式：，其中点为该二次函数与x轴的交点．在画交点式图象时采用描点法,一般应画出下列关键点:①轴上的交点，；②轴上的交点；③顶点（横坐标为）；④其它特殊点（例如等）．例2.1.1画出下列二次函数的图象：(1)；(2)；(3)．解：（1）（2）（3）2.1.2顶点式：，其中点为该二次函数的顶点．要求能够熟练作出顶点式函数的图象，熟练说出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性和函数的最大（小）值．二次函数的图象开口由的正负决定：当时，开口向上；当时，开口向下．二次函数的图象开口大小由决定：越大，开口越小；越小，开口越大．二次函数的单调性由的正负和对称轴决定：当时，开口向上时，在对称轴的左侧（即），

当x增大时，y随之减小(称之为单调递减，记为)；在对称轴的右侧（即），

当x增大时，y随之增大(称之为单调递增，记为)；当时，开口向下时，在对称轴的左侧（即），

当x增大时，y随之减小增大(称之为单调递增，记为)；在对称轴的右侧（即），

当x增大时，y随之减少(称之为单调递减，记为)；例2.1.2画出下列二次函数的图象,并分别说出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性和函数的最大（小）值：(1)；(2)．解：(1)如图2.1.2(1)，开口向上,对称轴，顶点坐标，，，无最大．(2)如图2.1.2(2)，开口向下,对称轴，图2.1.2(1)图2.1.2(2)顶点坐标，，，无最小．2.1.3一般式：．要研究函数的图象和性质，一般应熟练把它化为顶点式：，写出它的对称轴和顶点坐标，转化为上面的顶点式类型．的图象与系数的关系：的正负由开口方向决定，当时开口向上,当时开口向下；的大小(正负)由对称轴和开口(的正负)联合决定；的大小(正负)由它的图象与坐标轴轴的交点的位置决定．如图2.1.3,当判别式时,的图象与轴有两个不同的交点；当时，图象与轴有且只有一个公共点；当时,图象与轴没有公共点．当且判别式时，的图象恒在轴的上方．当且判别式时，0xy的图象恒在轴的下方．0xy0x0xy0x0xyy0xy0xy0xy图2.1.3（1）图2.1.3（2）图2.1.3（3）0xy0xy0xy图2.1.3（4）图2.1.3（5）图2.1.3（6）例2.1.3把下列二次函数的一般式化为顶点式：(1)；(2)；(3)．解：(1)．(2)．(3)．例2.1.4分别画出下列二次函数的图象,并说出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性和函数的最大（小）值：(1)；(2)．解：(1)，开口向上,对称轴，顶点坐标，，，无最大．(2)，开口向下,对称轴，顶点坐标，，，无最小．例2.1.5已知函数在上单调递增,求实数的取值范围．解：或得的取值范围是．课后作业2.1１．分别画出下列二次函数的图象：(1)；(2)；(3)．２．画出下列二次函数的图象,并分别说出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性和函数的最大（小）值：(1)；(2)；(3)．３．把下列二次函数的一般式化为顶点式：(1)；(2)；(3)．４．求下列函数的最大（或最小）值，并写出它的对称轴方程：(1)；(2)．５．分别画出下列二次函数的图象,并说出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性和函数的最大（小）值．(1)；(2)；(3)．６．分别求出下列二次函数图象在x轴、y轴上的交点坐标，判断开口方向，写出对称轴方程、顶点坐标，求出其最大值（或最小值），并画出图象：(1)；(2)．７．分别求出下列二次函数图象在x轴、y轴上的交点坐标，判断开口方向，写出对称轴方程、顶点坐标，求出其最大值（或最小值），并画出图象：(1)；(2)．８．求下列函数的最大（或最小）值，并写出它的对称轴方程：(1)(2)2.2二次函数在特定区间内的值域(最值)二次函数在特定区间内的值域(最值)求解的步骤：①先画出原函数在实数集Ｒ上的图象；②再在①的基础上画出它在特定区间内的图象；③根据图象得出该二次函数在特定区间内的值域(最值)．例2.2.1求下列二次函数在特定区间内的值域：(1)；(2)；(3)．解：(1)值域．(2)值域．(3)值域．例2.2.2求二次函数的最小值．解：二次函数对称轴．当时，如图2.2.2(1)，；当时，如图2.2.2(2)，；当时，如图2.2.2(3)，．