广西梧州市高三二诊模拟考试新高考数学试卷及答案解析

广西梧州市蒙山县蒙山中学高三二诊模拟考试新高考数学试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何

体的体积为

C.48D.32

2.在一个数列中，如果都有44+14+2=左（左为常数），那么这个数列叫做等积数列，人叫做这个数列的

公积.已知数列｛4｝是等积数列，且q=l,g=2,公积为8,则6+4+…+4o2o=（）

A.4711B.4712C.4713D.4715

3.从集合｛—3,—2,-1,1,2,3,4｝中随机选取一个数记为根，从集合｛—2,-1,2,3,4｝中随机选取一个数记为〃，则在方

2222

程上+乙=1表示双曲线的条件下，方程L+匕=1表示焦点在y轴上的双曲线的概率为（）

mnmn

98179

A.—B.—C.—D・—

17173535

4.设S“为等差数列｛a.｝的前几项和，若2（%+%+%）+3（＜28+%2）=66,则儿=

A.56B.66

C.77D.78

5.下列函数中，在区间（0,+8）上为减函数的是（）

2

A.y=Jx+1B.y=x-1C.y|D.y=log2X

ax,x<l

6.已知实数a>0,awl,函数/(x)=124在R上单调递增，则实数。的取值范围是()

x-\-----\-ain%,%>1

、%

A.l<a<2B.a<5C.3<a<5D.2<a<5

7.执行下面的程序框图，则输出S的值为()

1231143

A.——B.—C.—D.

12602060

77

8.已知函数/(x)=Acos(2x+")(">0)的图像向右平移豆个单位长度后，得到的图像关于V轴对称，/(0)=1,当

8

。取得最小值时，函数/(%)的解析式为()

A./(%)=42cos(2x+7)B./(x)=cos(2x+—)

7T

C./(x)=A/2COS(2X-^-)D./(x)=cos(2x---)

4

x-2,(x>10)

9.设/(%)=，贝(1/(5)=()

yw+6)],(x<io)

A.10B.11C.12D.13

10.已知，：|x+l|>2,q:x>a,且力是F的充分不必要条件，则。的取值范围是()

A.a<lB.a<-3C.a>-lD.a>\

11.集合］%€"*|・62］中含有的元素个数为()

A.4B.6C.8D.12

12.已知正方体ABCD—的棱长为2,点P在线段C片上，且用尸=2PC,平面。经过点A,P，G，则正方

体ABC。-4月G2被平面。截得的截面面积为()

4

G

573

A.3A/6B.2nC.5D.

4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（3x-1）［2-1）的展开式中的常数项为.

14.已知数列｛。“｝为正项等比数列，a3a6a9=27,则%%（）+44+a6aw的最小值为.

15.双曲线y一必=1的焦点坐标是,渐近线方程是.

+2,n=2k—l,keN*

16.已知数列（｛q｝的前几项和为S,冯=1,出=2,4+2=,,*则满足2019<鼠<3000的正整

2an,n=2k,keN

数加的所有取值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知直线乙：y=x+b与抛物线=2px（p〉0）切于点P,直线加2x—2〃少—〃?+1=0过定点

且抛物线C上的点到点Q的距离与其到准线距离之和的最小值为®.

2

（1）求抛物线。的方程及点尸的坐标；

（2）设直线4与抛物线C交于（异于点P）两个不同的点A、B,直线B4,尸8的斜率分别为尢、右,那么是否存在实

数X，使得勺+&=2？若存在，求出彳的值；若不存在，请说明理由.

18.（12分）某精密仪器生产车间每天生产九个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合

格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查.根据多年的生产数据和经验，这些零件的长度服从正态分布

W0,0.12）（单位：微米〃加），且相互独立.若零件的长度d满足9.7〃m<d<10.3〃7w,则认为该零件是合格的，

否则该零件不合格.

（1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为X,求P（XN2）及X的数学期望EX;

（2）小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率.已知检查一

个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元.假设“充分大，为了使损失尽量小，小张是

否需要检查其余所有零件，试说明理由.

