人教版八年级数学下册一次函数《课题学习 选择方案（第2课时）》示范教学设计

课题学习选择方案（第2课时）教学目标1．会建立实际问题的数学模型，将实际问题转化为数学问题．2．会综合运用一次函数的性质、方程（组）和不等式（组）等知识解决方案设计问题．教学重点会建立实际问题的数学模型，将实际问题转化为数学问题．教学难点会综合运用一次函数的性质、方程（组）和不等式（组）等知识解决方案设计问题．教学过程知识回顾1．解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量．然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型．2．应用一次函数的性质选择最佳方案的一般步骤：（1）建模：从数学的角度分析实际问题，建立函数模型（往往有两个或两个以上模型）．（2）列式：列出不等式或方程，求出自变量在取不同值时对应的函数值的大小关系．（3）选择：结合实际需求，选择最佳方案．新知探究一、探究学习【问题】怎样租车？某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示．甲种客车乙种客车载客量/（人/辆）4530租金/（元/辆）400280请给出最节省费用的租车方案．【师生活动】教师引导学生一步步思考回答问题，进而选取最节省费用的租车方案．教师提问：租车方案有哪几种？学生作答：（1）单独租用甲种客车；（2）单独租用乙种客车；（3）同时租用甲种客车和乙种客车．教师提问：如果甲、乙两种客车都租，你能确定合租车辆的范围吗？学生作答：若单独租用甲种客车，则需要240÷45＝5（辆），即至少需要6辆；若单独租用乙种客车，则需要240÷30＝8（辆），即至少需要8辆．所以合租时，最少租用汽车6辆．又每辆汽车上至少要有1名教师，共6名教师，所以合租时，最多租用汽车6辆．综上，合租车辆为6辆．【分析】从人数上看：6名教师和234名学生共计240人，所以甲种客车和乙种客车总共的载客量≥240．从费用上看：学校计划的总费用是2300元，所以甲种客车和乙种客车总共的费用≤2300．【答案】解：设租用甲种客车x辆，则租用乙种客车(6－x)辆．由题意可得解得4≤x≤5．根据实际意义，x只能取4或5．设租车总费用为y元．由题意可得y＝400x＋280(6－x)＝120x＋1680（x＝4或x＝5）．方案一：当x＝4时，即需租用甲种客车4辆，乙种客车2辆．此时y＝120×4＋1680＝2160（元）．方案二：当x＝5时，即需租用甲种客车5辆，乙种客车1辆．此时y＝120×5＋1680＝2280（元）．综上，选择方案一更划算．【追问】你能不计算租车总费用就得出结论吗？【答案】可通过一次函数的性质来判断：由y＝120x＋1680（x＝4或x＝5），可以看出函数值y随着自变量x的增大而增大．因为5＞4，所以当x＝4时，费用更少．【新知】选择最佳方案实际上是在比较的基础上完成的，在没有学习函数之前，一般是将全部方案一一列举出来，然后根据题意选择一个最佳方案；学习函数之后，我们可以利用函数的性质，直接求出最佳方案．【设计意图】让学生能够综合运用一次函数的性质、方程（组）和不等式（组）等知识解决方案设计问题．二、典例精讲【例题】某市20位下岗职工在近郊承包了50亩（1公顷＝15亩）土地办农场，这些土地可以种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表：作物品种平均每亩地所需职工数每亩地预计产值蔬菜1100元烟叶750元小麦600元请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作，且使农作物预计总产值最多．【分析】仅从表格信息观察，较难判断该如何分配，因而建立函数解析式是较好的方法．根据三个变量之间的数量关系列出一次函数解析式是解决问题的关键．设预计总产值为P元，种植蔬菜的面积为x亩，根据表格中提供的信息，把种植烟叶、小麦的面积均用含有x的式子表示出来，先建立P关于x的函数解析式，再根据一次函数的性质求P的最大值．【答案】解：设种植蔬菜x亩，烟叶y亩，小麦z亩．根据题意，得解得设预计总产值为P元，则有P＝1100x＋750y＋600z，即P＝1100x＋750(－3x＋90)＋600(2x－40)＝50x＋43500．又因为y≥0，z≥0，所以20≤x≤30．由一次函数的性质可知，当x＝30时，P取最大值．此时P＝50×30＋43500＝45000（元），y＝0，z＝20．此时种蔬菜的有15人，种小麦的有5人．答：种蔬菜30亩，小麦20亩，不种烟叶，此时所有职工都有工作，且农作物预计总产值最多，最多为45000元．【新知】出现多个变量的一次函数问题，可用代入消元法：根据题意设三个未知数，先列方程组，再用含某一个未知数的代数式表示出另外两个未知数，以达到消元的目的，从而找出所求的值与其中一个未知量的一次函数解析式．注意：应通过三个未知量的实际意义x≥0，y≥0，z≥0来确定自变量x的取值范围．【设计意图】检验学生综合运用一次函数的性质、方程（组）