图2.2.2(1)图2.2.2(2)图2.2.2(3)例2.2.3求二次函数的最大值．解：二次函数对称轴，开口向下．当时，如图2.2.3(1)，；图2.2.3(1)图2.2.3(2)图2.2.3(3)当时，如图2.2.3(2)，；当时，如图2.2.3(3)，．例2.2.4已知函数在区间上的最大值为１，求实数的值．解：由于二次函数的最值必在端点或对称轴处取得，先由得，由得，由得．经经验得适合条件的，或．课后作业2.2１．分别画出下列函数的图象：(1)；(2)；(3)．（１）（２）（３）２．分别画出下列函数的图象：(1)；(2)；(3)．（１）（２）（３）３．求下列函数的值域：(1)；(2)；(3)．４．若二次函数的最大值为2，求的值．５．若二次函数的最大值为，求的取值范围．６．求下列函数的值域：(1)；(2)．７．求函数的值域．８．求函数的值域．9．求二次函数的最小值．10．求函数的值域．11．若函数的最大值为，求实数．12．若，函数的最大值为0，最小值为－４，求实数的值．13．求函数的值域．14．已知是方程的两实根,求的最小值．15．若函数的最大值为，求实数的值．16．若函数的最大值为，求实数的值．2.3函数(为常数，且)的图象和性质2.3.1函数与函数的图象关系．把函数的图象在轴下方部分翻转到轴上方即得函数的图象．2.3.2函数与函数的图象关系．把函数的图象向右（）或向左（平移个单位即得函数的图象．2.3.3函数与函数()的图象关系．把函数的图象中的折线的倾斜度变化一下即得函数()的图象．思考题：①函数与函数()的图象关系；②函数与函数的图象关系．例2.3.1解不等式．解：法一讨论法时，；时，；综上所述，原不等式的解集是．法二图象法在同一坐标系下画出函数与的图象，由得；由得；如右图，得不等式的解集是．例2.3.２解不等式．解：法一讨论法时，得不合；时，得，此时，；时，得，此时，；综上所述，原不等式的解集是．法二图象法在同一坐标系下画出函数与的图象，由得；由得；如右图，得不等式的解集是．法三平方法两边平方得，，，得不等式的解集是．例2.3.3解下列不等式：(1)；(2)．解：（1）或，或，所以不等式的解集是．（2）先化为，或，即或，所以不等式的解集是．例2.3.4讨论函数与函数(为常数，且)图象的交点个数．解：当时，如图2.3.3(1),两图象交点0个；当时，如图2.3.3(1),两图象交点0个；当或时，如图2.3.3(2),2.3.3(3)两图象交点2个；当时，如图2.3.3(4),两图象交点1个．图2.3.3(1)图2.3.3(2)图2.3.3(3)图2.3.3(4)课后作业2.3１．分别画出下列函数的图象：(1)；(2)．２．分别解下列不等式：(1)；(2)．３．分别解下列不等式：(1)；(2)．４．分别解下列不等式：(1)；(2)．５．分别解下列不等式：(1)；(2)．６．分别解下列不等式：(1)；(2)．７．分别解下列不等式：(1)；(2)．８．分别解下列不等式：(1)；(2)．９．解关于的不等式：(为常数)．10．解关于的不等式：(为常数)．11．解关于的不等式：(为常数，且)．2.4函数(为常数，且)的图象和性质例2.4.1画出函数的图象．解：当时，，当时，，当时，，如右图例2.4.2画出函数的图象．解：当时，，当时，，当时，，如右图例2.4.3画出函数的图象．解：当时，，当时，，当时，，如右图例2.4.4画出函数的图象．解：当时，，当时，，当时，，如右图思考题：函数的图象如何画最简便?课后作业2.4１．分别画出下列函数的图象：(1)；(2)．２．分别画出下列函数的图象：(1)；(2)．３．若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围．４．若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围．５．若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围．６．分别画出下列函数的图象：(1)；(2)．７．分别画出下列函数的图象：(1)；(2)．８．若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围．2.5“耐克函数”为常数)与为常数)的图象和性质2.5.1函数的图象与性质“耐克函数”为常数)的图象，因它的图象像个勾形，又俗称＂打图2.5（１）图2.5（２）勾函数＂，也称为＂双勾函数＂．如图2.5（１）．