2025届高考数学一轮复习讲义-平面向量

(4)平面向量

——2025届高考数学一轮复习一站式复习之讲义

【高考考情分析】

平面向量的概念及运算、平面向量基本定理及坐标运算，在高考中的考查突出向量的基本

运算与工具性，命题重点为平面向量的线性运算、共线向量定理、平面向量基本定理及平面向

量共线的坐标表示，主要以选择题和填空题的形式呈现，难度较低，要注重掌握向量的数与形

的特征，同时要掌握用坐标法解决向量问题.

平面向量的数量积及应用是高考命题的热点，每年必考,主要考查平面向量的数量积运算,

模、夹角问题的求解，平行或垂直问题的求解，有时也会与平面几何、三角函数、不等式、解

析几何等内容综合考查，主要以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下，要掌握运用数形

结合思想和函数与方程思想解决有关最值等综合问题.

【基础知识复习】

1向量加法的法则：三角形法则和平行四边形法则.

如图，已知非零向量a,b,在平面内取任意一点A,作AB=a，BC=b，则

向量AC叫做a与万的和，记作a+方，^a+b=AB+BC=AC.

三角形法

C

则

A'--a~

已知两个不共线向量a,4作AB=a，=人以A3，AD为令B边作，ABCD,

平行四边则对角线上的向量AC=a+b.

形法则

A公

2.对于零向量与任意向量a,有a+0=0+a=a.

3.向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a；

结合律：a+3+c)=(a+8)+c.

4.向量形式的三角不等式：\a+b\„\a\+\b\,当且仅当a,方方向相同时等号成立.

5.相反向量：

①定义：与。长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作一访并且规定，零向量

的相反向量仍是零向量.

②性质：零向量的相反向量仍是零向量；

a和-a互为相反向量，于是-(-a)=a；

若a，8互为相反向量，则。=—b=—a,a+Z>=0.

6.向量数乘的定义:规定实数几与向量0的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作：2a,

它的长度与方向规定如下：①1而1=1如1。1；②当4>0时，加的方向与。的方向相同；当2<0

时，加的方向与。的方向相反当2=0或。=0时，Aa=0.

7.向量数乘的运算律：设九〃为任意实数，则有：

①=(2/z)a；

(2)(2+/j)a=2a+//a；

③2(a+b)=Aa+Ab.

特另U地，有(一2)a==2(-a)；2(a-b)—Aa-Ab.

8.向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍

是向量.对于任意向量。，)，以及任意实数％，〃i，〃2，恒有=

9.向量共线(平行)定理：向量以。/0)与方共线的充要条件是：存在唯一一个实数汨使万=2a.

10.平面向量基本定理：如果％，e?是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任

一向量。，有且只有一对实数4，4，使。=461+%202.

11.基底：若生，e?不共线，则把｛%,02｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

12.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.

13.平面向量的坐标运算：

设向量。=(为，％)"=(%，%)，几eR,则有下表：

运算文字描述符号表示

两个向量和的坐标分别等于这两个向a+b=(x+x,X+%)

加法i2

量相应坐标的和

两个向量差的坐标分别等于这两个向a-b=(x-x,%一%)

减法i2

量相应坐标的差

实数与向量的积的坐标等于用这个实Aa=（丸再，

数乘

数乘原来向量的相应坐标

一个向量的坐标等于表示此向量的有已知A(%j,yJ,B(x,y),

向量坐标公22

向线段的终点的坐标减去起点的坐标

式则AB：®-%，%

14.平面向量共线的坐标表示

（1）设。=（西，必）"=（々，%），其中共线的充要条件是存在实数几，使。=劝.

（2）如果用坐标表示，向量共线的充要条件是百%-々%=0.

15.向量的夹角：已知两个非零向量如图，。是平面上的任意一点，作。4=a，OB=b，

则ZAOB=6（0轰的兀）叫做向量。与b的夹角.记作＜。，方＞.

