鲁教版五四制七年级数学下册全套教案

193/193二元一次方程组【教学目标】一、教学知识点。（一）体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。（二）二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。二、能力训练要求。（一）通过分析实际问题，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的数学模型。（二）了解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。三、情感与价值观要求。（一）体会方程的模型思想，培养学生良好的数学应用意识。（二）通过对学生熟悉的传统内容（如鸡兔同笼）的讨论，激发学生学习数学的兴趣。【教学重难点】一、重点。（一）通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效模型。（二）了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。二、难点。（一）探索实际问题中的等量关系，列出二元一次方程组。（二）判断一组数是不是二元一次方程组的解。【教学方法】学生自主探索——教师引导的方法。学生已具备了列一元二次方程解决实际问题的经验基础。在教学中，教师可引导学生思考列二元一次方程时，如何寻求等量关系，放手让学生经过自主探索列出二元一次方程组。【教学过程】一、创设情境，引入新课。［师］小学时，我们就解答过著名的“鸡兔同笼”的问题，如“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”谁能用我们学过的知识来解答一下呢？［生］解：设鸡有x只，则兔有(35－x)只，根据题意，可得：2x+4(35－x)=94；解得x=23。∵35－x=35－23=12；答：鸡有23只，兔有12只。［生］不用方程也可以解答：如果让每只鸡都抬起一条腿，让每只兔子都抬起两条腿，即让它们表演“优美动人”的“金鸡独立”和“玉兔拜月”，这样它们一共抬起了94÷2=47条腿，并且只有47条腿着地了。接着让鸡飞上蓝天，让兔练习“金鸡独立”，也就是每只兔子只有一只腿着地，这样着地的腿数又减少了35条，而只有47－35=12条腿着地了，并且有一条腿着地，就有一只兔子，所以应该有12只兔子，35－12=23只鸡。［师］这两位同学解答“鸡兔同笼”的问题都非常精彩，特别是第二位同学。我们用掌声鼓励他们。接下来，老师说一种新的思路。在上面“鸡兔同笼”的问题中，我们会发现它有两个等量关系：鸡的只数+兔子的只数=35；鸡的腿数+兔子的腿数=94。如果我设鸡有x只，兔子有y只，这时我们就得到了方程x+y=35和2x+4y=94。这节课我们就来学习这样的方程及由它们组成的方程组。二、讲授新课。出示：有这么一段对话：老牛和小马驮着包裹走在路上。老牛：累死我了！小马：你还累？这么大的个儿，才比我多驮2个。老牛：哼，我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的2倍！小马：真的？！请问：老牛和小马各驮了多少包裹呢？［师生共析］设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹。从老牛和小马的对话中，我们可以探索到其中的等量关系：①老牛驮的包裹－小马驮的包裹数=2，②老牛驮的包裹数+1=(小马驮的包裹数－1)×2。由此我们就可得到方程x－y=2和x+1=2(y－1)。出示：星期天，俱乐部举行“希望工程”义演，每张成人票5元，每张儿童票3元。我们共去了8个人，买门票花了34元，请问我们共去了几个成人，几个儿童呢？如果设我们共去了x个成人，y个儿童，由此你能找到怎样的等量关系？得到怎样的方程呢？［生］在上述问题中，我们可以找到的等量关系为：成人人数+儿童人数=8，成人票款+儿童票款=34。由此我们可得方程x+y=8和5x+3y=34。［师］在上面的两个问题中，我们得到了四个方程：x－y=2和x+1=2(y－1)，x+y=8和5x+3y=34。在这四个方程中，它们有何共同的特点。下面请同学们分组讨论。（此时，老师可参与到学生的讨论中，引导学生和以前学过的一元一次方程相联系，观察方程中有几个未知数，未知数的次数是几次？含有未知数的项的次数是几次？）［生］上面我们所列的四个方程都含有两个未知数，未知数的次数和含有未知数的项的次数都是一次。老师，我们能不能把它们叫二元一次方程。因为我国古代就把未知数叫做元，并且它们的未知数的次数是一次。［师］很好。它们的确都是二元一次方程。但我有一个问题和大家共讨论。我这儿有一个方程6xy－3=2。它也含有两个未知数，且未知数的次数x，y都是一次，它和上面的四个方程一样吗？［生］不一样。它虽然含有两个未知数，未知数x，y也都是一次的，但6xy这一项即含未知数的项却是二次的。［师］你真棒。正像这位同学说的，6xy－3=2不是二元一次方程。x－y=2和x+1=2(y－1)，x+y=8和5x+3y=34它们才是二元一次方程。能用自己的语言归纳什么叫二元一次方程吗？［生］含有两个未知数，并且含有两个未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。［师］接下来，我们讨论下面的问题：在上面的方程x－y=2和x+1=2(y－1)中，x，y的含义相同吗？［生］应该相同。在两个二元一次方程中，x都表示老牛驮的包裹数，y都表示小马驮的包裹数，因此x，y的含义是相同的。［师］也就是说，x、y既满足第一个方程x－y=2，又满足第二个方程x+1=2(y－1)。于是我们把它们联立起来，得：像这样的含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。如：和都是二元一次方程组。注意在一个方程组中x、y应代表同一个量。出示：做一做（一）x=6，y=2适合方程x+y=8吗？x=5，y=3呢？x=4，y=4呢？你还能找到其他x、y值适合方程x+y=8吗？（二）x=5，y=3适合方程5x+3y=34吗？x=2，y=8呢？（三）你能找到一组x、y的值，同时适合方程x+y=8和5x+3y=34吗？（四）从以上三个问题归纳总结什么是二元一次方程的解？它的解有何特点？（五）满足何条件的一组值才能是二元一次方程组的解？（请同学们分组讨论完成，教师深入学生当中，随时发现同学们讨论问题时的闪光点。）［师生共析］（一）把x=6，y=2代入方程x+y=8的左边得x+y=6+2=8，左边=右边，所以x=6，y=2是适合方程x+y=8。我们把适合二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解。因此x=6，y=2即为x+y=8的一组解。我们会发现x=5，y=3也适合方程x+y=8，因此x=5，y=3也是方程x+y=8的一组解。还有没有其他的x，y的值适合方程x+y=8呢？［生］有。如x=1，y=7；x=4，y=4；x=8，y=0；……［生］我发现，只要给出x的一个值，代入x+y=8中，便可得到y的一个值。例如我们设x=－1，则代入x+y=8中，得－1+y=8，解得y=9。所以x=－1，y=9适合方程，是方程的一个解。也因此而得到x+y=8的解有无数多个。［师生共析］（二）把x=5，y=3代入方程5x+3y=34的左边=5x+3y=5×5+3×3=34。所以x=5，y=3是方程5x+3y=34的一个解。同样x=2，y=8也是方程5x+3y=34的一个解。我们把x=2，y=8是方程5x+3y=34的一个解记作同样也是方程5x+3y=34的一个解。（三）由（一）、（二）我们可以发现既是方程x+y=8的一个解，也是5x+3y=34的一个解。我们把这两个二元一次方程的公共解，叫做由这两个二元一次方程组成的方程组的解。例如就是二元一次方程组的解。三、例题精析。［例1］已知方程2xm+2+3y1－2n=17是一个二元一次方程，则m=________，n=________。解：由二元一次方程的定义，得：m+2=1，1－2n=1；∴m=－1，n=0。［例2］写出一个以为解的二元一次方程组。解：答案不是惟一。只要写出的二元一次方程组的解是即可。例如。评注：二元一次方程组的解必须同时适合方程组中的每个方程。四、课时小结。这节课通过对实际问题的分析，使学生进一步体会到了方程是刻画现实世界的有效模型。在此基础上，我们了解了二元一次方程。二元一次方程组及其解等概念，并学会了判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。五、活动与探究。求二元一次方程2x+y=7的正整数解。过程：我们知道求二元一次方程2x+y=7的正整数解，就是求适合2x+y=7的一组未知数的正整数的值。2x+y=7的解有无数多个，而正整数解只有九个。