函数为常数)在，在，如图2.5（２）．例2.5.1求函数的值域．解：如右图，可知函数的值域是．例2.5.2画函数的图象．解：由得，函数在，图象如右图．2.5.2函数为常数)单调性的证明先证明函数为常数)在单调递增．设，则,因为,所以,；又,所以,从而，即，由定义可知，函数为常数)在单调递增．思考题：你能证明函数为常数)在单调递增吗？课后作业2.5分别求下列函数的值域：１．(1)；(2)．２．(1)；(2)．３．(1)；(2)．４．(1)；(2)，且５．(1)；(2)．６．(1)；(2)．７．()．８．()．第三章一元二次不等式3.1一元二次不等式或(其中)的解法一元二次不等式的一般形式是或(其中).解一元二次不等式，应结合对应的二次函数的图象进行记忆，必须熟练掌握．0xy3.1.1如图3.1.1（1）,若判别式，设对应的一元二次方程两个实根，其中，则当时，不等式的解集是，不等式的解集是；如图3.1.1（2）,当判别式，且时，不等式的解集是，不等式的解集是；如图3.1.1（3）,当判别式，且时，不等式的解集是Ｒ，不等式的解集是．0xy0xy0xy0xy图3.1.1（1）图3.1.1（2）图3.1.1（3）3.1.2如图3.1.2（1）,若判别式，设对应的一元二次方程两个实根，其中，则当时，不等式的解集是，不等式的解集是；如图3.1.2（2）,当判别式，且时，不等式的解集是，不等式的解集是；如图3.1.2（3）,当判别式，时，不等式的解集是，不等式0xy的解集是Ｒ．0xy0xy0xy0xy图3.1.2（1）图3.1.2（2）图3.1.2（3）思考题：不等式和的解集分别是什么？3.1.3一元二次不等式和一元二次方程都是一元二次函数的特殊情况．一元二次方程的根就是一元二次函数的图象与轴交点的横坐标；一元二次不等式的解就是一元二次函数的图象在轴上方的点对应的横坐标；一元二次不等式的解就是一元二次函数的图象在轴下方的点对应的横坐标．一元二次不等式、一元二次方程和一元二次函数是密切联系的，应该进行联系记忆与应用．3.1.4解一元二次不等式或(其中)的标准步骤是：①先求判别式．当时,求出对应的一元二次方程的两个实根；②画出二次函数的草图；③根据图像和不等式的类型得它的解集．例3.1.1解下列一元二次不等式：(1)；(2)．解：(1),对应方程的两个根为,根据对应二次函数图象开口向上,得不等式解集为．(2)对应方程的两个根为,根据对应二次函数图象开口向上,得不等式解集为．例3.1.2解下列一元二次不等式：(1)；(2)；(3)．解：(1),根据对应二次函数图象开口向上,得解集为．(2),对应二次函数图象开口向下,得解集为Ｒ．(3)对应方程的两个根为,根据对应二次函数图象开口向下,得不等式的解集为．例3.1.3解一元二次不等式：．解：法一，，得或，从而得原不等式的解集是．法二先分别求出直线，与函数的图象的交点的横坐标．由，得或，由，得或，如图，由图象可知原不等式的解集是．例3.1.4若一元二次不等式的解集是,解不等式．解：根据抛物线的开口与解集的关系可知，且对应的对应的一元二次方程的两个实根，依韦达定理得代入得，即有，从而得不等式的解集是．课后作业3.1分别解下列一元二次不等式：１．(1)；(2)．２．(1)；(2)．３．(1)；(2)；(3)．４．(1)；(2)．５．(1)；(2)．６．(1)；(2)；７．(1)；(2)；(3)．８．(1)；(2)．９．(1)；(2)．10．(1)；(2)．11．(1)；(2)．12．(1)；(2)．13．(1)；(2)．14．(1)；(2)．15．(1)；(2)．16．(1)；(2)．17．(1)；(2)．18．(1)；(2)．19．(1)；(2)．20．若一元二次不等式的解集是，求不等式的解．21．若一元二次不等式的解集是，求不等式的解．3.2含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论(讨论应要求一步到位，避免讨论中又有讨论),讨论时考虑以下几个方面:①一元二次不等式，对应的一元二方程是否有根，需要讨论方程的判别式Δ的正负或零；②一元二次不等式，对应的一元二方程有两不等实根，则需要讨论两根的大小，先考虑两根相等；③应对一元二次不等式的二次项的系数的正负进行分类讨论．例3.2.1已知为实常数,解下列关于的不等式：(1)；(2)

