人教版初中八年级数学上册同步讲义-因式分解的应用（解析版）

第06讲因式分解的应用

学习目标

课程标准学习目标

1.能够对式子进行分组，然后在利用相应的分解方法

①分组分解法

进行分解。

②实数范围内因式分解

2.能够在实数范围内进行分解因式。

③因式分解的应用

3.能够熟练的运用因式分解进行求值，化简，证明等。

思维导图

—分组分解因式

实01范网内分解因式

求值/可电

证明।可疑

因式分解的应用

计■问融

知识点01分组分解因式

1.分组分解因式：

对于四项或者超过四项的多项式分解时，我们通常要对其进行分组，使其分在同一组的项能够使用提

公因式法或公式法或者式子相乘法进行分解。从而达到对整个多项式进行分解的目的。

考点题型：①分组分解因式。

【即学即练1】

1.把1-/-庐_2a6分解因式，正确的分组为（）

A.1-(a^+t^+lab)B.(1-Q2)-(b2-2ab)

C.(1-2ab)+(-/-D.(1-a2-Z?2)-lab

【解答】解：l-a2-b2,2ab

=1-(a2+i2+26z6)

=1-(a+b)2

—(1+a+b)(1~a~b).

故选：A.

【即学即练2】

2.因式分解/+〃26-必2_〃的值为(

A.(a-b)2(a+b)B.(a+b)2(Q-6)

C.ab(a+b)2D.ab(a-b)2

【解答】解：原式=(a3+a2b)-(口及+方)

=a2(a+b)-b1(〃+b)

=(a2-b2)(a+b)

=Qa-b)(a+6)(a+6)

=(a-b)(a+b)2；

故选：B.

【即学即练3】

3.八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2〃-3。6-4+66因式分解.经过小组合作交流,

得到了如下的解决方法：

解法一：原式=(2〃-3仍)-(4-6Z?)

=a(2-3b)-2(2-3b)

=(2-3b)(6Z-2)

解法二：原式=(2。-4)-C3ab-6b)

=2(tz-2)-36(。-2)

=(a-2)(2-36)

小明由此体会到，对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利

用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的.这种方法可以称为分组分解法.(温馨提示：因式

分解一定要分解到不能再分解为止)

请你也试一试利用分组分解法进行因式分解：

(I)因式分解：X2-“2+X+Q；

(II)因式分解：ax+a2-2ab-bx+B.

【解答】解：(I)x2-a^+x+a

(x2-/)+(%+q)

=(x-a)(X+Q)+(x+q)

=(x+a)(x-a+1)；

(II)ax+a2-lab-bx+b2,

=(ax-bx)+(a?-2ab+b2)

=x(a-6)+(a-b)2

=(a-b)Cx+a-b).

知识点02实属范围内分解因式

1.实数范围反内分解因式：

一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式，实数范围内分解

因式是指可以把因式分解到实数的范围，既可以用无理数来表示。

题型考点：①实数范围内分解因式。

【即学即练11

4.把下列各式在实数范围内分解因式：

(2)x3-2x；(3)/-2遮。+3；(4)x4-25.

【解答】解：(1)02-7=(。+77)(。-近)；

(2)x3-2x,

—x(x2-2),

—x(x+V2)(x-V2)；

(3)/-2«。+3=(a-V3)2;

(4)x4-25,

2

=(X2+5)(x-5),

=05)(x+V5)(x-V5).

【即学即练2】

5.在实数范围内分解因式：X3-X2-2X+2.

【解答】解：x3-x2-2x+2,

—x2(x-1)-2(x-1),

=(x-1)(x2-2),

=(x-1)(x+V2)(x-V2).

【即学即练3】

6.在实数范围内分解下列因式：

(Dy4-6y2+5；

(2)x2-11；

(3)cr-2A/3(7+3；

(4)5,-2.

【解答】解：(1)原式=(/_1)(y2_5)

=(y+1)(y-1))(V-)；

(2)原式=苫2-(JII)2

=(x+)11)(x-y/11)；

(3)原式=(a-V3)2;

(4)原式=(V5x+V2)(V5-v-V2).