JT

当。=0时，向量。，入同向；当6=5时，向量a"垂直，记作0_1_）；当。=兀时，向量a"反

向.

16.平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a与方，它们的夹角为。，把数量|。|传Icos。叫

做向量a与力的数量积（或内积），记作al,即a小=|a||b|cos。.

17.投影向量：如图，设a"是两个非零向量，AB=a，CD=b，过A3的起点A和终点3,

分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为4，耳，得到A4,这种变换称为向量。向向量力投

影，44叫做向量a在向量b上的投影向量.

H

C4,a,D

18.向量数量积的性质：设是非零向量，它们的夹角是。，e是与方方向相同的单位向量,

则

(1)ae=ea^a\cos0；

(2)a_L〃oa/=0；

(3)当。与方同向时，。・万当@与方反向时，ab=-\a\\b\,特别地，或

\a\=4a~a；

(4)由cos。,，1可得，\a-b\„\a\\b\-

19.向量数量积的运算律

(1)交换律：ab=ba；

(2)数乘结合律:(而)小=〃“1)=人(劝)；

(3)分配律:(a+b)c=ac+bc.

20.平面向量数量积的坐标表示:设向量。=(%，%)"=(>2,%)，则。小=%々+%%.

这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

21.向量模的坐标表示：

(1)若向量a=(x,y),则|°|=Jx2+y?;

(2)若点4>1，%),8区，为)，向量AB=(%—X)，则|A8|=J(、一/)2+(%—X)2・

由此可知，向量的模的坐标运算的实质是平面直角坐标系中两点间的距离的运算.

22.向量夹角的坐标表示：设都是非零向量，4=(%,%)"=(>2,%),。是@与方的夹角,

则2品

23.向量垂直的坐标表示：设向量。=(石，%)"=(>2,%)，则•方=00%/+%%=0.

【重点难点复习】

1.向量共线(平行)定理：向量。3,0)与方共线的充要条件是：存在唯一一个实数4,使方=".

2.平面向量基本定理：如果4,02是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任

一向量a,有且只有一对实数4,4，使。=4%+402.

3.投影向量：设是两个非零向量，AB=a,CD=b,过A3的起点A和终点3,分别作CD

所在直线的垂线，垂足分别为A，M，得到44,这种变换称为向量。向向量方投影，A4叫

做向量。在向量方上的投影向量.

4.向量数量积的性质：设a"是非零向量，它们的夹角是，，e是与方方向相同的单位向量，

则

(1)ae=ea^a\cos0•

(2)a_L〃oal=0；

(3)当。与方同向时，ab=\a\\b\-,当。与方反向时，ab^-\a\\b\,特别地，a・a=|a/或

|a|=y/aa；

(4)由cos。,，1可得，\a-b\„\a\\b\;

ab

(5)cos0=

\a\\b\-

【基本方法与技能复习】

1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路

(1)先选择一组基底，并运用该基底将相关向量表示出来，再通过向量的运算来解决.

（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.另外，要熟练运用平面几何

的一些性质定理.

2.向量线性运算的解题策略

（1）常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，

求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则.

（2）找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或

三角形中求解.

3.已知平面向量的坐标求解相关问题的技巧

（1）利用向量加、减、数乘运算的法则进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求

向量的坐标.

（2）利用相等向量的坐标相同以及共线向量的坐标表示列方程（组）进行求解.

4.求非零向量a,b的数量积的方法

（1）定义法：已知或可求两个向量的模和夹角.

（2）基底法：直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的一组基底（基底中的向量要

已知模或夹角），利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数

量积的运算律和定义求解.

（3）坐标法：已知或可求两个向量的坐标；已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建

立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积.

5.求模的取值范围或最值时常用的技巧

（1）常利用“平方技巧”找到向量的模的表达式，然后利用函数思想求最值，有时也常与三

角函数知识结合求最值.

（2）要充分利用平面向量“形”的特征，充分挖掘向量的模所表示的几何意义，从图形上观

察分析出模的最值.

