2024年高考数学总复习：干脆证明与间接证明

第六节干脆证明与间接证明

最新考纲

1.了解干脆证明的两种基本方法一一分析法和综合法；了解分析法和综合法的思索过程和特点.2.

了解反证法的思索过程和特点.

学问梳理

1.干脆证明

（1）综合法

①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最终推导出

所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.

②框图表示：|旧«|—T«=>—TQi=—>—»Q,,=Q（P表示已知条件、已有的定义、定

理、公理等，0表示所要证明的结论）.

（2）分析法

①定义：从要证明的动身，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最终，把要证明的结

论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析

法.

②框图表示：匹］一反迅］一|於闾———»|得到一个明显成立的条件.

2.间接证明

反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下,结论不成立），经过正确的推理，最终得出

冲突，因此说明假设错误，从而证明白原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.

3.利用反证法证题的步骤

（1）反设：假设所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；（否定结论）

（2）归谬：将“反设”作为条件，.由此动身经过正确的推理，导出冲突一一与假设冲突，与已知

条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实冲突或自相冲突；（推导冲突）

（3）立论：因为推理正确，所以产生冲突的缘由在于“反设”的谬误.既然原命题结论的反面不

成立，从而确定了原命题成立.（命题成立）

4.反证法证明中，常见的“结论词”与“反设词”

原结论词反设词原结论词反设词

至少有一个一个也没有对全部X成立存在某个X不成立

至多有一个至少有两个对随意X不成立存在某个X成立

至少有,77个至多有〃一1个P或q-1,且一

至多有〃个至少有个。且。—1夕或一10

典型例题

考点一分析法的应用

因.><）,即川HJ-（2一侦）>0,

a，

所以只需证/+占）三,•+£-2-a

'■-V#/Lx.<J

和2（2-亚）|・4=28-<T\A，只需证.4-M2.

、出0

幽皿显然成立（当且仅当4%】时等号成立），所以要证的不等式眩

规律方法

（1）当已知条件与结论之间的联系不够明显、干脆，或证明过程中所需用的学问不太明确、详细

时，往往.采纳分析法，特殊是含有根号、确定值的等式或不等式，常考虑用分析法.

（2）分析法的特点和思路是“执果索因”，逐步找寻结论成立的充分条件，即从“未知”看“需

知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，通常采纳“欲证

一只需证一己知”的格式，在表达中要留意叙述形式的规范性.

【变式训练1】已知的三个内角4B,C成等差数列，A,B,C的对边分别为a,b,C.

求击a+b^~b~\-c~a+b+c

ii3

【证明】要证上人工，

a十b白十ca十白十c

口,a+b+c,c,a

即证a+6+6+c=3'也就a正市+==1'

只需证c(b+c)+a(a+6)=(a+Z?)(6+c),

需证c+a=ac-\-l),

又△/阿三内角4&。成等差数列，故8=60°,

由余弦定理，得9=1+一一2accos60°,

即廿="a—ac,故廿+才=己0+方成立.

于是原等式成立.

考点二综合法的应用

【例2】已知函数F(x)=ln(l+x),g{x)=a+bx~^x,函数p=F(x)与函数尸g(x)的图象

在交点(0,0)处有公共切线.

(1)求a,6的值；

(2)证明:/tx)Wg(x).

【解析】(l)F'g'{x)=b—x+x,

\g0=f0,

由题意得，,,解得a=0,6=1.

lff0=W0,

(2)证明：令力(x)=f(x)—g(x)=ln(x+1)—JY'+JV—x(x>—1),

1-/

h'(x)=­)77—f+x-1=^77,

x+1x十1

Vx>-1,・••当一k水0时,h'(x)>0；

当x〉0时，H(x)<0.

则力(x)在(一1,0)上为增函数，在(0,+8)上为减函数.

力(x)max=为(0)=0,力(x)W力(0)=0,即f(x)Wg(x).