．解:(1),由得.当时,解集是；当或时,不等式的解集是；当时,解集是R.(2)先用十字相乘法把不等式化为,由得.当时,不等式的解集是；当时,不等式的解集是R；当时,不等式的解集是.例3.2.2已知为实常数,解下列关于的不等式：.解：,由得.当且时,对应方程的两个根.当时,不等式的解集是；当时,不等式即为,解集是；当时,不等式的解集；当时,不等式的解集是．例3.2.3当为何值时,关于的不等式对任意实数恒成立?解:当，即时，适合，显然不合；当时，要使关于的不等式对任意实数恒成立，须满足即得；综上所述，的取值范围是．课后作业3.2已知:为实常数,分别解下列关于的不等式：１．．２．.３．．４．．５．．６．．７．．８．．９．．10．．11．．12．．13．．14．．15．.16．.17．.18．若关于的不等式对任意实数恒成立，求的取值范围．19．已知不等式（常数）．(1)如果不等式的解集是，求常数的值；(2)如果不等式的解集是实数集R，求常数的取值范围．3.3一元二次方程根的研究一元二次方程根的研究，一般有两种方法：一是利用韦达定理(只适用于两个根与0的关系)，如类型1，2，3等；二是利用对应的二次函数的四要素(开口,对称轴,判别式,根的范围的端点值)进行研究,如类型4，5，6，7，8，9，10，11，12等．类型１：两根均为不同正根例3.3.1若关于的方程的两根均为正根，求的取值范围．解：即得．类型2：两根均为不同负根例3.3.2若关于的方程的两根均为负根，求的取值范围．解：即得．类型3：两根为一正一负．例3.3.3若关于的方程的两根异号，求的取值范围．解：得．0xyｍ0xyｍ0xyｍ0xyｍ例3.3.4已知方程有两个大于１的不等实根，求实数的取值范围．解：得．0xyｍy0xｍ类型５：两根均为小于0xyｍy0xｍ例3.3.5若关于的方程的两根均小于２，求的取值范围．解：得．类型６：两根中一根小于，另一根大于0xy0xyｍy0xｍ例3.3.6若关于的方程的两根中一根小于－２，另一根大于－2，求的取值范围．解：，得．0xyｍn0xyｍn类型7：两根均为内的不同根(0xyｍn0xyｍn例3.3.7已知方程的两不等根均在区间内，求实数的取值范围．解：得得实数的取值范围是．0xyｍn0xyｍn类型8：两根均为0xyｍn0xyｍn根(例3.3.8若关于的方程的两根中一根小于1，另一根大于3,求的取值范围．解：得或．类型9：两根中一根在，另一根在()例3.3.9若关于的方程的两根中一根在(1,2)，另一根在(3,5),求的取值范围．解：得．类型10：两根中至少有一根大于或(等式应独立验证).例3.3.10已知方程至少有一个大于１的实根，求实数的取值范围．解法一：或，即或（经验证，从而得实数的取值范围是．解法二：用变量分离法，转化为求函数的值域，，其中，，得，即实数的取值范围是．类型11：两根中至少有一根小于或(等式应独立验证)．（此类问题也可转化为函数值域问题）例3.3.11已知方程至少有一个小于2的实根，求实数的取值范围．解：或，即或（经验证，得或，从而得实数的取值范围是．类型12：两根中至少有一根在内(例3.3.12已知方程至少有一根在内，求实数的取值范围．解：用变量分离法，转化为求函数的值域，，其中，且由于函数在区间单调递增，时，；时，，所以实数的取值范围是．课后作业3.3１．若关于的方程有两个不等正根，求实数的取值范围．２．若关于的方程有两个不等负根，求实数的取值范围．３．若关于的方程有一正一负的两根，求实数的取值范围．４．已知关于的方程的一根大于１，另一根小于１，求实数的取值范围．５．已知关于的方程的两个不同根满足,求实数的取值范围．６．已知关于的方程的两个不同根满足,求实数的取值范围．７．已知关于的方程在和各有一根，求实数的取值范围．８．已知关于的方程的两不等实根在内，求实数的取值范围．９．不等式在时恒成立，求实数的取值范围．10．已知关于的方程至少有一个正根，求实数的取值范围．11．已知关于的方程至少有一个正根，求实数的取值范围．12．已知关于的方程至少有一个正根，求实数的取值范围．13．已知关于的方程至少有一个负根，求实数的取值范围．14．已知关于的方程有一个大于3的根，求实数的取值范围．15．已知关于的方程在有根，求实数的取值范围．16．已知关于的方程在有根，求实数的取值范围．17．已知关于的方程在有根，求实数的取值范围．18．已知关于的方程在恰好有一根，求实数的取值范围．19．若关于的方程在恰好有一根，求实数的取值范围．20．若关于的方程在恰好有一根，求实数的取值范围．第四章高次不等式的解法解高次不等式，一般应把不等式的一边化为零，另一边分解因式后采用穿根法求解．在解分式不等式时应注意等号的取舍．例4.1分别解下列高次不等式：(1)；(2)；(3)．