2024-2025学年高中数学第六章导数及其应用测评课后习题含解析新人教B版选择性必修第三册

第六章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.假如物体的运动方程为s(t)=1t+2t(t>1),其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在2秒末的瞬时速度是()A.74米/秒 B.94米C.32米/秒 D.52米解析∵s(t)=1t+2t,∴s'(t)=-1t2+2.故物体在2秒末的瞬时速度s'(2)=-14+2=74(答案A2.若函数f(x)=13x3-f'(1)·x2-x,则f'(1)的值为()A.0 B.2 C.1 D.-1解析∵f(x)=13x3-f'(1)·x2-x∴f'(x)=x2-2f'(1)·x-1,∴f'(1)=1-2f'(1)-1,∴f'(1)=0.答案A3.已知函数f(x)=x4+ax2+1,若曲线y=f(x)在点(-1,a+2)处切线的斜率为8,则a=()A.9 B.6 C.-9 D.-6解析f'(x)=4x3+2ax,由题意,知f'(-1)=-4-2a=8,∴a=-6.故选D.答案D4.函数f(x)=exsinx在区间0,π2上的值域为A.[0,eπ2] B.(0,C.[0,eπ2) D.(0,解析f'(x)=ex(sinx+cosx).∵x∈0,π2,f'(x∴f(x)在0,π∴f(x)min=f(0)=0,f(x)max=fπ2答案A5.(2024周口中英文学校高二月考)已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是()A.(2,3) B.(3,+∞)C.(2,+∞) D.(-∞,3)解析f'(x)=6x2+2ax+36.因为f(x)在x=2处有极值,所以f'(2)=0,解得a=-15.令f'(x)>0,得x>3或x<2.所以从选项看函数的一个递增区间是(3,+∞).答案B6.若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的微小值为()A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1解析f'(x)=[x2+(a+2)x+a-1]·ex-1,则f'(-2)=[4-2(a+2)+a-1]·e-3=0,解得a=-1,则f(x)=(x2-x-1)·ex-1,f'(x)=(x2+x-2)·ex-1,令f'(x)=0,得x=-2或x=1,当x<-2或x>1时,f'(x)>0,当-2<x<1时,f'(x)<0,则f(x)微小值为f(1)=-1.答案A7.设函数f(x)=13x-lnx(x>0),则y=f(x)(A.在区间1e,B.在区间1e,C.在区间1e,1内有零点,D.在区间1e,1内无零点,解析f'(x)=13-1x=x-33x,令f'(x)=0,得x=3,当0<x<3时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(0,3)上为减函数.又f(1)=13>0,f(e)=e3-1<0,f1e=13e+答案D8.(2024山西高二月考)f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,xf'(x)-f'(x)<0,且f(-3)=0,则不等式f(x)x>0A.(-∞,-3)∪(3,+∞) B.(-∞,-3)∪(0,3)C.(-3,3) D.(-3,0)∪(3,+∞)解析设函数g(x)=f(x)x,则g'(x当x<0时,xf'(x)-f(x)<0,所以此时g'(x)=xf'(x)-f(x)x2又函数g(x)=f(x所以函数g(x)在x>0时单调递减,且f(3)=0.画出函数g(x)=f(x)x则不等式f(x)x>0的解集为0<x<3即不等式的解集为(-∞,-3)∪(0,3).答案B二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.(2024山东高二期中)设函数f(x)=ex-3x+23,点P是曲线y=f(x)上的随意一点,P点处的切线的倾斜角为α,则角α的取值范围包含下列哪些(A.2π3,C.0,π2解析f'(x)=ex-3>-3.