知识点03因式分解的综合应用

1.因式分解的步骤：

第一步：观察式子是否有公因式可提。若有公因式，则先用公因式进行因式分解。

第二步：观察式子项数：

①若式子是两项，则观察是否具有平方差公式的特点，若具有平方差公式的特点则用平方差公式分

解，若不具有则不能分解。

②若式子是三项，则观察是否具有完全平方公式的特点，如果具有完全平方公式的特点则用完全平

方公式分解。若不具有完全平方公式的特点则观察是否可用十字相乘法分解，若能则用十字相乘法分解，

若不能用十字相乘法分解则多项式不能分解。

因式分解一定要分解彻底，即无论用什么方法都不能再继续分解。

题型考点：①分解因式。

【即学即练1】

7.分解因式：

(1)4(3/W+2/7)2-9(.m-ri')2；

(2)X4+5X2-36；

(3)x3y-2x2y2+3x-6y；

(4)(x2+x+l)(X2+X+2)-12；

(5)4X4+12X3+13X2+6X+1；

(6)y(y+1)(x2+l)+xC2y2+2y+l).

【解答】解：(1)原式=[2(3w+2«)+3(m-n)][2(3m+2n)-3Cm-n)]

=(6m+4n+3m-3n)(6m+4n-3加+3”)

=(9m+n)(3m+7n)；

(2原式=(X2+9)(x2-4)

=(X2+9)(X+2)(x-2)；

(3)原式(x-2y)+3(x-2y)

=(//+3)(x-2y)；

(4)原式=(x2+x)2+2(x2+x)+(/+%)+2-12

=(x2+x)2+3(%2+x)-10

=(/+%+5)(/+%-2)

=(X2+X+5)(X+2)(x-1)；

(5)原式=(2x2)2+12X3+9X2+4X2+6X+1

=[(2x2)2+2-2X2-3X+9X2]+2(2X2+3X)+1

=(2X2+3X)2+2(2X2+3X)+1

=(2X2+3X+1)2

=[(x+1)(2x+l)]2

=(x+1)2(2x+l)2；

(6)y(y+1)(x2+l)+x(2y+2科1)

=f(y+1)y+x(2y2+2y+l)(y+1)

=[yx+(y+1)][(尹1)x+y].

【即学即练2】

8.分解因式：

(1)"y+28加c；

(2)a4-64；

(3)x2+(2〃+3)x+(Q2+3Q)；

(4)4f+4盯+12x+6y+f+8.

【解答】解：(1)原式=4口庐(2tz^+7Z)c)；

(2)原式=(次+8)(a2-8)

=(片+8)(q+2&)(6Z-2V2)；

(3)原式=(x+a)(x+a+3)；

(4)原式=(4/+4盯+j?)+(12x+6y)+8

=(2x+y)2+6(2x+y)+8

=(2AH^+2)(2x+y+4).

知识点04因式分解的综合应用

1.因式分解的综合应用：

利用因式分解解决求值问题。

利用因式分解解决证明问题。

利用因式分解解决计算问题。

题型考点：①因式分解的实际应用。

【即学即练11

9.若a+6=3,x+y=l,则代数式。2+2仍+庐一工->+2015的值是()

A.2019B.2017C.2024D.2023

【解答】解：Va+b=3>,x+y=1,

：.a2+2ab+b2-x-y+2015=(a+Z))2-(x+y)+2015=9-1+2015=2023,

故选：D.

【即学即练21

10.已知a、b、c是△48C的三边长，且满足02+2y+°2=2"+2灰：，那么据此判断△/8C的形状是（）

A.等边三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

【解答】解：a2+2b2+c2^2ab+2bc,

a2-2ab+b2+b2-2bc+c1=0

(a-b)2+(b-c)2=0,

a-b=0且b-c=0

•*ct~^byb=c.

••a=b=c,

AABC为等边三角形，

故选4

【即学即练3】

11.已知X->=工，xy=—,则盯2的值是（）

23

A.zB.1C.D

36--I

【解答】解：；x-y=工，xy=-，

23

.'.X2)7-xy2=xy(x-y)

14

—_—2,

3

故选：A.

