2024年高考数学一轮复习：直线和圆的方程新高考专用(解析版)

考点19直线和圆的方程(核心考点讲与练)

点

一、直线与方程

1.直线的倾斜角

⑴定义：X轴画与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与X轴平行或

重合的直线的倾斜角为霎度角.

(2)规定：当直线/与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为°；

(3)范围：直线的倾斜角a的取值范围是［0,“).

2.直线的斜率

(1)定义：直线y="x+6中的系数“叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线斜率不存在.

y'2-y\

(2)计算公式：若由AU,刃,以至,㈤确定的直线不垂直于x轴，则"==鲤三垃.

JI

若直线的倾斜角为0(fW万)，则若tan9.

3.直线方程的五种形式

名称几何条件方程适用条件

斜截式纵截距、斜率kx+b

与X轴不垂直的直线

点斜式过一点、斜率y一再二就

与两坐标轴均不垂直的直

p--x-.

两点式过两点

y^-yi-A2_-线

不过原点且与两坐标轴均

截距式纵、横截距4+三

a.-b----

不垂直的直线

Ax+By+C-0

一般式所有直线

X（一+-W0）

二、两条直线的位置关系

1.两条直线平行与垂直的判定

⑴两条直线平行

对于两条不重合的直线h,12,其斜率分别为左，左，则有k=k\;®特别地，当直线

21,心的斜率都不存在时,，与4平行.

(2)两条直线垂直

如果两条直线Z"2斜率都存在，设为A,左，则Idlvk3-1,当一条直线斜率为零,

另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.

2.两直线相交

A\x+B\y+G=0,

直线7i4x+B1y+G=0和44x+&y+G=0的公共点的坐标与方程组＜

Ax+G=0

的解一一对应.

相交Q方程组有唯二解，交点坐标就是方程组的解；

平行Q方程组无解；

重合Q方程组有无数个解.

3.距离公式

(1)两点间的距离公式

平面上任意两点A(X1,%),2(X2,㈤间的距离公式为|户1知=、/(X2-泡)2+(理-再)：

特别地，原点0(0,0)与任一点P(x,。的距离，

(2)点到直线的距离公式

_14照+Byo+

平面上任意一点&(照，jb)到直线1：Ax+By+C=0的距离d-----/—.

y/7+£

⑶两条平行线间的距离公式

_、_|G-C|

一般地，两条平行直线hAx+By+G=0,hAx+By+G=0间的距禺d-,~

、/1+4

三、圆的方程

1.圆的定义和圆的方程

定义在平面内，到定点的距离等于转的点的集合叫做圆

圆心以a,6)

标准(x-a)2+(y-6)2=r(r>0)

半径为r

充要条件：万+3-4户>0

方程

x+y+Dx+Ey+F=0

一般圆心坐标：-

(4+彦-4F>0)

半径r-同疗+©-4尸

2.点与圆的位置关系

平面上的一点〃(刘，㈤与圆C：(x-a)2+(广6)、步之间存在着下列关系：

(1)MC\>〃在圆外,即(xo-a)2+(%-6)—>7"=〃在圆外；

(2)|MC\=在圆上，即(荀-a)②+(%-6)2=产=〃在圆上；

⑶|MC\<r=〃在圆内，即(司-a)2+(%-6)2</=〃在圆内.

四、直线与圆、圆与圆的位置关系

1.直线与圆的位置关系

设圆C：(x-a)2+(y-6)2=/,直线/：而+破+c=0,圆心以a,6)到直线1的距离为d,

(x-a)'+(y-b)1-r,

由<

Ax+By+C=0

消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为/.

方法位置

几何法代数法

关系

相交d<r/>0

相切d-rA=Q

相离d>rzl<0

2.圆与圆的位置关系

设两个圆的半径分别为R,r,R>r,圆心距为d,则两圆的位置关系可用下表来表示：

位置关系相离外切相交内切内含

R-r<

几何特征d>R+rd-R+rd-R-rd<R-r

d<R+r

代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解

公切线条数43210

⑴求出斜率k=tana的取值范围.