设切线的倾斜角为α,则tanα>-3,故可得α∈0,故选CD.答案CD10.(2024福建连城第一中学高二期中)如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图像,则下面推断正确的有()A.在(-2,1)上f(x)是增函数B.在(3,4)上f(x)是减函数C.在x=-1处取得微小值D.在x=1处取得极大值解析依据导函数的正负,得到原函数的增减性,由图可得如下数据:x(-3,-1)-1(-1,2)2(2,4)4(4,+∞)f'(x)-0+0-0+f(x)↘微小值↗极大值↘微小值↗在(3,4)上f(x)是减函数,在x=-1处取得微小值.正确的有BC.答案BC11.(2024福建连城第一中学高二期中)已知函数f(x)=x2+x-1A.函数f(x)存在两个不同的零点B.函数f(x)既存在极大值又存在微小值C.当-e<k<0时,方程f(x)=k有且只有两个实根D.若x∈[t,+∞)时,f(x)max=5e2,则t解析由f(x)=0,得x2+x-1=0,解得x=-1±52,所以f'(x)=-x2-x-2ex=-(x+1)(x-2)ex,当f'(x)>0时,-1<x<2,当f'(x)<0时,x<-1或x>2.所以(-∞,-1),(2,+∞)是函数的单调递减区间,(-1,2)是函数的单调递增区间,所以当x→+∞时,f(x)→0,依据B可知,函数的最小值是f(-1)=-e,再依据单调性可知,当-e<k<0时,方程f(x)=k有且只有两个实根,所以C正确.由图像可知,t的最大值是2,所以D不正确.故选ABC.答案ABC12.(2024山东省试验中学高二月考)设函数f(x)=exlnx,则下列说法正确的是A.f(x)定义域是(0,+∞)B.x∈(0,1)时,f(x)图像位于x轴下方C.f(x)存在单调递增区间D.f(x)有且仅有两个极值点E.f(x)在区间(1,2)上有最大值解析由题意,函数f(x)=exlnx满意x>0,lnx≠0,解得x>0且x≠1,所以函数f(x)=exlnx的定义域为(0,1)∪(1,+∞),所以A不正确;由f(x)=exlnx,当x∈(0,1)时,lnx<0,∴f(x)<0,所以f(x)在(0,1)上的图像都在x轴的下方,所以B正确;因为f'(x)=exlnx-1x(lnx)2>0在定义域上有解,所以函数f(x)存在单调递增区间,所以C是正确的;由g(x)=lnx-1x,则g'(x)=1x+1x2(x>0),所以g'(x)>0,函数g(x)单调递增,则函数f'(x)=0只有一个根x0,使得f'(x0)=0,当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,函数单调递减,当x∈(x0,+∞)时,函数单调递增,所以函数只有一个微小值,所以D不正确;由g(x)=lnx-1x,则g'(x)=1x+1x2(x>0),所以g'(x)>0,答案BC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2024武威第六中学高二月考)已知函数f(x)=2cosx+3sinx,则f'π3的值为.

解析依题意,得f'(x)=-2sinx+3cosx,故f'π3=-2sinπ3+3cosπ3=-3答案-314.(2024湖南长郡中学高三下学期其次次适应性考试)过曲线y=x3-3x2上一点(2,-4)作曲线的切线,则切线方程为.

解析由题意可得y'=3x2-6x.设该切线切点为(x0,y0),则切线斜率为3x02-6x0,因此切线方程为y=(3x02-6x0)(x-x0)+y0=(3x02-6x0)(x-x0)又点(2,-4)在切线上,∴(3x02-6x0)(2-x0)+x03-整理,得(2-x0)2(2x0-1)=0,解得x0=2或x0=12代入切线方程,化简得y=-4或y=-94x+1整理得,y=-4或9x+4y-2=0.答案9x+4y-2=0或y=-415.用长为18cm的钢条围成一个长方体形态的框架,要求长方体的长与宽之比为2∶1,则该长方体的长、宽、高分别为时,其体积最大.