6.向量的坐标运算问题的求法

向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应

先求向量的坐标.解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.

7.解决向量在平面几何中的应用问题的方法

(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这

样就能进行相应的代数运算，从而使问题得到解决.

(2)基底法：选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则、

运算律和性质求解.

8.解决向量在物理中的应用问题的策略

(1)力、速度、加速度、位移等都是向量，它们的合成与分解就是向量的加、减法，运动的

叠加亦用到向量的合成；

(2)动量mv是数乘向量；

(3)功W是一个标量，它是力F与位移s的数量积，即W=F-s=|F||s|cos。(。为F与s

的夹角).

9.平面向量与三角函数的综合问题的解题思路

(1)若题中给出的向量的坐标中含有三角函数的形式，则运用向量共线或垂直或等式成立等

得到三角函数的关系式，然后求解.

(2)若给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模，则解题思路是通过向量的运算，

利用三角函数在定义域内的有界性等解决问题.

10.平面向量中有关最值(或取值范围)问题的求解思路

(1)“形化”,即利用平面向量的几何意义先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，

然后根据平面图形的特征直接进行判断；

(2)“数化"，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等

式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.

【典型例题复习】

1.【2023年新课标I卷】已知向量a=(1,1),1=(1,-1).若(a+劝)_L(a+W)，则()

A.4+〃=1B.2+〃=—1C.2〃=1D.A//=—1

2.【2022年新高考I卷】在△ABC中，点。在边A3上，5D=2ZM.记CA=m,CD=〃，则CB=

()

A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

3.【2022年新高考H卷】已知向量a=(3,4),ft=(1,0),c=a+tb,若〈a,c〉=S,c〉,则■=()

A.-6B.-5C.5D.6

4.【2021年新高考I卷】(多选)已知。为坐标原点，点片(cosa,sina),g(cos⑸-sin夕),

A(cos(a+，),sin(a+〃))，A(l,0),贝(J()

|UUUI|lUUlTi|UUUI||UUU|

闾B.M=|同

UULUUUUUWUUUUULULHUUUUUUU

C.OAOP3=OPlOP2D.OAOP^OP^OR,

5.【2023年新课标n卷】已知向量a,8满足|a-Z>|=G,|a+5|=|2a—川，则|切=.

6.[2021年新高考II卷】已知向量a+6+c=0,|a|=1,|川=|c|=2,贝!Jab+bc+ca=.

答案以及解析

1.答案：D

解析：因为a=(1,1)，b=(1,—1),所以a+28=(1+%1-2),a+/ib=(1+//,1—//),因为

(a+Ab)±(a+/ab),所以(a+28)+=0,所以(l+4)(l+〃)+(l—2)(1—〃)=0,整理得

"/=-1.故选D.

2.答案：B

解析：法一：因为BD=2ZM,所以AB=3AD,所以C3=C4+AB=C4+3AD

=CA+3(CD-CA)=-2CA+3CD=—2m+3n.

法二：如图，利用平行四边形法则，合成出向量CB,由图易知C4(即向量用)的系数为负

数，排除A,C,D,故选B.

A

浴

3.答案：C

解析：c=(3+7,4),cos(a,c)=cos(b,c),即9+3/+16=豆_£,解得彳=5,故选C.

51cl|c|

4.答案：AC

解析：

选项正误原因

UlmuuulULUttiIULUT।

AN因为OPi=(cosa,sina),OP2=(cos/7,-sin/7),所以=0g=1

uumuuu.

因为APX=(cosa-1,sina),AP2=(cosQ-l,-sin/7),所以

在片=J(cosa-1)2+sin2a=,2-2cosa,

BX

kq=J(cos〃-l)2+(-sin£)2=j2-2cos〃，由于a与/3的关系不确

定，所以无法判断网=浦

UULUUUUUULUUL1

因为。=cos(a+B),OP}-OP2=cosacos/?-sinasin(3=cos(a+P),

CqUULUUULUUULUUU

所以040〃=OqOg