由等式的性质可由方程2x+y=7得到y=7－2x，由于x，y只能取正整数，所以x=1，2或3。当x=1时，y=7－2×1=5；当x=2时，y=7－2×2=3；当x=3时，y=7－2×3=1。结果：二元一次方程2x+y=7的正整数解为。六、参考练习。（一）填空题。1．已知方程2x2n－1－3y3m－n+1=0是二元一次方程，则m=_________，n2．方程①2x+5y=0；②2x－=8；③5x+2y=7；④4x－xy=3；⑤；⑥x－2y2=6；⑦+y=5中，二元一次方程有_________。（填序号）3．若x－3y=2，则7－2x+6y=_________。4．若x=1，y=－1适合方程3x－4my=1，则m=_________。5．在x－5y=7中，用x表示y=_________；若用y表示x，则_________。答案：1．、；2．①③⑤⑦；3．7－2x+6y=7－2(x－3y)=7－2×2=3；4．－；5．、7+5y。（二）选择题。1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）。A．B．C．D．2．下列各对数中，是方程组的解是（）。A．B．C．D．均不对3．已知是方程组的解，则a等于（）。A．B．2C．1D．－24．若是方程3x+y=0的一个解（a≠0）。则有（）。A．A、B异号B．A、B同号C．A、B同号也可能异号D．以上均不对答案：1．C；2．B；3．A；4．A。（三）已知方程，求当x=－3时，y的值。答案：－3。解二元一次方程组【课时安排】2课时【第一课时】【教学内容】解二元一次方程组（一）；代入法。【教学目标】一、教学知识点。（一）代入消元法解二元一次方程组。（二）解二元一次方程组时的“消元”思想，“化未知为已知”的化归思想。二、能力训练要求。（一）会用代入消元法解二元一次方程组。（二）了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想。三、情感与价值观要求。（一）在学生了解二元一次方程组的“消元”思想，从而初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想中，享受学习数学的乐趣，提高学习数学的信心。（二）培养学生合作交流，自主探索的良好习惯。【教学重点】1．会用代入消元法解二元一次方程组。2．了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体现数学研究中“化未知为已知”的化归思想。【教学难点】1．“消元”的思想。2．“化未知为已知”的化归思想。【教学准备】投影片两张：第一张：例题；第二张：问题串。【教学过程】一、提出疑问，引入新课。［师生共忆］我们讨论一个“希望工程”义演的问题；没去观看义演的成人有x人，儿童有y人，我们得到了方程组成人和儿童到底去了多少人呢？［生］在上一节课的“做一做”中，我们通过检验是不是方程x+y=8和方程5x+3y=34，得知这个解既是x+y=8的解，也是5x+3y=34的解，根据二元一次方程组解的定义得出是方程组的解。所以成人和儿童分别去了5个人和3个人。［师］但是，这个解是试出来的。我们知道二元一次方程的解有无数个。难道我们每个方程组的解都去这样试？［生］太麻烦啦。［生］不可能。［师］这就需要我们学习二元一次方程组的解法。二、讲授新课。［师］我们学过一元一次方程，也曾碰到过“希望工程”义演问题，当时是如何解的呢？［生］解：设成人去了x人，儿童去了(8－x)人，根据题意，得：5x+3(8－x)=34解得x=5；将x=5代入8－x=8－5=3；答：成人去了5个，儿童去了3个。［师］同学们可以比较一下：列二元一次方程组和列一元一次方程设未知数有何不同？列出的方程和方程组又有何联系？对你解二元一次方程组有何启示？［生］列二元一次方程组设出有两个未知数成人去了x人，儿童去了y人。列一元一次方程设成人去了x人，儿童去了(8－x)人。y应该等于(8－x)。而由二元一次方程组的一个方程x+y=8根据等式的性质可以推出y=8－x。［生］我还发现一元一次方程中5x+3(8－x)=34与方程组中的第二个方程5x+3y=34相比较，把5x+3y=34中的“y”用“8－x”代替就转化成了一元一次方程。［师］太好了。我们发现了新旧知识之间的联系，便可寻求到解决新问题的方法——即将新知识转化为旧知识便可。如何转化呢？［生］我们就已知道方程组的两个未知数所包含的意义是相同的。所以将中的①变形，得y=8－x③；我们把y=8－x代入方程②，即将②中的y用8－x代替，这样就有5x+3(8－x)=34。“二元”化成“一元”。［师］这位同学很善于思考。他用了我们在数学研究中“化未知为已知”的化归思想，从而使问题得到解决。下面我们完整地解一下这个二元一次方程组。解：由①得，y=8－x③；将③代入②得，5x+3(8－x)=34；解得x=5；把x=5代入③得，y=3。所以原方程组的解为。下面我们试着用这种方法来解答“谁的包裹多”的问题。［师生共析］解二元一次方程组：分析：我们解二元一次方程组的第一步需将其中的一个方程变形用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，把表示了的未知数代入未变形的方程中，从而将二元一次方程组转化为一元一次方程。解：由①得，x=2+y③；将③代入②得，(2+y)+1=2(y－1)；解得y=5；把y=5代入③，得，x=7。所以原方程组的解为，即老牛驮了7个包裹，小马驮了5个包裹。［师］在解上面两个二元一次方程组时，我们都是将其中的一个方程变形，即用其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入第二个未变形的方程，从而由“二元”转化为“一元”而得到消元的目的。我们将这种方法叫代入消元法。这种解二元一次方程组的思想为消元思想。我们再来看两个例子。出示投影片：［例题］解方程组（由学生自己完成，两个同学板演）。解：（1）将②代入①，得，3×+2y=8；3y+9+4y=16；7y=7；y=1；将y=1代入②，得，x=2。所以原方程组的解是。（2）由②，得，x=13－4y③；将③代入①，得，2(13－4y)+3y=16；－5y=－10，y=2；将y=2代入③，得，x=5。所以原方程组的解是。［师］下面我们来讨论几个问题：出示投影片：（1）上面解方程组的基本思路是什么？（2）主要步骤有哪些？（3）我们观察例1和例2的解法会发现，我们在解方程组之前，首先要观察方程组中未知数的特点，尽可能地选择变形后的方程较简单和代入后化简比较容易的方程变形，这是关键的一步。你认为选择未知数有何特点的方程变形好呢？（由学生分组讨论，教师深入参与到学生讨论中，发现学生在自主探索、讨论过程中的独特想法。）［生］我来回答第一问：解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”。［生］我们组总结了一下解上述方程组的步骤：第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，把它变形为用一个未知数的代数式表示另一个未知数。第二步：把表示另一个未知数的代数式代入没有变形的另一个方程，可得一个一元一次方程。第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值。第四步：把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程（一般代入变形后的方程），求得另一个未知数的值。第五步：用“{”把原方程组的解表示出来。第六步：检验（口算或笔算在草稿纸上进行）把求得的解代入每一个方程看是否成立。［师］这个组的同学总结的步骤真棒，甚至连我们平时容易忽略的检验问题也提了出来，很值得提倡。在我们数学学习的过程中，应该养成反思自己解答过程，检验自己答案正确与否的习惯。［生］老师，我代表我们组来回答第三个问题。我们认为用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的分数是1的方程进行变形；若未知数的系数都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形。但我们也有一个问题要问：在例2中，我们选择②变形这是无可厚非的，把②变形后代入①中消元得到的是一元一次方程系数都为整数也较简便。可例1中，虽然可直接把②代入①中消去x，可得到的是含有分母的一元一次方程，并不简便，有没有更简捷的方法呢？［师］这个问题提的太好了。下面同学们分组讨论一下。如果你发现了更好的解法，请把你的解答过程写到黑板上来。［生］解：由②得：2x=y+3③；③两边同时乘以2，得：4x=2y+6④；由④得，2y=4x－6⑤；把⑤代入①，得：3x+(4x－6)=8解得：7x=14，x=2。把x=2代入③得：y=1。所以原方程组的解为。［师］真了不起，能把我们所学的知识灵活应用，而且不拘一格，将“2y”整体上看作一个未知数代入方程①，这是一个“科学的发明”。