⑵利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角。的取值范围.求倾斜角时要注意斜率

是否存在.

2.已知两直线的一般方程

两直线方程hAix+Biy+Ci-O,h：Azx+B2y+C2=0中系数Ai,Bi,Ci,A2,82,C?与

垂直、平行的关系：

+3182=0=/i_1_，2；

A1B2-A2B1=0且A1C2-A2c厚Oo/i//h.

3.判断直线与圆的位置关系常见的方法：

(1)几何法：利用d与厂的关系.

⑵代数法：联立方程随后利用△判断.

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.

上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.

4.求圆的弦长的常用方法

⑴几何法：设圆的半径为r,弦心距为d,弦长为I,则4)2=户一屋.

⑵代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：

设直线与圆的交点为A(xi,yi),B(M,y》,

贝!I|A5|=Jl+1由-=yj（1+」）］（XI+M）4x同.

50）判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般

不采用代数法.

⑵当两圆相交时求其公共弦所在直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项

所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长.

6.在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关

线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在一起综

合考虑，不要单纯依靠代数计算，这样既简单又不容易出错.

I---------------------------------------------------------------

式向右直线的倾斜角与斜率

一、单选题

1.（2022•山东淄博.模拟预测）若圆C：Y+y2一2x+4y+I=0的弦的中点为4（2,-3）,

则直线MV的方程是（）

A.2x-y-7=0B.x-y-5=0C.x+y+l=0D.x-2y—8=0

【答案】B

【分析】由题可知。1，肱V,则可求得肱V斜率，进而求得直线方程.

【详解】由圆方程可知圆心C0,-2）,贝必孰=T,由题可知C4_L^V,所以L=1,又MN

过点A（2,-3）,根据点斜式公式可知直线MN的方程是x-y-5=0.

故选：B.

2.（2021天津市第七中学月考）已知直线I的方程为x+j3y+4=Q,则直线/的倾斜角为

（）

A.30°B.60°C,120°D.150°

【答案】D

【分析】由直线方程可得斜率左=-3，根据斜率与倾斜角的关系即可求倾斜角大小.

3

【详解】由题设，直线/斜率左=-无，若直线/的倾斜角为&，贝！Jtana=-3,

33

ae[0,7r),

•*.a——.

6

故选：D

3.(2022.天津南开一模)已知函数〃尤)=；J['g(x)=kx+A.若函数

[2%-6x+3,x>0,

Mx)=〃x)-g(x)的图象经过四个象限,则实数4的取值范围是()

A.B.(-10,-2)C.(—2,+oo)

D.(-oo,-10)uQ,+oo^

【答案】A

【分析】作出函数了⑺的图象，作出直线>=履+1,由图象知只要直线》=丘+1与y=/(x)

的图象在y轴左右两侧各有两个交点，则〃(幻=〃乃-8(幻的图象就经过四个象限(x<o时，

〃(X)的函数值有正有负，彳>0时，"(X)的函数值有正有负)，因此求得直线的斜率，再

求得直线与y=21-6X+3相切的切线斜率(注意取舍)即可得结论.

【详解】作出函数所)的图象，如图,

作出直线y=履+1,它过定点P(o，D,由图可得，只要直线y=履+1与y=/(%)的图象在>轴

左右两侧各有两个交点，则〃3=/(元)-g(x)的图象就经过四个象限(x<0时，心)的函

数值有正有负，x>0时，力(X)的函数值有正有负)，

1-01

x<0时，f(x)=|x+3|与x轴的公共点为M(T0),kPM=--^-,

U—3)3

%>0时，/(%)=2M-6%+3,

fy=kx+1c

由1；=2/—6%+3得2%(6+切+2=0,

△=(6+左)2-16=0,解得左=—2或左=—10,由图象知，切线尸N的斜率为—2,

所以-2<左<：时满足题意.

故选：A.

4.（2022.山东潍坊.二模）已知直线4：x-3y=0,l2:x+ay-2=。，若4U,则。=（）

A.±B.--C.3D.-3

33

【答案】A

【分析】两直线斜率均存在时，两直线垂直，斜率相乘等于-1,据此即可列式求出。的值.

