满分线性代数（第二版）课件 第5章 相似矩阵与二次型

第五章相似矩阵与二次型5.1特征值与特征向量5.2特征值及特征向量的求解5.3特征值的性质及定理5.4实对称矩阵的特征值与特征向量5.5相似矩阵的定义及性质5.6矩阵的相似对角化5.7矩阵相似对角化举例5.8二次型的概念第五章相似矩阵与二次型5.9矩阵的合同5.10二次型的标准形及规范形5.11正交变换法化二次型为标准形5.12配方法化二次型为标准形5.13惯性定理5.14正定的定义及性质5.15等价、相似和合同的判定与关系5.16典型例题分析

5.1特征值与特征向量

1.特征值及特征向量的定义设A是n阶矩阵,如果存在一个数λ及非零n维列向量α,使得Aα=λα成立,则称λ是矩阵A的特征值,称非零向量α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。

2.特征值及特征向量的求解

(1)求特征值。把λ的n次多项式f(λ)=A-λE称为A的特征多项式,以λ为未知数的一元n次方程A-λE=0称为A的特征方程。求得特征方程A-λE=0的根即为A的特征值。

n阶矩阵A一定有n个特征值(可能有重根,可能有虚根)。

(2)求特征向量。当求得A的特征值后,进一步求解方程组(A-λE)x=0。该方程组的解向量即为A的属于λ的特征向量。

一个特征值对应的特征向量一定有无穷多个。n阶矩阵A最多有n个线性无关的特征向量。

5.2特征值及特征向量的求解

1.一般矩阵特征值和特征向量的求解

(2)求特征值:解特征方程A-λE=0,解得λ1=λ2=-2,λ3=6。

2.三角矩阵和对角矩阵特征值的求解

5.3特征值的性质及定理

1.特征值和的性质

n阶矩阵A的所有特征值的和等于矩阵A的迹tr(A),即

2.特征值积的性质

矩阵A的所有特征值的积等于矩阵的行列式的值,即

3.零特征值的性质

根据特征值积的性质,有以下性质:

(1)|A|=0⇔0是矩阵A的特征值。

(2)|A|≠0⇔矩阵A的所有特征值均非零。

4.f(λ)与f(A)定理

若λ是矩阵A

的特征值,且α是矩阵A属于特征值λ的特征向量,那么有:f(λ)是矩阵f(A)的特征值,α是矩阵f(A)属于特征值f(λ)的特征向量。

有以下几种特殊情况:

5.属于不同特征值的特征向量线性无关定理

若λ1,λ2,…,λm是矩阵A的互不相等的特征值,α1,α2,…,αm分别是与之对应的特征向量,则α1,α2,…,αm线性无关。

把以上m个等式写成矩阵等式,有

6.特征值的几何重数不大于代数重数定理

(1)特征值的代数重数:若λ0是矩阵A的m重特征值,则称m为特征值λ0的代数重数。

(2)特征值的几何重数:若齐次线性方程组(A-λ0E)x=0基础解系所含解向量的个数是t,则称t为特征值λ0的几何重数。

(3)定理:矩阵A的所有特征值的几何重数都不会超过其代数重数。

7.A与AT有相同的特征值定理

n阶矩阵A与其转置矩阵AT有有相同的特征值。

8.g(A)=O定理

若n阶矩阵A满足g(A)=O,那么A的所有特征值都是方程g

(λ)=0的根。

例如,若有A(A+2E)(A-3E)=O,则有|A||A+2E|

|A-3E|=0,于是|A|=0或|A+2E|=0或|A-3E|=0,所以有A的特征值为0或-2或3,即矩阵A的所有特征值只能在{0,-2,3}中选取。

注意:若n阶矩阵A满足g(A)=O,则A的所有特征值都是方程g(λ)=0的根,但方程g(λ)=0的根不一定都是A的特征值。

5.4实对称矩阵的特征值与特征向量

1.特征值都是实数实对称矩阵A的所有特征值都是实数,所以对应的特征向量总可以取实向量。分析二阶非对称矩阵计算其特征值为虚数λ1=i和λ2=-i,但针对实对称矩阵而言,可以证明其特征值一定都是实数。