三、随堂练习。课本习题答案。（一）用代入消元法解下列方程组。解：将①代入②，得：x+2x=12；x=4。把x=4代入①，得：y=8。所以原方程组的解为。将①代入②，得：4x+3(2x+5)=65；解得，x=5。把x=5代入①，得：y=15。所以原方程组的解为。。由①，得：x=11－y③；把③代入②，得：11－y－y=7；y=2。把y=2代入③，得：x=9。所以原方程组的解为。由②，得：x=3－2y③；把③代入①，得：3(3－2y)－2y=9；得：y=0。把y=0代入③，得：x=3。所以原方程组的解为。注：在随堂练习中，可以鼓励学生通过自主探索与交流，各个学生消元的具体方法可能不同，不必强调解答过程统一。四、课时小结。这节课我们介绍了二元一次方程组的第一种解法——代入消元法。了解到了解二元一次方程组的基本思路是“消元”即把“二元”变为“一元”。主要步骤是：将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。解这个一元一次方程，便可得到一个未知数的值，再将所求未知数的值代入变形后的方程，便求出了一对未知数的值。即求得了方程的解。五、活动与探究。已知代数式x2+px+q，当x=－1时，它的值是－5；当x=－2时，它的值是4，求p、q的值。过程：根据代数式值的意义，可得两个未知数都是p、q的方程，即：当x=－1时，代数式的值是－5，得：(－1)2+(－1)p+q=－5①；当x=－2时，代数式的值是4，得：(－2)2+(－2)p+q=4②；将①、②两个方程整理，并组成方程组：－p+q=－6③；－2p+q=0④；解方程组，便可解决。结果：由④得，q=2p；把q=2p代入③，得：－p+2p=－6；解得p=－6。把p=－6代入q=2p=－12；所以p、q的值分别为－6、－12。【第二课时】【教学内容】解二元一次方程组（二）；加减法。【教学目标】一、教学知识点。（一）用加减消元法解二元一次方程组。（二）进一步了解解二元一次方程组时的“消元”思想，“化未知为已知”化归思路。二、能力训练要求。（一）会用加减消元法解二元一次方程组。（二）根据不同方程的特点，进一步体会解二元一次方程组的基本思路——消元。三、情感与价值观要求。（一）进一步体会解二元一次方程组的消元思想，在化“未知为已知”的过程中，体验学习的快乐。（二）根据方程组的特点，培养学生学习教学的创新、开拓的意识。【教学重点】1．掌握加减消元法解二元一次方程组的原理及一般步骤。2．能熟练地运用加减消元法解二元一次方程组。【教学难点】1．解二元一次方程组的基本思路消元即化“二元”为“一元”的思想。2．数学研究的“化未知为已知”的化归思想。【教学准备】投影片一张：问题串。【教学过程】一、提出疑问，创设问题情景，引入新课。［师］怎样解下面的二元一次方程组呢？［生1］解：把②变形，得x=③；把③代入①，得：3×+5y=21；解得y=－3。把y=3代入②，得：x=2。所以方程组的解为。［生2］解：由②得5y=2x+11③；把5y当作整体将③代入①，得：3x+(2x+11)=21；解得x=2。把x=2代入③，得：5y=2×2+11；y=3。所以原方程的解为。［师］我们可以发现第二种解法比第一种解法简单。有没有更好的解法呢？也就是说，我们上一节课学习了用代入的方法可以消元，从而使“二元”变为“一元”。那么有没有别的消元办法也可以使“二元”变为“一元”。［生］我发现了方程①和②中的5y和－5y互为相反数，根据互为相反数的和为零，如果能将方程①和②的左右两边相加，根据等式的性质我们可以得到一个含有x的等式，即一元一次方程，而5y+(－5y)=0消去了y。［师］很好。这正是我们这节课要学习的二元一次方程组的解法中的第二种方法——加减消元法。二、讲授新课。［师］下面我们就用刚才这位同学的方法解上面的二元一次方程组。解：由①+②，得：(3x+5y)+(2x－5y)=21+(－11)；即3x+2x=10，x=2。把x=2代入②中，得：y=3。所以原方程组的解为。［师生共析］一个方程组我们用了三种方法，从中可以发现，恰当地选择解法可以起到事半功倍的效果。回忆上一节的练习和习题，看哪些题用代入消元法解起来比较简单？哪些题我们用加减消元法简单？我们分组讨论，并派一个代表阐述自己的意见。［生］我们组认为课本的随堂练习的（3）（4）小题用加减消元法简单。［师］你们组能派两位同学有加减消元法把这两个方程组解一下吗？［生］可以。（学生黑板演示，接着听其他组讨论的结果。）［生］我们组认为习题的第1题中（2）也可以用加减消元法，我可以到黑板上做。［师］下面，我们讲评一下刚才这几位同学解方程组的方程。（1）；（2）这两个方程组中，y的系数都是互为相反数，因此这两位同学都用了用方程组中的两个方程相加，从而把y消去，将二元转化为一元，最后解出了方程的解，很好。（3）我们观察此方程y的系数都是1，因此这位同学想到了用②－①，得x=3，代入①就解出y=2。这几位同学的解法很好，同学们已经发现了方程组中如果一个未知数的系数相反或相同，我们就可以用加减消元法来解方程组。［生］老师，我有一个问题：有些题，用代入消元法解，较麻烦。用加减消元法解，x、y的系数不相同也不相反，没有办法用加减消元法。是不是还有别的方法。［师］这个同学提的问题太好了。能发现问题是我们学习很重要的一个方面，同学们应该向他学习。接下来，同学们分组讨论，方程组不用代入消元法如何解？［生］老师，我们组想出了一个办法，能不能用等式的性质将这个方程组中的x或y的系数化成相等（或相反）呢？［生］可以。我只要在方程①和方程②的两边分别除以3和4，x的系数不就变成“1”了吗？这样就可以用加减消元法了。［生］我不同意。这样做，y的系数和常数项都变成了分数，比代入消元法还麻烦。我觉得应该找到y的系数－2的绝对值和3的最小公倍数6，在方程①两边同乘以3，得9x－6y=－12③，在方程②两边同乘以2，得8x+6y=－22④，然后③+④，就可以将y消去，得17x=－34，x=－2。把x=－2代入①得，y=－1。所以方程组的解为。［师］同学们为他鼓掌，他的想法太精彩了，我们祝贺他。其实在我们学习数学的过程中，不一定二元一次方程组中未知数的系数刚好是1，或同一个未知数的系数刚好相同或相反。我们遇到的往往就是这样的方程组，我们要想比较简捷地把它解出来，就需要转化为同一个未知数系数相同或相反的情形，从而用加减消元法，达到消元的目的。下面我们看一个例子。解方程组。分析：未知数的系数没有绝对值是1的，也没有哪一个未知数的系数相同或相反。我们观察可以发现，x的系数绝对值较小，因此我们找到2和3的最小公倍数6，然后①×3，②×2，便可将①②的x的系数化为相同。解：①×3得6x+9y=36③；②×2，得6x+8y=34④；③－④，得y=2。将y=2代入①，得x=3。所以原方程组的解是。［师］我们根据上面几个方程组的解法，接下来讨论下面两个问题：出示投影片：（1）加减消元法解二元一次方程组的基本思路是什么？（2）用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？（由学生分组讨论、总结）。［师生共析］（1）用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”。（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤。第一步：在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边分别相减，消去这个未知数。第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数的绝对值相等，那么应选出一组系数（选最小公倍数较小的一组系数），求出它们的最小公倍数（如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数），然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等（都等于原系数的最小公倍数），再加减消元。第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简（去分母，去括号，合并同类项等）。通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程右边的形式，再作如上加减消元的考虑。三、随堂练习。课本用加减消元法解下列方程组：1．解：①+②，得：16x=－16；x=－1。把x=－1代入①，得：y=－5。所以原方程的解为。②－①，得6y=－18；y=－3。把y=－3代入①，得：x=－2。所以原方程组的解为。①－②×2得：5t=15；t=3。把t=3代入②，得：s=－1。所以原方程组的解为。①×2－②×3，得：－11x=33；x=－3。把x=－3代入①得y=－4。所以原方程组的解为。