【即学即练4】

12.生活中我们经常用到密码，如到银行取款.有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理

是：将一个多项式分解因式，如多项式因式分解的结果是Q-y)G+y)(，+/),当取工=9,

y=9时，各个因式的值是：(x-y)=0,(x+y)=18,(f+f)=162,于是就可以把“018162”作

为一个六位数的密码.类似地，对于多项式4丁-砂2,当取工=10,>=10时，用上述方法可以产生一个

六位数密码.则这个密码可以是()

A.102030B.103020C.101030D.102010

【解答】解：4x3-xy2

=x(4x2-y2)

=x(2x-y)(2x+y),

Vx=10,尸10,

Z.(2x-y)=2X10-10=10,(2x+y)=2X10+10=30,

・・・这个密码可以101030,故选：C.

【即学即练5】

13.有些多项式不能直接运用提取公因式法分解因式，但它的某些项可以通过适当地结合(或把某项适当

地拆分)成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如加工+内+叼+犯=

(/nx+nx)+(my+ny)=x(m+n)+y(机+〃)=(m+n)Cx+y),根据上面的方法因式分解：

(1)2ax+3bx+4ay+6by；

(2)m3-mn2-m^n+ni；

(3)已知Q,b,。是的三边，a1-ab+c2=2ac-be,判断△力5。的形状并说明理由.

【解答】解：(1)原式=(2ax+36x)+(4ay+6by)

=x(2a+3b)+2y(2a+3b)

=(x+2y)(2a+3b).

(2)原式=(冽3-冽2几).(加〃23)

=加2(冽-〃)-〃2(初一〃)

=(加-〃)Cm2n2)

=(m-n)2(m+n).

(3)等腰三角形.

Va2-ab+c2=2ac-be

**.(〃-c)(a-c-b)=0

u：a,b,c是△45C的三边，

：・a-b-eVO,

•・a-c=0,

・・a=c,

.△4BC是等腰三角形.

题型精讲

题型01因式分解

【典例1】

因式分解：

(1)4ab-2a2b；

(2)25--9y2；

(3)2a2b-Sab2+Sb3；

(4)x2(x-3)+9(3-x).

【解答】解：(1)4ab-2a2b=2ab(2-a)；

(2)25/-9y2=(5x+3y)(5x-3y)；

(3)2a2b-Sab2+Sb3

=2b(a2-4tz/7+4&2)

=2b(a-2b)2；

(4)x2(x-3)+9(3-x)

=(x-3)(x2-9)

—(x-3)(x-3)(x+3)

=(x-3)2(x+3).

【典例2】

将下列各式因式分解：

(1)a(x-3)+26(x-3)；

(2)2x3-8x；

(3)(2x+y)2-(x+2y)2；

(4)-x2-4y2+4xy.

【解答】解：(1)tz(x_3)+2Z?(x-3)=(x-3)(a+2b)；

(2)2x3-8x

=2x(x2-4)

=2x(x+2)(x-2)；

(3)(2x+y)2-(x+2y)2

=[2x+y+(x+2y)][2x4j-(x+2y)]

=C2x+y+x+2y)(2x+y-x-2y)

—(3x+3y)(x-y)

=3(x+y)(x-y)；

(4)-x2-4y2+4xy

=-(x2-4xy+4^2)

=-(x-2y)2.

【典例3】

分解因式：

(1)a(x-y)+b(y-x)；

(2)3m2n-12加〃+12〃；

(3)(f+9)2-36/；

⑷(x+1)(x+2)

【解答】解：(1)原式=q(x-y)~b(x-y)

=(.a-b)(x-y)；

(2)原式=3〃(m2-4m+4)

=3〃(m-2)2；

(3)原式=(，+9+6x)(X2+9-6X)

=(x+3)2(x-3)2；

(4)原式=/+3x+2+工

4

=X2+3X+—

4

=(x+—)2.

2

【典例4】

阅读下列材料：将一个形如/tpx+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q=/〃且〃=根+〃，则可以把

x2+px+q因式分解成(x+m)(x+n).