附：若随机变量自服从正态分布N（4/）,则

P（〃-3b<J<〃+3cr）=0.9987,0.998750=0.9370,0.998749x0.0013=0.0012.

19.（12分）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是夕cos2e-4sin6=0,直

TT

线4和直线右的极坐标方程分别是，=«(peR)和。=&+耳(peR),其中(左ez).

(1)写出曲线C的直角坐标方程；

(2)设直线(和直线乙分别与曲线C交于除极点。的另外点A,B,求钻的面积最小值.

20.(12分)已知函数/(x)=|2x-a|+a.

(1)当a=2时，求不等式/。)<6的解集

(2)设函数g(x)=|2x-1|.当xeR时，f(x)+g(x)>3,求。的取值范围.

21.(12分)已知函数/(幻=6-*2_履(其中e为自然对数的底，k为常数)有一个极大值点和一个极小值点.

(1)求实数★的取值范围；

(2)证明:1/U)的极大值不小于L

22.(10分)在四边形ABCP中，AB=BC=y/2,ZP=-,K4=PC=2；如图，将上4c沿AC边折起，连结P5,

3

使=求证：

(1)平面ABCJ_平面PAC；

(2)若E为棱AB上一点，且AP与平面PCF所成角的正弦值为且，求二面角尸―PC-A的大小.

4

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1,B

【解析】

由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4,高为3的正四棱

锥，利用体积公式，即可求解。

【详解】

由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4,

高为3的正四棱锥，

所以几何体的体积为V=%—为=4x4x5-|x4x4x3=64,故选B。

【点睛】

本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间

几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。求解以三视图为载体的空间几何体的表面

积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。

2^B

【解析】

计算出名的值，推导出a.+3=a"(〃eN*),再由2020=3x673+1,结合数列的周期性可求得数列｛4｝的前2020项

和.

【详解】

—8彳

由题意可知％4+。+2=8,则对任意的〃eN*，*0,则%a2a3=8,4=------=4>

由4a“+M,+2=8,得an+ian+2an+3=8,-%""+1。"+2=%+14+2。"+3>''4+3=口”，

2020=3x673+1)因此，q+dH----=673(4+d+/)+%=673x7+1=4712.

故选:B.

【点睛】

本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等

题.

3、A

【解析】

2222

设事件A为“方程L+匕=1表示双曲线”，事件8为“方程L+匕=1表示焦点在y轴上的双曲线*分别计算出

mnmn

P(AB｝

P(A),P(AB),再利用公式P(B/A)=噎一计算即可.

【详解】

2222

设事件A为“方程—+^=i表示双曲线”，事件B为“方程土+匕=1表示焦点在y轴上

mnmn

的双曲线”，由题意，P（A）=-——--,P（AB）===弓，则所求的概率为

7x5357x535

P(AB)9

P(B/A)=

P(A)17

故选：A.

【点睛】

本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.

4、C

【解析】

根据等差数列的性质可得2（/+%+々7）+3（。8+.2）=6%+6%0=66,即%+4o=11，

所以、=14（4；4）=7（生+/）=77,故选C.

5、C

【解析】

利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间（0,+。）上的单调性，进而可得出结果.

【详解】

对于A选项，函数y=在区间（0,+”）上为增函数；

对于B选项，函数丁=必—1在区间（0,+。）上为增函数；

对于C选项，函数y=在区间（0,+"）上为减函数；

对于D选项，函数y=10g2x在区间（0,+8）上为增函数.

故选：C.

【点睛】

本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题.

6、D

【解析】

根据题意，对于函数分2段分析：当x<l"（x）=a',由指数函数的性质分析可得①，当

%>l,/W=x2+-+alnx,由导数与函数单调性的关系可得/（x）=2x—在［1,+8）上恒成立，变形

%x~X

可得a22②，再结合函数的单调性，分析可得aWl+4③，联立三个式子，分析可得答案.

