2025高考数学一轮复习 列联表与独立性检验 专项训练【原卷版】

9.4-列联表与独立性检验-专项训练【原卷版】

1.想要检验是否喜欢参加体育活动与性别有关，应该检验（）

A.零假设M：男性喜欢参加体育活动

B.零假设为：女性不喜欢参加体育活动

C.零假设喜欢参加体育活动与性别有关

D.零假设喜欢参加体育活动与性别无关

2.为了研究高中学生对乡村音乐的态度（喜欢和不喜欢两种态度）与性别的关系，运用

2X2列联表进行独立性检验，经计算得%2=7.oi,则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”

的把握约为（）

A.0.1%B.1%

C.99%D.99.9%

3.两个分类变量X和匕值域分别为｛xi,&｝和｛Ji,为｝,其样本频数分别是a10,b

=21,c+4=35.若X与/有关系的可信程度不小于97.5%,则c等于（）

A.3B.4

C.5D.6

附:

a0.050.025

Xa3.8415.024

4.针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性却和中学生追星是否有关”作了一

次调查，调查样本中女生人数是男生人数畤男生追星的人数占男生人数%女生追星的

人数占女生人数%若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否追星和性别有关，则

调查样本中男生至少有（）

n(ad-bc)2

参考数据及公式如下：Z2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

A.12人B.11人

C.10人D.18人

5.（多选）有两个分类变量X,Y,其列联表如下所示,

KiY2

Xa201a

X215~a30+a

其中a,15—a均为大于5的整数，根据小概率值a=0.05的犬独立性检验，认为X,Y

有关，则。的值可能为()

A.8B.9

C.7D.6

6.(多选)下列关于/2的说法正确的是()

A.根据2X2列联表中的数据计算得出炉=6.735>6.635=xo.oi,则有99%的把握认

为两个分类变量有关系

B.,2越大，认为两个分类变量有关系的把握性就越大

C.,2是用来判断两个分类变量有关系的可信程度的随机变量

D./2=---------------------,其中〃=a+6+c+d为样本容量

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

7.世界杯期间，某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢西班牙队进

行调查，对高于40岁的调查了50人，不高于40岁的调查了50人，所得数据制成如下列联

表：

单位：人

是否喜欢西班牙队

年龄合计

不喜欢西班牙队喜欢西班牙队

高于40岁Pq50

不高于40岁153550

合计ab100

若工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢西班牙队的人的概率为:，则在犯错

误的概率不超过下认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关.

。n(ad-bc)2

附：/-----------------------.

(a+b)(c+</)(a+c)(Z>+d)

a0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

Xa

8.研究人员选取170名青年男女大学生的样本，对他们进行一种心理测验，发现有60

名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的有22名，否定的有38名；男生

110名在相同的项目上作肯定的有22名，否定的有88名.问：性别与态度之间是否存在某

种关系？分别用下面两种方法进行检验：(1)用等高堆积条形图；

(2)根据小概率值a=0.025的独立性检验.

9.某校对学生进行心理障碍测试，得到的数据如下表:

焦虑说谎懒惰总计

女生5101530

男生20105080

总计252065110

根据以上数据可判断在这三种心理障碍中，与性别关系最大的是（）

A.焦虑B.说谎

C.懒惰D.以上都不对

10.某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市

民，得到数据如下表所示：

喜欢不喜欢合计

大于40岁20525

20岁至40岁102030

合计302555

根据小概率值a=0.005的独立性检验，推断出在犯错误的概率不大于0.005

的情况下认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关（填“能”或“不能”）.

11.为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00~22：00时间段

的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：

单位：人

休闲方式

性别合计

看电视看书

男105060

女101020

合计206080

⑴根据小概率值a=0.01的独立性检验，能否认为“在20：00~22：00时间段居民的

休闲方式与性别有关系”？

（2）将此样本的频率估计为总体的概率，在该社区的所有男性中随机调查3人，设调查

的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X,求X的数学期望和方差.

12.国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数.对国家创新指数

得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析.下面给出了部分信息：

①国家创新指数得分的频率分布直方图（数据分成7组：

30Wx<40,404<50,50660,60Wx<70,70Wx<80,80Wx<90,90WxW100).

61.7,62.4,63.6,65.9,66.4,68.5,69.1,69.3,69.5.

③40个国家的人均国内生产总值(万美元)和国家创新指数得分情况统计图:

国家创新指数得分

100

90

80

阳

60

50

40

④中国的国家创新指数得分为69.5,人均国内生产总值9960美元.