解析设长、宽、高分别为2x,x,h,则4(2x+x+h)=18,h=92-3x∴V=2x·x·h=2x292-3x=-6x3+9x2,由V'=0,得x=1或x=∴x=1是函数V在(0,+∞)上唯一的极大值点,也是最大值点,故长、宽、高分别为2cm,1cm,32cm时,体积最大答案2cm,1cm,3216.(2024山东济南高二期中)若f(x)=mlnx-x3+32x2-4x+4在(2,+∞)上单调递减,则实数m的取值范围为.解析∵f(x)=mlnx-x3+32x2-4x+4(x>∴f'(x)=mx-3x2+3x-4由于f(x)在(2,+∞)上单调递减,即f'(x)≤0在(2,+∞)上恒成立,即mx-3x2+3x-4≤0在(2,+∞)上恒成立则m≤3x3-3x2+4x在(2,+∞)上恒成立,即m≤g(x)min在(2,+∞)上恒成立,设g(x)=3x3-3x2+4x(x>2),g'(x)=9x2-6x+4,知Δ=36-4×9×4<0,∴x∈(2,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,∴m≤g(x)min=g(2)=3×23-3×22+4×2=20,∴m≤20,即实数m的取值范围为(-∞,20].答案(-∞,20]四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)(2024湖北武汉高二期末)已知函数f(x)=x33+x(1)求f(x)的递减区间;(2)当x∈[-1,1]时,求f(x)的值域.解(1)由函数f(x)=x33+x2,得f'(x)=x2+2由f'(x)=x2+2x<0,解得x∈(-2,0).即f(x)的递减区间为[-2,0].(2)当f'(x)=x2+2x>0,解得x∈(-∞,-2)∪(0,+∞),即f(x)在[-1,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增.所以f(0)≤f(x)≤max{f(-1),f(1)},且f(0)=0,f(-1)=23,f(1)=4故f(x)的值域为0,18.(本小题满分12分)设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.已知f(x)在x=3处取得极值.(1)求f(x)的解析式;(2)求曲线y=f(x)在点A(1,16)处的切线方程.解(1)f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a.∵f(x)在x=3处取得极值,∴f'(3)=6×9-6(a+1)×3+6a=0,解得a=3.∴f(x)=2x3-12x2+18x+8.(2)A点在f(x)上,由(1),可知f'(x)=6x2-24x+18,f'(1)=6-24+18=0,∴切线方程为y=16.19.(本小题满分12分)(2024广州育才中学高二月考)已知函数f(x)=x2-2lnx.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求证:当x>2时,f(x)>3x-4.解(1)依题意,知函数的定义域为{x|x>0},∵f'(x)=2x-2x由f'(x)>0,得x>1;由f'(x)<0,得0<x<1.∴f(x)的单调递增区间为[1,+∞),单调递减区间为[0,1].(2)设g(x)=f(x)-3x+1=x2-2lnx-3x+4,∴g'(x)=2x-2x-3=2∵当x>2时,g'(x)>0,∴g(x)在(2,+∞)上为增函数,∴g(x)>g(2)=4-2ln2-6+4>0,∴当x>2时,x2-2lnx>3x-4,即当x>2时,f(x)>3x-4.20.(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为rm,高为hm,体积为Vm3.假设建立成本仅与表面积有关,侧面的建立成本为100元/m2,底面的建立成本为160元/m2,该蓄水池的总建立成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)探讨函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh=200πrh(元),底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.又依据题意200πrh+160πr2=12000π,所以h=15r(300-4r从而V(r)=πr2h=π5(300r-4r3)因为r>0,又由h>0可得r<53,故函数V(r)的定义域为(0,53).(2)因为V(r)=π5(300r-4r3所以V'(r)=π5(300-12r2)令V'(r)=0,解得r1=5,r2=-5(因为r2=-5不在定义域内,舍去).当r∈(0,5)时,V'(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r∈(5,53)时,V'(r)<0,故V(r)在(5,53)上为减函数.由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.21.(本小题满分12分)(2024四川成都高三三模)已知函数f(x)=x-1+axlnx(a∈R).(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)函数g(x)=m(x+1)+f(x),当0<a≤1时,g(x)≥0恒成立,求整数m的最小值.解(1)因为f'(x)=a(lnx+1)+1,当a=0时,f'(x)=1>0,所以函数f(x)的单调递增区间是(0,+∞);当a>0时,由f'(x)>0得x>e-所以函数f(x)的单调递增区间是[e-1a-当a<0时,由f'(x)>0得0<x<e-所以函数f(x)的单调递增区间是[0,e-1(2)g(x)≥0,即m(x+1)+axlnx+x-1≥0,因为x>0,所以m≥1-axlnx-xx+1,①当x≥1时,因为0<a≤1,所以-axlnx≤0,因此1-x-axlnx≤0,所以只需m≥0.②当0<x<1时,因为0<a≤1,则-axlnx≤-xlnx,所以h(x)≤1-因此只需h(x)≤1-xlnx-xx+1≤m,即m1+1x+lnx-1x+1≥0,构造函数p(x)=m1+1x当m≥2时,p(x)在(0,m-1)上单调递减,在(m-1,+∞)上单调递增,所以p(x)mi