【详解】

ax,x<1

解：根据题意，函数/（力=＜24在R上单调递增,

XH----i-tzlnx,x>1

X

当若/（九）为增函数，贝（k＞l①，

4

当犬21,/（x）=x9H----btzlnx,

x

若为增函数，必有/（x）=2x-二+伙＞0在口内）上恒成立，

JVJC

4

变形可得：——2x92,

x

/、404o4

又由可得g（x）=——2/在口内）上单调递减，则——2炉＜—―2=2,

XX1

4

若a2——2好9在［1,+＜功上恒成立，贝！J有a22②，

X

若函数/（九）在R上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值,

则需有aWl+4=5,③

联立①②③可得：2WaW5.

故选：D.

【点睛】

本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质.

7、D

【解析】

根据框图，模拟程序运行，即可求出答案.

【详解】

运行程序,

s=-1-1,1•=C2,

1211.。

s=—I-----1,i=39

552

123,11.,

s——I----1------1---------,I—4,

55523

1234।111.二

s——I----1----1------1--------------,I—59

5555234

1234,111.

s——I----1----1------1--------------,I—5c

55552349

12345,1111.^人‘

s=—I----1-----1----1-----1-------------------,2=6,结束循环,

555552345

故输出5=」(1+2+3+4+5)/"+!+工+工]=3_@=空,

52345；6060

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题.

8、A

【解析】

先求出平移后的函数解析式，结合图像的对称性和7(0)=1得到A和9.

【详解】

jr

71+<p尤一"+夕)关于轴对称，所以一

因为/'(%)=Acos2X--=Acos[2y—+(p=k7r(k&Z),所以

71.9的最小值是字〃0)=Acos?=l,则人=及，所以/(x)=0cos[2x+?

夕=——\-K7T,

4

【点睛】

本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意x的系数和平移量之间的关系.

9、B

【解析】

根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求近10内的函数值，代入即可求出其值.

【详解】

x-2(x>10)

f[f(x+6)](x<10)>

•V(5)=j]f(1)]

=/(9)=川(15)]

=/(13)=1.

故选:B.

【点睛】

本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题.

10、D

【解析】

“力是f的充分不必要条件”等价于“q是。的充分不必要条件”，即q中变量取值的集合是p中变量取值集合的真子

集.

【详解】

由题意知：。:|x+l|>2可化简为{x|x<-3或x>l},q'.x>a,

所以4中变量取值的集合是0中变量取值集合的真子集，所以“21.

【点睛】

利用原命题与其逆否命题的等价性，对"是F的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解.

11>B

【解析】

解：因为［xeN*|z］集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1,2,3,4,6,,12故选B

12>B

【解析】

先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解.

【详解】

如图所示：

A,P，G确定一个平面打，

因为平面AA^DDJ/平面BB«G,

所以AQ//PG，同理AP//QG，

所以四边形APC1。是平行四边形.

即正方体被平面截的截面.

因为B]P=2PC,

所以£用=2PC,

即PC=P6=1

所以AP=PG=«,AG=2g

ApZ+pcj-AC；1

由余弦定理得:cos/APC]=

2APxPQ5

所以sin/APC；==-

所以S四边形APQC,=2x|APxPC1xsinZAPQ=2n

故选：B

【点睛】

本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于

中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、31

【解析】

由二项式定理及其展开式得通项公式得：因为［2-1］的展开式得通项为=5,则

(3x-l)［j-1］的展开式中的常数项为：3X(-1)4C>(-1)5C==14,得解.

【详解】

解：加

则(3x-1)［2—1)的展开式中的常数项为：

3x(-l)4-2'-C5-(-l)5-2°-Cf=31.

故答案为：31.

【点睛】

本题考查二项式定理及其展开式的通项公式，求某项的导数，考查计算能力.

14、27

【解析】

利用等比数列的性质求得&，结合其下标和性质和均值不等式即可容易求得.

【详解】

由等比数列的性质可知%=3,则4的0=9,

2alo+a6a2+线4()=9+3a2+3^0>9+6^a2o10=9+6a6=27.

当且仅当g=%o=3时取得最小值.

故答案为:27.

【点睛】

本题考查等比数列的下标和性质，涉及均值不等式求和的最小值，属综合基础题.