(以上数据来源于《国家创新指数报告(2018)》)

根据以上信息，解答下列问题：

(1)中国的国家创新指数得分排名世界第几？

⑵是否有99.9%的把握认为“人均国内生产总值影响国家创新指数得分”？

(3)用(1)(2)得到的结论，结合所学知识，合理解释④中客观存在的数据.

rn(ad-bc)2

n附/t：z2=—；----,------,-----—.

(q+b)(c++c)(b+d)

a0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

Xa

9.4-列联表与独立性检验-专项训练【解析版】

1.想要检验是否喜欢参加体育活动与性别有关，应该检验（）

A.零假设M：男性喜欢参加体育活动

B.零假设为：女性不喜欢参加体育活动

C.零假设喜欢参加体育活动与性别有关

D.零假设喜欢参加体育活动与性别无关

解析：D独立性检验假设有反证法的意味，应假设两类变量（而非变量的属性）无关,

这时的/应该很小，如果*很大，则可以否定假设，如果%2很小，则不能够肯定或者否定假

设.

2.为了研究高中学生对乡村音乐的态度（喜欢和不喜欢两种态度）与性别的关系，运用

2X2列联表进行独立性检验，经计算得%2=7.Qi,则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”

的把握约为（）

A.0.1%B.1%

C.99%D.99.9%

解析：C易知,2=7.01>6.635=xo,oi,对照临界值表知，有99%的把握认为喜欢乡

村音乐与性别有关系.

3.两个分类变量X和匕值域分别为｛xi,&｝和（yi，理｝,其样本频数分别是。10,b

=21,c+d=35.若X与/有关系的可信程度不小于97.5%,则c等于（）

A.3B.4

C.5D.6

附:

a0.050.025

Xa3.8415.024

解析：A歹1]2X2列联表如下:

Y

X合计

yi

102131

X2cd35

合计10+c21+d66

故2=66X[10(35—c)—21cl2*0241把选项A、B、C、D代入验证可知选A.

31X35X(10+c)(56-c)

4.针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一

次调查，调查样本中女生人数是男生人数的L男生追星的人数占男生人数的1,女生追星的

26

人数占女生人数可，若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否追星和性别有关，则

调查样本中男生至少有（）

n(ad-bc)2

参考数据及公式如下：『=一

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

Xa

A.12人B.11人

C.10人D.18人

解析：A设男生人数为x,依题意可得列联表如下:

单位：人

追星

性别合计

喜欢追星不喜欢追星

X5x

男生X

66

XXX

女生

362

X3x

合计X

22

若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则炉>3.841,由

=-x>3.841,解得x>10.24,因为工，工为整数，所以若在犯错误的概率不

826

-X'X-

22

超过5%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则男生至少有12人.故选A.

5.（多选）有两个分类变量X,Y,其列联表如下所示，

Y2

a20~a

X?15—。30+。

其中415—。均为大于5的整数，根据小概率值a=0.05的好独立性检验，认为X,Y

有关，则。的值可能为（）

A.8B.9

C.7D.6

65X皿30+a)-(15—颂20—a)?13X(13a—60)2>3

解析：AB根据公式，得%2=841

20X45X15X5020X45X3X2'

=X0.05,根据。>5且15—a>5,«ez,求得当。=8或9时满足题意.

6.（多选）下列关于力2的说法正确的是（）

A.根据2义2列联表中的数据计算得出才2=6.735>6.635=x0,01-则有99%的把握认

为两个分类变量有关系

B.,2越大，认为两个分类变量有关系的把握性就越大

C.才2是用来判断两个分类变量有关系的可信程度的随机变量

D./=----------"(ad—be)------,其中〃=a+b+c+d为样本容量

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

解析：ABCD选项的公式中分子应该是〃(qd—be)?.故选A、B、C.

7.世界杯期间，某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢西班牙队进

行调查，对高于40岁的调查了50人，不高于40岁的调查了50人，所得数据制成如下列联

表：

单位：人

是否喜欢西班牙队

年龄合计

不喜欢西班牙队喜欢西班牙队

高于40岁Pq50

不高于40岁153550

合计ab100

若工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢西班牙队的人的概率为3,则在犯错

5

误的概率不超过^下认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关.

