2025年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学一模试卷（附答案解析）

2025年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学一模试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（3分）2025的相反数是（）

11

A.------B.一而建C.2025D.-2025

20252025

2.（3分）下列手机手势解锁图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

亥

3.（3分）下列运算正确的是（）

A.a(,+ai=a2B.2X3,3X3=6X3

C.(-x2)3=-x6D.(a+1)2=a2+l

4.（3分）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体的主视图和左视图，这些相同的小正

A.12个B.11个C.10个D.9个

5.（3分）一组数据：2,4,4,4,6,若去掉一个数据4,则下列统计量中发生变化的是（）

A.众数B.中位数C.平均数D.方差

6.（3分）一个袋子中装有4个相同的小球，它们分别标有号码1,2,3,4,摇匀后随机取

出一球，记下号码后放回：再将小球摇匀，并从袋中随机取出一球，则第二次取出的球

的号码不大于第一次取出的球的号码的概率为（）

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丫I4xI2

的解集是x>2,且使关于

｛x>k

y的分式方程型=-F=1有非负整数解,则符合条件的所有整数k的值之和为（）

y-1i-y

A.-4B.-2C.-1D.0

8.（3分）如图，在边长为2的正方形48co中，对角线/C与8。相交于点。，点尸是8。

上的一个动点，过点P作即〃ZC,分别交正方形的两条边于点E,F,连接。E,OF,

设8P=x,△（?跖的面积为乃则能大致反映夕与x之间的函数关系的图象为（）

9.（3分）三月植树节期间，某园林公司购买了甲、乙、丙三种树苗进行园林绿化，恰好用

去了1500元，已知甲、乙、丙三种树苗的价格分别为50元/棵、30元/棵、10元/棵.该

公司要求购买的每种树苗的数量都是10的整数倍且三种树苗都要买，若甲种树苗最多买

20棵，则该公司的购买方案共有（）

A.3种B.4种C.5种D.6种

10.（3分）如图，已知抛物线y=a/+&v+c（°W0）的对称轴为直线x=-l.有下列结论：

①庐=4℃,②abc>0,③a>c,@4a+c>2b,⑤若"2>〃>0,则》=加-1时的函数

值小于x=〃-1时的函数值.其中结论正确的个数为（）

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C.3个D.4个

二、填空题（每小题3分，满分21分）

11.（3分）我国是时间上严重缺水的国家之一，目前我国年可利用的淡水资源总量为27500

亿米3,人均占有淡水资源量居全世界第110位，因此我们要节约用水，27500亿米3这

个数用科学记数法表示为米3.

12.（3分）函数y=磊的自变量x的取值范围是.

13.（3分）如图，在平行四边形48。中，E,尸两点均在对角线/C上.要使四边形BED9

为平行四边形，在不添加辅助线的情况下，需要增加的一个条件是

（写出一个即可）.

14.（3分）如图，用圆心角为120°,半径为3c加的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽,

则这个纸帽的高是<

15.（3分）如图，矩形N3CD的边在x轴上，点。在反比例函数^=♦的图象上，点。

在反比例函数片5的图象上，若sin/C48=^,cos/OC3=t，则仁.

第3页（共32页）

16.（3分）在Rt448C中，N/=90°,有一个锐角为60°,BC=6.若点尸在直线NC

上（不与点/,C重合），且//8尸=30°,则C尸的长为.

17.（3分）如图，直线/1与直线/2所成的角/囱。出=30°,过点小作4囱，/1交直线/2

于点药，0囱=2,以小囱为边在△04囱外侧作等边三角形/归|。，再过点Ci作出比

±/1,分别交直线/1和/2于4，历两点，以小历为边在△。山比外侧作等边三角形

A2B2C2，…按此规律进行下去，则第2023个等边三角形/2023^2023c2023的周长

为____________________.

三、解答题（本题共69分）

18.（10分）（1）计算：（-1）2025.（兀_,2022）°+（-3）2+V12COS60Otan60"；

（2）因式分解：（f+y2）2-4x2y2.

19.（5分）解方程：5（x-1）2=2（x-1）.

