2025年高考数学一轮复习：基本不等式 专项训练【原卷版】

2025年高考数学一轮复习-2.2.1-基本不等式-专项训练【原卷版】

时间：45分钟

基础巩固

一、选择题

1.a,8WR,则屋+加与2|"Z?|的大小关系是（）

A.屋+Z?2221abiB.cr-\-b2—2\ab\

C.a2-\-b2^：2\ab\D.a2Jt-b2>2\ab\

2.若实数a,Z?G（0,l）,且满足（1—a）b〉；，则a,b的大小关系是

（）

A.a>bB.a^b

C.aWbD.a<b

3.下列结论不成立的是（）

A.若a,b£R,则QIO+小。22a5b5

B.若％WO,则

C.若介念2,则必有a>0,b>0

D.若a£R,则有4+926。

4.某工厂生产某种产品，第一年产量为A,第二年的增长率为a,

第三年的增长率为九这两年的平均增长率为%,则（）

a-\-ba~\-b

A.x-2B.xW

a-\~ba-\~b

C.x>-rD.%2-丁

5.设a"为正数，且a+AW4,则下列各式中正确的一个是（）

A•慑<1

S+Q田+拉2

6.如果正数a,b,c,d满足a+Z?=cd=4,那么（）

A.abWc+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一

B.ab^cVd,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一

C.aZ?Wc+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一

D.ab^c~\-d,且等号成立时，a,b,c,d的取值不唯一

Q2+炉ba

7.已知a,b£R,且abWO,则在①丁、ab；②-+,22；③

‘。+公‘〃+公|屋+尻

abW2—w这四个不等式中，恒成立的个数为

I2)I2)2

)

A.1B.2

C.3D.4

22

已知m=a+J_(a>2),n=2—b(b^0),则m,n之间的大

8.a/

小关系是（

A.m>nB.m<n

c.根=〃D.不确定

二、填空题

1

9.若a<l,贝!Ja-\与一1的大小关系是

a—1

10.给出下面三个推导过程:

①•・飞人为正实数，.•各•21联ba=2；

ab

aWO,.*.|+tz^2-需=生

x

③yER,xy<0,+

yX

-2.

其中正确的推导过程为

三、解答题

11.设a,b,c都是正数，试证明不等式：牛+中+审》6.

12.设a,b,c£R+.求证：

(I)aZ?(a+/?)+bc(b+c)+ca(c+a)26abc；

(\1、

⑵(a+b+c)1+讦力4.

能力提升

13.（多选题）设a>0,b>0,下列不等式恒成立的是（）

A.a2+\>a

B%+%+/4

c3+36步4

D."+9〉6a

14.《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问

题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代

数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明.现有如图所

示的图形，点尸在半圆。上，点。在直径A5上，MOF±AB.^AC

=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为（）

F

;

AOCB

ciIbI—

A.-2->4ab（a>0,b>0）

B.a2~\~b2^2ab(a>0,Z?>0)

C.^~^^y[ab(a>0,b>Q)

a~\~b一屋+加

D・2、——(a>0,Z?>0)

15.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围

是；a+h的取值范围是

16.已知。>0,b>0,a+b=l,求证：

2025年高考数学一轮复习-2.2.1-基本不等式-专项训练【解析版】

时间：45分钟

|基础巩固

一、选择题

1.a,b£R,则〃十82与2|aZ?|的大小关系是（A）

A.屋+）2221abiB.crJrb2=2\ab\

C./21abiD.a2-\-b2>2\ab\

角星析：Va1-\-b2—2\ab\=（\a\—\b\）2^0,•，.序+炉，21az?|（当且仅当|Q|

=依时,等号成立）.

2.若实数a,Z?e（0,l）,且满足（1—aM〉；，则a,8的大小关系是

（D）

A.a>bB.a^b

C.aWbD.a<b

解析：a,Z?£（0,l）,且满足（1—

/]—。）/?〉；,又°―Q—a）b,

1—a-\-b1

----2---->]，«'<。〈"故选D.

3.下列结论不成立的是（C）

A.若a,b^R,则〃°+〃°22a5人5

B.若％WO,则X2+ge2

X

C.若林+/22,则必有a>Q,b>0

D.若a£R,则有4+926。

解析：由基本不等式可知，若?+?22成立，则有？>0,]>0,因

UCl'czC4-

此a>0,b>0或a<0,b<0,

故C选项不成立.

4.某工厂生产某种产品，第一年产量为A,第二年的增长率为a,

第三年的增长率为儿这两年的平均增长率为％,则（B）

a~\~ba~\-b

A.x-2B.-2-

a~\-ba~\~b

C.%>-2-D.%2-2-

解析：依题意有A(l+%)2=A(l+a)(l+b),

a~\~b

则

1+%=+a)(l+6)W/[(1+a)+(1+b)]=1+2

故选B.

