湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（解析版）

2024年高二9月起点考试高二数学试卷命题学校：安陆一中命题教师：陈汉荣李治国余华萍审题学校：安陆一中考试时间：2024年9月5日下午14：30-16：30试卷满分：150分注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.孝感市某高中有学生1200人，其中高一年级有学生400人，高二年级有学生600人，现采用分层随机抽样的方法抽取120人进行问卷调查，则被抽到的高二年级学生人数比高一年级学生人数多（）A.20 B.30 C.40 D.50【答案】A【解析】【分析】根据题意先求抽样比，进而求高一，高二被抽到的学生生人数即可求解.【详解】抽样比等于，于是，高一被抽到的学生人数为，高二被抽到的学生人数为，所以高二年级学生人数比高一年级学生人数多.故选：A.2.已知复数满足：，则复数的虚部为（）A. B.-2 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】由复数的除法先求出复数，结合共轭复数的概念，进而可得出结果.【详解】因为，所以，所以所以虚部为2.故选:C3.已知，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用即可得到在上的投影向量.【详解】在上的投影向量为.故选：B.4.已知圆锥的侧面积为，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆半径为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设出圆锥底面圆半径，表示出圆锥母线长，再利用圆锥侧面积公式计算即得.【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为，则，解得，由圆锥的侧面积为，得，即，所以.故选：A5.掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现小于4的点”，“第二枚出现大于3的点”，则与的关系为（）A.互斥 B.互为对立 C.相互独立 D.相等【答案】C【解析】【分析】根据独立事件的概念进行判断.【详解】对于该试验，第一枚骰子与第二枚骰子出现点数互不影响，故与相互独立.故选：C6.在三棱锥中，三个侧面与底面所成的角均相等，顶点在内的射影为，则是的（）A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心【答案】C【解析】【分析】根据三垂线定理可得平面的夹角，结合题意得，即可根据锐角三解函数得，由内心的性质即可求解.【详解】若三个侧面与底面所成的角相等，则分别作三个侧面三角形的斜高，由三垂线定理，得，，，则、、分别是三侧面与底面所成角的平面角，，，，，，是的内心．故选：C．7.如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，且，则向量的模长为（）A B.34 C.52 D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的线性表示可达，即可由模长公式求解.【详解】,故,故，故，故选：D8.已知单位向量满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据题意求出的值，进而即可求解的最小值.【详解】由得，两边取平方得，即，又为单位向量，所以，即，解得或，因为，所以，即.因，所以，当时等号成立，所以的最小值为.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于非零向量，下列命题中正确的是（）A.若，则. B.若，则.C.若，则. D.若，则.【答案】BD【解析】【分析】根据向量模的定义即可求解C，根据向量共线定义可判断B，根据向量相等的定义即可求解AD.【详解】对于A，不能得到的方向，故A错误，对于B，若，则，B正确，对于C，向量不能比较大小，故C错误，对于D，若，则，D正确，故选：BD10.如图，正方体的棱长为1，点在线段上运动，则下列选项中正确的是（）A.的最小值为.B平面平面.C.若是的中点，则二面角的余弦值为.D.若，则直线与所成角的余弦值为.【答案】ABC【解析】【分析】证明，可判断A的真假；通过面面垂直的判定定理判断B的真假；作出二面角并求出其余弦值，判断C的真假；作出异面直线所称的角，并求其余弦，判断D的真假.【详解】对A：如图连接，，因为是正方体，所以平面，平面，所以.又点在线段上，所以为直角三角形，所以（当点与点重合时取“”）.故A正确；对B：因为是正方体，所以平面，又平面，所以：平面平面，故B正确；对C：当为线段中点时，因为，，所以即为二面角的平面角.在中，，，，所以，所以.故C正确；对D：如图：因为，在上取点，使，连接，，则,所以即为异面直线与所成的角.在中，，，.由余弦定理可得：，故D错误.故选：ABC11.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为D.当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率【答案】ABD【解析】【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为，A正确；对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为，B正确；对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误；对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率，单次传输发送0，则译码为0的概率，而，因此，即，D正确.故选：ABD【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于第______象限.【答案】四【解析】【分析】根据纯虚数的概念求出的值，再确定对应的点所在的象限.【详解】因为是纯虚数，且，所以.所以，对应的点位于第四象限.故答案为：四13.三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球体积等于______.【答案】【解析】【分析】将三棱锥补成长方体，求长方体外接球的体积即可.【详解】如图：将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球和长方体的外接球是一致的.设长方体外接球半径为，则：，所以所以三棱锥的外接球体积为：.故答案为：14.在中，，则中最小角的余弦值为__________.【答案】##【解析】【分析】利用平面向量数量积的几何意义计算即可.【详解】因为是直角三角形，且为斜边，而，，由得，即，即，所以，所以.故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，在直三棱柱中，分别是和的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）取中点，连接.，先证平面，再证，可得平面.（2）通过等积变换可得，求即可.【小问1详解】取中点，连接.因为是的中点，所以，且.由直棱柱知，，而是的中点，所以且，所以四边形是平行四边形.所以.又为中点，，又三棱柱为直三棱柱，所以平面，平面，，又，平面，所以：平面，故平面.【小问2详解】，由（1）知，平面.所以且.16已知.（1）若，求实数k的值；（2）求与的夹角的余弦值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根据向量的模长公式可得，即可根据向量数量积的运算律即可代入求解，（2）根据夹角公式即可求解.【小问1详解】由题意知，，又，所以，由，得，即又，所以，解得.【小问2详解】设与的夹角为，则所以与的夹角的余弦值为.17.在中，内角的对边分别为，已知.（1）若，求角的大小；（2）若为锐角三角形，求的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根据正弦定理，把化成，结合三角形内角和定理，消去角，可得角，的关系，结合，可求角.（2）根据（1）中角，的关系，利用正弦定理，可得，再根据为锐角三角形，可求角的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得的取值范围.【小问1详解】因为，由正弦定理得：又，所以所以，得所以，则或（舍），.【小问2详解】由题意及（1）得，在中，，由正弦定理得，，为锐角三角形，解得：，的取值范围为.18.如图，在四棱锥中，平面为的中点，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）构造线线平行，证明线面平行.（2）通过证明，，进而根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，可证面面垂直.（3）先作出直线与平面所成的角，然后用直角三角形中的边角关系求角的正弦值.【小问1详解】如图：取的中点，连接，则，且，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面.【小问2详解】因为平面平面，所以，由题设易知为直角梯形，且，则，，所以，即，因为平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小问3详解】如图：取的中点，连接，则，由（2）知平面，则平面，所以为直线与平面所成的角.因为，所以.所以.即直线与平面所成角的正弦值为19.A校和B校是孝感市两所著名的高中，为了相互学习和交流，现随机抽取2000名A校学生和2000名B校学生参加一场知识问答竞赛，得到的竞赛成绩全部位于区间中，现分别对两校学生的成绩作统计分析：对A校学生的成绩经分析后发现，可将其分成组距为10，组数为6，作频率分布直方图，且频率分布直方图中的满足函数关系（n为组数序号，）；关于B校学生成绩的频率分布直方图如下图所示（纵轴为），假定每组组内数据都是均匀分布的.（1）求的值；（2）若B校准备给前100名的学生奖励，应该奖励多少分以上的学生？（3）现在设置一个标准来判定某一学生是属于A校还是B校，将成绩小于的学生判为B校，大于的学生判为A校，将A校学生误判为B校学生的概率称为误判率A，将B校学生误判为A校学生的概率称为误判率B，误判率A与误判率B之和称作总误判率，