【详解】=:.

3a3

故选：A.

22

5.（2022•北京丰台•二模）已知双曲线C:~~^=1（a>0,b>0）的左、右顶点分别为

ab

A,4,左、右焦点分别为可，工.以线段44为直径的圆与双曲线c的一条渐近线交于

点M,且点用在第一象限,与另一条渐近线平行.若由M|=J区,则的面积

是（）

A3指B7百c3百口7g

•F,F•~T~•—

【答案】C

【分析】求得以线段A4为直径的圆的方程为Y+V=/，与渐近线y=7联立求出点M

a

的坐标，根据与另一条渐近线平行可求出。力，。的关系，然后根据闺加|=万，即可求

出a,b,c的值，从而可得出答案.

【详解】解：由题意4（一。，。），43。）,E（-c,O），l（c,O）,

则以线段A4为直径的圆的方程为V+y="2

a1

x2+y2=a2x=——x=-----

c

联立b,解得c或＜

y=­xatab

ay=­y=—

lCc

又因点M在第一象限，所以〃

h

因为与直线y=—-x平行,

a

ab

bbb

所以滔J即

aa-ca

-----a

所以c=2a,贝肥2=02-/=34,

所以标=3,

贝[]/=12,〃=9,

所以“当|[,4（"o），B（26o）,

所以sMAF。-也=.

故选：C.

6.（2022.湖南衡阳.二模）圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲

线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点

的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知月、巴分别是双曲线

2

c：尤2_5=1的左、右焦点，点P为C在第一象限上的点，点/在耳P延长线上，点Q的坐

标为，且PQ为/月尸区的平分线，则下列正确的是（）

A.四一2

B.\PFl+PF2\=2^

C.点P到x轴的距离为6

D.NF2PM的角平分线所在直线的倾斜角为150

【答案】AD

2

【分析】证明出双曲线U尤2一千=1在其上一点几）的切线的方程为%X-写=1,将

点。的坐标代入切线方程，求出点尸的坐标，可判断ABC选项的正误，•计算出PQ的斜率，

可计算出NF2PM的角平分线所在直线的斜率，可判断D选项的正误.

2

【详解】先证明结论双曲线C：f-5=1在其上一点户（X。，儿）的切线的方程为

9-罟=1

,AQA—±

由已知宕-萼=1,联立2可得犬-2尤。尤+*=0,即（尤_/）2=0,解得户％,

2x2-^=l

[2

2

所以，双曲线C:尤2-5=1在其上一点尸（五,九）的切线的方程为工/-与=1.

本题中，设点P（x。，几）,则直线P。的方程为龙川-券=1,

将点代入切线方程可得与=石，所以尸（6,2），即点尸到X轴的距离为2,C错;

在双曲线C中，a=l,b=^2,则c==6,则川-60）、耳母，。）,

所以，阀仁他^石=4,|P闾=府+22=2,所以,高=2,A对；

居=（-2^,-2）,电=（0,-2）,所以,两+心=12后T）,

则|尸耳+PF2\=h百j+（_4丫=277，:B错；

因为ZF2PM的角平分线交X轴于点N,则ZQPF2+ZNPF2=/大尸片+ZF2PM）=90,

kpc=----尸=y/31x/3

所以，PNC。，PQA6，则-厂=-+，

73-T3

故/鸟PM的角平分线所在直线的倾斜角为150,D对.

故选：AD.

三、填空题

7.（2021年1月新高考八省联考卷）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形

的两条邻边所在直线的斜率分别为.

【答案】g和—3.

【分析】根据题意，设正方形一边所在直线的倾斜角为。,得到左=tan]，得出对角线所

在直线的斜率为tan(&+£)，结合两角和的正切公式，求得tana=2，再结合两直线的位

43

置关系，即可求解.

【详解】设正方形一边所在直线的倾斜角为。,其斜率k=tani,

则其中一条对角线所在直线的倾斜角为a+f,其斜率为tan(a+£),

44

冗

tanor+tan—tana+]1

根据题意值tan(a+f)=2,可得-----------an^=?,解得tana=z,

41-tanata/3

4

即正方形其中一边所在直线的斜率为:，

又由相邻边与这边垂直，可得相邻一边所在直线的斜率为-3.