5.设a,》为正数,且a+bW4,则下列各式中正确的一个是（B)

1,11,b

T

A.a-+b<1B-a+Tb^1

1,11,b

_T_T

C.a+b<2D.a+b^2

‘。+公4

解析：因为abW2<P=4,

I2)

所哈弓22、缺12卜L

ab

6.如果正数a,b,c,d满足a+Z?=cd=4,那么（A）

A.abWc+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一

B.ab^c-\-d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一

C.aZ?Wc+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一

D.ab2c+d,且等号成立时，a,b,c,d的取值不唯一

‘a+公

解析：a~\-b^2\[ab,abW2=4,当且仅当a=b=2时

I2)

取等号.，；c+42如,；.c+心2M=4,当且仅当c=d=2时取

等号.故c+d》ab,当且仅当a=8=c=d=2时取等号.

Q2+反ba

7.已知a,b£R,且帅WO,则在①；、ab；②-十722；③

'a+昨（ci~\~b\屋+炉

abW④［寄这四个不等式中，恒成立的个数为

(C)

A.1B.2

C.3D.4

解析：①由a,Z?£R,得〃J力ab;②由a,b£R,得?与葭不

乙Ci-u

‘〃+公（a—b）2

一定是正数，不等式不一定成立；③"一［寄］2=—④

Q2+〃2(a—Z7)2

寄|一_r_=—L—wo,故①③④恒成立，故选c.

8.已知加=a+1.(a>2),«=22—Z?2(Z?^0),则加，〃之间的大

CL/

小关系是（A）

A.m>nB.m<n

c.根=〃D.不确定

解析：因为。>2,所以。一2〉0.又因为171=d~\~T=(Cl-2)+T

a—2a—2

+222、,-2).上卜2=4（当且仅当l2=二,即y3时,

“=”成立).

故机24.由Z?#0得/?2力0.所以22—Z?2<4,即w<4.

综上易知m>n,故选A.

二、填空题

1与的大小关系是任告上

9.若a<i,贝!Ja-\-1L

a—1

解析：Va<\,即Q—1<0,

(1)

。―1+r=（1-。）+士

I

(1—办±=2,当且仅当L『士,

即「0时取等号，."T+占W-2,

则a+VlWT.

10.给出下面三个推导过程:

①,,人为正实数，.4+^2、联ba=2；

ab

QWO,.\(+心2需=生

XVx

③•1%,y£R,%y<0,,,,,十；+W—2

yX

=-2.

其中正确的推导过程为①③.

解析：①••ab为正实数，..•・的正实数，符合基本不等式的

条件，故①的推导过程正确；②^金区，QWO,不符合基本不等式的条

件，.•.②的推导过程错误；③由孙＜0,得工，2均为负数，...

y%y

均为正数，符合基本不等式的条件，故③的推导过程正确.故选

①③.

三、解答题

11.设a,Ac都是正数，试证明不等式：牛+号十三》6.

证明：因为。>0,b>0,c>0,

“力，Q、-b、

所以一+工22,-+-22,-+122,

abaccb

小》+c,C+Q,a+b

所以——+^—+——

abc

=[2)+奔a)+mb*6,

ab

、，…“bacacb

当且仅当一=、一=一,T=~,

abacbc

即a=b=c时，等号成立.

小》+c,C+Q,a+b、

所以——+—^―+——

abcN6.

12.设a,b,c£R+.求证：

(1)aZ?(a+/?)+bc(Jb+c)+ca(c+a)N6abc；

(11、

(2)(a+b+c)[+不24.

2

证明：(1)Vfl,b,c£R+,.,.左边=。2办+而2+/72c+反+(?。+(?。2

=(crb+Z?c2)+(Z72c+ca2)+(c2a+ab2)

222

22yjabc+2/252c2+2,屋氏2

=6abe=右边，

当且仅当Q=Z?=C时，等号成立.

(2),.'a,b,c£R+,

...,左边=旧+他+。][1+,广1司

=4=右边,

当且仅当Q=Z?+c时，等号成立.

能力提升

13.(多选题)设a>0,b>0,下列不等式恒成立的是(ABC)

A.tz2+l>a

B%+为+/4

C.3+陪+/4

D.a2Jr9>6a

解析：由于"+l—a=]a—；>+[>(),

a1+1>〃，故A恒成立；

由于。+核2,计拉2,.•（+静+加4,

当且仅当Q=8=1时，等号成立，故B恒成立；

由于。+后2皿/+检2*,

.,.（。+/?），+,24,当且仅当a=Z?时，等号成立，故C恒成立;

当。=3时，屋+9=6。，故D不恒成立.

14.《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问

题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代

数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明.现有如图所

示的图形，点尸在半圆。上，点。在直径A5上，且OF_LAA设4。

=a，BC=b,则该图形可以完成的无字证明为（D）

ab、I—

A.-寸ab(a)U,Z?>0)

B.a2Jrb2^2ab{a>0,Z?>0)

C.~^~^：\[ab(a>0,Z?>0)

a-\-bla2Jt-b2

D.-2-m>o,z?>o)

解析：由图形可知OF=~^AB=-2—,0C——2一•

在RtZ^OC尸中，由勾股定理可得