2.属于不同特征值的特征向量正交

若λ1,λ2,…,λm是实对称矩阵A的互不相等的特征值,α1,α2,…,αm分别是与之对应的特征向量,则α1,α2,…,αm两两正交。

3.代数重数等于几何重数

若A为实对称矩阵,则A的所有特征值的几何重数都等于其代数重数。若λi是对称矩阵A的m重特征值,那么矩阵A属于λi的线性无关特征向量也有m个。

例如,六阶实对称矩阵A的特征值为λ1=3,λ2=λ3=-1,λ4=λ5=λ6=7,那么矩阵A属于特征值λ1=3的特征向量有1个,矩阵A属于特征值λ2=λ3=-1的线性无关特征向量有2个,矩阵A属于特征值λ4=λ5=λ6=7的线性无关特征向量有3个。

5.5相似矩阵的定义及性质

1.相似矩阵的定义设A、B都为n阶矩阵,如果存在可逆矩阵P,使P-1AP=B,则称矩阵A与B相似。

2.相似矩阵的性质

(1)相似则等价。根据矩阵等价和相似的定义可知:若A与B相似,则A与B等价。

相似和等价都具有“传递性”性,即:若A与B相似,且B与C相似,则有A与C也相似。

(2)相似则秩相等。若矩阵A与B相似,则A与B等价,所以有R(A)=R(B)。

(3)相似则特征值相等。若矩阵A与B相似,则A与B有相同的特征值。

证明因为矩阵A与B相似,则存在可逆矩阵P,使P-1AP=B,故

(4)相似则行列式的值相等。若矩阵A与B相似,则A=B。

因为矩阵A与B相似,所以它们有相同的特征值,而所有特征值的积等于行列式的值,于是有A=B。

(5)相似则迹相等。若矩阵A与B相似,则tr(A)=tr(B)。

因为矩阵A与B相似,所以它们有相同的特征值,而所有特征值的和等于迹,于是有tr(A)=tr(B)。

以上五个性质称为特征值的“五等”性质。

(6)f(A)与f(B)性质。若矩阵A与B相似,则f(A)与f(B)相似。

例如,若矩阵A与B相似,则有f(A)=3A2-6A+5E与f(B)=3B2-6B+5E相似。

以下是三个特殊情况,若矩阵A与B相似,则kA与kB相似,Am与Bm相似(其中m是正整数),A-1与B-1相似。

5.6矩阵的相似对角化

1.矩阵相似对角化的定义对于n阶矩阵A,寻求相似变换矩阵P,使得Λ=P-1AP为对角阵,这个过程称为把矩阵A相似对角化。通过矩阵相似对角化的过程可以看出,有的矩阵可以相似对角化,有的矩阵不能相似对角化。

2.矩阵相似对角化的过程

(3)分析矩阵P=(α1,α2,…,αn),若构成矩阵P的列向量组α1,α2,…,αn为线性无关特征向量,则P为可逆矩阵,于是有:

P-1AP=Λ,即A可以相似对角化。否则,若矩阵A没有n个线性无关的特征向量,那么矩阵A就不能相似对角化。

3.矩阵相似对角化的定理

(1)充分必要条件定理1。

根据矩阵相似对角化的过程可以得到矩阵可以相似对角化的充分必要条件:n阶矩阵A可以相似对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

(2)充分必要条件定理2。

n阶矩阵A

可以相似对角化的充分必要条件是A的每一个特征值的几何重数都等于其代数重数。

(3)充分条件定理。

根据“属于不同特征值的特征向量线性无关定理”可以得到以下充分条件定理:若n阶矩阵A有n个互不相等的特征值,则A可以相似对角化。

(4)实对称矩阵定理。

根据实对称矩阵特征值的几何重数等于代数重数的性质,有以下定理:n阶实对称矩阵A一定可以对角化,且一定存在正

交矩阵Q,使得Q-1AQ=其中λ1,λ2,…,λn为A

的特征值,矩阵Q的列向量分别为属于特征值λ1,λ2,…,λn的两两正交的单位特征向量。

5.7矩阵相似对角化举例

单位化:

5.8二次型的概念

1.二次型的定义含有n个变量x1,x2,…,xn

的二次齐次多项式称为n元二次型,简称二次型。例如,f(x1,x2,x3)=x21+2x22-5x23+4x1x2-6x1x3+7x2x3是一个三元二次型。

2.二次型的矩阵及秩

5.9矩阵的合同

1.合同矩阵的定义设A、B为n阶矩阵,若存在可逆矩阵C,使得CTAC=B,则称矩阵A与B合同。合同具有传递性:若A与B合同,且B与C合同,则A与C也合同。

2.定理

(1)若A与B合同,则A与B等价,且R(A)=R(B)。

若存在可逆矩阵C,使得CTAC=B,显然根据矩阵等价定义知,矩阵A与B也等价。

(2)若A与B合同,且A为对称矩阵,则B也为对称矩阵。

因为AT=A,且CTAC=B,于是有BT=(CTAC)T=CTAT(CT)

T=CTAC=B。

5.10二次型的标准形及规范形

1.定义只含有平方项的二次型称为二次型的标准形。显然二次型的标准形矩阵是对角矩阵。在二次型的标准形中,若平方项的系数为1,-1或0,则称其为二次型的规范形。

2.化二次型为标准形

5.11正交变换法化二次型为标准形

1.正交变换的定义设Q是n阶正交矩阵,则称线性变换x=Qy为正交变换。

2.定理对于任意实二次型f(x1,x2,…,xn)=xTAx,总可以找到正交变换x=Qy,使得

3.用正交变换法化二次型为标准形举例

单位化:

5.12配方法化二次型为标准形

用正交变换法化二次型为标准形,具有不改变几何形状的优点。而在研究二次型的正定性时,还可以利用配方法快速得到标准形。配方法就是利用代数公式,将二次型配成完全平方式的方法,下面举例说明。

例2用配方法化二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+7x1x3-x2x3为标准形,并求所用的可逆变换。

解因为该二次型没有平方项,所以令

把上式代入①式,有

5.13惯性定理

1.正(负)惯性指数实二次型的标准形中正平方项的项数称为二次型的正惯性指数,负平方项的项数称为二次型的负惯性指数。例如,标准二次型的正惯性指数为1,负惯性指数为2。

2.惯性定理

对于一个二次型f(x1,x2,…,xn)=xTAx,无论用怎样的可逆线性变换使它化为标准形,其中正平方项的个数(正惯性指数)和负平方项的个数(负惯性指数)都是唯一确定的。

5.14正定的定义及性质

1.正定的定义设f(x1,x2,…,xn

)=xTAx是n元实二次型,若对任意n维非零列向量x,都有

f

(x1,x2,…,xn

)>0,则称f(x1,x2,…,xn

)为正定二次型,称对称矩阵A为正定矩阵。

2.正定矩阵的性质

设A为n阶实对称矩阵,正定矩阵的定义及性质如下:

(1)A正定⇔对任意n维非零列向量x,都有xTAx>0。

(2)A

正定⇔A

的二次型的标准形的系数全为正(即正惯性指数为n)。

(3)A

正定⇔A

的各阶顺序主子式全大于零。

(4)A正定⇔A的所有特征值全大于零。

(5)A正定⇔A与n阶单位矩阵E合同(A可拆成:A=PTP,其中P为可逆矩阵)。

(6)A正定⇔kA(k为正数)正定。

(7)A正定⇔A-1正定(设A可逆)。

(8)A正定⇒A*正定。

(9)A正定⇒Am(m为正整数)正定。

(10)A正定⇒r(A)=n(即正定矩阵必为可逆矩阵)

(11)A正定⇒矩阵A的主对角线元素全为正数。

(12)A正定⇒|A|>0。

5.15等价、相似和合同的判定与关系

1.定义(1)等价:若存在可逆矩阵P和Q,使得PAQ=B,则称A与B等价。(2)相似:若存在可逆矩阵P,使得P-1AP=B,则称A与B相似。(3)合同:若存在可逆矩阵P,使得PTAP=B,则称A与B合同。