注：在随堂练习中，可以鼓励学生通过自主探索与交流，不必强调解答过程统一。四、课时小结。关于二元一次方程组的解法：代入消元法和加减消元法我们全部学完了。比较这两种解法我们会发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”。五、活动与探究解三元一次方程组：过程：解二元一次方程组的实质是消元，即通过消去一个未知数，由“二元”变为“一元”，于是我们联想，能否借助解二元一次方程组消元的思路，将三元一次方程组消元，由“三元”消为“二元”，不就是我们刚学过的二元一次方程组吗。我们观察这个方程组②中不含未知数z，如果能利用①和②消去z，不就又得到一个和②一样只含x，y的二元一次方程④，将②和④联立成二元一次方程组。也就将三元一次方程组消元，由“三元”变为“二元”。结果：解：由①－③得：－x+2y=8④；联立②、④得：；由②+④得：y=9。把y=9代入②，得：x=10。把x=10，y=9代入①得：z=7。所以三元一次方程组的解为：。二元一次方程组的应用【课时安排】3课时【第一课时】【教学目标】（一）使学生初步掌握列二元一次方程组解应用题。（二）通过将实际问题转化成纯数学问题的应用训练，培养学生分析问题、解决问题的能力。（三）通过对祖国文明史的了解，培养学生爱国主义精神，树立为中华崛起而学习的信心。【教学重难点】一、重点。根据等量关系列二元一次方程组解应用题。二、难点。根据题意找出等量关系，列出方程。【教学过程】一、以历史背景引课。我们伟大祖国具有五千年的文明史，在历史的长河中，为科学知识的创新和发展做出了巨大的贡献，特别在数学领域有[九章算术]、[孙子算经]等古代名著流传于世，普及趋于民众，许多问题浅显易懂，趣味性强，如[九章算术]下卷第三题目“雉兔同笼”等，漂洋过海传到了日本等国，对中国古代文明史的传播起了很大作用。“雉兔同笼”题为：“今有雉兔同笼，上有三十五关，下有九十四足，问雉兔各几何？”问题1：“上有三十五头”指的意思是什么？“下有九十四足”呢？答：“上有三十五头”指的鸡和兔共有三十五个头，“下有九十四足”指的是鸡和兔共有九十四只脚。这个古老的数学问题，用今天的方程解决，体现了古为今用的原则，为后人理解了数学的过去和现在，当代的著名的数学家陈省生教授在说起“鸡兔同笼”时，曾另有一番别有风趣的延伸：“全体鸡兔立正，兔子提起前面的两只脚，请问现在共有几只脚？”二、畅所欲言。从上面的问题的解决中，你得到了什么感悟，有什么收获？请与同学们交流。用方程组解决实际问题时应该注意下列几个问题：认真读题和审题，弄清古代问题的现实意义；正确设出未知数；找出相等关系，并列出方程组。解此方程组。写出答案。三、动手动脑，练一练。（一）古代有一个捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人，在分赃，在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证：隔壁听到人分银，不知人数不知银。只知每人五两多六两，每人六两少五两，问你多少人数多少银？（二）“今有牛五、羊二、直金十两，牛二、羊五，直金八两，牛、羊各直金几何？”四、课堂小结，理一理经过本节课的学习，你有什么收获和体会？【第二课时】【教学目标】一、目标。（一）会正确地运用表格分析与“增收节支”相似一类问题的数量关系，会列二元一次方程组这类问题。（二）培养学生分析问题和解决问题的能力。（三）让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力。【教学重难点】会正确地运用表格分析与“增收节支”相似一类问题的数量关系，会列二元一次方程组这类问题。【教学过程】一、议一议。（一）增长（亏损）率问题的公式？原量（1+增长率）=新量，或原量（1-亏损率）=新量。（二）银行利率问题中的公式？利息=本金×利率×期数，本息和本金+利息。二、做一做。（1）某工厂去年的利润（总产值-总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有总产值/万元总支出/万元利润/万元去年xy200今年（小组讨论，完成上表）总产值/万元总支出/万元利润/万元去年xy200今年（1+20%）x（1-10%）y780根据题意得：，解之得：。答：去年的总产值为2000万元，总支出1800万元，变式：若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？简析：如果设今年的总产值为x万元，总支出为y万元，则：让学生动手解这个方程组，体验这种解法的繁琐，再让学生探索，受上例的启发，应该设间接未知数，设去年的总产值勤x万元，总支出为y万元，计算方便。医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质，若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？解：设每餐需甲、乙两种原料各x、y克，则有下表：甲原料各x克乙原料各y克所配制营养品其中所含营养品0.5x单位0.7y单位(0.5x+0.7y)单位其中所含铁质x单位0.4y单位(x+0.4y)单位根据题意，可得方程组：0.5x+0.7y=35x+0.4y=40化简，得，5x+7y=350①5x+2y=200②①－②，得5y=150，y=30；将y=30代入①，得x=28。所以每餐需要甲原料28克、乙原料30克。解此题需要注意以下两点：（一）甲（乙）原料所含蛋白质（铁质）=甲（乙）原料的质量×每克所含蛋白质（铁质）的含量。（二）甲原料所含蛋白质（铁质）+乙原料所含蛋白质（铁质）=营养品所含蛋白质（铁质）。（2）甲、乙两相距6千米，两人同时出发，同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇，两人的平均速度各是多少？解：设甲的平均速度是每小时行x千米，乙的平均速度是每小时行y，根据题意，得：；解这个方程组，得：。答：平均每小时甲行4千米，乙行2千米。四、小结。（一）做应用题时应强调列表分析数量关系的重要性。（二）设未知数有两种方法：1．直接设元。2．间接设元，当直接设元较繁时应间接设元。（三）教后感：让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力。正确地运用表格分析与“增收节支”相似一类问题的数量关系，会列二元一次方程组这类问题。【第三课时】【教学目标】一、教学知识点。（一）用二元一次方程组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题。（二）归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。二、能力训练要求。（一）让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型。（二）初步体会列方程组解决实际问题的一般步骤。三、情感与价值观要求。（一）“里程碑上的数”这一场景既是一个数字问题，又和行程有关。相对而言有一定难度，让学生体验把复杂问题化为简单问题策略的同时，培养学生克服困难的意志和勇气。（二）鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。【教学重难点】一、重点。（一）用二元一次方程组刻画数学问题和行程问题。（二）初步体会列方程组解决实际问题的步骤。二、难点。将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型。【教学方法】引导——讨论——发现法。【教学过程】一、创设情境，引入新课。（一）出示：［问题1］1．一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个数可表示为_________；如果交换个位和十位上的数字，得到一个新的两位数可表示为_________。2．有两个两位数x和y，如果将x放在y的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数就可以表示为_________；如果将x放在y的右边，得到一个新的四位数，那么这个新的四位数又可表示为_________。3．一个两位数，个位上的数为m，十位上的数为n，如果在它们之间添上一个零，就得到一个三位数，用代数式表示这个三位数为_________。［师生共析］1．个位上的数字是a，即有a个1，十位数字是b个10，所以这个两位数是b个10和a个1的和即10b+a；如果交换它们的位置，得到一个新的两位数，即a个10与b个1的和即10a+b。2．两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，这时，x的个位数就变成了百位，十位数就变成了千位，因此这个四位数里含有x个100，而两位数y在四位数中数位没有变化，因此这个四位数中还含有y个1。