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20.（8分）某地区在所有中学开展《老师，我想对你说》心灵信箱活动，为师生之间的沟

通增设了一个书面交流的渠道.为了解两年来活动开展的情况，某课题组从全地区随机

抽取部分中学生进行问卷调查.对“两年来，你通过心灵信箱给老师总共投递过几封信？”

这一调查项设有四个回答选项，选项/：没有投过；选项8：一封；选项C：两封；选项

D：三封及以上.根据接受问卷调查学生的回答，统计出各选项的人数以及所占百分比，

分别绘制成如下条形统计图和扇形统计图：

（2）请将条形统计图补全；

（3）接受问卷调查的学生在活动中投出的信件总数至少有封；

（4）全地区中学生共有110000名，由此次调查估算，在此项活动中，全地区给老师投

过信件的学生约有多少名？

第5页（共32页）

21.（10分）如图，48是OO的直径，。为。。上一点，连接ZC,作。下，/3交/C于点

尸，点£在48的延长线上，EN经过点C,且N/CE+N//。=180°.

（1）求证：是OO的切线；

（2）若NA=NE,。。的半径为1,求阴影部分的面积.

第6页（共32页）

22.（10分）在一条笔直的公路上依次有/、C、B三地，甲乙两人同时出发，甲从/地匀

速骑自行车去3地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至8地，甲到达8地后，立

即按原速的之倍原路返回/地，乙匀速步行从3地前往/地，甲、乙两人距各自出发地

的路程y（单位：米）与时间x（单位：分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解

答下列问题：

（1）请写出甲从/地到2地的速度为米/分，乙的速度为米/分;

（2）求甲返回时距N地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取

值范围）；

（3）请直接写出两人出发后，在甲返回/地之前，经过多长时间两人距C地的路程相

第7页（共32页）

23.(12分)综合与实践：情景再现：我们动手操作：把正方形N3CD沿对角线剪开就分剪

出两个等腰直角三角形，把其中一个等腰直角三角形与正方形重新组合在一起，

图形变得丰富起来，当图形旋转时问题也随旋转应运而生.如图①把正方形/BCD沿对

(1)问题呈现，我们把剪下的两个三角形一个放大另一个缩小拼成如图②所示的图形,

①若点尸是平面内一动点，AB=3,PA=1,则线段尸8的取值范围是；

②直接写出线段AE与DB的关系是；

(2)我们把剪下的其中一个三角形放大与正方形组合如图③④⑤所示，点£在直线

3c上，交直线CO于①当点E在3c上时，如图③所示，求证：40=

MF+CE；②当点£在3C的延长线时，如图④所示，则线段/£＞、MF、CE具有的数量

关系为:当点E在C8的延长线上时，如图⑤所示，则线段ND、MF、

CE具有的数量关系为;

(3)在(2)的条件下，连接当S^EMF=8,4产=50,其他条件不变，则线段CE

的长为.

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24.（14分）综合与探究：如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于/,B两点（点/在点8的

左侧），且4,8两点的横坐标分别是-6和2,交》轴于点C,且△/BC的面积为24.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,若AD=2OD,过点。作DE〃/C交y轴于点£,点尸是抛物线上/C下

方的一动点，连接尸口，PE,请直接写出面积的最大值以及取最大值时点尸的坐

标；

（3）如图2,将原抛物线向右平移4个单位长度，得到新的抛物线y=mx2+6ix+ci,平

移后的抛物线与原抛物线的交点为足在（2）的条件下，在直线/C上是否存在一点

在平面直角坐标系中是否存在一点N,使得以P,F,M,N为顶点的四边形是菱形？若

存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由.

y

0

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2025年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（3分）2025的相反数是（）

11

A----------R_____Z—C.2025D.-2025

20252025

解：2025的相反数是-2025.

故选：D.

既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

⑸公。

解：/、该图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意;

8、该图案是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

。、该图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

。、该图案既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意.

故选：D.

3.（3分）下列运算正确的是（）

A.a（,+ai=crB.2x3,3x3=6x3

C.（-x2）3=-x6D.（a+1）2=/+]

解：/、a与03不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意;

B、2X3-3?=6X6,原计算错误，故此选项不符合题意；

C、（-x2）3=-X6,原计算正确，故此选项符合题意；

D、（a+1）2=后+2a+i,原计算错误，故此选项不符合题意.

第10页（共32页）

故选：c.