解：(1)，求出对应方程的三个根，在数轴上按顺序排好，如图，可得原不等式的解集是．(2)应先化为，对应方程的四个根－３，－１，２，４，在数轴上按顺序排好，如图，可得原不等式的解集是．(3)．对应方程的五个根－１，２，２，３，５（重根按重根计算），在数轴上按顺序排好，如图，可得原不等式的解集是．例4.2分别下列分式不等式：（1）；（2）．解：(1)或．（2）或．例4.3分别解下列高次不等式：(1)；(2)；(3)．解：(1)应先化为，求出对应各因式的三个零点，在数轴上按顺序排好，如图，可得原不等式的解集是．(2)求出对应各因式的六个零点（重根按重根计算），在数轴上按顺序排好，如图，可得原不等式的解集是．(3)应先化为，求出对应各因式的四个零点1，２，，数轴上按顺序排好，如图，可得原不等式的解集是．数学史小知识根据阿贝尔(Abel)定理，五次及以上的代数方程没有一般的代数解法，即不存在用根号表达的五次及以上的代数方程的一般式求根公式。因此，用根号表达的公式解代数方程问题就局限在四次及以下的代数方程。而解四次及以下的代数方程问题在数学史上最著名的就是解三次方程问题——虚数概念的引进，复数理论的建立，就是起源于解三次方程问题；解三次方程问题在现实中应用较广泛。因而解三次方程问题具有较高的学术探讨价值。高次求根其它方法：方法一：牛顿切线法方法二：牛顿割线法方法三：二分法方法四：劈因子法方法五：林士谔—赵访熊法相关链接/view/87e7c8bd83d049649a66582b.html课后作业4.1，4.2分别解下列高次不等式：１．(1)；(2)．２．(1)；(2)．３．(1)；(2)．４．(1)；(2)．５．(1)；(2)．６．(1)；(2)．７．(1)；(2)．８．(1)；(2)．９．(1)；(2)．１0．(1)；(2)．11．(1)；(2)．12．解高次不等式：．13．解高次不等式：．14．若不等式的解集是，求的取值范围．第五章简单分式函数的值域求法本节主要研究下列四种简单的分式函数的值域：①(其中；②(其中；③(其中；④(其中．5.1函数(其中的值域此类函数的值域求法主要有两种：一是变形法（去分子变量），再利用双曲函数的图象研究；二是反解法由得来研究．例5.1.1求函数的值域．解法一，时，，，从而得值域为．解法二由得，即，从而得值域为．例5.1.2求函数的值域．解：采用反解法，，，从而得值域为．例5.1.3求函数的值域．解：变形法，时，，，，从而得值域为．课后作业5.1分别求下列函数的值域：１．(1)；(2)．２．(1),且)；(2)．３．(1),且)；(2),且)．４．(1)；(2)．５．(1)；(2)．６．(1)；(2)．７．(1)；(2)．８．(1)；(2)．９．(1)；(2)．5.2函数(其中的值域此类函数的值域求法主要有两种：一是判别式法(主要适用变量无其它限制条件)(例5.2.1)；二是通过换元转化为＂打勾函数＂等来研究(例5.2.2)．例5.2.1求函数的值域．解：由得，，得值域为．例5.2.2求函数的值域．解：设，则，且，利用＂打勾函数＂的图象，可知函数的值域为．课后作业5.2分别求下列函数的值域：１．(1)；(2)．２．(1)；(2)．３．(1)；(2)．４．(1)；(2)．５．(1)；(2)．６．(1)；(2)．７．(1),且)；(2)．８．若函数的值域为，求的值．5.3函数(其中与(其中的值域．再通过转化为5.2的类型．例5.3.1.求函数的值域．解：．时，取，适合；时，，得或．从而得函数的值域是．例5.3.2.求函数的值域．解：设，则，，所以函数的值域为．例5.3.3求函数的值域．解：则当时，；当时，，得；，且．综上所述，函数的值域是．例5.3.4求函数的值域．解：设，其中，则随的增大而增大，从而得函数的值域.课后作业5.3分别求下列函数的值域：１．．２．．３．．４．．５．．６．(1)；(2)．７．(1)；(2)．８．．９．求函数的最大值．第六章恒成立问题与存在性问题6.1恒成立问题与存在性问题两个常见结论恒成立问题与存在性问题两个常见结论：①若对函数定义域D内的一切，都有（为常数）成立，则有；同理，若对函数定义域D内的一切，都有（为常数）成立，则有．②若对函数定义域D内的一切，存在一个使得（为常数）成立，则有；同理，若对函数定义域D内的一切，存在一个使得（为常数）成立，则有．例6.1.1已知函数．(1)若对任意的，都有，求常数的取值范围；(2)若对任意的，都有，求常数的取值范围；(3)若存在，使得成立，求常数的取值范围．解：当时，，．