人教版七年级数学下册《实际问题与二元一次方程组（第2课时）》示范教学设计

实际问题与二元一次方程组（第2课时）教学目标1．巩固列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤，会用方程组解决几何问题．2．通过解决开放性问题学会多角度思考问题．3．探究较难的实际问题，提升分析数量关系、解方程组的能力，体会数学建模思想．教学重点会用二元一次方程组解决几何问题，并能由方程组的解解释实际问题．教学难点能寻找相等关系并列出方程组．教学过程新课导入1．列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？【师生活动】教师出示题目，学生独立作答：列方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的相等关系．（2）设：恰当地设未知数．（3）列：根据（1）中的相等关系列方程组．（4）解：正确地解方程组．（5）验：检验解是不是原方程组的解且符合题意．（6）答：答案要完整且单位统一．【设计意图】复习学过的列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤，巩固基础．2．如图．（1）将长方形纸片折成面积之比为1∶1的两个小长方形，有多少种折法？（2）将长方形纸片折成面积之比为1∶2的两个小长方形，有多少种折法？【师生活动】教师出示题目，学生动手操作，完成作答．【答案】解：（1）如图，将长方形纸片折成面积之比为1∶1的两个小长方形，有2种折法．（2）如图，将长方形纸片折成面积之比为1∶2的两个小长方形，有4种折法．【设计意图】让学生通过动手操作，知道按面积分割长方形的问题可转化为分割边长的问题，激发学生的学习兴趣，为学习建立二元一次方程组模型解决几何问题作准备．新知探究一、探究学习【问题】据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2．现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4？【思考】如何求甲、乙两种作物的总产量？【师生活动】学生独立思考作答：总产量＝单位面积产量×面积．【思考】甲、乙两种作物的总产量的比与种植面积的比有什么关系？【师生活动】教师带领学生分析题目的关键信息：＝，＝，所以＝，即甲、乙两种作物的总产量的比等于甲作物的种植面积与乙作物的种植面积的2倍的比．【思考】根据上面的分析可知，本题研究的是长方形面积的分割问题，你能画出示意图帮助自己理解吗？【师生活动】学生动手画出示意图，与教师展示的图片对比，教师给出分析．【分析】如图，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE．此时设AE＝xm，BE＝ym，根据问题中涉及长度、产量的数量关系，即可列出方程组．【设计意图】通过问题串的形式，引导学生学会分析几何问题，找出数量关系．【思考】你能列出方程组，并求出x，y的值吗？【师生活动】学生独立列出方程组，并解方程组．【答案】解：如图，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE．此时设AE＝xm，BE＝ym．由题意，得方程组化简，得解得【思考】如何表述你的种植方案？【师生活动】学生自由发言，互相启发，不断补充完善种植方案，师生一起总结：过长方形土地的长边上离一端80m处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地．较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物．【设计意图】让学生学会如何利用方程组的解解释几何问题．【追问】还有其他设计方案吗？【师生活动】学生小组讨论，完成作答．【答案】解：如图，另一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形ABFE和EFCD．此时设AE＝xm，DE＝ym．由题意，得方程组化简，得解得过长方形土地的短边上离一端40m处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地．较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物．【设计意图】一题多解，引导学生体会思维的多样性．【追问】列一元一次方程能解决这个问题吗？【师生活动】学生独立思考，完成作答．【答案】解：①如图，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE．此时设AE＝xm，则BE＝(200－x)m．由题意，得方程100x∶[2×100×(200－x)]＝3∶4，解得x＝120．所以200－x＝200－120＝80．过长方形土地的长边上离一端80m处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地．较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物．②如图，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形ABFE和EFCD．此时设AE＝xm，则DE＝(100－x)m．由题意，得方程200x∶[2×200×(100－x)]＝3∶4，解得x＝60．所以100－x＝100－60＝40．过长方形土地的短边上离一端40m处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地．较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物．【问题】你认为列二元一次方程组解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题有哪些相同点和不同点？【师生活动】教师引导学生对比总结．【归纳】（1）能列二元一次方程组解决的实际问题，一般都可以列一元一次方程解决．但是，随着实际问题中未知量的增多和数量关系的复杂化，列方程组更加简单直接，一般问题中有几个相等关系就可以列出几个方程．（2）两者的相同点是都需要先分析题意，把实际问题转化为数学问题（设未知数，列方程或方程组），再检验解的合理性，进而得到实际问题的解．这一过程就是建模的过程．【设计意图】让学生发现列方程组比列一元一次方程简单，进一步体会建模思想，理解建模的一般步骤．二、典例精讲【例1】某服装厂用某种布料生产一批某种款式的秋装，已知2m布料可做衣身3个或衣袖5只，现计划用132m这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应怎样分配布料才能使衣身和衣袖恰好配套？【师生活动】学生独立思考，并小组讨论，尝试进行解答．【答案】解：设用xm布料做衣身，用ym布料做衣袖．由题意，得解得答：用60m布料做衣身，用72m布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套．【归纳】用二元一次方程组解决配套问题生产中的配套问题有很多，例如，螺栓和螺母的配套，桌面与桌腿的配套，衣身与衣袖的配套等；各种配套都有一定的数量比例，在本例中，准确找出相等关系“衣身数量×2＝衣袖数量”是解题的关键．【设计意图】通过例题，让学生学会用二元一次方程组解决配套问题．【例2】如图，用10块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则每块地砖的长和宽分别是多少？【师生活动】学生独立思考，完成作答，教师讲评．【答案】解：设每块地砖的长为xcm，宽为ycm．由题意，得解得答：每块地砖的长为48cm，宽为12cm．【归纳】列二元一次方程组解决有关图形的问题时，常借助数形结合思想，发现各种量之