4.(3分)如图是由一些相同的小正方体组成的几何体的主视图和左视图，这些相同的小正

A.12个B.11个C.10个D.9个

解：综合主视图和左视图，这个几何体的底层最多有6个，第二层最多应该有4个，第

三层最多应该有1个,

因此组成这个几何体最多有11个小正方体.

故选：B.

5.(3分)一组数据：2,4,4,4,6,若去掉一个数据4,则下列统计量中发生变化的是()

A.众数B.中位数C.平均数D.方差

1

解：原数据2,4,4,4,6的平均数为gx(2+4+4+4+6)=4,中位数为4,众数为4,

1

方差为]义[(2-4)2+(4-4)2X3+(6-4)2]=1.6；

1

新数据2,4,4,6的平均数为了XC2+4+6+4)=4,中位数为4,众数为4,

4

1

方差为]X[(2-4)2+(4-4)2X2+(6-4)2]=2；

故选：D.

6.(3分)一个袋子中装有4个相同的小球，它们分别标有号码1,2,3,4,摇匀后随机取

出一球，记下号码后放回：再将小球摇匀，并从袋中随机取出一球，则第二次取出的球

的号码不大于第一次取出的球的号码的概率为()

1315

A.-B.-C.-D.一

4828

解：根据题意画图如下：

开始

1234

/TV/Ax

1234123412341234

由图可得，共有16种等情况数，其中第二次取出的球的号码不大于第一次取出的球的号

第11页(共32页)

码的有10种，

所以第二次取出的球的号码不大于第一次取出的球的号码的概率为普=

168

故选：D.

YIq,YI2

的解集是x>2,且使关于

{x>k

y的分式方程型=-F=1有非负整数解,则符合条件的所有整数k的值之和为（）

y-11-y

A.-4B.-2C.-1D.0

%+4<2x+2①

解:

x>k@

解不等式①，得x>2,

・・・关于x的一元一次不等式组的解集是x>2,

:・kW2,

分式方程可化为：空告+*]=1,

y-1y-1

方程两边都乘以y-1,

2y-k+y-4=y-1,

解得y=竽，

•••关于y的分式方程有非负整数解,

3+/c3+k

>0,——H1,

22

:・k》-3且左W-1,

・・・一3或左忘2且心£-1,

:后为整数，

左为-3、-2、0、1、2,

，整数人的值之和为：-3-2+0+1+2=-2,

故选：B.

8.（3分）如图，在边长为2的正方形N3CD中，对角线/C与3。相交于点。，点P是8。

上的一个动点，过点P作即〃ZC,分别交正方形的两条边于点E,F,连接。E,OF,

设AP=x,ZXOE尸的面积为y,则能大致反映夕与x之间的函数关系的图象为（）

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解：当点尸在上时，

・・•四边形是正方形，边长为2,

：.AB=BC=2,ACLBD,NACB=NCAB=45°,

：.AC=242fBO=DO=AO=CO=V2,

•:EF"AC,

：.ZBAC=ZBEF=45°,/BFE=/BCA=45。,ZAOB=ZEPB=90°,

・・・ZBEF=/BFE,

：.BE=BF,

VZBPE=90°,

：.BP=EP=FP=x,

OP=V2—x,

11

2xEFX0P=2x2xX（&-x）=-x2+V2x,（OWxW迎）

当点尸在。。上时，同理可得：y=-$+3岳-%（V2<c^2V2）,

故选：C.

9.（3分）三月植树节期间，某园林公司购买了甲、乙、丙三种树苗进行园林绿化，恰好用

去了1500元，已知甲、乙、丙三种树苗的价格分别为50元/棵、30元/棵、10元/棵.该

公司要求购买的每种树苗的数量都是10的整数倍且三种树苗都要买，若甲种树苗最多买

第13页（共32页）

20棵，则该公司的购买方案共有（）

A.3种B.4种C.5种D.6种

解：当购买10棵甲种树苗时，设购买x棵乙种树苗，y棵丙种树苗，

根据题意得：50X10+30x+10j=1500,

.,.y=100-3x,

又••"，y均为正整数，且均为10的整数倍，

.（x—10-优=20Tpe=30

•%=70或『=40或『=10'

当购买10棵甲种树苗时，共有3种购买方案；

当购买20棵甲种树苗时，设购买他棵乙种树苗，〃棵丙种树苗，

根据题意得：50X20+30机+10〃=1500,

/.«=50-3m,

又・・,冽，〃均为正整数，且均为10的整数倍，

.Cm=10

**tn=20'

当购买20棵甲种树苗时，共有1种购买方案.