例如：①/+4x+3=(x+1)(x+3)；

②--4x-12=(x-6)(x+2).

根据材料，把下列式子进行因式分解.

(1)x2-6x+8；

(2)x2-2x-15；

(3)(x-4)(x+7)+18.

【解答】解：(1)x2-6x+8=(x-2)(x-4)；

(2)x2-2x-15=(x+3)(x-5)；

(3)(x-4)(x+7)+18

=/+3x-28+18

=X2+3X-10

=(x-2)(x+5).

题型02分组分解因式

【典例1】

阅读下列材料：

一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用

提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式

分解的方法叫做分组分解法.如：

因式分解：am+bm+an+bn

=(am+bm)+(an+bn)

=m(a+b)+n(q+b)

=(a+b)(m+n).

(1)利用分组分解法分解因式：

①3冽-3y+am-ay；

(2)a^x+c^y+t^x+l^y.

(2)因式分解：cP+lab+b2-1=(a+b+1)(a+b-1)(直接写出结果).

【解答】解：(1)①原式=(3冽-3y)+(am-ay)

=3(m-y)+a(m-y)

=(加-y)(3+a)；

②原式=(修］+片,)+(Bx+By)

=。2(%+y)+b2Cx+y)

=(田j)(tz2+/)2);

(2)a2+2ab+b2-1

=(a+b)2-1

=(q+b+1)(a+b-1).

故答案为：(a+6+1)(a+b-1).

【典例2】

常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如，-9产

-21+6乃我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可

以完整的分解了，过程为：

x2-9J2-2x+6y=(x2-9y2)-2(x-3j)=(x-3y)(x+3y)-2(x-3y)=(x-3y)(x+3〉-2).

这种方法叫分组分解法，利用这种方法分解因式：

(1)X2-2xy+y2-16；

(2)xy2-2xy+2y-4.

【解答】解：(1)原式=(x-y)2一16

=(x-y+4)(x-y-4)；

(2)xy2-2xy+2y-4

—xy(y-2)+2(y-2)

=(y-2)(A^V+2).

【典例3】

有些多项式不能直接运用提取公因式法等方法分解因式，但它的某些项可以通过适当地结合(或把某项适

当地拆分)成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的.

例如：mx+nx+my+ny=(.mx+nx)+(.my+ny^)=x(加+〃)+y(冽+几)=(冽+〃)Cx+y).

根据上面的方法因式分解：

(1)2ax+3bx+4ay+6by；

(2)x2+2xy+y2-z2.

【解答】解：(1)原式=(2ax+3bX)+(4即+6办)

=x(2a+3b)+2y(2〃+3b)

=(%+2y)(2a+3b)；

(2)原式=(x2+2xy+y2)-z2

=(x+y)2-z2

=Cx+y-z)(.x+y+z)

【典例4】

我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法，

分组分解法是将一个多项式适当分组后，再用提公因式或运用公式继续分解的方法.例如：ax+by+bx+ay

=(ax+bx)+Cay+by)=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+j?).

请你仿照以上方法，解决下列问题.

分解因式：(1)x2-y2+2x-2y；

(2)x2-10x+25-y2.

【解答】解：(1)x2-y2+2x-2y

=(x2-y2)+(2x-2y)

—Cx+y)(x-y)+2(x-y)

=(x-y)(x+j^+2)；

(2)x2-10x+25-y2

=(x2-10x+25)-/

=(x-5)2-y2

=(x-5-Hv)(x_5-jv).

题型03实数范围内分解因式

【典例1】

在实数范围内分解因式：

（1）4x2-20；

（2）x2-2ax+3.

【解答】解：（1）4/-20

=4（x2-5）

=4（X+A/5）（x-；

（2）%2-2相》+3

=x2-2心+（V3）2

=（X-百）2.

【典例2】

在实数范围内分解因式：

（1）am2-6ma+9a；

（2）9a4-4b4.

