2025年高考数学总复习专项训练：复数

专练28复数

[基础强化]

一、选择题

z

1.[2024•新课标I卷]若口=l+i,则z=()

A.-1-iB.-1+i

C.1-iD.1+i

答案：C

7Z—1-I-1111

解析：由----=l+i,可得-------=l+i,即1+-----=l+i,所以----=i,所以z—1=了=-i,

Z—1Z—1Z—1Z—11

所以Z=l—i,故选C.

2.[2024•新课标II卷]已知z=—1—i,则|z|=()

A.0B.1

C.y[2D.2

答案：C

解析：由z=-1—i,得|z|=y(—1)2+(—1)2=^2做选C.

3.[2023・新课标H卷]在复平面内，(l+3i)(3—i)对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案：A

解析：因为(l+3i)(3—i)=3—i+9i—3i?=6+8i,所以该复数在复平面内对应的点为(6,8),位于第一

象限，故选A.

1——i—

4.[2023•新课标I卷]已知z=狂天，则z—z=()

A.-iB.i

C.0D.1

答案：A

解析：因为z=；+：=2(1+i)i)=-2"所以z=Ti，所以z—Z=—1i—1i=-i.故

选A.

5.|2+i2+2i3|=()

A.1B.2

C.y[5D.5

答案：c

解析:|2+i2+2i3|=|2-l-2i|=|l-2i|=V5.故选C.

2+i一

6.设Z=]+j2+j5，贝Iz=（）

A.l-2iB.l+2i

C.2-iD.2+i

答案：B

解析：z=]；2j5=；；；j=—=1—2i,所以z=l+2i.故选B.

7.[2022・全国甲卷（理），1]若z=—1+小i,则Y—=（）

zz—1

A.-1+73iB.-1-^3i

厄

J3丁31331

答案:C

,z=___________1+小___________—1+V3i=_13/3.

解析：因为z=—i,

z]_]（—1+小i）（—1—^31）—11+3—133

故选C.

人lb»、5（1+i3）

8.[2023・全国甲卷（灭）]（2+i）（2—i）=（）

A.-1B.1

C.1-iD.1+i

答案：C

…j5（1+i3）5（1-i）5（1-i）,,、.

解析：由通思知，（2+j）（2j）=2~i2-=5=1——i,故L选C.

9.（多选）[2024.山东菊泽期中]已知复数2=3小5也。（甘＜局（其中i为虚数单位），下列说法正确

的是（）

A.复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限

B.|z|=cos6

C.z，z=1

D.z+1为实数

答案：CD

解析：复数z=cos0+isino（一全:仇百（其中i为虚数单位）,

复数Z在复平面上对应的点（cos。，sin。）不可能落在第二象限，所以A不正确;

\z\=yjcos20+six^0=1,所以B不正确；

z-z=(cos8+isin0)(cos夕一isin6)=cos20+sin2^=1,所以C正确；

z+-=cos0+isin3+-----.~~=cos6+isin夕+cos。-isin6=2cos6为实数，所以D正确.

zcos"十isin"

二、填空题

10.若匕2(a,bGR)与(2—i)2互为共辗复数，则。一>=.

答案：一7

解析："‘历=b-a\,(2—i)2=3—4i,因为这两个复数互为共轲复数，所以b=3,a=

—4,所以〃-b=-4—3=-7.

11.i是虚数单位，复数常=.

答案：4-i

6+7i(6+7i)(1—2i)

角牛析：l+2i=(l+2i)(1—2i)

6-12i+7i+1420-5i

=5=4一1.

12.设复数Z1，Z2满足阂=。|=2,zi+z2=yfi+i,则区一z?|=.

答案：2小

解析：设复数zi=〃+历，Z2=c+di(a,b,c,d£R),则那+庐二*c2+^=4,又zi+z2=(〃+c)+(b

+i,•*»a-\~c=yf3,b~\~d=1,则(。+。)2+3+602=〃2+，+庐+解+2〃。+2/?1=4,.•.8+2〃c+2bd

=4,即2ac+2bd——4,|zi-Z2I=—c)2+(Z7—J)2=>>Jd!2+Z?2+c2+6?2—(2ac~\-2bd)=

^8-(-4)=2y[3.

[能力提升]

13.(多选)[2024・九省联考]已知复数z,口均不为0,贝lj()

C772

A.z2=fzl2B.­=732

臼

z

--------——rZ|z|

C,z-w=z-WD.-=丽

答案：BCD

解析：设z=a+/?i(〃，Z?£R),w=c+di(cfd^R)；

对A：z2=(a+bi)2=a2+2abi—b2=a2—b2+2abi,\z\2=(y]a2+b2)2=a2+b2,故A错误；

Z—7z2

对B:—=-----,又z2=|z|2,即有一=前,故B正确；

———z

zz・zz

对C：z一如=〃+历一c-di=a—c+(。一①i,则z~w=a—c—(b—d)i,z=a—bi,w=c—di,贝Iz

-w=a—bi—c~\~di—a—c—(b—J)i,

即有z~w=z—w,故C正确;

z_〃+bi(。+为)(c-di)

对D：

w-c+di(c+di)(c—di)

ac+bd—(ad—be)i

♦+解

ac+bdx9।ad-bcx2

,7w)+(7+^)

Ia2(^+labcd+b2d2+ci1—labcd+Z?2(?

、S+-)2

/层〃+庐於+居法+b2c2

V（、+心）2

yj42c2+b1#+〃2心+62c2

c2+J2

\z\ylc^+b2「〃2+62+/2+12

I训—[(?+/—C2+^

N(层+庐)(。2+解)

廿+/

、02c2+匕2c2+42d2+匕2d2

c2+d2'

z\z\

故w=骨，故D正确•故选BCD.

14.[2022•全国乙卷（理），2]己知z=l—2i,且z+az+6=0,其中a,b为实数，则（）

A.〃=1,h~~2B.〃=1,Z?—'2

C.a=l,Z?=2D.〃=1,b~~—2

宏享.A

I=I✓ts：■r

解析：由z=l—2i可知z=l+2i.由z+az+/?=0,得1—2i+a(l+2i)+b=l+〃+/?+(2a—2)i=0.

1+〃+/?=0,a=l,

根据复数相等，得解得，故选A.

2a—2—0,b=—2.

15.[2023•全国甲卷(理)]设a£R,(a+i)(l—ai)=2,则。=()

A.12B.—1

C.1D.2

答案：C

解析：〃i)=〃+i—/j—出2=2。+(1—/)j=2,.・.2〃=2且1—〃2=0,解得