2.判定定理

(1)A与B等价⇔R(A)=R(B)(设A与B同型)。

因为A与B有相同的特征值,且都可以对角化,则它们都可以相似于同一个对角矩阵,根据矩阵相似的传递性知,A与B也相似。

(3)设A、B为实对称矩阵,则有:

①A与B合同⇔A的二次型与B的二次型有相同的正、负惯性指数。

②A与B合同⇔A与B的正特征值个数、负特征值个数对应相等。

3.相互关系

矩阵等价、相似和合同之间有以下关系:

(1)矩阵相似则等价。

(2)矩阵合同则等价。

(3)矩阵相似不一定合同。

(4)矩阵合同不一定相似。

(5)若矩阵A与B都是实对称阵,有:A与B相似则A与B合同。

图5.1给出了矩阵的等价、相似与合同的关系图。

图5.1等价、相似和合同的关系图

5.16典型例题分析

【例5.1】求矩阵的特征值与特征向量。

【思路】根据特征方程求特征值,由对应的齐次线性方程组的解得到特征向量。

【例5.3】设n阶矩阵A的所有元素都为2,那么矩阵A的特征值为。

【思路】根据特征方程解得特征值。

【解】解特征方程|

A-λE

|=0,

解得λ1=λ2=…=λn-1=0,λn=2n。

【评注】因为矩阵A也属于“ab”矩阵,可以直接用例5.1评注中的公式写出答案。

【例5.6】设A为n阶正交矩阵,证明:

(1)若|A|=-1,则-1是A的特征值。

(2)若n为奇数,且|A|=1,则1是A的特征值。

【思路】要证明“a是A的特征值”,即证明等式|A-aE|=0。

【评注】本题考查了以下知识点:

(1)An是正交矩阵⇔AnTAn=En。

(2)a是A的特征值⇔|A-aE|=0。

(3)|AB|=|A|

|B|。

(4)|AT|=|

A|。

(5)|kAn|=kn|An|。

【秘籍】利用正交矩阵特点ATA=E,构造包含A-E和A+E的矩阵等式。

【评注】本题考查了以下知识点:

(1)|A-aE|=0⇔a是A的特征值。

(2)若λ1,λ2,…,λn是矩阵An的特征值,则有λ1λ2…λn=An。

(3)若λ1,λ2,…,λn是矩阵An的特征值,则有λ1+λ2+…+λn=tr(An

)。

【评注】本题考查了以下知识点:

【评注】(1)特别要注意:方程λ3-2λ2-λ+2=0并不是矩阵A的特征方程,它的解不一定都是矩阵A的特征值,但矩阵A的所有特征值必然都在它的解中。

(2)本题也可以对矩阵等式A3-2A2-A+2E=O两端取行列式得到答案。

【秘籍】若n阶矩阵A满足g(A)=O,那么A的所有特征值只能在方程g(λ)=0的根中选取。

【例5.12】分析以下命题,并确定()。

①已知四阶矩阵A满足:R(3E+A)=1,则-3是A的3重特征值。

【评注】本题考查了以下知识点:

(1)矩阵A的特征值的几何重数不会超过代数重数。

(2)若n阶矩阵A有n个互不相同的特征值,则A可以相似对角化。

(3)|A|=0⇔0是矩阵A的特征值。

(4)R(对角矩阵)=对角线非零元素的个数。

(5)若A与B相似,则R(A)=R(B)。

(6)n阶矩阵A有n个特征值(可能包含重根和虚根)。

(7)|A-kE|=0⇔k是A的特征值;|A-kE|≠0⇔k不是A的特征值。

(8)若有P-1AP=B,且α是矩阵A的属于λ的特征向量,则P-1α是矩阵B的属于的特征向量。

【例5.13】设n阶方阵A有n个互不相同的特征值。证明AB=BA的充分必要条件是A的任意一个特征向量都是B的特征向量。

【思路】从特征向量的定义出发,分析矩阵A的相似对角矩阵。

【证明】必要性:设x1是矩阵A的属于λ1的特征向量,则有

充分性:设xi是矩阵A的属于λi的特征向量,xi也是矩阵B的属于μi的特征向量,则有

因为矩阵A有n个互不相同的特征值,属于不同特征值的特征向量线性无关,所以x1,x2,…,x是矩阵A的n个线性无关的特征向量,也是矩阵B的n个线性无关的特征向量,于是矩阵A和B可以用同一个可逆矩阵P=(x1,x2,…,xn)相似对角化,