故答案为：(和-3.

8.(2022广东潮州二模)设函数〃司=云亮,点在图象上，

点4为坐标原点，设向量，=(1，。)，若向量。“=4)4+44++A-A，且。,是明与，的夹

角，贝han的最大值是______.

【答案】2

16

【分析】先利用平面向量的线性运算化简7,再利用直线的斜率公式求出tan0”的表达式，

再利用基本不等式求其最值.

【详解】

由向量的线性运算，得

%=44+44++A-iA=AA，

因为点4［,2］在函数〃工）=耳的图象上,

4为坐标原点，向量，=（1，0）,。“是7与i的夹角，

2L2L-0

所以，皿…4"+64_2〃

n-04"+64

二Iw1」

2“+的一2扃16

（当且仅当2"=5r，即”=3时取等号）,

即tan。”的最大值是］.

16

故答案为：

10

四、解答题

22

9.（2022.北京丰台.二模）已知椭圆C：齐=l（a>6>0）经过点尸（2,1）,P到椭圆C的

两个焦点的距离和为4拒.

⑴求椭圆C的方程；

⑵设。（4,0）,R为尸。的中点，作尸。的平行线/与椭圆C交于不同的两点A,3,直线4。

与椭圆C交于另一点M,直线BQ与椭圆C交于另一点N,求证：M,N,R三点共线.

22

【答案】⑴£+9=1⑵证明见解析

o2

【分析】（1）根据椭圆定义，可求得。值，将尸点坐标代入，即可求得〃，即可得答案.

（2）由题意可得R点坐标和直线PQ的斜率，即可设直线I的方程为y=—^x+m,

1

4为%）向%2，%），河（%分），阳天,以），可得直线4。的方程为广—1（工-4），与椭圆联

立，即可求得以，/表达式，同理可得以，当表达式，即可求导直线MN的斜率，再求得直

线的斜率，分析即可得证.

（1）

根据椭圆的定义可得24=4&,解得a=20,

又过点尸（/2,1）\,所以24+京1=1，解得八2,

22

所以椭圆C的方程为£+3=1.

o2

（2）因为尸（2,1）,。（4,0）,

所以中］1-01

k

2-42

设直线/的方程为产一根，4（王，弘）,3（工2，%），"（乙,先）,阳尤”“），

k为

所以%颇二，八8Q

七一4%—4'

%%(I),

所以直线4。的方程为＞=（X-4）,直线8。的方程为y=

再一4工2-4

（I）

y二2

%一4"国-4+412+8(%-4)y+8=0,

联立直线A。与椭圆,消去x可得

2,,2

%J1必弘

-----1------=1

I82

8(演—4)

2L_22

£+3=1

所以％+%=_、2,又代入,

玉一4o2

+4

%

8(占一4)»X8—3%!

整理可得心=一切=，代入直线AQ,可得4二

24-8再3—玉3—玉

%8—3X2

同理可得以=

-

3x23—x2

所以

2221一g%+机

xJ-1x2+mj-x2

3-x?3—玉3(%-%)+占％-尤2%3,3

=----------------------------------=----1-——m

x2一玉22

3—%3-再

.V1_1

~~X1+小

23—玉237

又=--m=kMN

3—%]

所以N,R三点共线

考向二＞两直线的位置关系

1.（2021黑龙江省实验中高三检测）已知直线4:x+my+7=0和

［：⑴-2）x+3y+2m=0互相平行，则实数冽=（）

A.-3B.-1C.一1或3D.1或一3

【答案】C

【分析】根据题意,结合两直线的平行，得到1x3—砒n-2）=。且2m—7x3w0,即可

求解.

【详解】由题意，直线4：尤+切+7=0和4：（根一2）x+3y+2m=0互相平行，

可得1x3—（m—2）=0且2〃?一7x3/0,

21

即〃，一2〃2—3=0且"ZW万,解得〃2=—1或m=3.

故选：C.