因此用x、y表示这个四位数为100x+y。同理，如果将x放在y的右边，得到一个新的四位数为100y+x。3．一个两位数，个位上的数是m，十位上的数是n，如果在它们之间添上零，十位上的几便成了百位上的数。因此这个三位数是由n个100，0个10，m个1组成的，用代数式表示这个三位数即为100n+m。［师］下面我们就用上面几个小知识解决下面的综合性问题。二、讲援新课。［师］翻开课本，我们来研究“里程碑上的数”。同学们先阅读课本上的第一段文字及文字下的三幅图片，然后我请一位同学陈述一下问题的内容。［生］这个问题讲的是：小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶。小明在12∶00时看到的里程碑上的数是一个两位数，它的两个数字之和是7；在13∶00时看到的里程碑上的数十位与个位数字与12∶00时看到的正好颠倒了；在14∶00时小明看到的里程碑上的数比12∶00时看到的两位数中间多个0。试确定小明12∶00时看到里程碑上的数。［师］我们可以注意到“里程碑上的数”这一场景是非常有趣的，它既是一个数字问题，又和行程有关，同时，相对而言又有一定的难度。但我们知道一个复杂的问题往往是由几个简单的问题组合而成的，要想求出12∶00时小明看到的里程碑上的数，就得确定这个两位数个位和十位上的数字。我们不妨设小明在12∶00时看到的数十位数字是x，个位数字是y，根据题意，你能将12∶00、13∶00、14∶00时小明看到的里程碑上的数表示出来吗？［生］小明12∶00时看到的里程碑上的数可以表示为10x+y；13∶00时看到的里程碑上的数可表示为10y+x；14∶00时看到的里程碑上的数可表示为100x+y。［师］我们要想求出x、y的值，就得建立关于x、y的二元一次方程组这样的数学模型，为此，我们必须找出题目中的等量关系。［生］12∶00时小明看到的里程碑上的数，它的两个数字之和是7，于是我们可得到一个等量关系，用x，y表示即为x+y=7。［生］从题目中，我们还可以注意到小明的爸爸骑摩托车带着小明在公路上是匀速行驶的。说明12∶00～13∶00与13∶00～14∶00两段时间内所行驶的路程相等。现在我们最关键的是用x、y表示出12∶00～13∶00时间段所行驶的路程，13∶00～14∶00时间段所行驶的路程。［生］根据12∶00、13∶00、14∶00时小明看到的里程碑上的数可得：12∶00～13∶00间摩托车行驶的路程为(10y+x)－(10x+y)；13：00～14：00间摩托车行驶的路程为(100x+y)－(10y+x)。因此可列出相应的方程为(10y+x)－(10x+y)=(100x+y)－(10y+x)。［师］根据以上分析，同学们在练习本上列出方程组，解出方程组的解。（由两位同学黑板上板演）。解：设小明在12∶00时看到的十位数字是x，个位数字是y，根据题意，得方程组：。①②化简，得：①②把②代入①，得：x=1；把x=1代入②，得y=6；所以，这个方程组的解为。因此，小明在12：00时看到的里程碑上的数是16。［师］从对上述问题的求解过程，我们可以得到一点启示：遇到较复杂的问题，我们通过把它化解为几个简单问题去分析，可以使思路清晰，使复杂问题在化解的过程中迎刃而解，下面我们再来看一下例题。出示：两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数。已知前一个四位数比后一个四位数大2718，求这两个两位数。分析1．本题目中的两个等量关系为：较大的两位数+较小的两位数=68；前一个四位数－后一个四位数=2178。2．设较大的两位数为x，较小的两位数为y，在较大的数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为100x+y；在较大的数左边写上较小的数，所写的数可表示为100y+x。解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，则；化简，得：；即；解该方程组，得：；所以这两个两位数分别是45和23。三、课时小结。列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？（引导学生回顾本章各个问题的解决过程，归纳出列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。不一定要明晰一个十分具体的步骤。只要学生了解这个过程即可，不必要求学生回答规范化、统一化。）［师生共同分析］列二元一次方程组解应用题的主要步骤：1．弄清题意和题目中的等量关系。用字母表示题目中的两个未知数。2．找出能够表示应用题全部含义的两个相等关系。3．根据这两个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组。4．解这个方程组并求出未知数的值。5．根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理？6．写出符合题意的解释。四、活动与探究。北京和上海能制造同型号电子计算机，除本地使用外，北京支援外地10台，上海可支援外地4台，现在决定给重庆8台，武汉6台，每台运费如表所示。现在有一种调运方案的总运费为7600元。问：这种调运方案中北京、上海分别应调给武汉、重庆各多少台？终终点起点武汉重庆北京48上海35过程：如果设这种调运方案中北京应调x台到武汉，y台到重庆；上海则应调(6－x)台到武汉，(8－y)台到重庆。由每台运费的表格可知：北京—→武汉，费用需4x百元。北京—→重庆，费用需8y百元。上海—→武汉，费用需3(6－x)百元。上海—→重庆，费用需5(8－y)百元。合计7600元即76百元。结果：解：设这种调运方案中北京应调x台到武汉，y台到重庆；上海应调(6－x)台到武汉，(8－y)台到重庆，根据题意，得：；化简得；解得。所以从北京调6台到武汉，4台到重庆；上海不用给武汉调，只需给重庆调4台。二元一次方程与一次函数【教学目标】一、知识目标。（一）使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系。（二）能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。（三）能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式。二、能力目标。通过学生的思考和操作，在力图提示出方程与图象之间的关系，引入二元一次方程组图象解法，同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力。三、情感目标。通过学生的自主探索，提示出方程和图象之间的对应关系，加强了新旧知识的联系，培养了学生的创新意识，激发了学生学习数学的兴趣。【教学重难点】一、重点。（一）二元一次方程和一次函数的关系。（二）能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。二、难点。方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力。【教学过程】一、试一试。问题：方程x+y=5的解有多少个？写出其中的几个解来。方程x+y=5的解有无数多个，如：、、、、等。在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5－x的图象上吗？在一次函数y=5－x的图象上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5－x的图象相同吗？二、做一做。在同一直角坐标系内分别作出一次函数y=5－x和y=2x－1的图象，这两个图象有交点吗？交点的坐标与方程组的解有什么关系？你能说明理由吗？一次函数y=5－x和y=2x－1的图象的交点为（2，3），因此，就是方程组的解。例1：用作图象的方法解方程组。解：由x－2y=－2可得y=，同理，由2x–y=2可得y=2x–2，在同坐标系中作出一次函数y=的图象和y=2x–2的图象，观察图象，得两直线交于点（2，2），所以方程组的解是x=2，y=2。同学们从本题中感悟到什么？原来我们解二元一次方程组除了代入法和加减法外还可以用图象法，那么用作图法来解方程组的步骤如下：（一）把二元一次方程化成一次函数的形式。（二）在直角坐标系中画出两个一次函数的图象，并标出交点。（三）交点坐标就是方程组的解。三、想一想。在同一直角坐标系中，分别画出一次函数y=x+1和y=x－2的图象，观察它们有怎样的位置关系？方程组的解的情况如何？你发现了什么？两条直线平行，所以方程组无解。四、练一练。用作图象的方法解方程组。由2x+y=4得y=－2x+4由2x－3y=12可得y=在同一直角坐标系中做出函数y=－2x+4和函数y=的图象，观察图象可得交点为（3，－2），所以方程组的解是。