规律方法综合法是“由因导果”的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，常与分

析法结合运用，用分析法探路，综合法书写，但要留意有关定理、性质、结论题设条件的正确运

用.

77S

【变式训练2】设{aj是首项为a,公差为d的等差数列(共0),S是其前〃项的和.记+，

〃£N*,其中c为实数.若c=0,且61,民,4成等比数列，证明：Snk=nSk{k,〃£N*).

【证明】由题意得，Sn=na-\d.

2

由c=0,得6尸比一十丁日

又因为bi,bi,4成等比数列，所以用=瓦儿，即(a+受之:3口十5,，化简得"一2〃d=0.

因为d#0,所以d=2a.

因此，对于全部的勿WN*,有£=〃％.

2

从而对于全部的次，〃dN*,WS„t=^nli)a=n1<a=nSk.

考点三反证法的应用

命题角度一证明否定性命题

【例3】设｛aj是公比为g的等比数列，£是它的前〃项和.

⑴求证：数列｛S｝不是等比数列；

(2)数列｛£｝是等差数列吗？为什么？

【解析】(1)证明：若｛5｝是等比数列，则6=S・W,即a：(l+g)2=ai•a“l+g+/),Va^0,

...(1+初2=1+°+/,解得q=0,这与g/0相冲突，故数列｛£｝不是等比数列.

⑵当(7=1时，｛£｝是等差数列.

当gWl时，｛5｝不是等差数列.假设gWl时，S,Si,W成等差数列，即2£=S+£,2a1(1+)=

ai+ai(l+g+/).

由于ai#0,.,.2(l+<7)=2-\-q+q,即g=./,1,^=0,这与<?W0相冲突.

综上可知，当g=l时，｛$｝是等差数列；当0W1时，｛£｝不是等差数列.

命题角度二证明“至多”，“至少”，“唯一”性命题

【例4】已知四棱锥5—4式》中，底面是边长为1的正方形，又SB=SD=*弘=1.

(1)求证：弘，平面46(力；

(2)在棱SC上是否存在异于S,C的点凡使得即〃平面必。？若存在，确定尸点的位置；若不存在,

请说明理由.

【解析】(1)证明：由己知得弘2+/)=初，

：.SALAD.同理SA±AB.

y.AB^AD=A,...玄，平面/aZZ

⑵假设在棱SC上存在异于S,C的点凡使得毋〃平面$1〃

'：BC//AD,跖I平面SAD.

〃平面SAD.而BCCBF=B,

平面句%〃平面SAD.这与平面,和平面S42有公共点S冲突，，假设不成立.

故不存在这样的点“使得哥'〃平面必〃

规律方法反证法的适用范围及证明的关键

⑴适用范围：当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证

法来证.

⑵关键：在正确的推理下得出冲突，冲突可以是与已知条件冲突，与假设冲突，与定义、公理、

定理冲突，与事实冲突等，推导出的冲突必需是明显的.

【变式训练，4］设｛a.｝是公比为q的等比数列.

⑴推导｛aj的前〃项和公式；

(2)设证明数例J｛a〃+1｝不是等比数列.

【解析】⑴设｛aj的前〃项和为S,

当Q--1时，S=&+ai+…+ai=nai；

当(7#1时，S=ai+aig+ai/d----,①

qSn—aiq-\-ai(f----Ya^q,②

①一②得,(1—Sn=a1—aiq,

no,1，q—1,

Si1-q

Sn=--------,，S=J劭1一q”

(2)证明：假设J+D是等比数列，则对任意的上€『,

.+线8分

丁珑女,，2/=］：+广)

,，/-2。+1=0,

二•卡L这与己口矛盾.

，假设不成立，故｛&+H不是等比数列.

课堂总结

1.分析法和综合法各有优缺点.分析法思索起来比较自然，简单找寻到解题的思路和方法，缺点

是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思索.实际证题时

经常两法兼用，先用分析法探究证明途径，然后再用综合法叙述出来.