4355直线与圆的位置关系

一、单选题

1.（2022河南河南•三模（理））已知M小为圆。：/+产一2-4'=。上两点，且四明=4,

Iuuiruuai|

点P在直线/:尤一产3=0上,则+叫的最小值为（）

A.272-2B.2A/2

C.2V2+2D.2V2-V5

【答案】A

【分析】先求得线段中点。的轨迹，结合向量的模、圆与直线的位置关系等知识求得

।UUUFUUlDi

pM+叫的最小值.

【详解】设线段MN的中点为。,

圆C:/+V-2x-4y=0的圆心为C（l,2）,半径为右.

C到直线的距离为J（右=1,

所以|CD|=1,故。点的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，设。点的轨迹为圆。，

圆D上的点到直线/的最短距离为t=心萨-1=72-1.

IUUITuuiu।uumIIuum।

所以PM+PNH2PD\=2\PD\>2t=2^J2-2.

故选：A

2.（2022•全国.模拟预测（理））已知圆C：X2+/-2X-3=0,若直线/：依-y+1-a=0

与圆C相交于A,8两点，则|明的最小值为（）

LL5

A.2A/2B.2A/3C.3D.-

【答案】B

【分析】求出直线所过定点，当直线与定点和圆心连线垂直时，弦长最小，由此可得结论.

【详解】易知直线"一丫+1-。=0,过定点尸（1,1）,

圆的标准方程是（x-l）2+y2=4,圆心为C（l,0）,半径为r=2,

而H=l<2,所以1ABimm=2而=2也7=2也.

故选：B.

3.（2021内蒙古赤峰二中高三第一次月考）圆尤之+/=1与直线y=依-3有公共点的充

要条件是（）

A.k<-2y/2^k>2-j2B.k<-2A/2

C.k>2D.k4-2叵或k>2

【答案】A

【分析】先根据直线与圆的位置关系求得％得取值范围，即可得答案.

【详解】若直线与圆有公共点，

|-3|,_____

则圆心（0,0）到直线近一丁一3=。的距离4=而不<1,即“2+]»3,

二左2+129,即左2»8,

•••左〈—2夜或左22行，

.•.圆好+/=1与直线y=丘—3有公共点的充要条件是卜<-2V2或左》2行.

故选：A

4.(2022广西南宁市高三摸底测试)已知直线y=x+〃?与圆(x-2)2+(y-3)2=2相切，则

m的值为()

A.3或一1B.1或—3

C.0或4D.T或0

【答案】A

【分析】利用圆的切线性质结合点到直线的距离公式列式计算即得.

【详解】圆(x-2)2+(y-3)2=2的圆心为(2,3)，半径为后，因直线丁=工+机与圆

。一2)2+(、-3)2=2相切，

|2-3+m|

则点(2,3)到直线x-y+m^O的距离为d=V2,整理得|m-11=2,解得

切=3或切=一1,

所以，〃的值为3或-1.

故选：A

5.(2022年(新高考)数学高频考点)圆/+>2+必_⑵+1=0关于直线ax-by+6=0(a>0,

26

6>0)对称，则一+7的最小值是()

a0

「203216

A.25/2B.—C.—D.—

~333

【答案】C

【分析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标，由题意可得圆心在直线办-勿+6=。

上,从而可得a+3b=3,所以2+y=|(a+3Z?)(-+7)，化简后利用基本不等可求得答

c1bsab

案

【详解】由圆尤2+俨+以-12y+l=0知，其标准方程为(x+2)2+。-6尸=39,

*.*圆N+,2+公-12y+1=0关于直线ax-by+6=0(a>0,。>0)对称，

,该直线经过圆心(-2,6),即-2〃-6。+6=0,

a+3b=3(〃>0,Z?>0),

262.13.2八3。3b八、

•,•—+7=7(^+3Z?)(—+—)=—(1+—+一+9)

ab5ab3ba

>-(10+2fc--)=?，当且仅当至=",即a=b时取等号,

3\ba3ab

故选：C.