综上所述，该公司的购买方案共有3+1=4（种）.

故选：B.

10.（3分）如图，已知抛物线y=ax2+6x+c（aWO）的对称轴为直线x=-1.有下列结论：

①序=4℃,②。6c>0,③°>c,④4a+c>26,⑤若根>力>0,则工=加-1时的函数

解：①；抛物线与x轴有2个交点,

A—b2-4ac>0,

:.b2>4ac

所以①错误；

②：抛物线开口向上,

第14页（共32页）

.'.6Z>0,

V抛物线的对称轴在y轴的左侧，

「・q、b同号,

：.b>Q,

抛物线与>轴交点在x轴上方，

/.c>0,

.•・qbc>0,

所以②正确；

③,・”=-1时，产0,

即Q-b+cVO,

・・•对称轴为直线'=-1,

•_A—1

,,2a-L

••6=2。9

••a-2。+。<0,BPa>c,

所以③正确；

④・・,抛物线的对称轴为直线x=-1,

.*.x=-2和x=0时的函数值相等，即x=-2时，歹>0,

4a-2b+c>0,

4a+c>2bf

所以④正确.

（5）'：m>n>0,

-1>n-1>-1,

由x>-1时，y随x的增大而增大知x=m-1时的函数值大于x=〃-1时的函数值，

所以⑤错误；

故选：C.

二、填空题（每小题3分，满分21分）

11.（3分）我国是时间上严重缺水的国家之一，目前我国年可利用的淡水资源总量为27500

亿米3,人均占有淡水资源量居全世界第110位，因此我们要节约用水，27500亿米3这

个数用科学记数法表示为2.75X1012米3.

第15页（共32页）

解：27500亿=2750000000000=2.75X1012,

故答案为：2.75X1012.

12.（3分）函数丫=年|的自变量x的取值范围是且xW2.

解：根据题意得，x-1三0且忖-2=0,

解得且xW±2,

所以，且x72.

故答案为：且xW2.

13.（3分）如图，在平行四边形488中，E,厂两点均在对角线/C上.要使四边形2即尸

为平行四边形，在不添加辅助线的情况下，需要增加的一个条件是AE=CF（答案不唯

一）—（写出一个即可）.

BC

解：增加条件：AE=CF,理由如下:

如图，连接AD交NC于点O,

V四边形ABCD为平行四边形,

：.OB=OD,OA^OC,

若AE=CF,则有-AE=CO-CF,即OE=OF,

四边形BEDF为平行四边形,

故答案为：AE=CF（答案不唯一）.

14.（3分）如图，用圆心角为120°,半径为3c〃?的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽,

则这个纸帽的高是，鱼

解：设这个圆锥的底面圆的半径为“77,

第16页（共32页）

根据题意得2nr="着X3

解得r=l，

即这个圆锥的底面圆的半径为1cm,

所以这个纸帽的高为=2企（cm）.

故答案为：2夜.

15.（3分）如图，矩形N3CD的边在x轴上，点。在反比例函数^=♦的图象上，点。

在反比例函数尸领图象上，若sin/C48=学，cosZOCB=则k=-10

解：：矩形48C。的边在x轴上，点C在反比例函数片《的图象上,

:.S丛BOC=讶X6=3,

RC4

VcosZOC5=g^=

・,•设5C=4x,OC=5x,贝i」O5=3x,

x3%x4%=3,解得x=挈，

2/

:.BC=2R02=挈

3V2广

C(-2,2V2),

・・•/厂4_BC_底

・sinCAB==-g-,

,2V2V5

"AC—5，

/.^C=2V10,

,.AB—AC2—BC2=4&,

第17页（共32页）

.x-j_CD_万3鱼_5鱼

・・OAA-AABD~OB—4AV22-=--,

:.D(~2V2)»

..•点。在反比例函数7=5的图象上,

:.k=_x2>/2=-10,

16.（3分）在中，ZA=90°,有一个锐角为60°,BC=6.若点尸在直线NC

上（不与点力,。重合），且N4BP=30°,则CP的长为6或28或4次.

