广东省深圳市东湖中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

深圳市东湖中学2024～2025学年第一学期初三年级（数学）学科暑假作业检测（考试时间：90分钟 试卷分值：100分）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的．）1．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（）．A． B．1 C．2 D．32．下列长度的三条线段不能构成直角三角形的是（）．A．6，8，10 B．0.3，0.4，0.5C．，， D．1，，3．若，则下列不等式成立的是（）．A． B．C． D．4．下列从左到右的变形为因式分解的是（）．A． B．C． D．5．如图，直线，点C、A分别在，上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AC、于点D、E，分别以D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F：作射线AF交于点B．若，则的度数为（）．A． B． C． D．6．如图，在平行四边形ABCD中，，，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为（）．A．1 B．2 C．3 D．47．如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集是（）．A． B． C． D．8．如图，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在BC边上，若，，则CD的长为（）．A．1 B． C．2 D．9．下列命题是真命题的是（）．A．有两条边相等的两个直角三角形全等B．等腰三角形的角平分线、中线和高重合C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形D．一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角等于10．如图，矩形ABCD中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作真线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（）．A． B． C．2 D．1二、填空题（每小题3分，共15分，请把答案填到答题卡相应位置上）．11．若分式有意义，则x满足的条件是__________．12．若a是方程的一个根，则代数式的值为__________．13．关于x的分式方程有增根，则__________．14．如图，在中，，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、N在BC上，则__________．15．如图，在中，，，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使，连接CE，过点A作于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，已知，，则__________．三、解答题（本题共7小题，共55分）16．（6分）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．17．（6分）先化简：，然后从0，1，2，3中选一个合适的x的值代入求值．18．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为．（1）将向上平移6个单位得到，画出；（2）以为对称中心，画出关于该点对称的；（3）经探究发现，和成中心对称，则对称中心坐标为__________．（注意：请先用铅笔，然后再用签字笔描）19．（8分）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，为了感受大自然，描绘大自然的美景，李老师打算为学生购买画笔（单位：盒）与画板（单位：个）两种写生工具数量若干．已知用340元购买画笔与用300元购买画板的数量相同，且每个画板的单价比每盒画笔的单价少2元．（1）请问购买一盒画笔和一个画板各需要多少元？（2）根据班级需要，购买画笔盒数和画板个数总共为30个，且购买这些写生工具的总费用不超过475元，求至少购买画板多少个？20．（8分）如图，在中，对角线AC，BD交于点O，，，垂足分别为E，F，连接AP，CE．（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）若，，，求四边形AECF的面积．21．（9分）定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“慧泉数”．将一个“慧泉数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题：（1）填空：下列两位数：40，51，66中，“慧泉数”为__________；（2）计算：①；②；（3）如果一个“慧泉数”m的十位数字是x，个位数字是，另一个“慧泉数”n的十位数字是，个位数字是2，且满足，求x．22．（10分）【初步感知】（1）如图1，已知为等边三角形，点D为边BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边向右侧作等边，连接CE．求证：≌；图1 图2 图3【类比探究】（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段EC、AC、CD之间的数量关系为__________，请证明你的结论．【拓展应用】（3）如图3，在等边中，，点P是边AC上一定点且，若点D为射线BC上动点，以DP为边向右侧作等边，连接CE、BE．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由．

深圳市东湖中学2024～2025学年第一学期初三年级（数学）学科暑假作业检测一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）题号12345678910答案BCBCCBCCDD二、填空题（每小题3分，共15分，请把答案填到答题卡相应位置上）题号1112131415答案715．【分析】过点C作于G，由等腰直角三角形的性质可得，，由“AAS”可证≌，可得，由勾股定理可得，代入数据可得答案．【解答】解：过点C作于G，如图：设∠，则，∴，∵，，∴，∴，∴．∵，∴，∴．又∵，∴．∵，，∴，∴，∴．∵，∴，，∴．又，，∴≌（AAS），∴，∴．在中，，∴，∴．∵，，∴．故答案为：．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．三、解答题（本题共7小题，共55分）16．解不等式组．解：解不等式①，得，（2分）解不等式②，得，（4分）∴原不等式组的解集为：．（5分）将不等式的解集在数轴上表示为（6分）17.．【解答】解：原式．（4分）∵，，，，（5分）∴，，∴，3当时，原式，（6分）或者当时，原式．（6分）评分标准说明：①第一步3分是对了一个因式分解得1分，第二步不写直接到第三步结果不扣分；②取值这一步没有写出来扣1分，带错了数值或者算错结果不得分．18．【解答】（1）分别作出点A、B、C向上平移6个单位的对应点、、，再顺次连接、、，如图．（2）分别作出点A、B、C关于的对称点、、，再顺次连接、、，如图．（3）连接、、，交于点Q，如图．则，即对称中心坐标为．19．解：（1）设购买一盒画笔需要x元，一个画板需要元，（1分）根据题意，得，（2分）解得．（3分）经检验：是原方程的解，（4分）则．答：购买一盒画笔需要17元，一个画板需要15元．（5分）（2）设可以购买画板a个，则购买画笔个，根据题意有，（6分）解得：，（7分）∵根据题意可知a为整数，∴a的最小值为18．答：至少购买画板18个．（8分）20．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，∴．（1分）∵，，∴，，（2分）在和中，，∴≌（AAS），∴．（3分）又∵，∴四边形AECF为平行四边形．（4分）（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，，∴．∵，∴．∵，∴，．∵，∴，∴，∴，∴，∴，由（1）可知，四边形AECF为平四边形，∴，，∴．21．解：（1）∵51满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，∴51为“慧泉数”．（2分）（2）①；（2分）②．（2分）（3）由（2）得：，；根据题意，得：，解得：，∴，∴或8．（3分）22．（1）证明：∵