15、(o,±0)y=±x

【解析】

b

通过双曲线的标准方程，求解C,一,即可得到所求的结果.

a

【详解】

由双曲线y?—%2=],可得a=],)=],则°=,

所以双曲线的焦点坐标是(0,土加),

渐近线方程为：y=±x.

故答案为：(0,±A/2)；y=±x.

【点睛】

本题主要考查了双曲线的简单性质的应用，考查了运算能力，属于容易题.

16、20,21

【解析】

由题意知数列｛4｝奇数项和偶数项分别为等差数列和等比数列，则根据n为奇数和”为偶数分别算出求和公式,代入数

值检验即可.

【详解】

解：由题意知数列｛4｝的奇数项构成公差为2的等差数列，

偶数项构成公比为2的等比数列，

贝!!$_=[l+l+2(I)k+2(1-A)=乎+^_2；

21—2

[l+l+2(fc-l)U2(1-2%),

।1-------1=2"1+/—2・

21-2

102

当左=10时，S19=2+10-2=1122,$20=2"+102—2=2146.

当上=11时，S21=2"+1F-2=2167,S22=2即+1a-2=4215.

由此可知，满足2019<Sm<3000的正整数机的所有取值为20,21.

故答案为：20,21

【点睛】

本题考查等差数列与等比数列通项与求和公式，是综合题，分清奇数项和偶数项是解题的关键.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

Q

17、(1)y2=4x,(1,2)；(2)存在，—

3

【解析】

(1)由直线4恒过点点及抛物线c上的点到点。的距离与到准线的距离之和的最小值为巫，求出抛物线的方程,

2

再由直线4与抛物线相切，即可求得切点的坐标;

(2)直线4与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，求得直线如，网的斜率，求出斜率之和为定值，即存在实数

彳使得斜率之和为定值.

【详解】

(1)由题意，直线/2变为2x+l-m(2y+l)=0,所以定点。的坐标为-5,-5

抛物线=2px(p>0)的焦点坐标0

由抛物线C上的点到点Q的距离与到其焦点F的距离之和的最小值为半,

可得依盟=,解得。=2或，=一4(舍去),

故抛物线C的方程为/=4%

y=x+b

又由<消去y得d+23—2)x+/=0,

y2=4x

因为直线4与抛物线C相切，所以A=[20—2)1—4尸=0,解得6=1,

此时x=l,所以点P坐标为(1,2)

(2)设存在满足条件的实数；I,点4(西,％),6(々,巴)，

2x-2my-m+1=0n

联立《2,消去"得y-4my-2m+2=0,

y=4x

则/+%=4m,yvy2=2-2mf

依题意，可得A=(4加)2-4(2-2加)〉0,解得帆v・l或加〉g,

由(1)知P(1,2),

k=X_2=____X-2______=2(^-2)

可得「不一「；(2碍+吁1)-「2吗+吁3’

2(%-2)

同理可得左2=

2my2+m-3

由I”7_2(X—2)2(%—2)_2[4〃3%—3(加+1)(一+%)—4(7〃—3)]

/zT4十22

2myx+m-32my2+m-34myxy2+2m(m-3)(>y1+y2)+(m-3)

2[4m(2-2m)-3(m+l)4m-4(m-3)]_8(-5m2-2m+3)_8

4m2(2-2m)+2m(m-3)4m+(m-3)23(-5m2-2m+3)3'

Q

故存在实数2=5满足条件.

【点睛】

本题主要考查抛物线方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物

线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较

好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.

18、(1)见解析(2)需要，见解析

【解析】

(1)由零件的长度服从正态分布W0,0.12)且相互独立，零件的长度d满足9.7〃7*<d<10.3〃机即为合格，则每一个

零件的长度合格的概率为0.9987,X满足二项分布，利用补集的思想求得P(X>2)，再根据公式求得EX；

2

(2)由题可得不合格率为前,检查的成本为10”,求出不检查时损失的期望，与成本作差，再与0比较大小即可判断.

【详解】

4950

(1)P(X22)=1—P(X=1)-P(X=0)=1-C50'-0.9987-0.0013-O.9987=0.003,

由于X满足二项分布，故£X=0.0013x50=0.065.

