人教版八年级数学下册《一次函数（第6课时）》示范教学设计

一次函数（第6课时）教学目标1．了解分段函数的概念．2．会利用分段函数的知识解决简单的实际问题．教学重点对分段函数初步认识．教学难点了解分段函数的特征，能依据实际情况抽象出分段函数的解析式．教学过程知识回顾1．先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法．2．由于一次函数y＝kx＋b中有k和b两个待定系数，因此用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k和b为未知数）．解方程组后就能具体写出一次函数的解析式．3．用待定系数法求一次函数解析式的步骤：（1）设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．（2）将已知的x，y的对应值（至少两组）代入所设解析式中，得到关于系数k，b的方程组．（3）解方程组求得系数k，b的值．（4）把k，b的值代入所设解析式，写出解析式．4．求一次函数的解析式时，关键是找出图象所经过的两点，常见两种类型：（1）以“数”的方式给出两点（如直接给出直线经过的两点的坐标），此时需要借助方程思想，列方程（组）求解．（2）以“形”的方式给出两点（如给出一次函数的图象），此时需要找出图象上的两点的坐标，正确代入解析式求解．在找图象上的两点时，往往优先选取图象与坐标轴的交点或坐标为整数的点．新知探究一、探究学习【问题】下面哪个图形符合“龟兔赛跑”的故事情节？【师生活动】教师提问，学生小组讨论后派代表作答．【答案】符合“龟兔赛跑”故事情节的是选项D．【追问】该图表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？从图中你能获取哪些信息？与同学互相交流．【答案】该图表示的函数不是正比例函数，也不是一次函数．从图中可以看出，当0≤x≤5时，兔子的速度为100÷5＝20（m/min）；当5＜x＜30时，兔子静止不动；当30≤x≤35时，兔子的速度为(250－100)÷(35－30)＝30（m/min）．【设计意图】通过引入学生熟悉的“龟兔赛跑”的情景，提高学生学习的兴趣，为下文学习新知做准备．【问题】“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg，如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子价格打8折．（1）填写下表：购买量/kg0.511.522.533.54…付款金额/元…（2）写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象．【师生活动】教师引导学生分析：付款金额与种子价格相关．问题中种子价格不是固定不变的，它与购买量有关．设购买xkg种子，当0≤x≤2时，种子价格为5元/kg；当x＞2时，其中有2kg种子按5元/kg计价，其余的(x－2)kg（即超出2kg部分）种子按4元/kg（即8折）计价．因此，写函数解析式与画函数图象时，应对0≤x≤2和x＞2分段讨论．【答案】解：（1）购买量/kg0.511.522.533.54…付款金额/元2.557.51012141618…（2）设购买量为xkg，付款金额为y元．当0≤x≤2时，y＝5x；当x＞2时，y＝4(x－2)＋10＝4x＋2．y与x的函数解析式也可合起来表示为函数图象如图．【思考】你能由上面的函数解析式解决以下问题吗？由函数图象也同样能解决吗？（1）一次购买1.5kg种子，需付款多少元？（2）一次购买3kg种子，需付款多少元？【师生活动】教师引导学生用函数解析式解决问题，然后让学生小组讨论用函数图象解决问题．【答案】能由函数解析式解决问题，也能由函数图象解决问题．由函数解析式解决问题如下：（1）因为当0≤x≤2时，y＝5x，所以当x＝1.5时，y＝5x＝5×1.5＝7.5（元）．所以一次购买1.5kg种子，需付款7.5元．（2）因为当x＞2时，y＝4x＋2，所以当x＝3时，y＝4x＋2＝4×3＋2＝14（元）．所以一次购买3kg种子，需付款14元．【新知】在自变量的不同取值范围内，表示函数关系的解析式有不同的形式，这样的函数称为分段函数，分段函数在生活中有很多应用．分段函数在不同的自变量取值范围内对应的解析式不同，在书写解析式时要标注对应的自变量取值范围．【设计意图】通过生活中问题的解决，让学生了解分段函数的意义和价值，同时为下文分段函数的应用作铺垫．二、典例精讲【例1】某电力公司制定了新的用电收费标准，每月用电量x（单位：千瓦时）与应付电费y（单位：元）的关系如图．根据图象分别求出当0≤x≤50和x＞50时，y关于x的函数解析式．【答案】解：根据图象，知当0≤x≤50时，函数是正比例函数，可设解析式为y＝kx(k≠0)，将点(50，25)代入解析式，得25＝k×50，解得k＝0.5．所以y＝0.5x．当x＞50时，函数是一次函数，可设解析式为y＝ax＋b(a≠0)，将点(50，25)，(100，70)代入解析式，得解得所以y＝0.9x－20．所以当0≤x≤50时，函数解析式为y＝0.5x，当x＞50时，函数解析式为y＝0.9x－20，即【新知】分段函数反映在函数解析式方面，每一段都有函数解析式，前后两段函数解析式不同；分段函数反映在函数图象上，图象有分段点．分段点前后图象不是同一发展趋势，有的分段点既是上一段函数图象的“终点”，也是下一段函数图象的“起点”．【设计意图】通过生活问题的解决，检验学生对分段函数的理解和掌握情况，让学生体会分段函数存在的必要性．【例2】某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金，某栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）．已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y（单位：件）与销售价x（单位：元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其他费用为106元（不包含债务）．（1）求日销售量y（单位：件）关于销售价x（单位：元/件）的函数解析式；（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡（收入＝支出），求该店员工的人数．【答案】解：（1）当40≤x≤58时，设y关于x的函数解析式为y＝k1x＋b1(k1≠0)，由图象，得解得所以y＝－2x＋140．当58＜x≤71时，设y关于x的函数解析式为y＝k2x＋b2(k2≠0)，由图象，得解得所以y＝－x＋82．综上所述，（2）设该店员工的人数为a．当x＝48时，y＝－2×48＋140＝44（件），所以