(1)，得．(2)，得．(3)，得．例6.1.2已知不等式对任意的恒成立，求的取值范围．解：函数是关于的一次函数，所以只须得．课后作业6.1１．已知函数．(1)若对任意的，都有，求实数的取值范围；(2)若对任意的，都有，求实数的取值范围．２．已知函数．(1)若存在，使得成立，求实数的取值范围；(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．３．若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．４．若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．５．若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．６．若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．７．若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．８．已知不等式对任意的恒成立，求的取值范围．９．若对一切,都有恒成立,求实数的取值范围．6.2二次函数的恒成立问题二次函数的恒成立问题，一般有两种解决方法：一是利用二次函数的四要素(开口,对称轴,判别式,根的范围的端点值)进行研究；二是利用变量分离法转化为求函数的最大或最小问题．例6.2.1已知函数．(1)若对任意的实数，都有恒成立，求常数的取值范围；(2)若对任意的，都有，求常数的取值范围；(3)若对任意的，使得成立，求常数的取值范围．解(1)当时，恒成立；当时，须得；综上所述，常数的取值范围是．(2)当时，恒成立；当时，由于二次函数的对称轴是，函数在是单调函数，所以有或即或；综上所述，常数的取值范围是．(3)当时，不成立；当时，开口必向上，有得；综上所述，常数的取值范围是．例6.2.2已知函数，若对任意的实数，都有恒成立，求常数的取值范围．解法一：二次函数的对称轴是，有或即或，得的取值范围是．解法二：用变量分离法，即对任意的恒成立，设函数，即有．由于，设，则，利用＂打勾函数＂的图象可知，从而得的取值范围是．课后作业6.2１．若不等式对任意的实数恒成立，求常数的取值范围．２．若不等式对任意的实数恒成立，求常数的取值范围．３．若不等式对任意的实数恒成立，求常数的取值范围．４．若不等式对任意的实数恒成立，求常数的取值范围．５．若不等式对任意的实数恒成立，求常数的取值范围．６．若不等式对任意的实数恒成立，求常数的取值范围．７．若不等式对任意的实数恒成立，求常数的取值范围．８．若不等式对任意的实数恒成立，求常数的取值范围．９．若不等式对任意的实数恒成立，求常数的取值范围．10．若不等式，对任意的实数恒成立，，求常数的取值范围．11．若不等式对任意的实数恒成立，求常数的取值范围．12．若不等式，若对任意的实数恒成立，求常数的取值范围．13．若不等式对任意的实数恒成立，求常数的取值范围．14．若不等式对任意的实数恒成立，求常数的取值范围．15．若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围．16．若不等式对任意的实数恒成立，求常数的取值范围．17．若不等式对任意的实数恒成立，求常数的取值范围．18．若存在，使得不等式成立，求常数的取值范围．单元检测卷一(第一章)班级学号姓名一.选择题1.下列各一元二次方程没有实根的是……………………（）A.B.C.D.2.下列各一元二次方程的两根均为正根的是……………（）A.B.C.D.3.下列各方程中只有一个实根的是………（）A.B.C.D.4.若是方程的两实根，则的是………（）A.40B.32C5.若方程有两实根，则的取值范围是……………（）A.B.C.D.6.下列各方程中叙述不正确的是…………（）A.方程的两根为B.方程无实根C.方程有两相等正根D.方程的两根为7.下列各方程中叙述正确的是……………（）A.方程有两不等实根B.若方程的两根为，则C.方程的两根为D.方程有两不等根8.若是方程的两实根，则…（）A.B.C.D.139.若一元三次方程有一实根，则的值为………（）A.39B.15C.10.若是方程的两实根，则…（）A.B.C.D.二填空题11.方程的根是.12.方程的根是.13.方程的根是.14.时,方程的根是.15.一元三次方程的根是.16.已知是方程的两实根，则．17.已知方程的两实根为５,，则方程的根是．