【解答】解：（1）原式=。Cm2-6m+9）

=a（m-3）2；

（2）原式=（3a2+2i2）（3a2-2b2）

=（3/+2〃）[（V3a）2-（Mb）2]

=（3次+2庐）（«a+&6）（眄

【典例3】

在实数范围内分解因式：

（I）m~-3

（2）2a2-5

（3）X2-2V3X+3-

【解答】解：（1）原式=/-（V3）2=（rn-V3）（m+V3）;

（2）原式=（&a）2-（遥）2=（V2a-V5）（&“+遥）；

（3）原式=--2y[3x+（V§）2=（x-

题型04因式分解的应用

【典例1】

已知xy—2,y-x—1,

<1)求2X2)；-2中2的值；

(2)求x+y的值.

【解答】解：(1)'.'xy=2,y-x=l,

2x^y-2孙2

—2xy(x-y)

=-2xy(y-x)

=-2X2X1

=_4；

(2)"x=l,

(y-X)2=[2=],

即/-2xy+y2—l,

又：孙=2,

.,.x2+y2=5,

(x+y)2=x2+2xy+y2=5+4=9,

.".x+y=+3.

【典例2】

如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“崇德尚美数”.

如：4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4,12,20这三个数都是“崇德尚美数”.

(1)判断：36是“崇德尚美数”(填“是”或“不是”)；

(2)设两个连续偶数为2人+2和2左(其中左取非负整数)，由这两个连续偶数构造的“崇德尚美数”是

4的倍数吗？为什么？

(3)若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试判断该长方形的面积是否为“崇德尚美数”？为什么？(请

推理证明)

【解答】解：(1)V36=102-82,

，36是崇德尚美数.

(2)两个连续偶数构造的“崇德尚美数”是4的倍数，

(2左+2)2-(2k)2=8左+4=4(2R1),

•••崇德尚美数是4的倍数；

(3)该长方形的面积不为“崇德尚美数”，

理由如下：设长方形相邻两边长分别为2〃+2和2”，(〃为正整数)，则长方形的面积为：(2〃+2)

=4〃(«+1),

假设此长方形的面积为“崇德尚美数”，设其两个连续的偶数为殊+2和2左，(后为整数)，

贝！J4"(«+1)=(2左+2)2-(2k)2,即4月(«+1)=8左+4,

n(w+1)=2上+1,

为正整数，

：.n(«+1)必为偶数，而2左+1为奇数，

：.n(«+1)=2后+1不成立，

假设此长方形的面积为“崇德尚美数”不正确，

故该长方形的面积不为“崇德尚美数”.

【典例3】

观察下列分解因式的过程：

x2+2xy-3y2

解：原式=』+2冷+产-y2-3y2

—(x2+2xy+y2)-4y2

=(x+y)2-(2y)2

=(x+y+2y)(.x+y-2y)

=(x+3j)(x-y).

像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法.

(1)请你运用上述配方法分解因式：x2-4xy-5y2；

(2)已知△/BC的三边长a,b,c都是正整数，且满足『+庐=8〃+66-25,求△/BC周长的最大值.

【解答】解：(1)由题意，X2-4xy-5y2=x2-4xy+4y2-9j^

=(x-2y)2_旷

=(x-2y+3y)(x-2y-3y)

=(x+y)(x-5y).

(2)由题意，a2+b2—8a+6b-25,

：.a2-8a+b2-66+25=0.

：.a2-8a+16+i2-66+9=0.

(a-4)2+(b-3)2=0.

；・。=4,b=3.

：.l<c<7.

又。为正整数，

,•,△45。周长的最大，

・・c=6.

a+6+c=4+3+6=13.

答：满足题意得△4BC周长的最大值为13.

【典例4】

阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用

上述方法无法分解，如：um2-mn+2m-,细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，

后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成

整个式子的因式分解了，过程为冽2-mn+2m-2n=(m2-mn)+(2m-2〃)—m(冽-〃)+2(m-n)

=(m-n)(m+2).此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问

题：

(1)因式分解：a3-3a2+6a-18；

(2)已矢口冽+〃=5,m-n=1,求冽2机-2〃的值；

(3)的三边Q,b,c满足42+2庐+C2=2仍+2儿，判断△45C的形状并说明理由.