即

因为Λ

和M都是对角矩阵,所以ΛM=MΛ,于是AB=BA。

【评注】本题考查了以下知识点:

(1)Aα=0,α≠0,则α是A的属于特征值0的特征向量。

(2)若λ1是矩阵A的1重特征值,则矩阵A的属于λ1的线性无关的特征向量只有一个,于是属于λ1的任意两个特征向量一定线性相关。

(3)属于不同特征值的特征向量线性无关。

(4)若n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量,则A可以相似对角化。

(5)若A和B为对角矩阵,则有AB=BA。

【例5.14】设A、B为n阶矩阵,分析以下命题,则()。

①若A与B相似,则A与B有相同的特征值。

②若A与B有相同的特征值,则A与B相似。

③若A与B都是实对称阵,则AB与BA有相同的特征值。

④若A是可逆矩阵,则AB与BA有相同的特征值。

(A)只有①和③正确(B)只有①和④正确

(C)只有③和④正确(D)只有①、③和④正确

【评注】本题考查以下知识点:

(1)若由矩阵A的特征方程可以推出矩阵B的特征方程,则A与B有相同的特征值。

(2)相似矩阵有相同的特征值,但有相同特征值的两个矩阵不一定相似。

【例5.15】

【解】求解矩阵A的特征方程:

【例5.16】设方阵

相似,求x、y的值。

【例5.17】设方阵

【例5.19】设三阶实对称矩阵A的特征值为6,3,3,特征值6对应的特征向量为p1=(1,1,1)T,求矩阵A。

【例5.22】设n阶矩阵A满足A2=A,证明A一定可以相似对角化

【评注】本题考查以下知识点:

(1)若AnBn=On,则R(A)+R(B)≤n。

(2)R(A+B)≤R(A)+R(B)。

(3)R(kA)=R(A),k≠0。

(4)方程组Anx=0基础解系含有n-R(A)个线性无关的解向量。

(5)若An有n个线性无关的解向量,则An可以相似对角化。

(6)若n阶矩阵A满足g(A)=O,那么A的所有特征值只能在方程g(λ)=0的根中选取。

【例5.23】设A是三阶实对称矩阵,E是三阶单位矩阵,若A2+A=2E,且|A|=4,则二次型xTAx的规范形为()。

【思路】根据矩阵等式A2+A=2E和|A|=4,确定矩阵

A的特征值。

【解】因为A2+A=2E,所以(A+2E)(A-E)=O,于是A的特征值在{-2,1}中选取。又因为三阶矩阵A的行列式|A|=4,所以矩阵A的3个特征值分别为:-2,-2,1,矩阵A的正惯性指数为1,负惯性指数为2,于是选项(C)正确。

【评注】本题考查以下知识点:

(1)若n阶矩阵A满足g(A)=O,那么A的所有特征值只能在方程g(λ)=0的根中选取。

(2)若λ1,λ2,…,λn是矩阵An的特征值,则有λ1,λ2,…,λn=An。

(3)若矩阵A的特征值有r个正数,s个负数,t个0,那么其二次型xTAx规范形的系数分别为r个“+1”,s个“-1”和t个“0”。

【评注】本题考查以下知识点:

(1)n阶“ab”矩阵的特征值为n-1个a-b和1个(n-1)b+a。

(2)表5.1给出了二次型矩阵特征值的正负情况所对应的二次曲面f(x1,x2,x3)=2的类型。

【例5.25】设二次型

在正交变换x=Qy下的标准形为求a的值及一个正交矩阵Q。

【思路】根据标准形可知0一定是二次型矩阵的特征值,即可确定a的值,然后再求正交矩阵Q。

【解】二次型的矩阵为

【评注】本题考查了以下知识点:

(1)二次型经过正交变换后的标准形的系数即为二次型矩阵的特征值。

(2)0是矩阵A的特征值⇔|A|=0。

(3)正交变换为