24.1.2+垂直于弦的直径 课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

人教版九年级上册第二十四章圆

24.1.2垂直于弦的直径低阶目标1．能认识圆是轴对称图形．2．能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.高阶目标3.通过探究知识、自主学习和合作交流，激发学习数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识.学习目标1.1学生能进一步认识圆是轴对称图形．2.1学生能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.2.2认识垂径定理及推论在实际中的应用，会用添加辅助线的方法解决问题．3.通过探究知识、自主学习和合作交流，激发学习数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识.达成评价连接圆上任意两点的线段叫做弦.(2)圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．1.圆的定义(1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．2.弦的定义3.弧的定义圆上任意两点间的部分叫做弧.先行组织赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m.求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).

你知道赵州桥主桥拱的半径是多少吗？

先行组织剪一张圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.任务一：圆的对称性活动1：折一折O注意：不能说圆的直径是圆的对称轴，因为对称轴是直线，而直径是线段.任务一：圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.

思路引导：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上.求证活动2：证一证证明：如图，CD是⊙O的任意一条直径，AA′是弦，使AA′⊥CD，垂足为M,M·OAA'CD连接OA，OA′,则OA=OA′.∵AA′⊥CD，∴CD是AA′的垂直平分线.∴对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，即⊙O关于直线CD对称.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.

活动2：证一证嵌入评价（自评）优秀：通过动手折纸，能观察-猜想-验证，得出圆是轴对称图形，+2分合格：能猜想得出结论，但不能完整证明，+1分不合格：无法准确猜想得出圆的轴对称性问题：如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?为什么?线段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．⌒⌒⌒⌒·OABDEC任务二：垂径定理垂径定理·OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.∵

CD是直径，CD⊥AB，∴

AE=BE,⌒⌒AC

=BC,⌒⌒AD=BD.推导格式：归纳总结想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABO

DCABOC归纳总结

在圆上任意作一条弦AB，你能否找到平分弦AB的直径吗?思考：此时AB与CD的位置关系？·OABCDEFMN任务三：垂径定理的推论活动1：猜一猜

如果弦AB是过圆心的弦呢?平分弦AB的直径CD一定会垂直弦AB吗？想一想：·OABCD·OABCD已知结论

CD过圆心AB不是直径推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.·OABCDCD⊥AB((AD=BD((AC=BCAE=BEE特别说明：圆的两条直径是互相平分的.归纳总结嵌入评价（组长评）优秀：能观察-猜想-验证得出垂径定理及推论，并且能够准确理解及应用垂径定理，+2分合格：能观察-猜想-验证得出垂径定理及推论，+1分不合格：无法准确猜想得出垂径定理及推论根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：过圆心1垂直于弦2平分弦（非直径）3平分弦所对的优弧4平分弦所对的劣弧5上述五个条件中的任意

个条件，都可以推出其他

个结论.(知二推三).两三归纳总结问题解决：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m.求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).迁移应用所以R2=18.52+（R-7.23）2.由题意，可知AB=37m，CD=7.23m，解：如图，设赵州桥主桥拱的半径为Rm.则AD=18.5m，解得R≈27.3.因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.ACBDO3718.5RR-7.237.23迁移应用

如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=

cm.·OABE解析：连接OA，∵OE⊥AB，∴AB=2AE=16cm.16垂径定理及其推论的计算∴cm.例题1学以致用

如图所示，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AM＝

BM，OM∶OC＝3∶5，求AB的长.解：∵圆O的直径CD=10cm，∴圆O的半径为5cm，即OC=5cm，∵OM：OC=3：5，∴OM=OC=3cm，连接OA，∵AB⊥CD，∴M为AB的中点，即AM=BM=AB，在Rt△AOM中，OA=5cm，OM=3cm，根据勾股定理得：AM=则AB=2AM=8cm．例题2

已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：AC＝BD.⌒⌒.MCDABON证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）

AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒例题3

解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.归纳总结练一练：如图a、b,一弓形弦长为24cm，弓形所在的圆的半径为13cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.C

DCBOADOAB图a图b8cm或18cm

在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系ABCDOhrd

d+h=r

OABC·a成果集成垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧两条辅助线：连半径，作弦心距构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形成果集成1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为

.5cm2.⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30°则弦AC=

.

103cm3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为

.14cm或2cm当堂练习当堂练习4如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是________度．485.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.当堂练习6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求