【解答】解：(1)tz3-3a2+6a-18

=。2(。-3)+6(a-3)

=(a-3)(tz2+6).

(2)m2-n2+2m-2n

=(m+«)(m-n)+2(m-n)

=(m-n)(m+n+2)

将加+〃=5,m-n=l,代入(冽-孔)(m+n+2)=1X(5+2)=7.

(3)ZX/BC是等边三角形，理由如下：

*.*a2+2b2+c2=2ab+2bc,即a2+2b2+c2-2ab-2bc=G,

a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=(a-b)2+(b-c)2=0,

.9.a-b=0且b-c=0,

••a'=：b'='c,

：./\ABC是等边三角形.

【典例5】

阅读材料：要将多项式〃加冽+加分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组,

从而得至！J：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(机+"),这时a(m+n)+b(m+n)

中又有公因式(m+n),于是可以提出(m+n),从而得到(加+〃)(〃+b),因此有am+an+bm+bn=(am+an)

+(bm+bn)=a(m+w)+b(m+n)=(加+〃)(a+6),这种方法称为分组法.请回答下列问题：

(1)尝试填空：2x-18+盯-9v=(v+2)(x-9)；

(2)解决问题：因式分解；ac-bc+a1-?.

(3)拓展应用：已知三角形的三边长分别是a,b,c,且满足片-2必+2b2-2A+°2=0,试判断这个三

角形的形状，并说明理由.

【解答】解：(1)2x-1S+xy-9y9

—(2x-18)+(xy-9y),

=2(x-9)+y(x-9)，

=(y+2)(x-9),

故答案为：(y+2)(x-9)；

(2)ac-bc+a1-b2

=cQa-b)+(〃+b)(〃-b),

=(a-b)(a+b+c),

(3)这个三角形是等边三角形，理由如下:

a2,-lab+lb1-2bc+c1=0,

a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0,

(a-b)2+(b-c)2=0,

*.*(a-b)22o,(b-c)220,

(a-b)2=0,(b-c)2=0,

••u=~bfb~~Cj

・•a=Z?=c,

这个三角形是等边三角形.

强化训练

1.下列因式分解正确的是（

A.ax+y=aCx+y)B.f_4X+4=(X+2)2

C.2x2-x=x⑵-1)D.x2-16=(x-4)2

【解答】解：办不能因式分解，故4不符合题意；

X2-4x+4=(x-2)2,故5不符合题意；

2x2-x=x(2x-1),故。符合题意；

X2-16=(%-4)(x+4),故。不符合题意；

故选：C.

2.下列多项式，在实数范围内一定可以分解因式的是()

A.X2-x+3B.X2-mx-y-C.-2x+3D.x2-x-2m

【解答】解：A：△=b2-4ac,

=(-1)2-4XlX3,

=1-12,

=-ll<0.

f-%+3不能在实数范围内分解因式.

故Z错.

B：A=b2-4qc,

=(-m)2-4XlX(-A),

2

=m2+2>0.

x2-mx-1■能在实数范围内分解因式.

2

故3正确.

C：A=b2-4ac,

=(-2)2-4X企X3,

4-12迎<0,

近W-2x+3不能在实数范围内分解因式.

故。错.

D-.A=b2-4ac,

=(-1)2-4X1X(-2m),

=1+8加，

m的值不定，1+8加的符号不确定，

故不能判断x2-x-2m能否在实数范围内分解因式.

故。不一定.

故答案为：B.

3.多项式x2j2-j2-x2+l因式分解的结果是()

A.(x2+l)(炉+1)

B.(x-1)(x+1)(y2+l)

C.(x2+l)(y+1)(y-1)

D.(x+1)(x-1)(y+1)(y-1)

【解答】解：x2y2-y2-x2+l

—y2(x2-1)-(x2-1)

=(y2-1)(x-1)(x+1)

=(y-1)(y+1)(x-1)(x+1).

故选：D.

4.三角形的三边a,b,c满足（a+6）2-c2=2aZ）,则此三角形是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等边三角形

【解答】解：：三角形的三边a,b,c满足（a+b）2-c2=2ab,

cr+lab+b1-c1-2a6=0,

滔+庐二洛

•••三角形为直角三角形.