三.解答题18解下列一元二次方程:．19.已知是方程的两实根，若，求的值．20.已知是方程的两实根，求的值．21.已知是常数,解下列各方程：(1);(2)．22.已知是方程的两不等实根，若,求实数的取值范围．单元检测卷二(第二章A)班级学号姓名一.选择题1.函数的顶点和最值分别是……………（）A.顶点(1,3),B.顶点(-1,3),C.顶点(1,3),D.顶点(-1,3),2.对函数表达正确的是………………（）A.对称轴B.对称轴C.有最大值D.有最大值3.若的函数值在时随的增大而增大,则的取值范围是………………………（）A.B.C.D.4.函数的值域是………（）A.B.C.D.5.若函数的图象始终在轴的上方,则的取值范围是…………………………（）A.B.C.D.6.函数的值域是………（）A.B.C.D.7.若函数的值域是，则的取值范围是……………………（）A.B.C.D.8.若函数的最大值是3，则…………（）A.5B.8C.11D.129.要使函数的开口向下，最大值为正，则的取值范围是…………………………（）A.B.C.D.10.若函数的最小值是1，则…………（）A.B.2C.D.二填空题11.函数的值域是.12.若函数的最大值为３，则=．13.函数的值域是.14.当时,函数的最小值是．15.函数的值域是.16.若函数的值域是,则的取值范围是．17.函数的最大值为，则实数=．三.解答题18.分别求出下列二次函数图象在x轴、y轴上的交点坐标，判断开口方向，写出对称轴方程、顶点坐标，求出其最大值（或最小值），并画出图象：(1)；(2)．19.若，函数的最大值为10，最小值为，求实数的值.20.求函数的值域．21.已知是方程的两实根,求的最小值．22.若函数的最小值为，求实数的值．单元检测卷三(第二章B)班级学号姓名一.选择题1.不等式的解是……………（）A.B.C.或D.或2.不等式的解是………………（）A.B.C.或D.或3.函数的值域是………………（）A.B.或C.D.或4.函数的值域是……………………（）A.B.C.D.5.不等式的解是…………（）A.B.C.D.或6.函数的最小值是………………（）A.B.C.3D.47.若存在实数,使不等式成立,则的取值范围是…………………………（）A.B.C.D.8.若当时，恒有，则的取值范围是……………（）A.B.C.D.9.函数的值域是…………（）A.B.C.D.10.若当时，不等式恒成立,则的取值范围是…………………………（）A.B.C.D.二填空题11.不等式的解是.12.不等式的解是.13.函数的值域是.14.函数的最小值是.15.若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围是．16.函数，且的值域是.17.函数的值域是.三.解答题18.解下列不等式：(1)；(2)．19.(1)若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围;(2)若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围．20.求函数()的值域．21.解关于的不等式：(为常数)．22.解关于的不等式：(为常数)．单元检测卷四(第三章)班级学号姓名一.选择题1.不等式的解是………（）A.或.B.C.D.或.2.下列不等式对任意实数恒成立的是……………………（）A.B.C．D.3.若不等式的解是，则不等式的解是…………………………（）A.或B.或C.无实数解D.4.若方程的两根为一正一负，则的取值范围…（）A.B.C.D.5.若方程的两根均为正根，则的取值范围…………（）A.B.C.D.6.若不等式对任意恒成立,则的取值范围是…………………………（）A.B.C.D.7.若方程的两根满足，则………………………（）A.B.C.D.8.若方程的两根均大于1,则的取值范围是………（）A.或B.C.D.9.若方程至少有一根满足,则的取值范围是…………………………（）A.B.C.D.10.关于不等式的解说法正确的是……（）A.时的解为或B.时的解为C.时的解为或D.时的解为二填空题11.不等式的解是.12.不等式的解是.13.若关于的方程有两正根，则实数的取值范围．14.若不等式无实解,则的取值范围是.15.已知关于的方程的一根大于１，另一根小于－3，则实数的取值范围是．16.已知关于的方程在和各有一根，则实数的取值范围是．17.不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是．