当/C=60°时，ZABC^30°,与/ABP=30°矛盾;

如图2：

第18页（共32页）

B

pk图2

当NC=60°时，ZABC=30°,

VZABP=30°,

:・/CBP=60°,

**•/\PBC是等边三角形，

：.CP=BC=6；

如图3：

图3

当N45C=60°时，ZC=30°,

VZABP=30°,

ZPBC=60°-30°=30°,

:・PC=PB,

U：BC=6,

.\AB=3,

QD

••・PC=PB=U—=2回

T

如图4：

第19页（共32页）

c

:NABP=3Q°,

：.ZPBC^6Q°+30°=90°,

：.PC=BC^cos30°=4V3.

故答案为：6或2百或4班.

17.（3分）如图，直线/1与直线/2所成的角/囱。41=30°,过点4作交直线/2

于点81,051=2,以4囱为边在△0/181外侧作等边三角形NLBICI,再过点G作加比

±/1,分别交直线/1和/2于血，历两点，以也均为边在△。/2及外侧作等边三角形

A2B2C2,…按此规律进行下去，则第2023个等边三角形，2023比023c2023的周长为

32023

.,.4向=1,

VA^iSiCi是等边三角形，

：.AAiBiCi的周长为3；

32

同理可得△/2比。2的周长为万,

第20页（共32页）

33

AA3B3C3的周长为兀；

2乙

32023

22022-

32023

故答案为：22022。

三、解答题(本题共69分)

18.(10分)(1)计算：(-1)2025*(兀一，2022)。+(-3)2+V12COS60Otan60°；

(2)因式分解:(x2-^2)2-4x2y2.

解：(1)原式=-1*1+9+2旧***百

=一义+3

8

=2于

(2)原式=Cx2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)

—(x+y)2(x-y)2.

19.(5分)解方程：5(x-1)2=2(x-1).

解：5(x-1)2-2(x-1)=0,

(x-1)[5(x-1)-2]=0,

Ax-1=0或5(x-1)-2=0,

.7

..Xl=l,X2=宁

20.(8分)某地区在所有中学开展《老师，我想对你说》心灵信箱活动，为师生之间的沟

通增设了一个书面交流的渠道.为了解两年来活动开展的情况，某课题组从全地区随机

抽取部分中学生进行问卷调查.对“两年来,你通过心灵信箱给老师总共投递过几封信？”

这一调查项设有四个回答选项，选项/：没有投过；选项3：一封；选项C：两封；选项

D-.三封及以上.根据接受问卷调查学生的回答，统计出各选项的人数以及所占百分比，

分别绘制成如下条形统计图和扇形统计图：

第21页(共32页)

(1)此次抽样调查了500名学生,条形统计图中仅=225，〃=25；

(2)请将条形统计图补全；

(3)接受问卷调查的学生在活动中投出的信件总数至少有425封:

(4)全地区中学生共有110000名，由此次调查估算，在此项活动中，全地区给老师投

过信件的学生约有多少名？

解：⑴此次调查的总人数为150+30%=500(人)，

则m=500X45%=225,”=500义5%=25,

故答案为：500,225,25；

(2)C选项人数为500X20%=100(人),

补全图形如下：

(3)1X150+2X100+3X25=425,

答：接受问卷调查的学生在活动中投出的信件总数至少有425封,

故答案为：425；

(4)由此次调查估算，在此项活动中，全地区给老师投过信件的学生约有110000X(1

-45%)=60500(名).

21.(10分)如图，48是OO的直径，C为OO上一点，连接ZC,作。尸，48交/C于点

尸，点E在48的延长线上，经过点C,且N/C£+N/FO=180°.

第22页(共32页)

（1）求证：EM是。。的切线；

（2）若NZ=NE,的半径为1,求阴影部分的面积.

ZAOF=90°,

：.ZA+ZAFO=90°,

VZACE+ZAFO=\SO°,ZACE+ZACM=ISO°,

・•・NAFO=/ACM,

9：OA=OC,

：./A=/ACO,

：.ZACO+ZACM=90°,

：.ZOCM=90°,

：.OCLME,

・・・E"是。。的切线；

(2)VZEOC=2ZA=2ZEf

又/EOC+/E=/OCM=90°,

.•.2Z£+Z£=90°,

/.Z£=30°,

ZEOC=60°,

第23页（共32页）

：.CE=OCtan6Q°=后

7r

二S阴影部分=S^OCE-S扇形BOC=xV3x1-=3f.