五、教后感。（一）通过学生的思考和操作、自主探索，画图提示出方程与图象之间的关系，引入二元一次方程组图象解法，同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力。使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系并能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。（二）通过学生的提示出方程和图象之间的对应关系，加强了新旧知识的联系，培养了学生的创新意识，激发了学生学习数学的兴趣。【第二课时】【教学目标】一、知识与技能。二元一次方程和一次函数的关系。二、过程与方法。通过学生的思考和比较，进而获得从图象等信息确定一次函数表达式的方法。同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力。三、情感态度与价值观。通过学生的自主探索、思考和比较，进而获得从图象等信息确定一次函数表达式的方法，加强一次函数与二元一次方程的联系。【教学重难点】一、重点。从图象等信息确定一次函数表达式的方法。二、难点。方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力。【教学过程】一、创设情景，引入新课。出示：A、B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时从A、B两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数。1时后乙距A地80千米；2时后甲距A地30千米。问经过多长时间两人将相遇？你是怎样做的？与同伴交流。小明：可以分别做出两人s与t之间的图象（如图所示）：出交点的横坐标就行了！小颖：对于乙s是t的一次函数，可设s=kt+b，当t=0时，s=100；t=1时，s=80；将它们分别代入s=kt+b中可求出k、b的值，也即可求出s与t的函数表达式。同样可以求出甲s与t的函数表达式，再联立这个表达式求解方程组就行了。小彬：1时后乙距A地80千米，即乙速度是20千米/时，2时后甲距A地30千米，也即甲速度是15千米/时，由此可以求出甲、乙两人的速度和为20+15=35（千米/时）所以两人相遇需要的时间为==2（小时），由此可以看出一道题可以用三种不同的方法来解：通过画图象解方程，用消元法解方程组，用解方程三种方法，由此可知，二元一次方程和一次函数密切相关——这节课我们继续研究：二元一次方程和一次函数的关系。二、讲授讲课。（一）提出问题，引发讨论。你明白他们的想法吗？用他们的方法做一做，看看和你的结果一致吗？小明的方法求出的结果准确吗？小明的想法是：由于在前一课时已经有了用作图象的方法解方程组的经验，因此较为自然的做法是画图象，但画图的结果多是近似的难以精确。小颖的想法是：确定甲、乙各自的s与t之间的函数表达式，再用消元法解方程组，能准确地求出结果。小彬的想法是：根据行程问题中的相遇问题，找出等量关系列一元一次方程来解。通过对上述几种方法的比较，发现小颖的想法很好，既利用了小明的想法的优点，克服了他的想法的缺点。优点：直观地获得问题的结果，使考虑问题的思路清晰，借助图象帮助我们寻找解题途径；缺点：作图象的方法难以获得准确的结果，由此可见当遇到一次函数，二元一次方程有关的问题，要认真审清题意，必要时要借助数形结合，从图象信息确定一次函数表达式加强一次函数与二元一次方程的联系。（二）导入知识，解释疑难。从上面的问题中，用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法。例题讲解：某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（千克）的一次函数。现知李明带了60千克的行李，交了行李费5元；张华带了90千克的行李，交了行李费10元。1．写出y与x之间的函数表达式。2．旅客最多可免费携带多少千克的行李？解：1．设y=kx+b依题意得；②－①得30k=5，。将k=代入①得b=－5，所以y=x－5。2．当x=30时，y=0，所以旅客最多可免费携带30千克的行李。三、随堂练习。（一）图中的两直线l1，l2的交点坐标可以看作方程组_________的解。解：根据图象可知l1过点(1，3)、(0，1)。设l1是函数y=k1x+b1的图象，根据题意，得；解之得k1=2，b1=1。所以l1是函数y=2x+1的图象。l1同理可得l2是函数y=4－x的图象。所以l1、l2交点的坐标可看作二元一次方程组的解。四、课时作业设计。A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午从A地出发驶往B地，如下图中，折线PQR和线段MN分别表示甲和乙，所行的里程S与该日下午时间t之间的关系。（一）甲出发多少小时乙才开始出发？（二）乙行使多少小时就能追上了甲，这时两人离B地还有多少千米？答案：解：（1）甲下午1时出发，乙下午2时出发，乙比甲晚1小时出发。（2）设QR的表达式为s=k1t+b1点Q(2，20)、R(5，50)。依题意得：；解之得：。所以QR的表达式为s=10t。设MN的表达式为s=k2t+b2点M(2，0)、N(3，50)。依题意得：；解之得：。所以MN的表达式为s=50t－100；解方程组；得。所以乙行使2.5－2=0.5（小时）就追上甲，此时两人离B地还有：50－25=25千米。三元一次方程组【教学目标】1．通过对二元一次方程组的类比学习，了解三元一次方程组的概念，会用“代入”“加减”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决；2．再次经历找等量关系、建立方程模型的活动过程。在解方程组的过程中体会其基本思想就是“消元”。无论是解二元一次方程组、还是三元一次方程组，推广到四元、五元、多元一次方程组，基本策略都是化多为少、逐一解决，具体措施都是“代入”或“加减”，以实现“消元”，转化为一元一次方程，从而得解。【教学重点】让学生感受把新知转化为已知、把不会的问题转化为学过的问题、把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想。【教学难点】感受数学知识之间的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生建立数学模型解决问题的良好习惯。【教学方法】自主探究合作交流。【教学过程】一、创设情景，导入新课。内容：问题1．已知甲、乙、丙三数的和是23，甲的数比乙的数大1，甲的数的两倍与乙的数的和比丙数大20，求这三个数。在这个方程组中，和都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程（linearequationwiththreeunknowns）。像这样共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组（systemoflinearequationswiththreeunknowns）。关注概念中的三个要点：1．未知数的个数；2．未知数的次数；3．未知数同时满足三个等量关系。三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解。二、类比学习，探究新知。内容：引导学生回顾前面所学二元一次方程组解法的基本指导思想——消元，以及消元的基本方法（代入消元、加减消元），尝试对。进行消元，从而解决问题1。步骤（一）选取一种方法解此三元一次方程组，由学生独立思考解决，教师注意指导学生规范表达。步骤（二）在学生独立选择方法解决的基础上，引导学生进行比较：在解三元一次方程组时的消元与解二元一次方程组的消元有什么不同？解上面的方程组时，你能先消去未知数y（或z），从而得到方程组的解吗？1．三元一次方程组的消元可以类比二元一次方程组的消元进行；2．用代入消元法：由于方程组③式的特点，可将③式分别代入①②式，消去x，从而转化为关于y，z的二元一次方程组的求解；3．用加减消元法：由于③式中没有含z，可以将①，②式联立相加，消掉z，从而得到关于x，y的二元一次方程组的求解；4．总结求解三元一次方程组的整体思路——消元，实现三元二元一元的转化。在消元过程中，消“谁”都行，用那种消法（代入法、加减法）也可，但如果选择合适，可提高计算的效率。三、理解巩固。内容：解方程（1）（2）四、实际应用。内容：某校初中三个年级共有651人，八年级的学生比九年级的学生人数多10%，七年级的学生比八年级多5%，求三个年级各有多少学生？解：由题意设七，八，九年级的学生人数分别为x，y，z人，得方程：由②可将z用y表示，由③可将x用y表示，代入①可得到关于y的一元一次方程。解得：。所以，七，八，九年级的学生人数分别为231，220，200人。五、课堂小结。