2

(2)由题意可知不合格率为历，

252

若不检查,损失的期望为E(r)=260xnx--20=y«-205

522

若检查，成本为10〃,由于E(Y)-10n=—n-20-lQn=-n-20,

2

当“充分大时,E(y)—10〃=g〃-20>0,

所以为了使损失尽量小，小张需要检查其余所有零件.

【点睛】

本题考查正态分布的应用，考查二项分布的期望,考查补集思想的应用，考查分析能力与数据处理能力.

19、(1)/=4>；(2)16.

【解析】

(1)将极坐标方程化为直角坐标方程即可；

(2)利用极径的几何意义，联立曲线C,直线心直线4的极坐标方程，得出1,1利用三角形面积公式,

结合正弦函数的性质，得出AQ钻的面积最小值.

【详解】

(1)曲线C：/cos?，一4sin，=0,即夕2cos?6-4夕sin。=0

化为直角坐标方程为：x2=4y；

)口.八一

pcos6e-=4sain6>=04sintz即批日।”।4sina

cos2a

4sina+一

I24cosa

同理|06|=%|=

f吟sin2a

cos2a+—

I2J

1III14smM4costz816

・V=-\OA\\OB^-——•.2>16

22cosa\|smasinacosa|sin2a\

jr

当且仅当sin2tz=1,即a=—(左ez)时取等号

4

即AOAB的面积最小值为16

【点睛】

本题主要考查了极坐标方程化直角坐标方程以及极坐标的应用，属于中档题.

20、(1){x|-l<x<3}；(2)[2,+00).

【解析】

试题分析：(1)当。=2时n/(x)=|2x—2|+2n|2x—2|+2V6n—1WXW3；(2)由

f(x)+g(x)=|2x—a\+a+11-2%|>|2x-<7+1-2%|+«=|1-a|+a/(x)+g(x)>3等价于

|l-fl|+fl>3,解之得a”

试题解析：(1)当a=2时，/(X)=|2X-2|+2.

解不等式|2x—2|+2V6,得—1WXW3.

因此，因%)<6的解集为艇固

(2)当时，/(x)+g(x)=\2x-a\+a+\l-2x\>\2x-a+l-2x\+a=\l-a\+a,

当X=L时等号成立，

2

所以当xeR时，f(x)+ga)N3等价于|l—a|+aN3.①

当aWl时，①等价于l-a+a23,无解.

当时，①等价于解得a»2.

所以。的取值范围是［2,+8).

考点：不等式选讲.

21、(1)A:€(2-2In2,+<»)；(2)见解析

【解析】

(1)求出/'(x)=H-2x-左，记g(x)=e'-2x,问题转化为方程g(x)=左有两个不同解，求导，研究极值即可得

结果；

(2)由(1)知，/(%)在区间(—8,In2)上存在极大值点占，且左=*—2再，则可求出极大值/(%)=(1—%)/+为2,

记/z«)=(l—/)£+〃«£(—oo,ln2)),求导，求单调性,求出极值即可.

【详解】

xx

(1)/'(%)=e-2x-k9由/'(尤)=0=>e-2x=k9

xx

记g(x)=e-2x9g'(x)=e-29

由g'(x)=0nx=ln2,且xvln2时，g\x)<0,g(%)单调递减,g(x)e(2-21n2,+oo),

x>ln2时，g'(%)>0,g(%)单调递增,g(x)G(2-21n2,+oo),

由题意，方程g(%)=左有两个不同解，所以建(2—21n2,+8)；

(2)解法一：由(1)知，Ax)在区间(f/n2)上存在极大值点再，且左=2再，

所以f(x)的极大值为/(%1)=e%]-—(e』_2xJ/=(1一%])4+须2,

记7i(f)=(1-t)er+f(te(-co,In2)),则h'(t)=-teT+2/=《2-e],

因为/e(-oo,ln2),所以2—e'>0，

所以f<0时，h'(t)<0,单调递减，0</<ln2时，”«)>0,丸”)单调递增，

所以/⑺>A(0)=1,即函数/(x)的极大值不小于1.

解法二：由(1)知，/(尤)在区间(—8,也2)上存在极大值