22.（10分）在一条笔直的公路上依次有/、C、8三地，甲乙两人同时出发，甲从/地匀

速骑自行车去2地，途经。地休息1分钟，继续按原速骑行至2地，甲到达2地后，立

即按原速的。倍原路返回/地，乙匀速步行从3地前往/地，甲、乙两人距各自出发地

的路程y（单位：米）与时间x（单位：分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解

答下列问题：

（1）请写出甲从/地到8地的速度为240米/分,乙的速度为60米/分:

（2）求甲返回时距/地的路程V与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取

值范围）；

（3）请直接写出两人出发后，在甲返回/地之前，经过多长时间两人距C地的路程相

21

丁-1）=24。（米/分）;

•.•甲从/地到2地，再从2地返回/地，中间休息1分钟，共用时间10-1=9（分钟）,

设N5两地之间距离为〃2米,

,mm,

由题思得：——+----^=9，解得加=1200,

240240x4

4

C.AB两地之间距离为1200米，

乙的速度为：12004-20=60（米/分）.

故答案为：240,60；

（2）:甲返回工地时的速度为240x^=300（米/分），

:.甲返回时距N地的路程y与时间x之间的函数关系式：^=1200-300（x-^-1）

第24页（共32页）

-300x+3000；

(3)设甲返回/地之前，经过x分两人距C地的路程相等,

如图1所示：：AB=1200,AC=1020,

，2C=1200-1020=180,

分5种情况：

①当0cxW3时，1020-240x=180-60x,

x=^>3,此种情况不符合题意；

②当3<xV4—l时，即3<X<¥，甲、乙都在/、C之间，

/.1020-240x=60x-180,

解得：x=4,

此种情况符合题意；

21

③当丁<r<6时，甲在3、C之间，乙在4C之间，

A240(x-1)-1020=60x-180,

解得：x=6,

此种情况不符合题意；

④当x=6时，甲到8地，距离C地180米，

乙距。地的距离：6X60-180=180(米)，

即x=6时两人距。地的路程相等，

⑤当x>6时，甲在返回途中，

当甲在8、C之间时，180-300(x-6)=60x780,

解得：x=6,

此种情况不符合题意，

当甲在/、C之间时，300(%-6)-180=60x-180,

解得：x=孚

15

综上所述，在甲返回/地之前，经过4分钟或6分钟或万分钟时两人距。地的路程相等.

23.(12分)综合与实践：情景再现：我们动手操作：把正方形N5CD沿对角线剪开就分剪

第25页(共32页)

出两个等腰直角三角形，把其中一个等腰直角三角形与正方形/BCD重新组合在一起，

图形变得丰富起来，当图形旋转时问题也随旋转应运而生.如图①把正方形沿对

（1）问题呈现，我们把剪下的两个三角形一个放大另一个缩小拼成如图②所示的图形，

①若点P是平面内一动点，48=3,刃=1,则线段尸5的取值范围是2WPBW4；

②直接写出线段AE与DB的关系是AE=DB,AELDB；

（2）我们把剪下的其中一个三角形放大与正方形组合如图③④⑤所示，点E在直线

8c上，FN_LCZ）交直线CO于①当点£在3C上时，如图③所示，求证：AD=

MF+CE-,②当点£在3c的延长线时，如图④所示，则线段40、MF、CE具有的数量

关系为FM=AD+CE；当点£在C3的延长线上时，如图⑤所示，则线段/£＞、MF、

CE具有的数量关系为EC=AD+FM；

（3）在（2）的条件下，连接当S^EMF=8,AF2=50,其他条件不变，则线段CE

的长为1或7.

