高一数学函数的奇偶性知识要点、例题讲解

函数的奇偶性(一)

一、课题引入

幕函数(1)f(x)=x3

(xeR),(2)f

(x)=x2(xGR)的图

f(x)=x，f(x)/

像特点、单调区间，

并列下表

函数

(―°°,+8)关于原点对称(―0°,+8)关于原点对称

定义域

函数值f(-A)=—/(X)f(―X)=f(X)

对称性图像关于原点对称图像关于y轴对称

单调性在原点两侧单调性相同在原点两侧单调性相反

y

IOoJOo》y’

\

1

图像~xo(一曲,一/(曲))\

0xoX

/

/

\

L一与OX。X

前者日“奇函数”、后者日“偶函数”.

二、知识讲解

1.奇函数和偶函数的概念

设函数y=f(x)的定义域为D,且D关于原点对称.

(1)如果对于函数f(x)的定义域D内任意一个x,都有f(―x)=—f(x),那么函数f(x)就

叫做奇函数.

(2)如果对于函数f(x)的定义域D内任意一个x,都有f(―x)=—f(x),那么函数f(x)就

叫做偶函数.

定义还可以表达为：

(1)如果对于函数f(X)的定义域D内任意一个x,都有f(x)+f(-x)=o,那么函数f(x)就

叫做奇函数.

(2)如果对于函数f(x)的定义域D内任意一个x,都有f(x)—f(―x)=0,那么函数f(x)

就叫做偶函数.

第二种表述形式能比较方便地判断函数的奇偶性，如判断函数的奇偶性.这种形式能使学生

从方程的角度看待函数的奇偶性，例如，若函数是奇函数，且定义域为D；则方程f(x)+f(―x)=0

的解集为D；另一方面，若方程f(x)+f(―x)=0的解集D关于原点对称，则函数y=f(x)在D上是

奇函数.对偶函数也可以得出类似的结论.

2.奇函数和偶函数的图像特征

(1)奇函数的图像关于原点对称，反过来，图像关于原点对称的函数，必是奇函数.

(2)偶函数的图像关于y轴对称，反过来，图像关于y轴对称函数，必是偶函数.

3.判断函数的奇偶性

对于函数f(x)先求其定义域D；并判别D是否关于原点对称，然后再验证f(―x)=±f(x)(或

f(x)±f(x)=0,或等)是否成立，最后作出正确结论.

4.判断函数的奇偶性也可以用下列性质

在公共定义域内，

(1)两个奇函数的和为奇函数；两个奇函数的积为偶函数.

(2)两个偶函数的和为偶函数；两个偶函数的积为偶函数.

(3)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.

(4)函数f(x)与同奇或同偶.

以上结论，可在讲完出上一例：判断下列函数是否具有奇偶性：(1)f(x)=x3；(2)f

(x)=2x4+3x2；(3)；(4)f(x)=x+l后，结合函数运算引出.直观引入后，可让学生在课后加以

证明，这对学生加深对奇偶性的理解和用这一结论解题都是有帮助的.

5.函数的奇偶性与单调性相结合，有以下两个结论：

(1)奇函数在原点两侧的对称区间上有相同的单调性.

(2)偶函数在原点两侧的对称区间上有相反的单调性.

三、例题分析

1.判断函数的奇偶性易犯的错误

(1)因忽视定义域的特征致错

例1.①；②f(x)=x2+(x+l)0

错解：①，；.f(x)是奇函数

②：f(―=(―jr)2+(―A+1)°=X+(^+1)°=f(x)

/.f(x)是偶函数.

分析：一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称.

正解：①定义域(一8,l)u(l,+8)关于原点不对称，f(X)是非奇非偶函数.

②定义域(一8,+8),f(X)非奇非偶函数.

(2)因缺乏变形意识或方法致错.

例2.判断的奇偶性.

错解：：5x—1W0,xWO.f(x)的定义域为(一8,0)U(0,+8),关于原点对称.

f(一x)Wf(x),f(―x)W—f(x),

f(x)是非奇非偶函数.

分析：因演变过程不到位导致错误，所以要注意进行恒等变形.

正解：，定义域为(一8,0)U(0,+8)关于原点对称.

X

了(九)5^+1_1+5

2(5-_1厂2(1-5»)ST/)

f(x)是奇函数.

(3)因忽视f(x)=0致错.

例3.判断函数的奇偶性.

错解：由得*=±2,f(x)的定义域为{—2,2},关于原点对称.

f(x)为偶函数

正解：f(x)的定义域为{—2,2},此时，f(x)三0,f(x)既是奇函数又是偶函数.