内容：（一）三元一次方程组的概念；（二）三元一次方程组的解法；三元三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程消元消元注意选好要消的“元”，选好要消的“法”：代入消元、加减消元。（三）谈谈求解多元一次方程组的思路，提炼化归的思想。【作业布置】1．课本习题。2．有同学说列三元一次方程组能解决的问题，一元一次方程也能解决，说一下你的看法。【教学反思】1．本节课的内容属于选修学习的内容，主要突出对数学兴趣浓厚、学有余力的同学进一步探究和拓展使用，在数学方法和思想方面需重点引导，通过引导，使学生明白解多元方程组的一般方法和思想，理解巩固环节需多注意多种解题方法的引导，并且比较各种解题方法之间的优劣，总结出解多元方程的基本方法。2．作为选修课，在内容上要让学生理解三元一次方程组概念的同时，要让学生理解为什么要用三元一次方程组甚至多元方程组去求解实际问题的必要性，从而掌握本堂课的基础知识。在教学的过程中，要让学生充分理解对复杂的实际问题方程中元越多，等量关系的建立就越直接；充分理解代入消元法和加减法解方程的优点和缺点，有关这一方面的题目要让学生充分讨论、交流、合作，其理解才会深刻。定义与命题【课时安排】2课时【第一课时】【教学目标】一、知识目标。从具体实例中，探索出定义，并了解定义在现实生活中的重要性。从具体实例中，了解命题的概念，并会区分命题。二、能力目标。通过从具体例子中提炼数学概念，使学生体会数学与实践的联系。【教学重难点】一、重点。命题的概念。二、难点。命题的概念的理解。【教学过程】一、巧设现实情境，引入新课。“有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。”这一简短的语句既说明了等腰三角形是三角形的一类，又指出了等腰三角形区别于其他三角形的本质特征。我们把它叫做等腰三角形的定义。这节课我们就要研究：定义与命题。二、讲授新课。在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义加以描述，做出明确的规定，也就是给他们下定义。如：“具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和国的公民”是“中华人民共和国公民”的定义。大家还能举出一些例子吗？定义实际上就是一种规定。例如，“大于直角而小于平角的角叫做钝角。”这个定义规定了凡是大于直角而小于平角的角都是钝角，反过来，凡是钝角都大于直角而小于平角。这个定义既可以作为钝角的一种判定方法——凡是大于直角而小于平角的角都可以“判定”为钝角，又可以作为钝角的性质——钝角都大于直角而小于平角。过去我们学习过数、式和图形的一些性质。（一）例如：1．如果a=b，那么a+c=b+c；2．对顶角相等；3．如果a，b，c是三角形的三条边长，并且a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；4．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。上面给出的语句都是对某件事情进行判断的句子。对事情做出判断的句子，就叫做命题。即：命题是判断一件事情的句子。（二）例如：1．熊猫没有翅膀。2．对顶角相等。3．大家能举出这样的例子吗？4．两直线平行，内错角相等。5．无论n为任意的自然数，式子n2－n+11的值都是质数。6．任意一个三角形都有一个直角。7．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。8．全等三角形的对应角相等。大家举出许多例子，说明命题就是肯定一个事物是什么或者不是什么，不能同时既否定又肯定，如：你喜欢数学吗？作线段AB=A。平行用符号“∥”表示。这些句子没有对某一件事情做出任何判断，那么它们就不是命题。一般情况下：疑问句不是命题。图形的作法不是命题。三、课堂练习。（一）你能列举出一些命题吗？答案：能。如：你是人。（二）举出一些不是命题的语句。答案：如：你是人吗？四、课时小结。本节课我们通过具体实例，说明了定义在生活中的重要性。在具体实例中，了解了命题的概念。命题：判断一件事情的句子。【第二课时】【教学目标】一、知识目标。了解真命题、假命题、定理的含义，会区分命题的条件（题设）和结论，奠定推理论证的基础。二、能力目标。初步体会公理化思想，并了解本套教材所采用的公理。三、情感目标。通过介绍欧几里得的《原本》，使学生感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值。【教学重难点】一、重点。对命题的组成能清楚地区分，对命题的真假能准确地判断。二、难点。体会公理化思想。【教学过程】一、创设情境。（一）活动：观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同伴交流。1．如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等。2．如果a=b，那么a2=b2。3．如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等。4．如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等。5．如果两个角是内错角，那么它们相等。讨论如下问题：1．哪些命题是正确的？哪些命题是错误的？2．这些命题有什么共同的特征？3．你能仿照这些命题的结构特征写出几个命题吗？（通过讨论、交流，引导学生抓住命题的结构特征“如果……那么……”，进而概括出：命题都是由条件和结论两部分组成的，条件就是已经知道的事项，结论就是由已知的事项推断出的事项。）（主要让学生通过所给例子的学习，逐步感悟、体会命题的含义和结构，不要让学生机械记忆。）（二）活动：做一做。下列各命题的条件是什么？结论是什么？1．面积相等的两个三角形全等。2．同角的补角相等。3．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。上述命题中哪些是正确的？哪些是不正确的？你怎么知道它们是不正确的？与同伴交流。（可引导学生先将命题进行改写，写成“如果……那么……”的统一结构形式，进一步区分命题的条件和结论；通过判别命题的正误，让学生领会命题的真、假（即真命题与假命题）同时引导学生体会：要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例就可以了。）（三）活动：想一想：如何证实一个命题是假命题呢？要判断一个命题是假命题，只要能够举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例。你能举出一个反例，说明“相等的角是对顶角”是假命题吗？介绍欧几里得《原本》。二、课堂小结。命题都是由条件和结论两部分组成的，命题有真命题和假命题两类。证明的必要性【教学目标】1．知识目标：经历观察、验证、归纳等过程，使我们对由这些方法所得到的结论产生怀疑，从此激发我们的好奇心理，认识证明的必要性，体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理等。2．能力目标：提高推理意识。【教学重难点】体会证明的必要性。【教学准备】投影仪、投影片。【教学方法】引导探究、合作交流。【教学过程】一、创设情境，提出问题：小明任意画了几个三角形，用量角器分别测量各三角形内角的度数，然后把三个角度加起来，发现每个三角形的内角的和都是180度，于是他就得出了一个一般性的结论：三角形的三个内角的和等于180度。小颖对小明的做法提出了异议：你怎么知道你的结论一定可靠呢？三角形有无数个，你才测量了几个三角形？即使测量几千个、几万个，也只是很小的一部分，怎么能从这很小的一部分的性质推出所有三角形的性质呢？再说，你的测量不可能没有误差，你怎么能确定三角形的内角和正好是180度，而不是181度或179度呢？二、设置问题，步步引导：在数学学习中，我们可以通过实验、归纳、观察、猜测等方法，得到数学命题，你是否想过，通过这些方法得到的命题一定是真命题吗？三、层层深入，挖掘特点：（一）当n=0，1，2，3，4时，代数式n2-n+11的值是质数还是合数？小明由此得出一个命题：对于所有自然数n，n2-n+11的值都是质数，你认为小明得出的命题是真命题吗？为什么？（二）小刚发现，……，由此得出一个命题：任何一个整数都大于它的倒数。你认为小刚得出的命题正确吗？为什么？与同伴进行交流。（三）小颖在一张纸上画出一条直线，这条直线把纸面分成2部分；她在纸上又画出一条直线，发现这两条直线最多可以把纸面分为4部分。于是她猜想：“三条直线最多可以把一个平面分为6部分。”小明则认为：“三条直线最多可以把一个平面分为7部分。”你认为谁的说法是正确的？为什么？与同伴进行交流。