（1）①解：点尸是平面内一动点，PA=\,

二点尸在以/点为圆心，以1为半径的圆上，

当点尸在线段N5上时，尸3有最小值，此时=3-1=2,

当点尸在线段A4的延长线上，尸2有最大值，此时P3=48+AP=3+1=4,

....2WP8W4；

②解：如图②，设AD与CE的交点为K,

第26页（共32页）

E

\

AB

图②

^ACD和丛BCE是等腰直角三角形，

：・AC=CD,CE=CB,ZACD=ZECB=90°,

工ZACD+ZDCE=NECB+NDCE,

：./ACE=/DCB,

：.AACE^ADCB("S),

：.AE=DB,/AEC=/DBC,

VZBKC+ZDBC=90°,/BKC=/EKD,

：.ZAEC+ZEKD=90°,

：.AELBD,

故答案为：2WP5W4；AE=DB,AELBD；

(2)①证明：如图③，过点方作尸G_L5C,交5C的延长线于点G,连接CF,

图③

U：FGLBC,

：.ZG=90°=/B,

・・・△4跖是等腰直角三角形,

：.AE=EF,ZAEF=90°,

AZAEB+ZFEG=90°,

VZBAE+ZAEB=90°,

・•・ZBAE=/FEG,

第27页（共32页）

・••△ABEmAEGF(AAS),

:・AB=EG,BE=FG,

・・•四边形45CQ是正方形，

：.AB=AD=EG,

又,：/G=/MCG=/FMC=90°,

•・•四边形MCG方是矩形，

:・MC=FG=BE,

■:BE+EC=BC,EC+CG=AB=BC,

:・BE=CG,

又,：BE=FG,

：.CG=FG

•・•四边形MCGF是正方形，

：.MF=CG,

：.EG=EC+CG=EC+MF,

：.AD=EC+MF；

②解：如图④，过点/作交的延长线于点N,

图④

■:FN工BC,

:・/N=90°=/B,

・・♦AAEF是等腰直角三角形,

：.AE=EF,ZAEF=90°,

ZAEB+ZFEN=90°,

又/BAE+/AEBS,

・・・ZBAE=/FEN,

:AABE经XENF(AAS),

第28页（共32页）

；・AB=EN,

同理①可得四边形MCNF是正方形，

：.MF=CN,

：.MF=CE+AD；

③解：如图⑤，过点尸作5c于点

图⑤

■:FH2BC,

；・/FHB=90°=AABE,

•••△4跖是等腰直角三角形，

：.AE=EF,ZAEF=90°,

：.ZAEB+ZFEH=90°,ZFEH+ZEFH=90°,

：.NAEB=/EFH,

：.AABE^AEHF(AAS)f

：.EB=FH,

:.EC=EB+BC=FH+BC,

同②可得四边形HFMC是正方形，

:・FM=FH,

：.EC=AD+FM；

(3)解：如图③，:四边形MCG厂是正方形，

:・MF=FG=CG,

•S/\EMF=8,

1

xWFG=8,

2

:・MF=FG=4=CG,

,・27=50,△4FE是等腰直角三角形，

:・EF=5,

第29页（共32页）

：.EG=、EF2_FG2=V25-16=3,

：.EC=EG-CG=-1（不合题意舍去），

如图④，同理可求FN=4=CN,EF=5,

：.EN=7EF2_FN2=3,

:.CE=CN-EN=L

如图⑤，同理可求：FH=CH=4,EF=5,

:.EH=7EF2_EH2=3,

，£C=4+3=7,

综上所述：EC的长为1或7,

故答案为：1或7.

24.（14分）综合与探究：如图，抛物线＞="2+云+。交x轴于4,8两点（点/在点8的

左侧），且4,3两点的横坐标分别是-6和2,交y轴于点C,且△/BC的面积为24.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,若AD=2OD,过点。作。E〃/。交y轴于点£,点尸是抛物线上/C下

方的一动点，连接尸。，PE,请直接写出面积的最大值以及取最大值时点P的坐

标；

（3）如图2,将原抛物线向右平移4个单位长度，得到新的抛物线y=mx2+bix+ci,平

移后的抛物线与原抛物线的交点为足在（2）的条件下，在直线/C上是否存在一点

在平面直角坐标系中是否存在一点N,使得以P,F,M,N为顶点的四边形是菱形？若

解：(1)\'A,3两点的横坐标分别是-6和2,

：.A(-6,0),B(2,0),AB=S,

1

「△/BC的面积为24,.\-x8XOC=24,；.OC=6,：.C(0,-6),

把N(-6,0),B(2,0),C(0,-6)代入y=ax2+bx+c得：