点评：函数f(x)=0(xWO)是f(x)既是奇函数又是偶函数的一个必要条件，任何一个关于原

点对称的区间都可以作为解析式为f(x)=0(xWO)函数的定义域.

注意:一分段函数奇偶性的判定应注意定点.：

(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数；

(2)确定分段函数的奇偶性，要注意分类讨论.

2.函数的奇偶性的应用

例4.已知f(x)是奇函数，且当x〉0时，f(x)=x|x—2|,求f(x)〈0时，f(x)的表达式.

答：当x<0时，f(x)=x|x+2|.

例5.已知f(x)=x5+ax3+bx—8,且f(-2)=10,贝!Jf(2)=

解：令g(x)=f(x)+8=x5+ax3+bx,则g(x)是奇函数g(―2)+g(2)=0,

即f(-2)+8+f(2)+8=0,/.f(2)=-f(-2)-16=-26.

例6.已知f(x)、g(x)的定义域均为R,f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且，求f(x)

的解析式.

答：.

例7.已知函数y=f(x)是奇函数，在(0,+8)上是减函数，且f(x)<0,判断在区间(一8,

0)上是增函数还是减函数？并证明你的结论.

答：F(x)在(一8,0)是增函数.

例8.定义在(一1,1)上的奇函数f(x)是减函数，且f(l-a)+f(l-a2)<0,求实数a的取

值范围.

答：ae(0,1).

点评：例8、9两题是函数的奇偶性与单调性的综合题.

例9.已知f(x)是定义在R上的奇函数，x〉0时，f(x)=—x2+2x—3.

(1)求『(x)的解析式；

(2)画出尸f(x)的图像；

(3)求出f(x)的单调区间.

解：⑴

(2)画图略.

(3)单调减区间为，；单调增区间为，.

点评：本题是函数奇偶性、单调性、图像特征，画图等有关概念、性质、方法的综合运用的一道函

数综合题.此题主要是考查学生综合、灵活运用所学知识解题的能力.

四、习题

1.已知f(X)是奇函数，且在x=0处有定义，你能确定f(0)的值吗？

2.已知f(x)是偶函数，且在x=0处有定义，你能确定f(0)的值吗？

3.函数是奇函数吗？

答案1.f(0)=02.f(0)不定3.否

五、引伸和提高

定义域关于原点对称的任意一个函数f(x)都可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和.即f

(x)=(F(x)+G(x))其中F(x)=f(x)+f(-x),G(x)=f(x)-f(-x)

(1)利用这一结论可以很简捷地解决一些问题；

(2)在教学中，可根据学生的基础情况，适时引入.

(3)可以让学生自己证明，增强学生对抽象问题证明的能力，加深学生对奇、偶函数与一般函数关

系的理解，使学生对构造法增加一次感性认识.

六、思考题

1.设，f(x)=kx+-4,(kGR)当x=2+时，f(x)=0,求的值.

答：.

2.已知函数y=f(x)满足f(x+y)+f(x—y)=2f(x)f(y)(xGR,yGR),且f(0)WO,那

么f(x)是__________函数(填奇、偶).

答：偶函数

函数的奇偶性(二)

一般地，对于函数，如果对于函数定义域内任意一个，都有，

那么函数/(X)就叫做偶函数。

再注意观察的图象，显然不是偶函数，那么它随自变量的改变函数值间存在怎样的变化规

律呢？引入课件，加深印象。

引导学生利用类比的方法得出结论，并试述概念。(由教师板书概念)

一般地，对于函数，如果对于函数定义域内任意一个，都有，

那么函数/(X)就叫做奇函数。

图象具有这种特点的函数是奇(或偶)函数，函数图象的这种对称性就是函数的奇偶性。

前面我们得出了函数奇偶性的定义，那么通常为了正确理解和应用定义，就需要我们首先能够

找到并把握定义中的关键词语，下面我们一起找找定义中的关键词：定义域内、任意…都、及。

分析：⑴定义域内：奇偶性是整个定义域上的性质，而不仅仅是某个区间上的

性质，与单调性区分开；

⑵任意…都：说明具有普遍性，是对所有的自变量都成立，而不是个别

的；

⑶及：首先是函数值必须满足的关系即必要

条件，那么是不是充分条件呢？

例1判断下列函数的奇偶性

(1)/(x)=x-1+8x3(2)/(x)=x2-l

x~+x—3

(3)f(x)=x2-1xe(-co,4](4)/(x)=

x+2

⑸/(x)=x+l

解：

⑶/(-5)=52-l=24(4)为使函数有意义，则

而f(5)无意义x+27^0

f(~x)中一〃W(r)丰于(x)即x丰-2

即：/(x)=%2-1xe(-00,4]/'(2)有意义2)无意义

既不是奇函数也不是胭数“X)既不是奇函数也不是阳数

(5)虽然/'⑴=x+1的定义域为R

但不满足/(-X)=-/(X)及

/(-%)=于(X)