故选：B.

5.已知整数a,6满足2a6+4a=6+3,贝(Ja+6的值是()

A.0或-3B.1C.2或3D.-2

【解答】解：由2ab+4a=b+3,得：

2ab+4a-b-2=1

(2a-1)(6+2)=1,

V2a-1,6+2都为整数，

4-1=1或［2a-l=-l,

lb+2=llb+2=-l

解得卜=1或卜=°,

lb=-llb=-3

/.a+b=O或-3.

故选：A.

6.如果a-b=2,那么代数式a3-2a2b+ab2-4。的值是()

A.-1B.0C.1D.2

【解答】解：/-2a2b+ab2-4a=a(a2-2ab+b2)-4a=a(a-b)2-4a,

■:a-b=2,

(a-b)2-4a=aX22-4tz=0,

故选：B.

7.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x-y,a-b,2,x2-/,a,x+y,

分别对应下列六个字：华，我、爱、美、游、中，现将2a(工2-廿)-26(x2-y2)因式分解，结果呈现

的密码信息可能是()

A.爱我中华B.我游中华C.中华美D.我爱游

【解答】解：2a(x2-y2)~2b(x2-y2)=2(x2-y2)(a-b)=2(x-Hv)(x-y)(a-b'),

信息中的汉字有：爱、中、华、我.

所以结果呈现的密码信息可能为爱我中华.

故选：A.

2222

8.在△48C中，三边分别为a、b、c,且满足(a+6+c)=25,a+b+c=^-,则△/B。为()

A.等腰三角形B.不等边三角形

C.等边三角形D.无法判断

【解答】解：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=25,22=患，

9

2ab+2bc+2ac=①，2a2+2b2+2c2=理1②，

99

②-①得：(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,

••a=b=c,

：・AABC为等边三角形，

故选：C.

9.因式分解：x2+y2-z2-2孙=(x-v-z)(%-y+z).

【解答】解：x2+y2-z2-2xy

=(x-y)2-z2

=(x-y-z)(x-y+z)；

故答案为：(x-y-z)Cx-y+z).

10.已矢口x+y=l,xy=-3,贝中3=-21.

【解答】解:x3y+xy3

=xy(x2+y2)

=xy[(x+y)2-2xy]

=-3X[12-2X(-3)]

=-3X7

=-21.

故答案为：-21.

11.若a=2005,6=2006,c=2007,a2+b2+c2-ab-be-ac=3.

【解答】解：原式=工C2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)

2

=£[(a2-2ab+b2^+(a2-2ac+c2)+(Z>2-2bc+c2)]

(a-b)2+(a-c)2+(Z>-c)2].

将a=2005,6=2006,c=2007代入，

原式=U*X(1+4+1)

2

=Xx6

2

=3.

故答案为：3.

12.现在生活人们已经离不开密码，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，

22

方便记忆.原理是：如对于多项式/=夕4因式分解的结果是(x-(x+y)(x+y),若取x=9,y=

9时则各个因式的值是：x-y^0,x+y=18,/+2=162,把这些值从小到大排列得到018162,于是就可

以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4--xjA取苫=21,y=19时，请你写出一个用上

述方法产生的密码212361.

【解答】解：4x3-xy2,—x(4x2-y2)—x(2x-y)(2x+y),

当x=21,y=19时，

x=21,2x-y=42-19=23,2x+y=42+19=61,

把这些值从小到大排列得到212361,

故答案为：212361.

13.阅读下列材料：

在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替(即换元)，不仅可以简化要

分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分

解的方法称为“换元法”.

下面是小胡同学用换元法对多项式(X2-2X-1)CX2-2x+3)+4进行因式分解的过程.

解：设/-2x—y,

原式=(y-1)(y+3)+4(第一步)

=y2+2y+l(第二步)

=(y+1)2(第三步)

=(x2-2x+l)2(第四步)

请根据上述材料回答下列问题：

(1)小胡同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的C；

A.提取公因式法

B.平方差公式法

C.完全平方公式法

(2)老师说，小胡同学因式分解的结果不彻底，