结论：要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步，有根有据地进行推理，推理的过程叫做证明。四、指导应用，鼓励创新：（一）在数学学习中，你用到过推理吗？举例说明。（二）在日常生活中，你用到过推理吗？举例说明。（可举我们学过的定理的证明。）五、归纳小结：证明及证明的必要性。基本事实与定理【教学目标】一、目标。（一）知识目标：了解公理、定理的含义，初步体会公理化思想，并了解本套教科书所采用的公理。（二）情感目标：通过介绍欧几里得的《原本》，使学生感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值。【教学重难点】根据命题写出已知、求证。【教学方法】引导探究、合作交流。【教学过程】一、创设情境，提出问题：如何通过推理的方法证实一个命题是真命题呢？二、设置问题，步步引导：在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题，公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得将前人积累下来的丰富的几何学成果整理在系统的逻辑体系中，他挑选了一部分不定义的数学名词（称为原名）和一部分公认的真命题（称为公理）作为证实其他命题的起始依据，定义出其他有关的概念，并运用推理的方法，证实了数百个有关的命题，使几何学成为一门具有公理化体系的科学。三、层层深入，挖掘特点：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理。例如，欧几里德将“两点确定一条直线”、“直角都相等”等五条基本几何事实作为公理。通过推理得到证实的真命题叫做定理。本教科书选用如下命题作为基本事实：（一）两点确定一条直线。（二）两点之间线段最短。（三）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（四）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单的说：同位角相等，两直线平行。（五）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。（六）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。（七）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。（八）三边分别相等的两个三角形全等。此外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理，例如，“在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替”简称为“等量代换”。四、指导应用，鼓励创新：证明：等角的补角相等。已知：∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°。求证：∠3=∠4。证明：∵∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°（已知），∴∠3=180°－∠1，∠4=180°－∠2（等式的性质）。∵∠1=∠2（已知），∴∠3=∠4（等式的性质）。这样，我们便可以把上面这个经过证实的命题称作定理了，已经证明的定理可以作为以后推理的依据。证明一个命题的正确性，要按“已知”“求证”“证明”的顺序和格式写出，其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义，公理，已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程。平行线的判定定理【教学目标】1．熟练掌握平行线的判定公理及定理。2．能对平行线的判定进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中。3．通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力，逐步掌握规范的推理论证格式。4．通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想。【教学重难点】1．熟练掌握平行线的判定公理及定理；2．能对平行线的判定进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中。【教学过程】一、情景引入。活动内容：回顾两直线平行的判定方法。师：前面我们探索过直线平行的条件。大家来想一想：两条直线在什么情况下互相平行呢？生1：在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线。生2：两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行。生3：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行。师：很好。这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的。上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题。除公理、定义外，其他真命题都需要通过推理的方法证实。我们知道：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义。“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理。那其他的三个真命题如何证实呢？这节课我们就来探讨。活动目的：回顾平行线的判定方法，为下一步顺利地引出新课埋下伏笔。教学效果：由于平行线的判定方法是学生比较熟悉的知识，教师通过对话的形式，可以使学生很快地回忆起这些知识。二、探索平行线判定方法的证明。活动内容：（一）证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。师：这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言。所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：如图，已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补，求证：a∥b。如何证明这个题呢？我们来分析分析。师生分析：要证明直线a与b平行，可以想到应用平行线的判定公理来证明。这时从图中可以知道：∠1与∠3是同位角，所以只需证明∠1=∠3，则a与b即平行。因为从图中可知∠2与∠3组成一个平角，即∠2+∠3=180°，所以：∠3=180°-∠2。又因为已知条件中有∠2与∠1互补，即：∠2+∠1=180°，所以∠1=180°－∠2，因此由等量代换可以知道：∠1=∠3。师：好。下面我们来书写推理过程，大家口述，老师来书写。（在书写的同时说明：符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”）证明：∵∠1与∠2互补（已知），∴∠1+∠2=180°（互补定义）。∴∠1=180°－∠2（等式的性质）。∵∠3+∠2=180°（平角定义），∴∠3=180°－∠2（等式的性质）。∴∠1=∠3（等量代换）。∴a∥b（同位角相等，两直线平行）。这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：直线平行的判定定理。这一定理可简单地写成：同旁内角互补，两直线平行。注意：1．已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据。用来证明新定理。2．证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”。这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的定理。在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内。（二）证明：内错角相等，两直线平行。师：小明用下面的方法做出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？生：我认为他的作法对。他的作法可用上图来表示：∠CFE=45°，∠BEF=45°。因为∠BEF与∠FEA组成一个平角，所以∠FEA=180°－∠BEF=180°－45°=135°。而∠CFE与∠FEA是同旁内角。且这两个角的和为180°，因此可知：CD∥AB。师：很好。从图中可知：∠CFE与∠FEB是内错角。因此可知：“内错角相等，两直线平行”是真命题。下面我们