••・既不是奇函数也不是偶函数

继续前面提出的问题，按函数法则有意义，结合“任意…都”要求定义域必须

关于原点对称(即满足/(-%)=/(X)及/(-%)=-/(%)时定义域一定关于原点对

称；若定义域不关于原点对称，则必无及)，即

/(-%)=±/(x)是函数具有奇偶性的充要条件。

小结：判断函数奇偶性的步骤：

⑴判断定义域是否关于原点对称；

⑵比较了(—X)与/'(X)的关系。

练习⑴当为何值时，函数为偶函数；

⑵当为何值时，函数为奇函数。

通过练习强化：函数奇偶性定义中定义域的作用；

明确：及的变形

/(-%)-/(x)=0(/(-%)+/(%)=0)

为加强学生对定义的理解和应用，给出思考题。

思考题：判断是否存在函数既是奇函数又是偶函数。

分析引导学生：若函数是奇函数，则；

若函数是偶函数，则；

所以可得：

/(X)=0

进一步提问：解析式为的函数一定既是奇函数又是偶函数吗?

又是个什么函数？

例2⑴若，且，求的值；

⑵若，且，求的值；

分析：⑴能够看出函数为偶函数，所以；

⑵能够看出函数既不是奇函数又不是偶函数，但仍然可以用

,得出

接着引导学生寻找其中的规律。

总结：1.函数奇偶性的定义；

利用定义判断奇偶性要把握：⑴定义域关于原点对称；

⑵/(—x)=/(x)或—/(X)

2.函数奇偶性揭示：自变量符号的改变与函数值符号的关系。

函数的奇偶性(三)

函数的奇偶性是函数的重要性质之一，利用函数奇偶性解题，能加深对函数知识的理解和掌握，下

面谈谈函数奇偶性在解题中的应用。

一、求函数值

例1.已知

这是利用函数的奇偶求值的一种典型题目。

二、求函数表达式：

的表达式。

例3:已知f(x+1)是偶函数，且当xWl时,f(x)=x2+x,求x〉l时，f(x)的表达式。

分析：设F(x)=f(x+1),由F(x)是偶函数，得f(l+x)=f(l-x),从而f(x)图象关于直线x=l对

称。下面利用对称性，作出x>l时f(x)的图象，就可得到f(x)的表达式。

解:设F(x)=f(x+1),：F(x)是偶函数，

/.F(-x)=F(x),即f(1-x)=f(1+x),

.1.y=f(x)的图象关于直线x=l对称,

又x〈l时，f(x)=x2+x=(x+)2-

因此，作图，由图可知在x〉l时，

f(x)=(x-)2-=x2-5x+6o

三、判断函数的奇偶性

的奇偶性。

例4:如果a>0,aWl,且G(x)是奇函数，试判定F(x)=G(x)(+)的奇偶性。

解法1:：G(x)是奇函数，则有G(-x)=-G(x)。

F(-x)=G(-x)(+)=-G(x)(+)=-G(x)(+1-)

=-G(x)(-)=G(x)(+)=F(x)o

F(x)是偶函数。

解法2:：F(-x)+F(x)=G(-x)(+)+G(x)(+)

=-G(x)(+)+G(x)(+)

=G(x)(+)

=G(x)•(+)

=G(x)(+1)

=2•G(x)(+)=2F(x),

F(-x)=F(x),故F(x)是偶函数。

函数奇偶性满足：

奇函数土奇函数=奇函数，

偶函数土偶函数=偶函数，

奇函数X奇函数=偶函数，

偶函数X偶函数=偶函数，

奇函数义偶函数=奇函数。

四、利用单调性和增减性比较大小

的大小。

五、利用单调性和增减性求范围

例6.定义在(-1,1)上的奇函数f(x)是减函数，且f(l-a)+f(l-a2)<0,求a的取值范围。

解:f(x)的定义域为(T,1),

又因为f(x)为奇函数，由f(l-a)+f(『a2)<0f(l-a)<-f(l-a2)=f：-(l-a2)]o

而f(x)单调递减，l_a>_(l_a2)

综合起来，0<a<lo