2_______n(ad—bc¥______

X(6z+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

a0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.072

Xa2.7063.8415.0246.6357.87910.828

解析：设“从所有人中任意抽取一个，取到喜欢西班牙队的人”为事件4,由已知得

尸(/尸£±至=3,所以『25,^=25..=40,6=60.炉=叱…―25X—

100540X60X50X50

—^4.167>3.841=xo.05.根据小概率值。=0.05的*独立性检验，在犯错的概率不超过

6

5%下认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关.

答案：5%

8.研究人员选取170名青年男女大学生的样本，对他们进行一种心理测验，发现有60

名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的有22名，否定的有38名；男生

110名在相同的项目上作肯定的有22名，否定的有88名.问：性别与态度之间是否存在某

种关系？分别用下面两种方法进行检验：(1)用等高堆积条形图；

(2)根据小概率值a=0.025的独立性检验.

解：建立性别与态度的2义2列联表如下：

单位：人

态度

性别合计

jJ=-ej7

目7Z否定

男生2288110

女生223860

合计44126170

根据列联表中所给的数据，可求出男生中作肯定态度的频率为丝=0.2,女生中作肯

110

定态度的频率为2-0.37.作等高条形图如图，其中两个深色条形的高分别表示男生和女

60

生中作肯定态度的频率，比较图中深色条形的高可以发现，女生中作肯定态度的频率明显高

于男生中作肯定态度的频率，因此可以认为性别与态度有关系.

O

O

O

O匚二否定态度

OI

O匚二I肯定态度

O

O

O

0

男生女生

零假设为M：性别和态度没有关系.

根据列联表中的数据得到*=170X(22X38—22X88)2^5.>5.024=x

6220025-

110X60X44X126

根据小概率值a=0.025的,2独立性检验，我们推断为不成立，即认为性别和态度有

关系，此推断认为犯错误的概率不大于0.025.

9.某校对学生进行心理障碍测试，得到的数据如下表：

焦虑说谎懒惰总计

女生5101530

男生20105080

总计252065110

根据以上数据可判断在这三种心理障碍中，与性别关系最大的是()

A.焦虑B.说谎

C.懒惰D.以上都不对

解析：B对于焦虑，说谎，懒惰三种心理障碍，设它们观测值分别为必，三,必，由表

中数据可得:

110X(5X60—25X20)2

必=863,

30X80X25X85

110X(10X70—20X10)2^6

730X80X20X90,366,

必=4］。’因为下的值最大’所以说谎与性别关系最大.故

选B.

10.某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市

民，得到数据如下表所示：

喜欢不喜欢合计

大于40岁20525

20岁至40岁102030

合计302555

根据小概率值a=0.005的独立性检验，推断出在犯错误的概率不大于0.005

的情况下认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关(填“能”或“不能”).

解析：零假设为乩：喜欢''人文景观”景点与年龄无关.由公式炉=

n(ad-bc)2

得，978>7.879=xo.oo5,根据小概率值a=0.005的三独

(。+b)(c+d)(a+c)(6+的

立性检验，我们推断,不成立，即认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关，此推断认为犯

错误的概率不大于0.005.

答案：能

11.为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00~22：00时间段

的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：

单位：人

休闲方式

性别合计

看电视看书

男105060

女101020

合计206080

(1)根据小概率值a=0.01的独立性检验，能否认为“在20：00-22：00时间段居民的

休闲方式与性别有关系”？

(2)将此样本的频率估计为总体的概率，在该社区的所有男性中随机调查3人，设调查

的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X,求X的数学期望和方差.

解：(1)零假设为M：在20：00〜22：00时间段居民的休闲方式与性别无关系，

根据2X2歹慨表得，^80X(10X10-10X50y=80^8.889>6,635=Xo0]

60X20X20X609

根据小概率值a=0.01的%?独立性检验，我们推断见不成立，即认为“在20：00〜22：

00时间段居民的休闲方式与性别有关系”，此推断认为犯错误的概率不超过0.01.

(2)由题意得，X〜j,

且尸(X=后)=C4日日3r,左=0,1,2,3,

故E(㈤="0=3xf=f,D(X)=np^-p)=3X-X-=—.

626612

12.国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数.对国家创新指数

得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析.下面给出了部分信息：

①国家创新指数得分的频率分布直方图(数据分成7组：

30Wx<40,40«50,50Wx<60,600<70,70Wx<80,80Wx<90,904W100).

61.7,62.4,63.6,65.9,66.4,68.5,69.1,69.3,69.5.

③40个国家的人均国