三.解答题18.若一元二次不等式的解集是，求不等式的解．19.若关于的方程有两个不等负根，求实数的取值范围．20.已知为实常数,解关于的不等式.21.不等式在时恒成立，求实数的取值范围．22.已知关于的方程至少有一个正根，求实数的取值范围．单元检测卷五(第四章)班级学号姓名一.选择题1.不等式的解是………………（）A.或B.或C.或D.或2.若不等式的解是或，则的取值范围是…………………………（）A.B.C.D.3.不等式的解是……………………（）A.或B.或C.或D.或4.函数的值域是………………（）A.B.C.D.5.函数的值域是………（）A.B.C.D.6.函数的值域是……………（）A或B.或C.D.7.若函数的值域是，则的值是…………………（）A.3B.C.D.8.不等式的解是……………（）A.或B.或C.或或D.9.函数且的值域是………（）A.B.C.或D.或10.不等式的解是…………（）A.或B.或C.或D.或二填空题11.不等式的解是.12.不等式的解是.13.不等式的解是.14.函数的值域是.15.函数的值域是.16.函数的值域是.17.函数的值域是.三.解答题18.分别解下列高次不等式(1);(2).19.求函数的值域.20.求函数的值域21.求函数的值域22.若函数的值域为，求的值．单元检测卷(第六章)班级学号姓名一.选择题1.当时,不等式恒成立,则的取值范围是…（）A.B.C.D.2.若存在,使不等式成立,则的取值范围是……（）A.B.C.D.3.若不等式对任意实数恒成立,则取值范围是…（）A.B.C.D.4.若不等式对任意实数恒成立,则取值范围是…（）A.B.C.D.5.当时,不等式恒成立,则取值范围是…（）A.B.C.D.6.当时,不等式恒成立,则取值范围是…（）A.B.C.D.7.若不等式对任意正实数恒成立,则取值范围是…（）A.B.C.D.8.当时,不等式恒成立,则取值范围是……（）A.B.C.D.9.若存在,使不等式成立,则的取值范围是…………………………（）A.B.C.D.10.若不等式对任意实数恒成立,则取值范围是………………………（）A.B.C.或D.二填空题11.若对任意的，都有，则的取值范围是.12.若存在大于2的实数，使得成立，则的取值范围是．13.若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是．14.若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是．15.不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是．16.若不等式对任意的实数恒成立，则常数的取值范围是．17.若不等式对任意的实数恒成立，则常数的取值范围是．三.解答题18.若不等式对任意的实数恒成立，求常数的取值范围．19.若不等式，若对任意的实数恒成立，求常数的取值范围．20.若不等式对任意的实数恒成立，求常数的取值范围．21.若不等式对任意的实数恒成立，求常数的取值范围．22.若不等式对任意的实数恒成立，求常数的取值范围．作业答案1.11.（1）或．（2）或．（3）或．2.（1）或．（2）或．（3）或．3.（1）或．（2）或．（3）或．4.（1）．（2）．（3）无实数解．5.(1）．（2）．（3）．6.（1）或．（2）或．（3）7.（1）或．（2）或．（3）．8.（1）或．（2）或．（3）无实数解．9.（1）时有两个不等根，；时，方程有两个相等根．（2）时有两个不等根，；时，方程有两个相等根．1.21.．．．2.．3.．4.或．5.或．6.．7.．8.或．9.或．1.31.．(2)．2.(1)．(2)．3.(1)．(2)．4.(1)．(2)．5.(1)．(2)．6.(1)．(2)．7.(1)．(2)．8.．．2.11.(1)(2)(3)2.(1)开口向上,对称轴，顶点坐标，，，无最大．开口向下,对称轴，顶点坐标，，，无最小．(3)开口向下,对称轴，顶点坐标，，，无最小．3.(1)．(2)．(3)．4.(1)，开口向上,对称轴，顶点坐标，，，无最大．(2)，开口向下,对称轴，顶点坐标，，，无最小．(3)，开口向上,对称轴，顶点坐标，，，无最大．5.(1)令得或，与轴交点，与轴交点，，开口向下,对称轴，顶点坐标，，，无最小．(2)令得，与轴交点，与轴交点，，开口向上,对称轴，顶点坐标，，，无最大．6.(1)令得，与轴交点，与轴交点，，开口