二、多选题

6.（2022•辽宁鞍山•二模）已知M为圆C：（x+丁+/=2上的动点，尸为直线/：x-y+4=0

上的动点，则下列结论正确的是（）

A.直线/与圆C相切B.直线/与圆C相离

C.IPM的最大值为逑D.IPM的最小值为比

22

【答案】BD

【分析】根据圆心C到直线/得距离d>r,可知直线/与圆C相离；

・"、M均为动点,对|PM|先固定点P可得1PM可尸C|-r,再看附|不难发现|PC|2d,

^\PM\>\PC\-r>d-r.

【详解】圆C：（*+仔+/=2得圆心C（TO）泮径一夜

..•圆心C（T,。）至！］直线I-x-y+4=0得距离d=%+（_］）；=~^>r

,直线/与圆C相离

A不正确，B正确；

\PM\>\PC\-r>d-r=^-

C不正确，D正确；

故选：BD.

7.（2022•海南海口模拟预测）已知a>0,圆C：（尤-a）2+（y-lna）2=l,则（）

A.存在3个不同的。，使得圆C与x轴或y轴相切

B.存在2个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段相等

c.存在2个不同的a，使得圆C过坐标原点

X

D.存在唯一的a，使得圆C的面积被直线y=-平分

e

【答案】ACD

【分析】本题考查圆的方程与性质以及函数图象.

当圆心纵（横）坐标的绝对值等于半径时，圆与x。）轴相切，可判定A;当圆心到x轴或y轴

距离相等时，在轴上截得的线段相等，可判定B;对于C,只要圆心到原点距离等于半径即

可；当直线过圆心时，平分圆的面积，可判定D.

【详解】由条件可知，圆C的半径为1,圆心坐标为（。，Ina）,即圆心在曲线y=Inx上运

动.

对于A,当a=l时，圆C与y轴相切，当lna=±l,即a=e或1时，圆C与x轴相切，所

e

以满足要求的。有3个，A正确；

对于B,若圆C在x轴和y轴上截得的线段相等，则圆心到x轴和y轴的距离相等，故圆心

在y=±x上，又圆心在y=liu-上，作图可知曲线y=liu-与y=x没有公共点，与y=-x有一个

交点，所以满足要求的。仅有一个，B错误；

对于c,若圆C过坐标原点，则〃+（Ina）2=1,如下图可知，曲线y=liu,与x?+y?=1有两

个交点，所以满足要求的。有2个，C正确；

对于D,若圆C的面积被直线y=二平分，则直线y=-经过圆心(。，Ina),计算可知曲线

ee

x

y=Iru在x=e处的切线恰好为y=-,即满足要求的a仅有一个，故D正确.

e

故选：ACD.

【点睛】已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2,有如下结论：

⑴当时=r或同=r时，圆C与y轴或x轴相切;

⑵当1aH同时，圆心到两轴距离相等，若与两轴相交，则截得的线段相等；

⑶若圆C过原点，贝4。2+/=产；

⑷若直线过圆心，则平分圆的面积.

8.(2022.重庆.二模)已知点。(。,0),4(4,4),过直线04上一点B作圆C:(彳-4+/=4的

切线，切点分别为P，。，则()

A.以线段PQ为直径的圆必过圆心C

B.以线段尸。为直径的圆的面积的最小值为2万

C.四边形BPCQ的面积的最小值为4

D.直线PQ在苍y轴上的截距的绝对值之和的最小值为4

【答案】BC

【分析】利用直线与圆之间的关系，列出点到直线距离公式，逐个选项进行判断即可

【详解】由题知，可设点网知M)，则以BC为直径的圆方程为(xf)(x-4)+(yr0)y=。,

两圆做差可得直线PQ：(%-4)(x-4)+/y=4,易得直线PQ过定点/(3,1)，故圆心C到直

线P。的距离不是定值，PC，。。不恒成立，故A选项不正确；

因为直线P。过定点“(3」),故当时|PQ|最小，|加|扁=2"工=20,故最小

半径为0,所以线段尸。为直径的圆的最小面积为27，13选项正确；

四边形破CQ的面积s=忸斗|PC|=2忸P卜27lBC|2-4,

I2cllm小20,故心”=2^/^4=4,C选项正确；

当升=3时，直线尸Q：r+3y=0过原点。，两截距均为0,故D选项不正确.