2.用分析法证明数学问题时，要留意书写格式的规范性，经常用“要证（欲证）…”“即要

证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论.

3.利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理

而推出冲突结果，其推理过程是错误

课后作业

1.用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设（）

A.三个内角都不大于60°

B.三个内角都大于60。

C.三个内角至多有一个大于60°

D.三个内角至多有两个大于60°

【答案】B

【解析】“至少有一个不大于60°”的反面是“都大于60°”.

2.用反证法证明命题：若a+b+c为偶数，则“自然数a,b,c恰有一个偶数”时正确反设为

（）

A.自然数a,b,。都是奇数B.自然数a,b,c都是偶数

C.自然数a,b,。中至少有两个偶数D.自然数a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数

【答案】D.

【解析】由于“自然数a,b,。中恰有一个偶数”的否定是“自然数a,b,。都是奇数或至少有两

个偶数”，故选D.

3.用反证法证明命题：“已知a,6GN,若他可被5整除，则a,6中至少有一个能被5整除”时，

反设正确的是（）

A.a,6都不能被5整除B.a,6都能被5整除

c.a,6中有一个不能被5整除D.a,6中有一个能被5整除

【答案】A,.

【解析】对原命题的结论的否定叙述是：a,6都不能被5整除.

4.设x,y,z都是正实数，a—x+~,b=r+-,c=z+~,则a,b,c三个数（）

yzx

A.至少有一个不大于2B.都小于2

C.至少有一个不小于2D.都大于2

【答案】C

【解析】若a,b,c都小于2,则a+6+c<6,①

而a+6+c=x+'+H-,+z+126,②

xyz

明显①②冲突，所以C正确.

5.若a+7,^=^a+3+-\/a+4（a^0）,贝！IP,0的大小关系是（）

A.P>QB.—Q

C.KQD.由a的取值确定

【答案.】C.

【解析】不妨设尸<0,：要证尸<0,只要证尸〈仇

只要证2a+7+2^\^a+7-<2a+7+2•y]a+3a+4-,

只要证a2+7a<a2+7a+12,

只要证0<12,

:0<12成立，；.P〈Q成立.

6.在中，三个内角4B,。的对边分别为a,b,c,且4B,，成等差数列，a,b,c成等

比数列，则的形态为.

【答案】等边三角形.

,,qJI

【解析】由题息28=/+G又4+8+。=兀，.•.8=不，

又6=ac,由余弦定理得Z?2=—+c2—2accosB=a-\-c—ac,

・••才+——2ac=0,即（@一0）2=0,a=c,

JI

,\A=C,.\A=B=C=—,为等边三角形.

7.已知点4（〃，a）为函数尸图象上的点,B„{n,4）为函数y=x图象上的点，其中AGN*,

设c„=a„—b„,则与以+i的大小关系为.

【答案】••C»C〃+i.

【解析】由题意知，an=y]n+1,bn=n,。随着〃的增大而减

,••C/?>C/J+1.

8.设a,b,。均为正数，且a+b+c=l.

证明：(1)(2)-^+—(3)y[a+y[b+y[c^y[3.

【证明】(1)由才+62,2乃方，I)~\~c^2bc,c-\-a^2ac,

得£+//+0223,+6c+

由题设得(a+6+c)2=L即c-\-2ab-\-2bc-\-2ca=l.

所以3(助+bc~\~ca)W1,即ab+bc~\~caW；.

⑵因为与一+6三2a,片—+c>26,ca^2c,

bca

2/22222

OAlZ>oAzj

故工+—+—+(a+b+c)22(H+6+C),即工+—+—2a+6+c.

bcabca

2[22

所以9+—+£》】•

bca

(3)欲证

则只需证2W3,

即证a+b-\-c+2(yl~^b-\-y^bc+\1~^c)W3,

即证1.

又与上+2/=1,当且仅当a=6=c=