故选：BC

三、填空题

9.（2021浙江省高三高考数学预测卷（二））已知直线/：〃a-y=1,若直线I与直线

X-阳-1=0平行，则实数机的值为动直线/被圆C:Y+y2+2x-24=0截得弦

长的最小值为.

【答案】①.-1②.2后

【分析】根据两直线的一般方程，利用直线平行的公式，代入即可求解加；首先判断直线/

过定点（0,-1）,利用直线与圆的位置关系，判断当过点P（O,-1）且与尸C垂直的弦的弦长

最短.

【详解】由题意得根X（T〃）-（_1）X1=。，所以加=±1

当m=1时，两直线重合，舍去，故加=-1.

因为圆C的方程X2+/+2X-24=0可化为（x+1）2+丁=25,

即圆心为C（-L0）,半径为5.

由于直线/:如—y—1=。过定点P（O,—1）,

所以过点P且与PC垂直的弦的弦长最短，

且最短弦长为2X52_（亚）2=2后.

故答案为：-1；2723

四,解答题

10.（2022.江西南昌.二模（文））在平面直角坐标系尤Oy中，已知曲线C的参数方程为

—2cos2oc

'.c（a为参数），以坐标原点。为极点，龙轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直

y-sin2a

线/的极坐标方程为。COS,+力+a=0.

（1）求曲线C的极坐标方程及直线I的直角坐标方程；

-TT

⑵若直线/与曲线c相交于A,8两点，且4408=4,求a

【答案】⑴夕=2cos。,x-y+甚=0⑵”=一0

【分析】（1）首先利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将曲线C的参数方程化为普通

x2+y2=p2

方程，再根据X=pcos。化为极坐标方程，根据公式将直线/的极坐标方程化为直角坐标

y=夕sin。

方程；

（2）根据圆心角的性质得到=g,即可得到圆心到直线的距离为坐,利用点到直

线的距离公式得到方程，解得。,再检验即可；

X—2cos2。

一「（。为参数）

{y=sin2。

所以「一l=,所以曲线C的普通方程为（了一1）2+丁=1,即f+/_2x=0,

[y=sm2a

Cx7+y2=p2

又<X=/7COS。，所以夕2—27COS。=0,

y=psind

所以曲线C的极坐标方程为夕=2cos"

因为直线/的极坐标方程为085卜+?"=0,

所以夕cos。一夕sin6+0a=0,

即直线I的直角坐标方程为x-y+缶=0.

7T

⑵解：设曲线c的圆心为C（L0）,半径r=1,因为点。在圆上，且/AO3=I,

所以ZAC3=g,则点C（l,0）到直线/的距离为严,

所以4=^^=克,贝1]a=0或a=,

412

当a=0时，直线/过原点。，不符合题意；

所以a=-血.

廷可龛圆与圆的位置关系

1.（2021云南省玉溪市普通高中高三第一次教学质量检测）已知圆。।:

x2+/-ta=0（«<0）截直线x+y=0所得线段的长度是2夜，则圆。|与圆。2：

（x—2）?+y2=4的位置关系是（）

A.内切B.相交C.外切D.相离

【答案】C

【分析】由题可知圆。1的圆心为a（@,0），半径为6=-5，点a到直线x+y=。的距

22

离为d=-孚，因为弦长为2夜，则由弦长公式可求得a=-4，即可得圆心&（-2,0）,

半径6=2.又因为圆。2的圆心&（2,0），半径马=2,则两圆的圆心距为

盘到=4=4+々，故两圆外切.

【详解】由题可知圆。1的圆心为a（，o），半径为1-，

则。1到直线x+y=o距离

bl_&(6

“=&=-『(0)

一色2日

则弦长=2{r_22=2

解得a=Y,则&(-2,0),彳=2,

又因为Q(2,0),4=2,

所以圆心距|qQ|=4=q+G，两圆外切

故选：c.

2.（2021江苏省盐城市伍佑中学高三第一次阶段考试）已知AM